江苏南京市、盐城市2026届高三下学期一模数学试卷

南京市、盐城市2026届高三年级第一次模拟考试 数学参考答案 2026.03 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上， 1.A2.D3.B4.D5.B6.C7.D8.A 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上，全部选对得6分，部分选对得 部分分，不选或有错选的得0分. 9.AD 10.ABD 11.ABC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上 1. 13.3 14.231 3 2000 四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要 的文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) (1)相关系数r= 2x-0-刀 6 6 34=17≈0.99.…4分 含x-xAV含0w-P V28×4276 (2)由题意得x=2x=12,=y=27, …6分 6台1 611 所以含一-刀34卫128分 ( 2814 0=27-17×12=87≈12.43，(a=y-6x=27-1.21×12=12.48) 14 所以所求的经验回归方程是=1.21x+12,43G=1x+87) ,…11分 14 7 当x=17时，y=1.21×17+12.43=33, (当x=17时，y=1.21×17+12.48≈33) (当x=17时，y=1x17+87=463≈33.07≈33) 14 714 故当昼夜温差为17C时，这种植物种子当日百粒发芽数为33.…13分 16.(本小题满分15分) (1)连接PO,因为△PAD是等边三角形，O 是AD中点，所以AD⊥PO 又因为AD⊥PB,PO,PBc平面POB, PO∩PB=P, 所以AD⊥平面POB. (第16题图) 因为OBC平面POB,所以AD⊥OB. 因为平面PAD⊥平面ABCD, 平面PADn平面ABCD=AD,OB⊥AD,OBC平面ABCD, 所以OB⊥平面PAD.…6分 (2)法一： 在菱形ABCD中，AD∥BC, 又因为AD⊥OB,AD⊥PO,所以BC⊥OB,BC⊥PO. 因为PO,OBC平面POB,PO∩OB=O,所以BC⊥平面POB.…8分 在平面POB内，作OH⊥PB于H. 因为BC⊥平面POB,OHC平面POB,所以OH⊥BC. 又因为OH⊥PB,PB,BCC平面POB,PBOBC=B, 所以OH⊥平面PBC, 所以OH的长度为点O到平面PBC的距离.…12分 在Rt△AOB中，因为AB=4,AO=2,∠AOB=90°， 所以OB=23,同理P0=2V3. 因为OB⊥平面PAD,OPC平面PAD,所以OB⊥OP. 在Rt△POB中，因为OB=OP=2V3,所以PB边上的高OH=V6. 即点O到平面PBC的距离为6.…15分 法二 3 因为OB⊥平面PAD,OPc平面PAD,所 以OB⊥OP. 由(1)得OP、OB、AD两两垂直，故以{OA D OB,OP}为正交基底，建立如图所示的空 间直角坐标系O一yz,… B 第16题图 则P(0,0,2V3),B(0,2V3,0), C(-4,2V3,0), PB=(0,2V3,-2N3),BC=(-4,0,0),0P=(0,0,2V3). 设平面PBC的法向量为n=(x,y,z), mP8=0, ,2V3y-2V3z=0, 所以 nBC=0, 所以一4x=0. 所以n=(0,1,1)是平面PBC的一个法向量.…12分 所以点0到平面PBC的距离d=m-O的_23-=6.…15分 n12 17.(本小题满分15分) (1)设直线y=x一e与曲线y=fx)相切于(xo,xo(nxo一a), 因为fx)=1一a十lnx,所以切线斜率为1一a+lno, 所以1一a十no=1,则0=e,所以切点为(e,0),…2分 又因为切点(e,0)在直线y=x一e上，所以ea一e=0, 所以=1.…4分 (2)g(x)=fx2)-bfx),则g(x)=(4x一b)nx.…6分 当b≤0时，0<x<1,gw)<0,x>1,gx)>0, 所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 所以x=1是g()的极小值点，不满足题意；…8分 当0<6<4时，0<x<客g>0,年<x<1,g)<0,>1,g>0, 4 所以g(x)在(0， 么上单调递增，在2)上单调递减，在(1，+©)上单调递增， 所以x=1是gx)的极小值点，不满足题意；…10分 当b=4时，x>0,gx)≥0， 所以gx)在(0，十∞)上单调递增， 所以x=1不是gx)的极值点，不满足题意；…12分 当b>4时，0<x<1,ge>0.1<x<冬g<0,>各g>0, 所以g)在(0,1)上单调递增，在(1，么上单调递减，在2+©)上单调递增， 41 所以x=1是g)的极大值点，满足题意，…14分 综上，b的取值范围是(4，十∞).…15分 18.(本小题满分17分) 1①抛物线G0户=2加的准线方程为X=号 根据抛物线定义，PF=5=4+号 所以p=2 因此，抛物线C的方程为y2=4x. 将P(4,)代入抛物线方程：P=16, 又t>0,故t=4.… …3分 (2)方法一： 设Ax,y),B(2,2), 则△PAB的重心为++4，n+2+号， 3 3 由题意知，乃十》+4-年则川十归=一8.…5分 3 31 所以直线4B的斜率12=为2=4=4。=- 一0n22n十n一8一2为定值.…8分 44 方法二： 因为直线AB的斜率不为零， 所以设直线AB的方程为x=my十n,显然4m十n≠4. 设8学 4 x=y十n, 由fy=4 消去x,得y2-4my-4n=0. [△=16m2+16n>0, 所以 1十2=4m, …5分 yy2=-4n, 已知P(4,4), 所以△ABC的重心的纵坐标十2+4_4m十4 3 3 所以如4二子解得m一2 3 因此，直线AB的斜率kB=1=-为定值.…8分 m2' (3)设Tx3,)为AB的中点，则： 斤+ 5=44-0+2-22_64+8n=n+8, 2 8 8 =1十2=-4， 2 即Tn+8,-4). … …10分 直线AB与x轴交点Q,0,P4,4,则P0中点R十4,2). 由于△=64+16n>0,所以n>-4. 所以n十12≠0. 直线TR的斜率： 2-(-4) 6 12 kTR=n十4m+8)-h下12一n-12’ …………12分 2 2 直线7R的方程：叶4=22-n-8) -n-12 整理得： 12x+(n+12y-81-48=0, 法一： 令x=一4，代入方程，解得y=8, 因此，直线TR经过定点N(一4,8).…15分 因为P(4,4),PH⊥TR于H, 所以H在以PN为直径的定圆上，…l7分 法二： 由于PH⊥TR,P(4,4), 所以PH的方程为)y一4=n+12一4，即a+12r-12y一4n=0, 12 4n2+36n+144) J12x+(n+12y-8n-48=0, 2+24n+288 联立n十12x-12y-4n=0 得 8(n2+12n+72) 1 n2+24n+288 即Hm4g2+36n+144,8m+12n+72 14分 2+24n+288 m2+24n+288 令n=0,则x=2,y=2, 令n=-3,则x音 令n=12,则x=4,y=4, 求得经过(-22小专》4,4的圆方程为+0一6矿=20， 代入H的坐标符合x2+0y-6=20,所以H在定圆x2+0y-62=20上.…17分 19.解：(1)因为P1(1,1),M(0,1),M=3M产， 所以Q(3,1),02:y=子 …1分 x-1)2+y2=1, 因此P ……3分 (2)因为P(a,bn,M0,bn),MnOn=M,n, 所以0a,b,00:ya】 212a2 x-102+y2=1, x= 2an2+bn2 得 V= 2hanbn Ran+bn2 68 因此an+1= 22an2 2kanbn 22an2+bm2' bn+= …5分 22am2+bm21 因为(an-1)2+bn2=1,即bw2=2an-am2, 所以an+1= 212an3 222an …6分 22am2+2an-am2(2-1)an+2 圆此当 又1-1-1≠0，所以1-1≠0， a122 an 2 11 ,之一为即数列为等比数列. an 2 an 2 》由2)动}党n即a 212m2 2m2+1 422n2 于是bm2=2an-an2= (02m2+1)2 注意到bm>0,因此bn= 2201 …9分 2m2+1 Pi(1,1),Pn+i(an+1,bn+1), 得P1P+1:(bn+1-1)x-(an+1-I)y十an+1-bm+1=0, 22m21n 因此=a+1一b 2m+12m+1 =2”, Tlam+1+b41-222m+220 2m+12m+1 24 因为2T(Sm-Tm)=m2Tm(Sn-Tn), 所以㎡之-1)=m-1,即2二1_1， T m22 …11分 设-23，AN 则+1)-m=[2m-n+1的+2n+1 n2(n+1)）2 因为1≥V5,n≥3， 所以n2-(n+1)2>2n2-(0n+1)2=(n-1)2-2≥2>0， 所以fn十1)>fn),即f)单调递增.…l3分 又fm)=fn,m<, 所以m=1或2， 若m=1,则-12分-mn≥2， n2 当m≥4时，f0m≥1_位-18+12+Ds6N5+D0=I>2-1, 16 16 16 因此n=2或3， 当m=2时，无-1=2一1，解得=3， 4 当=3时，1解鹅西 …15分 2 若=2，则附3 当n≥4时，m≥1_及-12+12-162-1 1644444 因此n=3, 所以号解=出 综上，=3或33-1 …17 2南京市、盐城市2026届高三年级第一次模拟考试 数学 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分， 3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡上。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的 1.设全集U={1,2,3,4},集合A=1,a-2},UA={3,4},则a= A.4 B.5 C.7 D.9 2.已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x= A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.已知a,b∈R,则“a+b>2”是“a>1且b>1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知双曲线C:。一方-1(a>0,b>0)的渐近线方程为)y=士5x,且实轴长为2，则焦距为 A.3 B.2 C.23 D.4 5.已知圆锥的轴截面是直角三角形，且该圆锥的顶点和底面的圆周都在球O的球面上，则该圆 锥与球O的体积之比为 A吉 c D. 6,若等差数列{a,}的前n项和为S,且SS=7 丽≤进清出 ，则 1 A.-2 C. D.2 7.设。和t表示坐标平面内的几何变换，。表示将几何对象绕原点0逆时针旋转登：表示将 几何对象关于y轴对称，o(∈N')表示连续k次σ变换.已知角a的终边经过点（一2,1）， 若对角a的终边先进行x变换，再进行g3变换，得到角B的终边，则tan3= A.-3 c号 D.3 高三数学试卷第1页（共4页） 8.已知函数f(x)=(x2-kx十k一2)e十(k-2)e,若存在xo<2,对于任意x∈(xo,2)都有f(x)<0,则 实数k的取值范围是 A.(-∞，3) B.(-3,0) C.(0,3) D.(-3,+∞) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知复数x=a十bi,a,b∈R,且b≠0，下列说法正确的是 A.之一x是纯虚数 B.之2是实数 C.z·i是虚数 D.若z=1,则x十是实数 10.已知函数f(x)=ln(cosx)-|xl,则 Afx)的定义域为x-2+2r<x<受+2x,k∈Z B.f(x)是偶函数 C.fx)在(0，受)上单调递增 D.y=f(x)十π有且仅有2个零点 11.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=2√2sinA,三角形的面积为2，下 列说法正确的是 A.abc=8√2 B.a2+b2≥c2 C.当a最小时，sinA十sinA cosA=1D.当a=b时，sinA+sinB=√2sinC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.在直三棱柱ABC-A1B,C1中，已知AB=AC=3,BC=BB1=2,则异面直线AB与B1C 所成角的余弦值为▲· 18在平面直角坐标系0中，已知精圆C:号+片=1(a>6>0)的上，下顶点分别为A,B 右焦点为F,线段BF的延长线与C交于点P,若PA=PO,则C的离心率为▲ 14.设正整数n=a。·2°十a1·2十…十ag-1·2-1十ak·2,其中a,∈{0,1}，i=0,l,2,…,k. 记w(n)=a。十a1十…十a.从集合{x∈N'|x≤2000}中随机抽取一个数n,则w(n)≤3的 概率为▲。 高三数学试卷第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 为研究昼夜温差（单位：℃）与某植物种子当日的百粒发芽数（单位：粒）之间的关系，实验室 记录了6天的每日昼夜温差与种子当日的百粒发芽数，如下表所示： 日期编号i 1 5 6 温差x; 9 13 11 15 10 14 百粒发芽数y, 23 28 26 31 25 29 (1)根据表中的数据，计算样本相关系数（精确到0.01）； (2)求百粒发芽数y关于温差x的经验回归方程，并估计昼夜温差为17℃时，这种植物种子 当日的百粒发芽数 Σx-x0-) 参考公式：相关系数r= V-六V0-列 684--列 a=y-bx. 三x-x} 参考数据： -00w-)=34,x-=28,0-=42.V6245. 16.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P一ABCD中，△PAD是等边三角形，底面ABCD是菱形，平面PAD⊥平 面ABCD,AD⊥PB,O是AD的中点. (1)证明：OB⊥平面PAD; (2)若AB=4,求点O到平面PBC的距离。 D (第16题图) 高三数学试卷第3页（共4页） 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=x(lnx一a),直线y=x一e与曲线y=f(x)相切. (1)求实数a的值： (2)若x=1是函数g(x)=f(x2)-bf(x)的极大值点，求实数b的取值范围. 18.(本小题满分17分) 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,C上的点P(4,t)(t>0)到F的距离为5. (1)求p和t的值； (②A,B为C上两点，△PAB的重心在直线=-学上. ①证明：直线AB的斜率为定值； ②设直线AB与x轴交于点Q,线段AB的中点为T,线段PQ的中点为R, 过点P向直线TR作垂线，垂足为H.证明：点H在定圆上运动 4,( 19.(本小题满分17分) 已知圆C:(x-1)2+y2=1,点P1(1,1),对于圆C上的点P.(am,b)(n∈N),按照如下 方式构造点P+1:过点P.作直线l,垂直于y轴，垂足为Mn,点Q,满足M,Q。=MP (入为常数，A≥5)，直线OQ,交C于点P+1,其中O为坐标原点，点P+1异于点O. (1)若1=3，求P2的坐标； 11 (2)证明：数列{位，乞)为等比数列： (3)已知P(2,0),设△OP,P.+1及△PP1P+1的面积分别为Sn,T.,若存在正整数m,n (m<n),使得n2Tn(Sn-Tm)=m2Tn(S.-Tn),求入所有可能的值