2026年中考数学压轴几何模型 专题10 截长补短模型

专题10截长补短模型 截长补短模型是初中几何处理线段和、差、倍、分问题的核心模 型，也是中考几何全等与综合题型的高频考点。中考中常以填空压轴、 几何解答题形式出现，多结合三角形、四边形及角平分线考查，核心 涉及线段和差、倍分证明与线段计算，还常与折叠、旋转模型融合。 掌握该模型，能快速突破线段关系类难题，培养几何构造能力与转化 思想，是初中几何满分必备、拉开得分差距的关键。 本专题从知识精讲、典例分析、课堂随练、巩固提高四个部分展 开，循序渐进，层层剖析截长补短模型的重难点，内容详实丰富，供 大家学习使用，欢迎下载。 知识精讲 1、补短法： 通过添加辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，在证所构造的 线段和求证中那一条线段相等： 2、截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，在证 明截剩部分与线段中的另一段相等。 3、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条 线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明，这种做法一般遇 到证明三条线段之间关系是常用 第1页共72页 ◆B 图1 F 图2 B H图3 如图1，若证明线段AB,CD,EF之间存在EF=AB+CD,可以考虑截长补短法 截长法：如图2，在EF上截取EG=AB,在证明GF=CD即可； 补短法：如图3，延长AB至H点，使BH=CD,再证明AH=EF即可 典型例题 例1 如图所示，△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，以D为顶 点作一个60°的∠MDN,点M、N分别在AB、AC上，求△AMN的周长. D 【答案】见解析 【解析】如图所示，延长AC到E使CE=BM. 在△BDM与△CDE中，因为BD=CD,∠MBD=∠ECD=90°，BM=CE, 所以△BDM≌△CDE,故MD=ED. 因为∠BDC=120°，∠MDN=60°，所以∠BDM+∠NDC=60°. 又因为∠BDM=∠CDE,所以∠MDN=∠EDN=60°. 第2页共72页 在△MND与△END中，DN=DN,∠MDN=∠EDN=60°，DM=DE, 所以△MND≌△END,则NE=MN,所以△AMN的周长为2. 例2.(1)问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°，∠B=∠ADC =90°.E,F分别是BC,CD上的点，且∠EAF=60°，请探究图中线段BE,EF,FD之间 的数量关系是什么？ G D B E E 图1 图2 小明探究此问题的方法是：延长FD到点G,使DG=BE,连结AG.先证明△ABE≌△ADG, 得AE=AG;再由条件可得∠EAF=∠GAF,证明△AEF≌△AGF,进而可得线段BE,EF, FD之间的数量关系是 (2)拓展应用：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°.E,F分别是BC, CD上的点，且∠EAF= 三∠BAD.问(I)中的线段BE,EF,FD之间的数量关系是否还 成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由，· 【答案】(1)EF=BE+DF;(2)结论EF=BE+DF仍然成立；证明见解析， 【分析】(1)延长FD到点G.使DG-BE.连结AG,即可证明△ABE≌△ADG,可得AE=AG, 再证明△AEF≌△AGF,可得EF=FG,即可解题； (2)延长FD到点G.使DG-BE.连结AG,即可证明△ABE≌△ADG,可得AE=AG, 再证明△AEF≌△AGF,可得EF=FG,即可解题. 第3页共72页 DG=BE 【解析】(1)EF=BE+DF,理由如下：在△ABE和△ADG中， ∠B=∠ADG=90°， AB=AD .△ABE≌△ADG(SAS),∴.AE=AG,∠BAE=∠DAG,· ,'∠EAF=二∠BAD,∴.∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠ 2 EAF, AE=AG .∠EAF=∠GAF,在△AEF和△GAF中， ∠EAF=∠GAF, AF=AF .△AEF≌△AGF(SAS),∴.EF=FG, ,'FG=DG+DF=BE+DF,∴，EF=BE+DF;故答案为：EF=BE+DF.~ (2)结论EF=BE+DF仍然成立； 理由：延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,如图2，· G D B 图2 ,∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，.∠B=∠ADG, DG=BE 在△ABE和△ADG中， ∠B=∠ADG,∴.△ABE≌△ADG(SAS),∴.AE=AG,∠BAE AB=AD =∠DAG, :∠EAR=∠BAD,∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠E4R=∠ 21 EAF, 第4页共72页 AE=AG .∴.∠EAF=∠GAF,在△AEF和△GAF中， ∠EAF=∠GAF, AF=AF .△AEF≌△AGF(SAS),.EF=FG,,'FG=DG+DF=BE+DF,∴.EF=BE+DF.· 【点晴】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加 恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.· 课堂随练 练1.在△ABC中，∠B=2∠C,AD是∠BAC的平分线.求证：AC=AB+BD. 【答案】解：在AC上截取AE=AB,连接DE,如图所示： D :AD平分∠BAC, .∠EAD=∠BAD, 在△AED和△ABD中， 「AE=AB(已作) ∠EAD=∠BAD(已证)， AD=AD(公共边) .△AED≌△ABD(SAS), ∴.ED=BD,∠AED=∠B, 第5页共72页 :∠B=2∠C,∠AED=2∠C, 又∠AED为△CED的外角， .∠AED=∠C+∠EDC, .∠C=∠EDC, .EC=ED, .EC=BD,AC=AE+EC=AB+BD. 练2.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB,求证：AC=AE +CD. D C 【答案】证明：在AC上取AF=AE,连接OF, B 0 :AD平分∠BAC,.∠EAO=∠FAO, 在△AEO与△AFO中， AE-AF ∠EA0=∠FA0 A0=A0 ,△AEO≌△AFO(SAS), 第6页共72页 .∠AOE=∠AOF; :AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB, :∠ECA+∠DAC1∠ACB+∠BAC-1(∠ACB+∠BAC)1(180-∠B)=60°， 2 70 则∠AOC=180°-∠ECA-∠DAC-120°： .∠AOC=∠DOE=120°，∠AOE=∠COD=∠AOF=60°， 则∠COF=60°， .∠COD=∠COF, .在△FOC与△DOC中， (∠C0D=∠C0F C0=C0 ∠FC0=∠DC0 .△FOC≌△DOC(ASA), :.DC=FC, .AC=AF+FC, ..AC=AE+CD. 【精准解析】在AC上取AF=AE,连接OF,即可证得△AEO≌△AFO,得∠AOE=∠AOF; 再证得∠COF=∠COD,则根据全等三角形的判定方法ASA即可证△FOC兰△DOC,可得 DC=FC,即可得结论. 练3.如图，已知ACIBD,EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA,CD过点E,求证：AB=AC +BD. D C 第7页共72页 【答案】证明：在AB上取一点F,使AF=AC,连结EF, D E C :EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA, .∠CAE=∠FAE,∠EBF=∠EBD. ACIIBD, .∠C+∠D=180°. 在△ACE和△AFE中， (AC=AF ∠CAE=∠FAE, AE=AE .△ACE≌△AFE(SAS), .∠C=∠AFE. .:∠AFE+∠EFB=180°， .∠EFB=∠D, 在△BEF和△BED中， (∠EFB=∠D ∠EBF=∠EBD, BE=BE .△BEF≌△BED(AAS), .BF=BD. .AB=AF+BF, .AB=AC+BD. 【解析】在AB上取一点F,使AF=AC,连结EF,就可以得出△ACE≌△AFE,就有∠C 第8页共72页 ∠AFE.由平行线的性质就有∠C+∠D=180°，由∠AFE+∠EFB=180°得出∠EFB=∠D,在 证明△BEF≌△BED就可以得出BF=BD,进而就可以得出结论. 《小结》 当题目中出现两条以上的线段的关系时，常会优先考虑截长补短法，其中截长法是将长线段 截成两段短线段，再分别证明两对短线段相等 巩固提高 1.同学们学习了华师版数学八年级上册教材中信息技术应用“探索三角形的边、角关系”后， 发现可以通过轴对称的性质及“截长补短”法解决一些几何图形问题. 图① 图② 图③ 图④ (I)(1)在ABC中，AD平分∠BAC,∠ABC=2LC,求证：AC=AB+BD;任选下面 一种方法，并写出完整的证明过程： 方法一：如图①，在AC上截取AE,使得AE=AB,连接DE,可以得到全等三角形，进而 解决问题； 方法二：如图②，延长AB到点F,使得BF=BD,连接DF,可以得到等腰三角形，进而 解决问题。 (2)如图③，在ABC中，LABC=2LC,AH⊥BC交BC于点H,直接写出AB、BH、BC之 间的等量关系 第9页共72页 (3)如图④，在ABC中，AD平分∠BAC,∠ABC=2LC,AD、BG分别为LBAC、∠ABC 的角平分线，8=58D=3,4G=5,直接写出GC= 2.实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的 边也相等.那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对 的角也大吗？某校数学兴趣小组的同学们对此展开探究： 例如，如图1(1)，在ABC中，AB>AC,怎样证明∠C>∠B呢？ 把AC沿∠A的平分线AD翻折，因为AB>AC,所以点C落在AB上的点C处（如图1(2）). 由LACD=∠C,∠AC'D>∠B,可得∠C>LB. (1) (2) 图1 【类比探究】 (1)如图2，在ABC中，∠C>∠B,类比上述的方法，请证明AB>AC. 图2 【方法运用】 (2)如图3，在ABC中，∠C=2∠B,若AD⊥BC,写出AC,CD,BD之间的数量关 系并说明理由 第10页共72页