精品解析：江苏省南京市宁海中学2024-2025学年高三下学期一模模拟数学试题

2024-2025学年高三下学期南京宁海中学一模模拟数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合，利用交集的意义可求. 【详解】由，得，解得，所以， 又，. 故选：D. 2. 若复数满足，则的虚部是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知化简得出，再根据虚部定义得出虚部. 【详解】由，化简得, 得，故的虚部是 . 故选：A. 3. 已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是 A. 若则 B. 若 ，，则 C. 若 ，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B正确. 考点：空间点线面位置关系． 4. 已知，则（ ） A. 3 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用辅助角公式结合同角关系式结合条件可得，然后利用诱导公式求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 又，所以，所以， 所以，故. 故选：A 5. 已知的边的中点为，点在所在平面内，且，若，则（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算可将转化为，则得到的值，进而即可求解． 【详解】因为，边的中点为，所以， 因为，所以， 所以， 所以，即， 因为， 所以，，故 . 故选：D． 6. 已知等比数列的前3项和为168，，则 （    ） A. B. 6 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式的性质，设出首项和公比，根据条件列出方程组，求出结果. 【详解】设数列的首项为，公比为， 则， ， ∴，即，则， ∴， ∴， 故选：C. 7. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求得，利用基本不等式求得正确答案. 【详解】根据正态分布的知识得，则， ， 当且仅当，即时取等. 故选：D 8. 已知O为坐标原点，双曲线C:的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过F2作的平分线的垂线，垂足是M，，若双曲线C上一点T满足，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线的定义，结合双曲线的离心率，得双曲线的方程及渐近线的方程， 再设，由双曲线的方程求点到两条渐近线的距离之和. 【详解】 设半焦距为c，延长 交于点N，由于PM是的平分线，， 所以是等腰三角形，所以，且M是NF2的中点. 根据双曲线的定义可知，即，由于是的中点， 所以MO是的中位线，所以， 又双曲线的离心率为，所以，，所以双曲线C的方程为. 所以， ，双曲线C的渐近线方程为， 设，T到两渐近线的距离之和为S，则， 由，即， 又T在上，则，即，解得，， 由，故，即距离之和为. 故选：A. 【点睛】由平面几何知识，，依据双曲线的定义，可将转化为用a表示，进而的双曲线的标准方程. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 如图，函数的部分图象与直线交于 两点，点在曲线 上，且的面积为，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 在上单调递减 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据三角函数图象及的面积为，列方程求出，将代入求出，进而求出判断B；由，求出 ，取，即可判断C；由，，可求出当时， 取得最小值，即可判断D. 【详解】设，， 因为的面积为，所以， 则，则， 由图象可知，，， 两式相减得，，所以，所以，A错误； 则，将点代入 得，， 由五点作图法可知，，所以， 所以， 故， 令，定义域为 ，关于原点对称， 又，所以为偶函数，B正确； 令，解得，， 取，则 在上单调递减， 所以 在上单调递减，C正确； 令，，解得，， 令，解得， 所以当时， 取得最小值， 所以，D正确； 故选：BCD. 10. 定义在R上的偶函数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用特殊值及偶函数性质判断A；根据已知条件得、判断B、C；根据函数的性质，举反例判断D. 【详解】由，令，则， 又为偶函数，则，A对； 由上，得①， 在①式，将代换，得②，B错； 在②式，将代换，得，C对； 由且，即周期为2且关于对称， 显然是满足题设的一个函数，此时，D错. 故选：AC 11. 在四棱锥 中，是矩形，为棱上一点，则下列结论正确的是（ ） A. 点到平面的距离为 B. 若，则过点的平面截此四棱锥所得截面的面积为 C. 四棱锥 外接球的表面积为 D. 直线与平面所成角的正切值的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，先证 面，过点作于点 ,证平面，再求长即得；对于B，作出截面为，证明它是以 为下底、 为上底，为高的直角梯形，计算即得；对于C，设的外心，作出四棱锥 的外接球球心，设球半径为R，由正、余弦定理求出,借助于直角梯形，建立R的方程解之即得；对于D，将四棱锥 补形成直四棱柱，将所求角转化为直线与平面所成角，通过作图、证明即直线与平面所成角，设，将表示成关于的函数式，由二次函数的最值推理即得. 【详解】 对于A，因，又平面，故 平面， 在平面内，如图1 ，过点作于点 ，因 平面，则, 又,故平面,则的长度即点到平面的距离. 在中，,则，故A正确； 对于B，由题知点为棱的中点，如图2，取中点为，连接， 可得平面即平面截此四棱锥所得截面， (理由：因,平面 ,平面 ,则平面 , 设过点的平面与平面 相交于直线，则，因,且,则 与重合， 即平面即平面截此四棱锥所得截面) 由A项， 平面， 平面,则, 因，，则, ,于是, 又,故,故B错误； 对于C，由A项， 平面，如图3，设的外接圆圆心为点, 四棱锥 的外接球球心为点,半径为R， 则平面, ,连接, 在中，由余弦定理，， 由正弦定理得,解得，则, 在直角梯形中，,解得，, 故四棱锥 外接球的表面积为，故C正确； 对于D，如图4，将四棱锥 补形成直四棱柱, 因平面平面,故直线与平面所成角即直线与平面所成角. 由C项知,则,连接,过点作,交于点，连接. 因平面,故得平面,故即直线与平面所成角. 设，则，由可得，， 在中，由余弦定理，， 则 ， 因，则，故当时，取得最大值为，此时， 即点为线段上靠近点的一个三等分点时，直线与平面所成角的正切值的最大值为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查空间几何体中的距离、空间角、外接球和截面问题，属于难题. 解决空间角的三角函数范围（最值）问题，一般先找到并证得平面角，通过选设未知数，将该角的三角函数用未知数的函数式表示，求其最值或值域即得. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为__________（用数字作答） 【答案】80 【解析】 【分析】中有2个括号提供，还有3个括号都是，求出系数即可. 【详解】可看作5个相乘，有2个括号提供，还有3个括号都是， 则，系数为80. 故答案为：80 13. 已知数列的前项和为，则数列的通项公式为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据的关系即可作差求解. 【详解】由可得， 两式相减可得， 当时，， 故， 故答案为： 14. 在中，角的对边分别为且.，为外一点，如图，且，的面积为，则边长的值为____________ 【答案】8 【解析】 【分析】先利用正弦定理对已知条件进行变形，并结合余弦定理可得到，再利用同角三角函数的基本关系求得、，并由利用倍角公式求得和，由三角形的面积公式求出边，然后在中利用余弦定理求得的值，最后在中利用余弦定理求出的值. 【详解】在中，∵，∴ ∴， 由正弦定理可得， 即， 由余弦定理得 即. 又因为， 所以或， 因为，所以， ∴ ∵， 所以， 故的面积， 解得 则在中，由余弦定理可得. 即. 在中，由余弦定理 ∴ 所以. 故答案为：8. 四、解答题:本题共 小题，共题. 15. 知函数，其中. （1）若，求函数的极值 （2）是否存在实数a，使得函数在内单调？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由； 【答案】（1）极小值为 ；（2）存在，. 【解析】 【分析】（1）求导后利用导数的正负求得函数的单调性，结合函数图象求得函数的极小值；（2）分两种情况讨论分离常数转化为恒成立问题，利用二次函数的最值求得结果. 【详解】（1）函数的定义域为 当，函数单调递减， 当，函数单调递增， 是函数的极小值点，函数的极小值为 （2）若函数在内单调递增， 则在恒成立. 即在恒成立. 因为 所以使得函数在内单调递增的a不存在， 若函数在内单调递减 则在恒成立. 即在恒成立. 因为在恒成立. 又 所以时，函数在内单调递减. 16. 最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏，班主任把除颜色不同外其余均相同的8个小球放入一个纸箱子，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个.现甲､乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分，黄球每个记2分，红球每个记3分，绿球每个记4分，规定摸球人得分不低于8分获胜.比赛规则如下：①只能一个人摸球；②摸出的球不放回；③摸球的人先从袋中摸出1球：若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，他的得分为两次摸出的球的记分之和；④剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和. （1）若甲第一次摸出了绿色球，求甲获胜的概率； （2）如果乙先摸出了红色球，求乙得分 的分布列和数学期望. 【答案】（1）；（2）详解见解析. 【解析】 【分析】（1）甲再摸2球至少得4分，分两种情况：一个红球，一个其他球，或者两个黄球，求出方法数，由此根据古典概型公式计算出概率； （2）乙第一次摸出红球，则可以再从袋子里摸出 3个小球，可计算出3个球的得分情况也即乙得分情况，分别计算概率得概率分布列，从而计算出期望. 【详解】（1）记“甲第一次摸出了绿色球，甲的得分不低于乙的得分”为事件，因为球的总分为16，即事件指的是甲的得分大于等于8， 则 （2）如果乙第一次摸出红球，则可以再从袋子里摸出3个小球，则得分情况有：6分，7分，8分，9分，10分，11分 所以 的分布列为： 6 7 8 9 10 11 所以 的数学期望. 【点睛】关键点点睛：本题考查古典概型概率，考查随机变量的概率分布列和数学期望．解题关键是确定摸球得分情况，确定摸到球的方法数，从而计算出概率． 17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC（不与端点重合）上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=. （1）求证：平面PBC⊥平面PQB； （2）当PM的长为何值时，平面QMB与平面PDC所成的角的大小为60°？ 【答案】17. 证明如下： ∵AD BC，Q为AD的中点，BC=AD， ∴BC QD，BC=QD， ∴四边形BCDQ为平行四边形，∴BQ CD. ∵∠ADC=90°，∴BC⊥BQ. ∵PA=PD，AQ=QD，∴PQ⊥AD. ∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PQ⊥平面ABCD，∴PQ⊥BC.又∵PQ∩BQ=Q，∴BC⊥平面PQB. ∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PQB. 18. 当PM=时，平面QMB与平面PDC所成的角大小为60°. 【解析】 【分析】（1）由 得 ，由等腰三角形的性质可得 ，由面面垂直的性质可得 平面，所以 ， ⊥平面 ，由面面垂直的判定定理可得平面⊥平面 ； （2）由（1）可知 平面，以为原点,分别以 为 轴建立空间直角坐标系，利用向量法根据二面角的大小为60°求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知PQ⊥平面ABCD.如图，以Q为原点，分别以QA，QB，QP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则Q(0，0，0)，D(-1，0，0)，P(0，0，)，B(0，，0)，C(-1，，0)， ∴=(0，，0)，=(0，，0)，=(1，0，)，=(-1，，-)， PC=. 设=λ，则=(-λ，λ，-λ)，且0<λ<1，得M(-λ，λ，λ)， ∴=(-λ，λ，(1-λ)). 设平面MBQ的法向量为=(x，y，z)， 则，即 令x=，则y=0，z=， ∴平面MBQ的一个法向量为=，0，. 设平面PDC的法向量为=(x'，y'，z')， 则，即 令x'=3，则y'=0，z'=-， ∴平面PDC的一个法向量为=(3，0，-). ∴平面QMB与平面PDC所成的锐二面角的大小为60°， ∴cos60°=， ∴λ=. ∴PM=PC=. 即当PM=时，平面QMB与平面PDC所成的角大小为60°. 【点睛】方法点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 18. 已知椭圆E：的离心率是，，分别为椭圆E的左右顶点，B为上顶点，的面积为 直线l过点且与椭圆E交于P，Q两点． 求椭圆E的标准方程； 求面积的最大值； 设直线与直线交于点N，证明：点N在定直线上，并写出该直线方程． 【答案】（1）（2）（3）见证明 【解析】 【分析】根据离心率和三角形的面积即可求出，， 分两种情况，当PQ斜率不存在时，，当直线PQ的斜率存在时，设PQ的方程为，，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、，函数的性质，结合已知条件能求出的面积的最大值． 分两种情况，PQ斜率不存在时，易知，当直线PQ的斜率存在时，直线的方程为，直线的方程为，即可整理化简可得，解得即可． 【详解】解：由题意知， ，即， 的面积为2， ， 解得，， 椭圆E的标准方程为， 斜率不存在时，易知，，此时， 当直线PQ的斜率存在时，设PQ的方程为，， 设，， 将代入，整理可得， ，， ， ， 令，， ， 故面积的最大值 证明斜率不存在时，易知， 当直线PQ的斜率存在时，直线的方程为，直线的方程为， ， ， 解得，即N点的横坐标为4， 综上所述，点N在定直线上． 【点睛】本题考查椭圆性质、根的判别式、韦达定理、弦长公式、考查考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，属于中档题． 19. 在正项无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为阶等比数列．在无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为阶等差数列． （1）若为1阶等比数列，，求的通项公式及前项和； （2）若为阶等比数列，求证：为阶等差数列； （3）若既是4阶等比数列，又是5阶等比数列，证明：是等比数列． 【答案】（1），前项和为 （2） 因为为阶等比数列， 所以，使得成立， 所以， 又， 所以， 即成立， 所以为阶等差数列； （3） 因为既是4阶等比数列，又是5阶等比数列， 所以与同时成立， 所以与同时成立， 又的各项均为正数，所以对任意的， 数列和数列都是等比数列， 由数列是等比数列， 得也成等比数列， 设， 所以，所以是等比数列． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得为正项等比数列，求出首项与公比，再根据等比数列的前项和公式即可得解； （2）由为阶等比数列，可得，使得成立，再根据阶等差数列即可得出结论； （3）根据既是4阶等比数列，又是5阶等比数列，可得与同时成立，再结合等比数列的定义即可得出结论. 【小问1详解】 因为为1阶等比数列，所以为正项等比数列， 设公比为，则为正数， 由已知得 两式相除得，所以（舍去），所以， 所以的通项公式为， 前项和为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高三下学期南京宁海中学一模模拟数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，，则 （ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则的虚部是（ ） A. B. 2 C. D. 3. 已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是 A. 若则 B. 若 ，，则 C. 若 ，，则 D. 若，，则 4. 已知，则（ ） A. 3 B. C. D. 2 5. 已知 的边 的中点为 ，点 在 所在平面内，且，若，则（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 6. 已知等比数列的前3项和为168，，则 （    ） A. B. 6 C. 3 D. 2 7. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 8. 已知O为坐标原点，双曲线C:的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过F2作的平分线的垂线，垂足是M，，若双曲线C上一点T满足，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 如图，函数的部分图象与直线交于 两点，点在曲线 上，且 的面积为，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 在上单调递减 D. 10. 定义在R上的偶函数，满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 在四棱锥 中， 是矩形，为棱上一点，则下列结论正确的是（ ） A. 点到平面的距离为 B. 若，则过点的平面截此四棱锥所得截面的面积为 C. 四棱锥 外接球的表面积为 D. 直线与平面所成角的正切值的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为__________（用数字作答） 13. 已知数列的前 项和为，则数列的通项公式为____________. 14. 在 中，角的对边分别为且.， 为 外一点，如图，且， 的面积为，则边长 的值为____________ 四、解答题:本题共 小题，共题. 15. 知函数，其中. （1）若，求函数的极值 （2）是否存在实数a，使得函数在内单调？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由； 16. 最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏，班主任把除颜色不同外其余均相同的8个小球放入一个纸箱子，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个.现甲､乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分，黄球每个记2分，红球每个记3分，绿球每个记4分，规定摸球人得分不低于8分获胜.比赛规则如下：①只能一个人摸球；②摸出的球不放回；③摸球的人先从袋中摸出1球：若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，他的得分为两次摸出的球的记分之和；④剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和. （1）若甲第一次摸出了绿色球，求甲获胜的概率； （2）如果乙先摸出了红色球，求乙得分 的分布列和数学期望. 17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC（不与端点重合）上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=. （1）求证：平面PBC⊥平面PQB； （2）当PM的长为何值时，平面QMB与平面PDC所成的角的大小为60°？ 18. 已知椭圆E：的离心率是，，分别为椭圆E的左右顶点，B为上顶点，的面积为 直线l过点且与椭圆E交于P，Q两点． 求椭圆E的标准方程； 求面积的最大值； 设直线与直线交于点N，证明：点N在定直线上，并写出该直线方程． 19. 在正项无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为 阶等比数列．在无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为 阶等差数列． （1）若为1阶等比数列，，求的通项公式及前 项和； （2）若为 阶等比数列，求证：为 阶等差数列； （3）若既是4阶等比数列，又是5阶等比数列，证明：是等比数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $