专题05实数同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年湘教版七年级数学下册

专题05实数同步讲义 · 识概念：理解实数是有理数与无理数的统称，能识别无理数。 · 懂对应：知道实数与数轴上的点一一对应。 · 会运算：能进行实数的加、减、乘、除、乘方、开方等混合运算。 · 会比较：会比较实数大小，会估算无理数的整数部分。 必备 知识点梳理 1.实数的概念与分类 2.实数与数轴 3.实数范围内的有关概念 4.实数的运算 5.实数大小比较 6.易错点总结 常考题型 精讲精炼 1.实数的概念理解 2.实数的分类 3.实数与数轴 4.实数的性质 5.实数的混合运算 6.程序设计与实数运算 7.实数的大小比较 8.新定义下的实数运算 9.实数运算的实际应用 10.与实数运算相关的规律题 11.无理数整数部分的有关计算 巩固专练 解答题(6题) 【知识点01.实数的概念与分类】 1. 核心定义 实数 = 有理数 + 无理数 有理数：有限小数或无限循环小数，可表示为两个整数之比（,q0） 无理数：无限不循环小数 2. 两种分类方式 （1）按定义分 有理数：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）的统称； 有限小数和无限循环小数都属于有理数。 无理数：无限不循环小数。 （2）按正负分 3. 易错提醒 (1)带根号的数不一定是无理数（如=2 是有理数）。 (2)分数一定是有理数，无理数不能写成分数形式。 【知识点02.实数与数轴】 实数与数轴上的点一一对应 每一个实数都可以用数轴上唯一的点表示。 数轴上每一个点都对应唯一的一个实数。 可在数轴上表示无理数（如 可通过构造直角三角形画出）。 【知识点03.实数范围内的有关概念】 【知识点04.实数的运算】 1. 运算范围 实数可进行：加、减、乘、除（除数≠0）、乘方；非负数可开平方，任意实数可开立方。 2. 运算律（与有理数相同） 加法：交换律 a+b=b+a、结合律 (a+b)+c=a+(b+c)。 乘法：交换律 ab=ba、结合律 (ab)c=a(bc)、分配律 a(b+c)=ab+ac。 3. 混合运算顺序 先乘方、开方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号内。 4. 近似计算 遇到无理数需近似值时，用比要求精度多一位的近似小数代替，最后四舍五入。 【知识点05.实数的大小比较】 1.数轴比较法：在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。 2.代数比较法： *正数 > 0 > 负数。 *两个正数比较大小，绝对值大的数大。 *两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。 *作差法：若 a - b > 0，则 a > b；若 a - b = 0，则 a = b；若 a - b < 0，则 a < b。 【知识点06.易错点总结】 1.带根号的数不一定是无理数，如 =2 是有理数； 2.实数运算时，先化简再计算，结果要化为最简； 3.比较负无理数大小时，注意绝对值大的反而小。 【题型1.实数的概念理解】 【典例】若，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了实数，绝对值的性质，掌握绝对值等于正数的数有两个，它们互为相反数是解题的关键． 根据绝对值的性质，化简等式，得到，从而求出的值． 【详解】解：，且， ∴原等式可化为． 解得： ． 故答案为：． 【跟踪专练1】如果在数轴上的点到原点的距离是，那么表示点的实数为（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据数轴上点到原点的距离等于该点所表示实数的绝对值． 本题考查数轴上距离与绝对值的性质，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：∵点A到原点的距离是， ∴， ∴． 故选：C． 【跟踪专练2】下列说法：①实数分为整数和分数；②无限不循环小数叫作无理数；③一个有理数的绝对值一定是正数；④倒数等于它本身的数是；⑤带根号的数都是无理数．其中正确的是________（填序号）． 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了实数的相关概念，无理数的概念，倒数的概念，绝对值的定义，解题的关键在于熟练掌握相关概念．根据相关概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：①实数分为有理数和无理数，故①错误； ②无限不循环小数叫作无理数，故②正确； ③，既不是正数也不是负数，故③错误； ④倒数等于它本身的数是，故④正确； ⑤开方开不尽的数是无理数，故⑤错误． 综上所述，正确的有②④， 故答案为：②④． 【跟踪专练3】关于的方程有无数多个实根，则实数的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．有无数个取值 【答案】C 【分析】根据绝对值的性质，进行分类讨论：①当时，②当时，即可求解． 【详解】解：①当时， ， ， 当时，，只有一个实数根，不符合题意； 当时，解得：， 左边，右边， 此时方程有无数个解，符合题意； ②当时， ， ， 当时，，只有一个实数根，不符合题意； 当时，解得：， 左边，右边， 此时方程有无数个解，符合题意； 综上：实数的值为1或， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了绝对值的定义，解一元一次方程，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 【题型2.实数的分类】 【典例】在，，，，，，，，，（每两个之间的个数逐次增加）中，正分数有个，非负整数有个，则_______． 【答案】 【分析】此题考查了实数的分类，有理数的分类，代数式求值，根据有理数的分类，分别求出非负整数和正分数的个数，再代入计算即可． 【详解】解：在给定的数中，正分数有，，，共个，故， 非负整数有，，共个，故； ， 故答案为：． 【跟踪专练1】在实数，（每两个1之间依次多一个0）中，是有理数的是（     ） A． B． C． D．（每两个1之间依次多一个0） 【答案】C 【分析】本题考查了实数的分类，求一个数的立方根，依据有理数的定义（整数和分数统称为有理数，包含有限小数、无限循环小数，或可化为整数/分数的数），逐一判断各选项中的数是否为有理数． 【详解】解：∵，是整数，整数属于有理数． 又∵是含π的无限不循环小数，属于无理数；是开方开不尽的数，属于无理数；（每两个1之间依次多一个0）是无限不循环小数，属于无理数． ∴只有是有理数， 故选：C． 【跟踪专练2】将下列各数进行分类（填序号即可） ①1，②，③0，④，⑤，⑥，⑦（每个“2”之间依次多一个“0“． 正整数：　　； 分数：　　； 无理数：　　． 【答案】①⑤；④⑥；②⑦ 【分析】根据实数的分类即可解答． 【详解】解：， 为正整数． 正整数为：①⑤； 分数为：④⑥； 无理数为：②⑦． 故答案为：①⑤；④⑥；②⑦． 【点睛】本题考查了实数的分类，化简绝对值和求一个数的立方根，熟练掌握和运用实数的分类是解决本题的关键． 【跟踪专练3】下列实数中，比3大的有理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据无理数的概念判断，，是无理数，再比较大小即可． 【详解】解：∵，而，是有理数，，是无理数， ∴比3大的有理数是； 故选：D． 【点睛】本题考查的是有理数与无理数的识别，实数的大小比较，熟记无理数的概念是解本题的关键． 【题型3.实数与数轴】 【典例】如图，将一个半径为1的圆沿数轴正方向滚动，已知点A在数轴上对应的数是1，则滚动一周后点A的对应点所表示的数为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了数轴与实数的一一对应关系，理解圆滚动一周的含义，掌握数轴上的点与无理数的关系是解题的关键． 根据题意，先算出圆的周长，根据点表示的数得到点表示的数，由此即可求解． 【详解】解：半径为1的圆， ∴圆的周长为， ∵点A在数轴上对应的数是1， ∴滚动一周后点A的对应点所表示的数为， 故答案为： ． 【跟踪专练1】如图，有一个直径为个单位长度的圆片，把圆片上的点放在原点，并把圆片沿数轴向右滚动周，点到达点位置，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据圆的周长公式求出圆片滚动一周的距离，再根据数轴上点的移动规律（右加左减）确定点表示的数． 【详解】解：圆片的直径为1个单位长度， 圆片的周长． 圆片沿数轴向右滚动1周，点从原点出发， 点表示的数是． 【跟踪专练2】已知实数求距离已知距离求实数点，在数轴上相距个单位长度，且线段的中点在数轴上表示的数是2，则点表示的数是________． 【答案】或 【分析】本题考查了实数的运算，设点表示的数是，先根据题意得线段的中点到点的距离为，进而可得，解绝对值方程即可． 【详解】解：设点表示的数是， ∵实数点，在数轴上相距个单位长度， ∴线段的中点到点的距离为， ∵线段的中点在数轴上表示的数是2， ∴， 解得或， 即点表示的数是或， 故答案为：或． 【跟踪专练3】如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根，实数与数轴，数轴上两点之间的距离，由题意得出，再利用数轴上两点之间的距离公式计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴， ∴， ∵点表示的数为， ∴数轴上点所表示的数为， 故选：． 【题型4.实数的性质】 【典例】实数的相反数是______． 【答案】/ 【分析】此题考查了实数的性质，相反数，根据相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数求解即可． 【详解】解：实数的相反数是． 故答案为：． 【跟踪专练1】无理数的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根，无理数，实数的性质，正确理解负数的绝对值是正数是解答关键．根据绝对值的定义来求解即可． 【详解】解：无理数的绝对值是． 故选：A． 【跟踪专练2】数轴上点，，表示的实数分别为，，．定义：表示点，，中任意两点距离的最大值．例如：当，，时，，，，．已知：，，，那么的值是______． 【答案】或 【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离，根据两点间的距离公式以及新定义，计算即可 【详解】解：，， 或 解得：或或或 当时，，不符合题意，舍去； 当，，不符合题意，舍去； 故答案为：或． 【跟踪专练3】实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特点，由数轴可知，，则，，再运算绝对值即可求解． 【详解】解：由数轴可知，， ，， ， 故选：B． 【题型5.实数的混合运算】 【典例】若，其中，则b的值为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算（利用加法各部分的关系：加数和另一个加数），解题关键是通过移项将b表示为和与的差，再代入计算． 根据已知条件 和 ，通过等式变形求解 的值． 【详解】解：由 ，得 ，代入 ，得 ． 故答案为 ：． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，故A错误． B．，故B错误． C．，故C错误． D．，故D正确． 【跟踪专练2】数轴上、两点所对应的实数分别是，，点为轴上一点，若、、中有一点是中点，则点所表示的实数是__________． 【答案】或或 【分析】本题考查了数轴与实数，解题的关键是会用数轴上的实数表示点到点的距离． 根据题意进行分类讨论，用实数表示点到点的距离，计算即可． 【详解】解：设点所表示的实数是， ∵数轴上、两点所对应的实数分别是，，点为轴上一点， ∴当点是点和点的中点时，，解得，， 当点是点和点的中点时，，解得，， 当点是点和点的中点时，，解得，， ∴点所表示的实数是或或， 故答案为：或或． 【跟踪专练3】计算结果为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查绝对值，实数的加减，掌握知识点是解题的关键． 原式为多个绝对值之和，每个绝对值均为两个连续平方根之差．由于平方根函数单调递增，每个绝对值可化简为后一个平方根减前一个平方根，形成望远镜求和，中间项相互抵消，最终结果为最后一个平方根减去第一个平方根． 【详解】解： =， ． 故选：B． 【题型6.程序设计与实数运算】 【典例】小华编写了一个程序：输入x→立方根→算术平方根→2，则x为___． 【答案】64 【分析】反向递推法．算术平方根是2，则这个数是4，立方根为4，则这个数是64． 【详解】∵2是4的算术平方根，64的立方根为4， ∴输入的数为64． 故答案为：64． 【点睛】 本题考查了算术平方根、立方根的含义和反向求解的知识点，用反向递推法是解题的关键． 【跟踪专练1】有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的为64时，输出的是（   ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，程序设计与实数运算，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义． 依据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：取的算术平方根，结果为． 是有理数， ∴再取算术平方根，结果为，是无理数， 故． 故选：B． 【跟踪专练2】小明设计了一个如图所示的电脑运算程序： （1）当输入的值是64时，输出的值是________． （2）分析发现，当非负数取________时，该程序无法输出值． 【答案】 0或1 【分析】本题考查了实数，立方根，算术平方根，关键是掌握立方根及算术平方根的求解． （1）按照计算流程计算，如果不满足输出条件，继续循环计算即可． （2）按照计算流程，探索即可得出答案解： 【详解】解：（1）当x值为64时，则64的算术平方根得8， ∴8的立方根是2， ∴2的算术平方根得是，是无理数， ∴输出的数为； 故答案为：． （2）依题意，按照计算流程发现最后都是无理数输出， ∴当非负数取0或1时该程序无法输出值， 故答案为：0或1． 【跟踪专练3】根据图中的程序，当输入为时，输出的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数计算，立方根，算术平方根，无理数，先把输入，计算出的值，若结果为无理数则输出结果，若结果为有理数，继续把的值输入进行计算，如此反复直至的结果为无理数即可得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当输入为时， ，是有理数， 当输入为时， ，是有理数， 当输入为时， ，是无理数， ∴输出的值是， 故选：． 【题型7.实数的大小比较】 【典例】如图，这是秦始皇陵中的一个兵马俑，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，其中______．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．先估算的大小，进一步判断的大小，从而得出比较结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数的大小比较，根据算术平方根的定义把c变为带根号的数，再比较大小即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 【跟踪专练2】已知实数满足，记，若，则的值一定是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】C 【分析】本题考查比较实数的大小，根据，得到，进而得到，，，推出，根据，得到即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，即：的值一定是非正数； 故选C． 【跟踪专练3】根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（    ） x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256 A． B．235的算术平方根比15.3大 C．只有2个正整数满足 D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出将比256增大3.19 【答案】B 【分析】根据表格中的信息可知和其对应的算术平方根的值，然后依次判断各选项即可． 【详解】A．根据表格中的信息知：， ∴故选项A不正确； B．根据表格中的信息知：， ∴235的算术平方根比15.3大，故选项正确； C．根据表格中的信息知：， ∴正整数或或， ∴有3个正整数n满足，故选项不正确； D．根据表格中的信息无法得知的值， ∴不能推断出将比256增大3.19，故选项不正确． 故选：B． 【点睛】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键． 【题型8.新定义下的实数运算】 【典例】在学习教材上的综合与实践《设计自己的运算程序》时，小鲲同学对自己设计的运算给出如下定义：．则的化简结果是______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算及多项式乘法运算，解题的关键是理解新运算的规则，将对应数值代入运算式后准确展开并合并同类项． 先明确新运算定义：，需计算，即确定、；再将、代入运算式，得到；最后展开该多项式并合并同类项，得出化简结果． 【详解】解：根据新运算定义，计算时，令，，则： 故答案为：． 【跟踪专练1】对于实数、，定义运算“※”如下：，则关于的结果，下列说法正确的是(    ) A．平方根是 B．算术平方根是 C．立方根是 D．立方根是 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算，平方根、算术平方根、立方根的定义．先根据新定义运算求出的值，再结合平方根、算术平方根、立方根的定义判断选项 【详解】解：∵ ∴ ∵实数范围内，负数没有平方根与算术平方根，故A、B选项错误 又∵ ∴的立方根是，故C选项错误，D选项正确 故选：D． 【跟踪专练2】阅读材料：对于任意一个两位数 x ，如果 x 满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么我们称这个两位数为“迥异数”，将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为，例如： ，对调个位数字与十位数字得到新的两位数 32，新两位数与原两位数的和为，和与 11 的商为 ，所以 ．则______；如果一个“迥异数”a 的十位数字是 m ，个位数字是 ，且 ，则“迥异数”a的值为_____． 【答案】 9 39 【分析】本题考查了两位数的表示方法、代数式的运算及一元一次方程的求解，解题的关键是理解“迥异数”的定义（个位与十位数字互不相同且均不为零）和函数的计算规则（新两位数与原两位数的和与11的商）． 计算时，先求出18对调后的两位数，再计算两数之和，最后除以11；求“迥异数”时，先根据十位数字和个位数字表示出原数与对调后的数，利用列方程求解，再结合“迥异数”的定义确定的取值，进而得到的值． 【详解】解：∵为“迥异数”，对调其个位与十位数字得新两位数81， ∴原数与新数的和为， ∴； 设“迥异数”的十位数字为，则个位数字为， ∴原数，对调后新两位数为， ∵， ∴， 化简得，即， 解得， ∴个位数字为，且、、，符合“迥异数”定义， ∴； 故答案为：；39． 【跟踪专练3】若是不等于1的实数，我们把称为的差倒数，如2的差倒数是，的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查规律寻找，解题的关键是根据题意求出几个数找到数字规律，根据规律求解.根据差倒数写出，得到规律即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，，，，， ∴个数一循环， ， ∴． 故选：A． 【题型9.实数运算的实际应用】 【典例】《千里江山图》是中国十大传世名画之一，其局部如图所示，图中画纸是长为，宽为的长方形，现要装裱该画，装裱后画的长增加了，宽不变，则装裱后整个长方形画卷的总面积为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的应用，解题的关键是理解题意；由题意可知装裱后长方形的长为，宽为，然后根据长方形的面积公式可进行求解． 【详解】解：由题意得：装裱后长方形的长为， ∴长方形的面积为； 故答案为． 【跟踪专练1】实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据实数，在数轴上对应点的位置，分别得到实数，的取值范围，据此即可一一判定． 【详解】解：由实数，在数轴上对应点的位置可知：，， ，，，， 故A、B、D错误，C正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了实数与数轴，实数的加减运算，绝对值的意义，准确判定出实数，的取值范围是解答本题的关键． 【跟踪专练2】如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要____个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 【答案】13 【分析】本题考查了整式的混合运算，利用圆柱的体积公式表示出瓶子中大圆柱与小圆柱的体积，以及杯子的体积，即可得到结果. 【详解】解：瓶子中大圆柱的容积为， 瓶子中小圆柱容积， 杯子的容积为， 则所需杯子个数为， 则一共需要13个这样的杯子. 【跟踪专练3】如图，正方形中，点E、F在上，点E是的中点，以为边长向正方形形内作正方形，以、为长和宽向正方形形内作长方形，已知正方形的面积为70，正方形的面积为40，则长方形的面积为（   ） A．5 B．7.5 C．10 D．12.5 【答案】B 【分析】本题主要考查实数混合运算的应用，解答的关键是求得长方形的长与宽，理解图示，掌握乘法公式，实数的混合运算是解题的关键． 由正方形的面积可求得，的长度，可求得，再由点是的中点，则有，表示出长方形的长与宽，再利用长方形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：正方形的面积为，正方形的面积为， ，，解得：，， ， 点是的中点， ， ， ， ． 故选：． 【题型10.与实数运算相关的规律题】 【典例】已知，，，……，类比这些等式，若（为正整数），则等于___________． 【答案】63 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与运算，解题的关键是根据所给式子得出结论．通过观察给定等式的规律，发现对于正整数a，等式成立，因此当时，n的值为． 【详解】解：已知，，，……， 可归纳出一般形式：． 当时，． 故答案为63． 【跟踪专练1】班级联欢会上，同学们按“3个红气球、2个黄气球、2个绿气球、1个白气球”的顺序把气球串起来装饰教室．第132个气球是（　　）的． A．红色 B．黄色 C．绿色 D．白色 【答案】B 【分析】本题主要考查了周期性规律问题，有理数的除法等知识点，解题的关键是找出周期规律． 先确定周期长度，再计算位置，根据余数确定气球颜色即可． 【详解】解：气球排列顺序为“3红、2黄、2绿、1白”，每个周期包含个气球， ∴， ∴第132个气球是黄色， 故选：B． 【跟踪专练2】．观察下列等式： …… 则的值为________． 【答案】/ 【分析】本题考查了数字的规律的探究，算术平方根．通过前三个式子找出其中的规律即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的运算的规律，数轴，通过计算出，，找到规律，即可解答，熟练运用实数的运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，则表示的数为， ∵， ∴， 表示的数为， ，则表示的数为， ∵， ∴， 同理可得， ……， 以此类推，可知， ∴， 故选：D． 【题型11.无理数整数部分的有关计算】 【典例】已知的平方根是，是的立方根，c是的小数部分，则的值为________． 【答案】/ 【分析】本题考查平方根、立方根，估算无理数的大小，掌握算术平方根、立方根的定义是正确解答的关键．根据平方根、立方根的定义以及估算无理数的方法进行解答即可． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， 解得， ∵是的立方根， ∴， 解得； 又∵c是的小数部分，而， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】实数在两个相邻的整数m与之间，则整数m是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算，通过确定与被开方数相邻的完全平方数，得到无理数的范围，再结合不等式性质求出的范围，进而确定整数的值. 【详解】解：∵ ∴ 即不等式两边同时加3，得，即 ∵在整数与之间 ∴ 故选：A. 【跟踪专练2】已知的整数部分为，小数部分为，为有理数，若满足，则的值为_______． 【答案】 【分析】先估算和的范围，确定和的值，再代入方程，利用有理数和无理数的性质（无理数的系数必须为零）求解和，最后计算即可． 本题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的整数部分． ∵， ∴的整数部分为2，小数部分． 代入方程得， 整理得， 由于为有理数，为无理数， ∴且， 解得． ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，依次连结O，P，Q，R四点，可以得到一个阴影正方形，借助圆规就能准确地把表示在数轴上点处．记左侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记左侧最近的整数点为，以为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，数轴上两点间的距离，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．由题意可得表示的数为，，则表示的数为，表示的数为，则，则表示的数为，表示的数为，进而求出． 【详解】解：∵表示的数为，， ∴表示的数为， ∴， ∴表示的数为， ∵， ∴， ∴表示的数为， ∴， ∴表示的数为， ∵， ∴， ∴表示的数为， ∴． 故选：B． 【解答题】 1．已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分． (1)求、、的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，，； (2)的算术平方根为． 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，立方根概念，无理数估算，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据平方根，立方根的定义，估算求出的，，的值即可； （）把，，的值代入，然后通过算术平方根定义即可得出结果． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的整数部分， ∴， 综上可得：，，； （2）解：由（）得：，，， ∴， ∴， 即的算术平方根为． 2．对于任何实数，我们规定符号，例如：． (1)按照这个规律请你计算______； (2)按照这个规定请你计算，当时，求的值． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（）按照给出的方法进行计算即可； （）按照给的方法进行整理后，再整体代入进行求值即可． 【详解】（1）解： （2）解：, ∵, ∴原式， 故的值为． 3．把下列各数的序号填在相应的大括号内：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦⑧；⑨（每两个2之间依次增加1个0）； 整数{                     } 分数{                     } 有理数{                     } 无理数{                     } 【答案】整数：{①}，分数：{③⑤⑥⑧}，有理数：{①③⑤⑥⑧}，无理数：{②④⑦⑨} 【详解】解：，， 整数：{①}， 分数：{③⑤⑥⑧}， 有理数：{①③⑤⑥⑧}， 无理数：{②④⑦⑨}． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算算术平方根和立方根，再计算加减法即可； （2）先去掉绝对值，再计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点所表示的数为，设点所表示的数为． (1)实数的值为_________； (2)在数轴上还有，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴以及实数的运算，熟练掌握相关内容是解题的关键； （1）起始位置的数加上移动的单位长度就是m的值； （2）根据题意列出式子求得的值，即可求得的平方根． 【详解】（1）解：起始位置为，向右移动2个单位长度 ∴． （2）解：与互为相反数， ． ，， ，， ，， ， 的平方根为． 6．已知，，，，…，．定义：，，，…． (1)由上可知：___________，___________． (2)按此规律类推，试猜想的值，并证明你的猜想． 【答案】(1)； (2)；证明见解析 【分析】本题主要考查了实数的有关运算、数字变化的规律，能根据题意发现的变化规律是解题的关键． （1）分别求出，，根据定义即可求出，； （2）根据的规律猜想出的表达式，再利用裂项相消法证明该猜想． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：，． （2）猜想：． 证明如下： ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05实数同步讲义 · 识概念：理解实数是有理数与无理数的统称，能识别无理数。 · 懂对应：知道实数与数轴上的点一一对应。 · 会运算：能进行实数的加、减、乘、除、乘方、开方等混合运算。 · 会比较：会比较实数大小，会估算无理数的整数部分。 必备 知识点梳理 1.实数的概念与分类 2.实数与数轴 3.实数范围内的有关概念 4.实数的运算 5.实数的大小比较 6.易错点总结 常考题型 精讲精炼 1.实数的概念理解 2.实数的分类 3.实数与数轴 4.实数的性质 5.实数的混合运算 6.程序设计与实数运算 7.实数的大小比较 8.新定义下的实数运算 9.实数运算的实际应用 10.与实数运算相关的规律题 11.无理数整数部分的有关计算 巩固专练 解答题(6题) 【知识点01.实数的概念与分类】 1. 核心定义 有理数：有限小数或无限循环小数，可表示为两个整数之比（,q0） 2. 两种分类方式 （1）按定义分 有理数：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）的统称； 有限小数和无限循环小数都属于有理数。 无理数：无限不循环小数。 （2）按正负分 3. 易错提醒 (1)带根号的数不一定是无理数（如=2 是有理数）。 (2)分数一定是有理数，无理数不能写成分数形式。 【知识点02.实数与数轴】 实数与数轴上的点一一对应 每一个实数都可以用数轴上唯一的点表示。 数轴上每一个点都对应唯一的一个实数。 可在数轴上表示无理数（如 可通过构造直角三角形画出）。 【知识点03.实数范围内的有关概念】 【知识点04.实数的运算】 1. 运算范围 实数可进行：加、减、乘、除（除数≠0）、乘方；非负数可开平方，任意实数可开立方。 2. 运算律（与有理数相同） 加法：交换律 a+b=b+a、结合律 (a+b)+c=a+(b+c)。 乘法：交换律 ab=ba、结合律 (ab)c=a(bc)、分配律 a(b+c)=ab+ac。 3. 混合运算顺序 先乘方、开方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号内。 4. 近似计算 遇到无理数需近似值时，用比要求精度多一位的近似小数代替，最后四舍五入。 【知识点05.实数的大小比较】 1.数轴比较法：在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。 2.代数比较法： *正数 > 0 > 负数。 *两个正数比较大小，绝对值大的数大。 *两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。 *作差法：若 a - b > 0，则 a > b；若 a - b = 0，则 a = b；若 a - b < 0，则 a < b。 【知识点06.易错点总结】 1.带根号的数不一定是无理数，如 =2 是有理数； 2.实数运算时，先化简再计算，结果要化为最简； 3.比较负无理数大小时，注意绝对值大的反而小。 【题型1.实数的概念理解】 【典例】若，则__________． 【跟踪专练1】如果在数轴上的点到原点的距离是，那么表示点的实数为（   ） A． B． C． D．5 【跟踪专练2】下列说法：①实数分为整数和分数；②无限不循环小数叫作无理数；③一个有理数的绝对值一定是正数；④倒数等于它本身的数是；⑤带根号的数都是无理数．其中正确的是________（填序号）． 【跟踪专练3】关于的方程有无数多个实根，则实数的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．有无数个取值 【题型2.实数的分类】 【典例】在，，，，，，，，，（每两个之间的个数逐次增加）中，正分数有个，非负整数有个，则_______． 【跟踪专练1】在实数，（每两个1之间依次多一个0）中，是有理数的是（     ） A． B． C． D．（每两个1之间依次多一个0） 【跟踪专练2】将下列各数进行分类（填序号即可） ①1，②，③0，④，⑤，⑥，⑦（每个“2”之间依次多一个“0“． 正整数：　　； 分数：　　； 无理数：　　． 【跟踪专练3】下列实数中，比3大的有理数是（    ） A． B． C． D． 【题型3.实数与数轴】 【典例】如图，将一个半径为1的圆沿数轴正方向滚动，已知点A在数轴上对应的数是1，则滚动一周后点A的对应点所表示的数为______． 【跟踪专练1】如图，有一个直径为个单位长度的圆片，把圆片上的点放在原点，并把圆片沿数轴向右滚动周，点到达点位置，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知实数求距离已知距离求实数点，在数轴上相距个单位长度，且线段的中点在数轴上表示的数是2，则点表示的数是________． 【跟踪专练3】如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【题型4.实数的性质】 【典例】实数的相反数是______． 【跟踪专练1】无理数的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】数轴上点，，表示的实数分别为，，．定义：表示点，，中任意两点距离的最大值．例如：当，，时，，，，．已知：，，，那么的值是______． 【跟踪专练3】实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【题型5.实数的混合运算】 【典例】若，其中，则b的值为_____________． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】数轴上、两点所对应的实数分别是，，点为轴上一点，若、、中有一点是中点，则点所表示的实数是__________． 【跟踪专练3】计算结果为（） A． B． C． D． 【题型6.程序设计与实数运算】 【典例】小华编写了一个程序：输入x→立方根→算术平方根→2，则x为___． 【跟踪专练1】有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的为64时，输出的是（   ） A．8 B． C． D． 【跟踪专练2】小明设计了一个如图所示的电脑运算程序： （1）当输入的值是64时，输出的值是________． （2）分析发现，当非负数取________时，该程序无法输出值． 【跟踪专练3】根据图中的程序，当输入为时，输出的值是（　　） A． B． C． D． 【题型7.实数的大小比较】 【典例】如图，这是秦始皇陵中的一个兵马俑，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，其中______．（填“”“”或“”） 【跟踪专练1】若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知实数满足，记，若，则的值一定是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【跟踪专练3】根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（    ） x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256 A． B．235的算术平方根比15.3大 C．只有2个正整数满足 D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出将比256增大3.19 【题型8.新定义下的实数运算】 【典例】在学习教材上的综合与实践《设计自己的运算程序》时，小鲲同学对自己设计的运算给出如下定义：．则的化简结果是______． 【跟踪专练1】对于实数、，定义运算“※”如下：，则关于的结果，下列说法正确的是(    ) A．平方根是 B．算术平方根是 C．立方根是 D．立方根是 【跟踪专练2】阅读材料：对于任意一个两位数 x ，如果 x 满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么我们称这个两位数为“迥异数”，将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为，例如： ，对调个位数字与十位数字得到新的两位数 32，新两位数与原两位数的和为，和与 11 的商为 ，所以 ．则______；如果一个“迥异数”a 的十位数字是 m ，个位数字是 ，且 ，则“迥异数”a的值为_____． 【跟踪专练3】若是不等于1的实数，我们把称为的差倒数，如2的差倒数是，的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D．4 【题型9.实数运算的实际应用】 【典例】《千里江山图》是中国十大传世名画之一，其局部如图所示，图中画纸是长为，宽为的长方形，现要装裱该画，装裱后画的长增加了，宽不变，则装裱后整个长方形画卷的总面积为_____． 【跟踪专练1】实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要____个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 【跟踪专练3】如图，正方形中，点E、F在上，点E是的中点，以为边长向正方形形内作正方形，以、为长和宽向正方形形内作长方形，已知正方形的面积为70，正方形的面积为40，则长方形的面积为（   ） A．5 B．7.5 C．10 D．12.5 【题型10.与实数运算相关的规律题】 【典例】已知，，，……，类比这些等式，若（为正整数），则等于___________． 【跟踪专练1】班级联欢会上，同学们按“3个红气球、2个黄气球、2个绿气球、1个白气球”的顺序把气球串起来装饰教室．第132个气球是（　　）的． A．红色 B．黄色 C．绿色 D．白色 【跟踪专练2】．观察下列等式： …… 则的值为________． 【跟踪专练3】如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【题型11.无理数整数部分的有关计算】 【典例】已知的平方根是，是的立方根，c是的小数部分，则的值为________． 【跟踪专练1】实数在两个相邻的整数m与之间，则整数m是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【跟踪专练2】已知的整数部分为，小数部分为，为有理数，若满足，则的值为_______． 【跟踪专练3】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，依次连结O，P，Q，R四点，可以得到一个阴影正方形，借助圆规就能准确地把表示在数轴上点处．记左侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记左侧最近的整数点为，以为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（    ） A． B． C． D． 【解答题】 1．已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分． (1)求、、的值； (2)求的算术平方根． 2．对于任何实数，我们规定符号，例如：． (1)按照这个规律请你计算______； (2)按照这个规定请你计算，当时，求的值． 3．把下列各数的序号填在相应的大括号内：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦⑧；⑨（每两个2之间依次增加1个0）； 整数{                     } 分数{                     } 有理数{                     } 无理数{                     } 4．计算： (1)； (2)． 5．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点所表示的数为，设点所表示的数为． (1)实数的值为_________； (2)在数轴上还有，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的平方根． 6．已知，，，，…，．定义：，，，…． (1)由上可知：___________，___________． (2)按此规律类推，试猜想的值，并证明你的猜想． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $