精品解析：广东茂名市祥和中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

2025－2026学年度第一学期 初三数学期中测试卷 注意事项： 1．试卷共4页． 2．考试时间共120分钟，满分为120分． 3．作答必须在答题卡指定区域上完成，在非指定区域上作答无效． 4．保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 如图所示的几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. 1，1，2，3 B. 2，3，6，9 C. 5，6，7，8 D. 3，6，9，4 4. 若，相似比为，则与对应角平分线的比为（ ） A. B. C. D. 5. 如果一个矩形的相邻两边长分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，则该矩形的面积为（ ） A. 10 B. 12 C. 20 D. 24 6. 已知反比例函数的图象如图所示，若矩形的面积为4，则k的值是（ ） A 4 B. C. 2 D. 7. 如图，在中，P为上一点，有下列四个条件：①，②，③，④，从中随机抽取一个，能使和相似的概率是（ ） A. 1 B. C. D. 8. 如图，双曲线与直线相交于A、两点，点坐标为，则A点坐标为（ ） A B. C. D. 9. 如图，矩形的对角线与相交于点，若点E是的中点，且，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 4 10. 如图，矩形中，．点E在边上，以为边作正方形，点F恰好落在边上，与交于点H．设，，，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题正确答案填写在答题卡相应位置． 11. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______． 12. 已知反比例函数的图象位于一、三象限，则的取值范围为_________． 13. 已知线段，如果点P是线段的黄金分割点，且，那么的值为_____． 14. 如图，直线，直线依次交，，于点，，，直线依次交，，于点，，，若，，则的长为______． 15. 如图，已知矩形ABCD边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动．若以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似，则运动的时间t为________秒． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 17. 如图，已知是坐标原点，、的坐标分别为， （1）在轴的左侧以为位似中心作的位似，使新图与原图的相似比为 （2）分别写出、的对应点、的坐标． （3）点为轴上一点，当最小时，点的坐标为________． 18. 2025年1月20日，发布了其最新的推理大模型，又一次引起人们对人工智能的关注，人工智能是数字经济高质量发展的引擎．人工智能基于功能和应用领域可分为以下几类：A：决策类人工智能；B：人工智能机器人；C：语音类人工智能；D：视觉类人工智能．某公司就“你最关注的人工智能类型”对员工进行了一次调查，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图． （1）①此次共调查了_____人，扇形统计图（图2）中类对应的圆心角度数为____； ②请将条形统计图（图1）补充完整； （2）将表示四个类型的字母A，B，C，D依次写在四张卡片上，卡片背面完全相同，将四张卡片背面朝上洗匀放置在平面上，从中随机抽取一张，记录卡片内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片内容不一致的概率． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 2025年世运会在成都顺利召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红．据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是25万件，3月份的销售量是36万件． （1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 20. 如图，在矩形中，为上的一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点． （1）求证：； （2）若，，求折痕的长． 21. 【问题情境】通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影子称为中心投影． （1）画图操作：如图①，三根竖直的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿的影子为，竹竿的影子为．确定光源O的位置，并画出影子为的竹竿（用线段表示）． （2）【数学思考】如图②，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为______； （3）【解决问题】如图③，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点D处测得自己影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，求灯杆的高度． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22. 新定义：对于关于x的一元二次方程，若根的判别式是一个整数的平方或整式的平方，则此方程叫“美好方程”． （1）判断下列方程一定是“美好方程”是______；（直接填序号） ①；②；③； （2）若关于x的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为，（） ①证明：此方程一定是“美好方程”； ②若，，求m的取值范围； ③是否存在实数k，使得始终在函数的图象上？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，交x轴于点C，与y轴交于点D． （1）填空：______，______，不等式的解集是______； （2）求反比例函数解析式； （3）若P为反比例函数图象上的一点，当时，直接写出点P的坐标； （4）在y轴上存在一点Q，使与相似，求Q点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期 初三数学期中测试卷 注意事项： 1．试卷共4页． 2．考试时间共120分钟，满分为120分． 3．作答必须在答题卡指定区域上完成，在非指定区域上作答无效． 4．保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 如图所示的几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查常见几何体的三视图，解题的关键是熟练掌握主视图是从物体正面看到的图形．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看到的图形为， 故选：C． 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题将所求分式拆分变形后，代入已知比例即可计算结果，用到分式的基本运算性质． 【详解】解：∵． 又∵． ∴． 3. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. 1，1，2，3 B. 2，3，6，9 C. 5，6，7，8 D. 3，6，9，4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例线段．根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：B． 4. 若，相似比为，则与对应角平分线的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比即可解答． 【详解】解：∵，相似比为， 又∵相似三角形对应角平分线的比等于相似比， ∴与对应角平分线的比为． 5. 如果一个矩形的相邻两边长分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，则该矩形的面积为（ ） A. 10 B. 12 C. 20 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】设矩形的相邻两边长分别是，则是方程的两个实数根，矩形的面积为，根据韦达定理解答即可． 本题考查了韦达定理，矩形的面积，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：设矩形的相邻两边长分别是， 则是方程的两个实数根， 故 又矩形的面积为， 故矩形的面积为24， 故选：D． 6. 已知反比例函数的图象如图所示，若矩形的面积为4，则k的值是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数k的几何意义即可求出k的值． 【详解】解：∵矩形的面积为4， ∴， 根据图象可知，， ∴． 7. 如图，在中，P为上一点，有下列四个条件：①，②，③，④，从中随机抽取一个，能使和相似的概率是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．最后根据概率公式解答即可． 【详解】解：①当，是公共角， 所以； ②当，是公共角， 所以； ③当，即，是公共角， 所以； ④当，即， 而， 所以不能判断和相似． 综上，能满足和相似的条件有3个． 故从中随机抽取一个，能使和相似的概率是． 8. 如图，双曲线与直线相交于A、两点，点坐标为，则A点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【详解】解：点A与关于原点对称， 点的坐标为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，解题的关键是熟练掌握横纵坐标分别互为相反数． 9. 如图，矩形对角线与相交于点，若点E是的中点，且，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握矩形的性质，三角形中位线定理是解题的关键．根据矩形的性质可得，从而得到是的中位线，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 10. 如图，矩形中，．点E在边上，以为边作正方形，点F恰好落在边上，与交于点H．设，，，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形和矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，证明可判断①，连接，可得，根据垂线段最短即可判断②，证明可判断③，熟练运用上述性质是解题的关键． 【详解】解：四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ，, ， ， ， ，故①正确； 如图，连接， 为等腰三角形， ， 根据垂线段最短，可得，即，当点与点重合时，取等号， ， 点不可能与点重合，（否则可知） ，故②正确； ， ， 由题意可知：， ， ， ， ， ，即， ，故③正确， 综上所述，正确的为①②③， 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题正确答案填写在答题卡相应位置． 11. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴将代入方程得，， 解得． 12. 已知反比例函数的图象位于一、三象限，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质得，然后解不等式即可. 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴，解得， 故答案为：. 【点睛】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大. 13. 已知线段，如果点P是线段的黄金分割点，且，那么的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值即为黄金分割；根据黄金分割点的定义求解，即可解题． 【详解】解：点P是线段的黄金分割点，且，， ， 即， ， 整理得或（不合题意，舍去） ， 故答案为：． 14. 如图，直线，直线依次交，，于点，，，直线依次交，，于点，，，若，，则长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理可得：，把代入即可求出的长度． 【详解】解：直线， ， ， ， ， ， ． 15. 如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动．若以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似，则运动的时间t为________秒． 【答案】2.4或1.5 【解析】 【分析】由于两三角形相似时的对应点不确定，故应分△ACD∽△MNA与△ACD∽△NMA两种情况进行讨论，再根据相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】当△ACD∽△MNA时， 则，即， ∴36-12t=3t． ∴t=2.4秒． 当△ACD∽△NMA时，则，即． ∴6t=18-6t． ∴t=1.5秒． 答：以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似，则运动的时间t为2.4秒或1.5秒． 故答案为2.4或1.5． 【点睛】主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质和一元一次方程的运用．要掌握矩形和相似三角形的性质，才会灵活的运用．注意：一般关于动点问题，可设时间为x，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）方程运用因式分解法解答即可； （2）方程运用公式法解答即可 【小问1详解】 解：， ， 或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ∵，，， ∴ ． 17. 如图，已知是坐标原点，、的坐标分别为， （1）在轴的左侧以为位似中心作的位似，使新图与原图的相似比为 （2）分别写出、的对应点、的坐标． （3）点为轴上一点，当最小时，点的坐标为________． 【答案】（1）见解析 （2）)，) （3） 【解析】 【分析】本题考查了位似变换的性质，轴对称的性质，一次函数与坐标轴交点问题；熟知位似变换的性质是解决问题的关键． （1）根据位似变换性质，即可画出位似； （2）根据位似变换的性质，即可求得、的对应点、的坐标. （3）取关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求，进而待定系数法求得直线解析式，令，即可求解． 【小问1详解】 如图所示，即为所求； 【小问2详解】 根据坐标系可得)，)； 【小问3详解】 解：如图，取关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求； 设直线的解析式为，代入，， 得，， 解得：， ∴， 当时，， ∴， 故答案：． 18. 2025年1月20日，发布了其最新的推理大模型，又一次引起人们对人工智能的关注，人工智能是数字经济高质量发展的引擎．人工智能基于功能和应用领域可分为以下几类：A：决策类人工智能；B：人工智能机器人；C：语音类人工智能；D：视觉类人工智能．某公司就“你最关注的人工智能类型”对员工进行了一次调查，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图． （1）①此次共调查了_____人，扇形统计图（图2）中类对应的圆心角度数为____； ②请将条形统计图（图1）补充完整； （2）将表示四个类型的字母A，B，C，D依次写在四张卡片上，卡片背面完全相同，将四张卡片背面朝上洗匀放置在平面上，从中随机抽取一张，记录卡片内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片内容不一致的概率． 【答案】（1）①50，72；②见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①利用Ａ的人数除以其所占的百分比即可得到结论，再利用圆心角的意义解答即可；②求出的人数，即可补全图象． （2）利用画树状图法解答即可． 本题考查了条形统计图，扇形统计图，圆心角计算，样本容量的计算，画树状图法求概率，熟练掌握圆心角，样本容量，概率的计算是解题的关键． 【小问1详解】 ①解：根据题意，得（人）， C类所占圆心角为：， 故答案为：50，72； ②解：根据题意，得C类的人数为：（人）， 补全图形如下： ． 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 一共有16种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片内容不一致的有12种， 故抽取到的两张卡片内容不一致的概率为 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 2025年世运会在成都顺利召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红．据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是25万件，3月份的销售量是36万件． （1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为 （2）售价应降低20元 【解析】 【分析】（1）设月平均增长率是，根据题意列出方程，即可解答； （2）设售价应降低元，根据利润单件利润销售量的关系列出方程，即可解答． 【小问1详解】 解：设月平均增长率是， 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设售价应降低元， 根据题意，得， 整理得：， 解得，， ∵尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低20元． 20. 如图，在矩形中，为上的一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点． （1）求证：； （2）若，，求折痕的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质可知，根据同角的补角相等可得，根据有两个角对应相等的三角形相似可证结论成立； （2）根据相似三角形的性质可得，可以求出的长度，利用勾股定理即可求出的长度． 【小问1详解】 证明；四边形是矩形， ， 由折叠性质知， ，， ， ； 【小问2详解】 解：在矩形中， 在中，， ， ， ， 即， 解得，； 在中，． 21. 【问题情境】通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影子称为中心投影． （1）画图操作：如图①，三根竖直的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿的影子为，竹竿的影子为．确定光源O的位置，并画出影子为的竹竿（用线段表示）． （2）【数学思考】如图②，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为______； （3）【解决问题】如图③，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，求灯杆的高度． 【答案】（1）见解析 （2）B （3）灯杆高度为5.4m 【解析】 【分析】（1）连接，并延长交于点O，再连接，过点E作，交于点K； （2）小明从点A出发，影子越来越短，到路灯下方达到最短，之后越来越长，可知B符合题意； （3）先说明，即可得出 ，再代入数值可得然后根据求出答案． 【小问1详解】 解：如图，光源O、线段即为所求； 【小问2详解】 解：B； 根据题意可知影子越来越短，至最短，随后越来越长，可知B符合题意； 【小问3详解】 解：如图所示，设， 由题意得，， ， ， ， ， ， 解得， ∴ ． ∵， 解得， ∴灯杆高度为． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22. 新定义：对于关于x的一元二次方程，若根的判别式是一个整数的平方或整式的平方，则此方程叫“美好方程”． （1）判断下列方程一定是“美好方程”是______；（直接填序号） ①；②；③； （2）若关于x的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为，（） ①证明：此方程一定是“美好方程”； ②若，，求m的取值范围； ③是否存在实数k，使得始终在函数的图象上？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①③ （2）①见解析；②；③存在， 【解析】 【分析】（1）分别计算每个方程的判别式，再根据“美好方程”的定义即可判断； （2）①计算方程的判别式，再根据“美好方程”的定义即可证明； ②根据公式法求解方程，得到，，再结合题意列出不等式组，即可求解； ③代入点到，即可求出k的值． 【小问1详解】 解：①对于， ，，， ∴， ∴是“美好方程”； ②对于， ，，， ∴， ∵41不是整数的平方， ∴不是“美好方程”； ③对于， ，，， ∴， ∴是“美好方程”； 综上，一定是“美好方程”是①③； 【小问2详解】 ①证明： ，，， ∴， ∴此方程一定是“美好方程”； ②解：由①得，， ∴此方程解为， ∵， ∴，， ∵，， ∴， 解得； ③解：由②得，，， ∴， 代入点到，得， 整理得：， ∵不恒为0， ∴， 解得， 综上，存在实数，． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，交x轴于点C，与y轴交于点D． （1）填空：______，______，不等式的解集是______； （2）求反比例函数的解析式； （3）若P为反比例函数图象上的一点，当时，直接写出点P的坐标； （4）在y轴上存在一点Q，使与相似，求Q点的坐标． 【答案】（1）2，；或 （2） （3）点的坐标为或 （4）点或 【解析】 【分析】（1）先把点和的横坐标代入一次函数解析式求出和的值，确定交点坐标后，观察函数图象，找出一次函数图象位于反比例函数图象上方时对应的自变量的取值范围，即为不等式的解集． （2）利用第（1）问求出的点的完整坐标，代入反比例函数解析式中，求出系数的值，即可得到反比例函数的表达式． （3）和都是以为底的三角形，面积关系就是高的倍数关系，分别在点的上方和下方取点和，作平行于的直线，构造一次函数，求交点位置即可解决． （4）先求出直线与坐标轴交点、的坐标，分析的边角特征．由于点在轴上，与存在特殊位置关系，根据相似三角形的对应顶点不确定，分两种对应情况列比例式求解线段的长，进而确定点的坐标． 【小问1详解】 解：点和在一次函数上． 代入得． 代入得． 观察图象，交点横坐标为和． 当时，直线在双曲线上方． 当时，直线在双曲线上方． 不等式的解集是解集为或． 【小问2详解】 解：把代入得，， ∴反比例函数的解析式为； 【小问3详解】 解：点的坐标为：或； ， 以为底的高是以为底的高的2倍， ∵一次函数交x轴于点C， ， ∵一次函数与y轴交于点D， ， 在点D的下方取点M使，则点， 过点M作直线，直线m交反比例函数于点P， 则直线m的表达式为：， 当点P在上方时，取点N使，过点N作直线，交反比例函数于点P， 此时点P也符合题意，则直线n的表达式为；， 分别联立m，n和反比例函数的表达式得：或， 解得：或（或不合题意舍去）， 则点的坐标为：或； 【小问4详解】 解：由点A、O、C、D的坐标得，， ， 当或时， 与相似，即或， 解得：或， 或， 即点或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $