专题02 一元一次不等式与不等式组 （期中真题汇编，安徽专用）七年级数学下学期新教材沪科版

专题02 一元一次不等式与不等式组 3大高频考点概览 考点01 不等式及其基本性质 考点02 一元一次不等式 考点03 一元一次不等式组 地 城 考点01 不等式及其基本性质 一、单选题 1．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）已知 ，则下列不等式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的基本性质，根据不等式的基本性质逐一判断即可求解，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A、， ，则正确，故不符合题意； B、， ， ，则正确，故不符合题意； A、， ，则正确，故不符合题意； A、， ， ，则错误，故符合题意； 故选D． 2．（24-25七年级下·安徽六安·期中）已知，则不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式性质的应用，注意：①不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变，②不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，故本选项不符合题意； B、∵， ∴，故本选项不符合题意； C、∵， ∴，故本选项不符合题意； D、∵， ，故本选项符合题意； 故选D． 3．（24-25七年级下·安徽六安·期中）若，且是任意实数，则下列不等式总成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】根此题考查了不等式的性质，熟记不等式的性质：不等式的两边加上或减去同一个数，不等号的方向不变；不等式的两边乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，是解题的关键．根据不等式的性质依次判断即可． 【详解】解：∵， A、若，则，若，则，若，则，故A选项错误； B、若，则，故选项B错误； C、若，则，故选项C错误； D、，则，故选项D正确； 故选：D． 4．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）已知实数满足，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键． 根据等量代换及不等式的性质依次判断即可得出结果． 【详解】解：， ， ， ， ， 错误， 故选项A不符合题意； ，， 当时，，当时，， ， 错误， 故选项B不符合题意； ， 当时，，当时，， ， 错误， 故选项C不符合题意； ， 当时，，当时，， ， 正确， 故选项D不符合题意； 故选：D． 5．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）若，且，，设，则的最大值与最小值的差为（   ） A．2.5 B． C． D．1 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查的是不等式的性质，方程思想的应用，求解及是解本题的关键．由条件可得先求解b的取值范围，再把化为，再结合不等式的基本性质可得，然后求出答案即可． 【详解】解： ，， ∴ 解得： 而， ， ∵， ， ∴ ， ， ， ， ∴t的取值范围是：， ∴的最大值与最小值的差为：． 故选：D． 6．（24-25七年级下·安徽马鞍山·期中）已知实数x，y，z满足．若，则的最大值为（   ） A．19 B．26 C．21 D．30 【答案】A 【知识点】不等式的性质、不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据已知等式，得到，，再由得到，求出，再由即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为19， 故选：A． 7．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）下列四个不等式：①；②；③；④中，能推出的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的基本性质，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，结合不等式的性质进行作答即可． 【详解】解：①，且时，，故①不符合题意； ②，且时，，故②不符合题意； ③， ， ，故③符合题意； ④， ， ，故④符合题意， 故选：B． 8．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）在①；②；③；④；⑤；⑥中，属于不等式的有（   ） A．1个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】不等式的定义 【分析】本题主要考查了不等式的定义，掌握含有不等号（如＞、＜、≠、≥、≤）的式子是不等式成为解题的关键． 根据不等式的定义逐个判断即可解答． 【详解】解：①，含“＞”号，属于不等式； ②，含“＞”号，属于不等式； ③，含“=”号，属于等式，不是不等式； ④是代数式，不属于不等式； ⑤，含“≠”号，属于不等式； ⑥，含“＞”号，属于不等式． 综上，属于不等式的有①、②、⑤、⑥，共4个． 故选C． 二、填空题 9．（22-23七年级下·安徽淮北·期中）已知，若，则a的取值范围是________. 【答案】 【知识点】不等式的性质 【分析】根据已知条件可以求得，然后将的值代入不等式，通过解该不等式即可求得的取值范围． 【详解】解：由得， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 10．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）在数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用表示不超过x的最大整数，，，则对于任意的实数x，的值为_________． 【答案】2或3/3或2 【知识点】不等式的性质、整式的加减运算、列代数式 【分析】本题考查了新定义运算，灵活分类，依据新定义运算法则计算是解题的关键．设，分①当时，②当时两种情形计算即可． 【详解】解：依题意得：设， ①当时，x为整数，都是整数， ∴，， ∴， ②当时，，， ∴，， ∴． 综上所述：或3． 故答案为：2或3． 11．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）若，且，，设， （1）用只含有的代数式表示，则__________； （2）t的取值范围为__________． 【答案】 【知识点】不等式的性质、整式的加减运算 【分析】本题主要考查不等式的基本性质，二元一次方程中用一个未知数表示另一个未知数； （1）根据得到，代入计算即可； （2）根据，，把，代入得到，再确定t的取值范围． 【详解】解：（1）∵， ∴，． ∴． 故答案为：； （2）∵，， ∴，． ∴，． ∴． ∴， ∵ ∴． 故答案为：． 三、解答题 12．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）有两根同样长度的铁丝，一根折成长方形铁框（如图1），另一根折成正方形铁框（如图2）：设长方形铁框的长为a，宽为b（）． (1)用a，b表示正方形的面积； (2)小明同学认为“用上述同样长度的铁丝围成的长方形和正方形，正方形面积一定比长方形面积大”，请你通过计算加以说明． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】不等式的性质、列代数式 【分析】本题主要考查代数式的运用，不等式的性质比较大小，理解题意，掌握代数式的表示，不等式的性质比较大小的方法是关键． （1）根据题意得到铁丝的长为，则正方形的边长为，根据正方形的面积的计算即可求解； （2）根据题意得到正方形，长方形的面积差，进行比较即可． 【详解】（1）解：∵长方形的长为，宽为， ∴铁丝的长为， ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积为：； （2）解：正方形的面积与长方形的面积之差为：， ∵， ∴同样长度的铁丝围成的长方形和正方形，正方形面积一定比长方形面积大． 地 城 考点02 一元一次不等式 一、单选题 1．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义，需满足三个条件：①含有一个未知数；②未知数的次数为1；③用不等号连接；逐一分析选项即可确定答案，熟练掌握一元一次不等式的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、 只是一个代数式，不含不等号，不符合题意； B、 是方程，不是不等式，不符合题意； C、 含有两个未知数，不符合“一元”条件，不符合题意； D、 含有一个未知数，次数为1，且用“”连接，符合定义，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级下·安徽六安·期中）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式的解法，理解一元一次不等式的解法是解答此题的关键．利用一元一次不等式的解法直接求解即可． 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 3．（23-24七年级下·安徽宣城·期中）不等式的正整数解有（    ） A．无数个 B．0个 C．1个 D．2个 【答案】B 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了解不等式，先解出不等式的解集为，结合正整数的定义进行作答即可． 【详解】解： ∴ ∴不等式的正整数解有0个 故选：B 4．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）某商场将一个成本为75元的书包，定价为100元，为使得利润率不低于，在实际售卖时，该书包最多可以打几折（    ） A．8 B． C．9 D． 【答案】C 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设在实际售卖时，该书包可以打x折，根据利润售价成本，结合利润率不低于，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】解：设在实际售卖时，该书包可以打x折， 依题意得：， 解得：， 即该书包最多可以打9折． 故选：C． 5．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）一辆新型电动汽车售价为26万元，已知销售这种电动汽车获利超过，设这辆新型电动汽车的出厂价为x万元，则x满足的不等式为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列一元一次不等式 【分析】主要考查了不等式的应用，解题的关键是找到不等量关系． 根据销售这种电动汽车获利超过，即可列出不等式解答； 【详解】解：根据题意可得：， 即 故选：A． 6．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了不等式解集在数轴上的表示；根据不等式解集在数轴上表示即可；注意不包含的端点要有空心圆圈表示，包含的端点要用实心点表示，即可作答． 【详解】解：不等式的解集在数轴上的表示为 ； 故选：A． 二、填空题 7．（24-25七年级下·安徽六安·期中）“的2倍加4是非负数”用不等式表示为_____________． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题主要考查了列代数式，先表示出的2倍加4的结果，再根据非负数是大于等于0的数列出不等式即可． 【详解】解：“的2倍加4是非负数”用不等式表示为， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）若不等式的任意一个解都比不等式的解小，则的取值范围是______． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查求不等式的解集，根据不等式的解集求参数的范围． 先求出两个不等式的解集，根据不等式的任意一个解都比不等式的解小，得到关于的不等式，进行求解即可． 【详解】解：解，得：； 解，得：， ∵不等式的任意一个解都比不等式的解小， ， ， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）如果关于的不等式的解集如图所示，则的值是_____． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】此题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，解一元一次方程，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． 表示出不等式的解集，由数轴上表示的不等式解集确定出a的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 则， 由数轴知， ∴， 解得， 故答案为：． 三、解答题 10．（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）已知，且P的取值范围如下图所示，求m的取值范围． 【答案】． 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了一元一次不等式的求解以及数轴表示数的取值范围，解题的关键是先根据数轴得出的取值范围，再通过对的表达式进行变形求解的取值范围． 先从数轴上确定的取值范围，然后将的表达式化简，最后根据的取值范围列出关于的不等式并求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故m的取值范围是． 11．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）解方程和不等式组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】同底数幂的除法运算、幂的乘方的逆用、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂除法，解不等式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先将变形为，从而得出，求出结果即可； （2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴， 解得：． （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 系数化为1，得． 12．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图是由黑白两种正方形地砖拼成的图案，且每块正方形地砖边长为0.6m． (1)按图示规律，图1的长为______m，图2的长为______m，图3的长为______m； (2)设图案的长为，当黑色地砖块数为n（n为正整数）时，______（用含n的代数式表示）； (3)若要使不小于72m，则至少需要黑色地砖多少块? 【答案】(1)1.8；3；4.2 (2) (3)至少需要黑色地砖60块 【知识点】用一元一次不等式解决几何问题、图形类规律探索 【分析】本题考查的是图形的变化规律，从图形中找出砖块的变化规律是解题的关键． （1）根据上述图形计算即可； （2）根据（1）中的规律，可知：当图案的长为．当黑色地砖块数为为正整数）时，； （3）由题可知，，求解即可． 【详解】（1）解：图1的长为：； 图2的长为：； 图3的长为：； 故答案为：1.8；3；4.2； （2）解：根据（1）中的规律，可知： 当图案的长为．当黑色地砖块数为为正整数）时， ， 故答案为：； （3）解：由题可知，， ， （块， 至少需要黑色地砖块60块． 13．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）某超市计划购进A、B两种品牌的运动套装（两种品牌的运动套装均购进），其进价和售价如表所示： A B 进价（元/件） 120 150 售价（元/件） 135 180 (1)若超市计划购进A、B两种品牌的运动套装共30件，正好用去3900元，A、B两种品牌的运动套装分别购进多少件？ (2)在（1）的条件下（共购进30件），若超市销售完所有品牌的运动套装后获利不低于785元，求A品牌的运动套装最多能购进多少件？并求出全部售完后的总利润．（利润＝售价－进价） 【答案】(1)A，B两种品牌的运动套装分别购进20件、10件 (2)A品牌的运动套装最多能购进7件，全部售完后总利润为795元 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用、一元一次不等式的实际应用， （1）设A，B两种品牌的运动套装分别购进x件，y件，根据题意列二元一次方程组进行求解即可； （2）设A品牌的运动套装购进a件，根据题意列不等式求得a的取值范围，确定a的值，进而求解即可． 【详解】（1）解：设A，B两种品牌的运动套装分别购进x件，y件． 根据题意，得， 解得． 答：A，B两种品牌的运动套装分别购进20件、10件； （2）解：设A品牌的运动套装购进a件． 根据题意，得， 解得， ∵a取整数， ∴A品牌的运动套装最多能购进7件， 全部售完后总利润：（元）． 答：A品牌的运动套装最多能购进7件，全部售完后总利润为795元． 14．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究： 根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．    根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)，或 (2)或 (3) 【知识点】求一元一次不等式的解集、解|x|≥a型的不等式、绝对值的几何意义 【分析】此题是一个阅读题目，首先通过阅读把握题目中解题规律和方法，然后利用这些方法解决所给出的题目，所以解题关键是正确理解阅读材料的解题方法，才能比较好的解决问题．此题是一个绝对值的问题，有点难以理解，要反复阅读，充分理解题意． （1）由于的解集是，的解集是或，根据它们即可确定和的解集； （2）把当做一个整体，首先利用（1）的结论可以求出的取值范围，然后就可以求出的取值范围； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）根据题干规律可得，不等式（）的解集为； 不等式（）的解集为或； （2）由（1）得：由于， 所以或， 所以或， 所以的解集为或； （3）由绝对值的意义得方程的解就是求在数轴上到1和对应点的距离之和等于5的点对应的x的值， 因为数轴上1和对应点的距离为3， 所以满足方程的x对应的点在1的右边或的左边． 若x对应的点在1的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得； 所以方程的解为或， 所以不等式的解集为． 15．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“慧泉数”．将一个“慧泉数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与的商记为． 例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数，新两位数与原两位数的和为，和与的商为，所以． 根据以上定义，回答下列问题： (1)填空：下列两位数：，，中，“慧泉数”为________； (2)计算： ①；②； (3)如果一个“慧泉数”的十位数字是，个位数字是，另一个“慧泉数”的十位数字是，个位数字是，且满足，求． 【答案】(1)51 (2)①；② (3)或 【知识点】求一元一次不等式的整数解、新定义下的实数运算 【分析】（1）根据“慧泉数”的定义分析即可； （2）根据的定义求解即可； （3）根据（2）中②的结论可写出与的表达式，代入解不等式，结合“慧泉数”个位数字与十位数字的特点可得的值． 【详解】（1）解：的个位数字与十位数字不同，且都不为，为“慧泉数”． （2）解：，． （3）解：，均为慧泉数， ，解得或或． 由，得的值等于的个位数字与十位数字之和， ，， ， ，解得． 或． 【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式，充分理解新定义的概念是解题的关键． 地 城 考点03 一元一次不等式组 一、单选题 1．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）已知实数满足，则下列判断错误的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式的性质、求不等式组的解集 【分析】本题考查了不等式的基本性质，一元一次不等式组的解法，解题关键是正确求解不等式组． 通过已知条件联立方程，求出和的范围，再逐一验证各选项即可． 【详解】解：由，得， 将代入， 得， 解得：，故A正确，但不符合； ， 移项，得， 把代入， 得： 解得：，故B正确，但不符合； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故C错误，符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故D正确，但不符合， 综上所述，选项C的范围错误， 故选：C． 2．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）若关于，的方程组的解满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】加减消元法、求不等式组的解集、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查由二元一次方程的解满足不等式组求参数，涉及二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法，首先将方程组中的两个方程相加，得到，代入解出的范围即可得到答案．熟练掌握二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 将方程①和方程②相加得：， ， 关于，的方程组的解满足， ， 解不等式得的取值范围为， 故选：A． 3．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把m当作已知数表示出的值，再得到关于m的不等式．首先解关于x和y的方程组，利用m表示出，代入即可得到关于m的不等式，求得m的范围． 【详解】解：， 得：， 则， 根据题意得：， 解得． 故选：A． 4．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 根据程序操作进行了三次才停止，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可求出的取值范围． 【详解】解：依题意得：， 解得：， 的取值范围是． 故选：C． 5．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）若关于的不等式组无解，则所有满足条件的非负整数的值之和是（   ） A．5 B．7 C．9 D．10 【答案】D 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是解题的关键．分别解不等式，从而得到a的范围，进一步得到整数a的取值，计算整数a的值之和即可． 【详解】， 解不等式①得，； 解不等式②得，； ∵不等式组无解， ∴， 又∵a为整数， ∴非负整数的值之和为． 故选：D． 6．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）若关于的不等式组，下列说法不正确的是（    ） A．若不等式组的解集是，则 B．若不是不等式组的一个解，那么 C．若不等式组只有个整数解，则 D．若不等式组无解，则 【答案】C 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 不等式组整理后，根据有解确定出a的范围，根据不等式组的整数解的个数确定出的范围，以及不等式组无解的条件确定出的范围，即可作出判断． 【详解】解：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 若不等式组的解集是，则，故选项A说法正确，不符合题意； 若不是不等式组的一个解，那么，故选项B说法正确，不符合题意； 若不等式组只有3个整数解，则，故选项C说法错误，符合题意； 若不等式组无解，则，故选项D说法正确，不符合题意． 故选：C． 二、填空题 7．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）方程组的解，都是正数，则整数_____． 【答案】29 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、求不等式组的解集 【分析】此题可先根据一元一次不等式组解出x、y的取值，然后根据x、y是正数，解得出k的取值范围，求得整数k的值．此题考查的是一元一次不等式组的解法和二元一次方程组的解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴得，， ∴③， 把③式代入②式，化简得， ∵x、y的值都是正数， ∴，， 解得，， ∴整数m的值为． 故答案为：29． 8．（24-25七年级下·安徽马鞍山·期中）对于两个关于x的不等式，若有且仅有一个整数使得这两个不等式同时成立，则称这两个不等式是“互联”的．例如，不等式和不等式是“互联”的．若和是“互联”的，则的取值范围是______． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集，正确理解“互联”的定义是解题关键．先求出不等式的解集，再根据“互联”的定义，得到新的不等式，求解即可． 【详解】解：解不等式，得：， 不等式和是“互联”的， 有且仅有一个整数解， ， ， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（），甲、乙的面积分别为，． （1）比较与的大小：______．（填“>”“<”或“=”） （2）若满足条件的整数n有且只有3个，则整数m的值为______． 【答案】 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了多项式乘多项式，一元一次不等式组的整数解，掌握多项式乘多项式法则及作差法比较大小是解题的关键． （1）根据题意求出与，再作差求解即可； （2）由（1）得，由的整数n有且只有3个，知这3个整数解为2024，2023，2022，再根据可得答案． 【详解】解：）∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： （2）由（1），得， ∵的整数n有且只有3个， ∴这3个整数解为2024，2023，2022， ∴， 解得． ∴m为整数， ∴． 10．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）已知关于的不等式组的解集为． （1）的取值范围是______； （2）若整数使得关于，的二元一次方程组的解为整数，则符合条件的所有整数的和是______． 【答案】 6 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组及二元一次方程组的解，熟知解一元一次不等式组的步骤及解二元一次方程组的步骤是解题的关键． （1）先求出不等式组中两个不等式的解集，再结合不等式组的解集即可得出m的取值范围． （2）先用m表示出方程组的解，再结合（1）中的取值范围即可解决问题． 【详解】解：（1）由题知， 解不等式得，； 解不等式，得，． ∵不等式组的解集为， ∴． 故答案为：． （2）解方程组得，． ∵此方程组的解为整数，且整数m为整数， ∴或或， 解得或或5或1或4或2． 又∵， ∴符合条件的所有整数m的和是：． 故答案为：6． 三、解答题 11．（24-25七年级下·安徽六安·期中）解不等式组 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查的一元一次不等式组的解法，掌握“一元一次不等式组的解法”是解本题的关键． 分别解出不等式组中的两个不等式，再确定其解集的公共部分即可． 【详解】解：∵ ∴由得， ∴由得， ∴不等式组的解集为． 12．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）解不等式组：，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】，见解析 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， 该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 13．（24-25七年级下·安徽滁州·期中）对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则．如：，，，，…试解决下列问题： (1)①填空：_____； ②如果，求实数的取值范围； (2)举例说明不一定成立． 【答案】(1)①3；② (2) 【知识点】新定义下的实数运算、求不等式组的解集 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式组，解题关键是理解新定义运算． （1）①先根据定义得出，解不等式可得，再根据，求出； ②根据，得到关于的不等组求解； （2）举反例：答案不唯一，如可证明． 【详解】（1）解：①∵， ∴，解得：， 当时，，， ∴， 故答案为：3； ②∵， ∴， 解得：； （2）举反例：答案不唯一， 如，， ， 不一定成立． 14．（24-25七年级下·安徽六安·期中）时值春天，某水果店老板决定售卖甲、乙两种水果，已知该老板进货情况如下，100元可以购买4千克甲水果和12千克乙水果或5千克甲水果和10千克乙水果． (1)求甲、乙两种水果每千克各需多少元？ (2)若该老板购买甲、乙两种水果共200千克，但由于考虑其他类型水果的售卖情况，投入金额不少于1248元，不能超过1264元，请你帮助该老板计算共有几种进货方案？（老板决定整千克购买） (3)经过市场反馈，每千克甲水果可以获利5元，每千克乙水果可以获利2元，则在（2）的条件下，哪种方案可获利最多？ 【答案】(1)甲水果每千克 10 元，乙水果每千克 5 元 (2)共有 3 种进货方案 (3)甲水果购买 52 千克、乙水果购买 148 千克时，获利最多 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题涉及二元一次方程组的应用、不等式组的整数解问题，综合考查学生对代数模型建立与分析的能力． （1）设甲水果每千克元，乙水果每千克元，根据“100元可以购买4千克甲水果和12千克乙水果或5千克甲水果和10千克乙水果”列方程组求解即可； （2）设购买甲水果千克，则乙水果为千克，根据“投入金额不少于1248元，不能超过1264元，”列不等式组求解即可； （3）表示出利润为，结合（2）即可求解． 【详解】（1）解：设甲水果每千克元，乙水果每千克元， 由题意得：， 解得：， 答：甲水果每千克 10 元，乙水果每千克 5 元． （2）解：设购买甲水果千克，则乙水果为千克， 根据题意可得：， 解得：， 整数解为， 故共有 3 种进货方案． 答：共有 3 种进货方案． （3）解：根据题意可得利润为元， 故当最大时利润最大，即． 千克， 答：甲水果购买 52 千克、乙水果购买 148 千克时，获利最多． 15．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）某服装店销售每件进价分别为400元、340元的A，B两种款式的羽绒服，下表是近两周的销售情况． 销售数量 销售总利润 A款式 B款式 第一周 3件 5件 1400元 第二周 4件 10件 2400元 （注：进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本，利润率） (1)求A，B两种款式羽绒服的销售单价． (2)该商场为了在春节期间增加销售量，将这两种款式的羽绒服进行打折销售．若A款式羽绒服打折后利润率不低于，则A款式羽绒服最多打几折？ (3)若该服装店准备用不多于10800元的金额再次采购这两种款式的羽绒服共30件，且购买A款式的数量要多于B款式数量的，则共有几种采购方案？ 【答案】(1)A款式羽绒服的销售单价为600元，B款式羽绒服的销售单价为500元 (2)A款式羽绒服最多打八折 (3)共有三种采购方案 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、不等式组的经济问题、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用和不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组，根据不等关系列出不等式． （1）设两种款式羽绒服的销售单价分别为元、元，根据表格中的数据列出方程组，解方程组即可； （2）设A款式羽绒服打m折，根据A款式羽绒服打折后利润率不低于，列出不等式，解不等式即可； （3）设采购A款式羽绒服n件，B款式羽绒服件，根据总费用不多于10800元，购买A款式的数量要多于B款式数量的，列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设两种款式羽绒服的销售单价分别为元、元． 根据题意，可得：， 解得， 答：A款式羽绒服的销售单价为600元，B款式羽绒服的销售单价为500元． （2）解：设A款式羽绒服打m折． 根据题意，可得：， 解得． 答：A款式羽绒服最多打八折． （3）解：设采购A款式羽绒服n件，B款式羽绒服件， 根据题意，可得， 解得：． ∵为整数， ∴的值为8或9或10，共有三种采购方案． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元一次不等式与不等式组 3大高频考点概览 考点01 不等式及其基本性质 考点02 一元一次不等式 考点03 一元一次不等式组 地 城 考点01 不等式及其基本性质 一、单选题 1．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）已知 ，则下列不等式错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·安徽六安·期中）已知，则不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·安徽六安·期中）若，且是任意实数，则下列不等式总成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）已知实数满足，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）若，且，，设，则的最大值与最小值的差为（   ） A．2.5 B． C． D．1 6．（24-25七年级下·安徽马鞍山·期中）已知实数x，y，z满足．若，则的最大值为（   ） A．19 B．26 C．21 D．30 7．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）下列四个不等式：①；②；③；④中，能推出的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）在①；②；③；④；⑤；⑥中，属于不等式的有（   ） A．1个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 9．（22-23七年级下·安徽淮北·期中）已知，若，则a的取值范围是________. 10．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）在数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用表示不超过x的最大整数，，，则对于任意的实数x，的值为_________． 11．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）若，且，，设， （1）用只含有的代数式表示，则__________； （2）t的取值范围为__________． 三、解答题 12．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）有两根同样长度的铁丝，一根折成长方形铁框（如图1），另一根折成正方形铁框（如图2）：设长方形铁框的长为a，宽为b（）． (1)用a，b表示正方形的面积； (2)小明同学认为“用上述同样长度的铁丝围成的长方形和正方形，正方形面积一定比长方形面积大”，请你通过计算加以说明． 地 城 考点02 一元一次不等式 一、单选题 1．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·安徽六安·期中）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·安徽宣城·期中）不等式的正整数解有（    ） A．无数个 B．0个 C．1个 D．2个 4．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）某商场将一个成本为75元的书包，定价为100元，为使得利润率不低于，在实际售卖时，该书包最多可以打几折（    ） A．8 B． C．9 D． 5．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）一辆新型电动汽车售价为26万元，已知销售这种电动汽车获利超过，设这辆新型电动汽车的出厂价为x万元，则x满足的不等式为（  ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25七年级下·安徽六安·期中）“的2倍加4是非负数”用不等式表示为_____________． 8．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）若不等式的任意一个解都比不等式的解小，则的取值范围是______． 9．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）如果关于的不等式的解集如图所示，则的值是_____． 三、解答题 10．（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）已知，且P的取值范围如下图所示，求m的取值范围． 11．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）解方程和不等式组： (1)； (2)． 12．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图是由黑白两种正方形地砖拼成的图案，且每块正方形地砖边长为0.6m． (1)按图示规律，图1的长为______m，图2的长为______m，图3的长为______m； (2)设图案的长为，当黑色地砖块数为n（n为正整数）时，______（用含n的代数式表示）； (3)若要使不小于72m，则至少需要黑色地砖多少块? 13．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）某超市计划购进A、B两种品牌的运动套装（两种品牌的运动套装均购进），其进价和售价如表所示： A B 进价（元/件） 120 150 售价（元/件） 135 180 (1)若超市计划购进A、B两种品牌的运动套装共30件，正好用去3900元，A、B两种品牌的运动套装分别购进多少件？ (2)在（1）的条件下（共购进30件），若超市销售完所有品牌的运动套装后获利不低于785元，求A品牌的运动套装最多能购进多少件？并求出全部售完后的总利润．（利润＝售价－进价） 14．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究： 根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．    根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 15．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“慧泉数”．将一个“慧泉数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与的商记为． 例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数，新两位数与原两位数的和为，和与的商为，所以． 根据以上定义，回答下列问题： (1)填空：下列两位数：，，中，“慧泉数”为________； (2)计算： ①；②； (3)如果一个“慧泉数”的十位数字是，个位数字是，另一个“慧泉数”的十位数字是，个位数字是，且满足，求． 地 城 考点03 一元一次不等式组 一、单选题 1．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）已知实数满足，则下列判断错误的是（） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）若关于，的方程组的解满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）若关于的不等式组无解，则所有满足条件的非负整数的值之和是（   ） A．5 B．7 C．9 D．10 6．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）若关于的不等式组，下列说法不正确的是（    ） A．若不等式组的解集是，则 B．若不是不等式组的一个解，那么 C．若不等式组只有个整数解，则 D．若不等式组无解，则 二、填空题 7．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）方程组的解，都是正数，则整数_____． 8．（24-25七年级下·安徽马鞍山·期中）对于两个关于x的不等式，若有且仅有一个整数使得这两个不等式同时成立，则称这两个不等式是“互联”的．例如，不等式和不等式是“互联”的．若和是“互联”的，则的取值范围是______． 9．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（），甲、乙的面积分别为，． （1）比较与的大小：______．（填“>”“<”或“=”） （2）若满足条件的整数n有且只有3个，则整数m的值为______． 10．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）已知关于的不等式组的解集为． （1）的取值范围是______； （2）若整数使得关于，的二元一次方程组的解为整数，则符合条件的所有整数的和是______． 三、解答题 11．（24-25七年级下·安徽六安·期中）解不等式组 12．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）解不等式组：，并把它的解集表示在数轴上． 13．（24-25七年级下·安徽滁州·期中）对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则．如：，，，，…试解决下列问题： (1)①填空：_____； ②如果，求实数的取值范围； (2)举例说明不一定成立． 14．（24-25七年级下·安徽六安·期中）时值春天，某水果店老板决定售卖甲、乙两种水果，已知该老板进货情况如下，100元可以购买4千克甲水果和12千克乙水果或5千克甲水果和10千克乙水果． (1)求甲、乙两种水果每千克各需多少元？ (2)若该老板购买甲、乙两种水果共200千克，但由于考虑其他类型水果的售卖情况，投入金额不少于1248元，不能超过1264元，请你帮助该老板计算共有几种进货方案？（老板决定整千克购买） (3)经过市场反馈，每千克甲水果可以获利5元，每千克乙水果可以获利2元，则在（2）的条件下，哪种方案可获利最多？ 15．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）某服装店销售每件进价分别为400元、340元的A，B两种款式的羽绒服，下表是近两周的销售情况． 销售数量 销售总利润 A款式 B款式 第一周 3件 5件 1400元 第二周 4件 10件 2400元 （注：进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本，利润率） (1)求A，B两种款式羽绒服的销售单价． (2)该商场为了在春节期间增加销售量，将这两种款式的羽绒服进行打折销售．若A款式羽绒服打折后利润率不低于，则A款式羽绒服最多打几折？ (3)若该服装店准备用不多于10800元的金额再次采购这两种款式的羽绒服共30件，且购买A款式的数量要多于B款式数量的，则共有几种采购方案？ 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元一次不等式与不等式组 地 城 考点01 不等式及其基本性质 一、单选题 1 2 3 4 5 6 7 8 D D D D D A B C 二、填空题 9. 10. 2或3/3或2 11. 三、解答题 12． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解：∵长方形的长为，宽为， ∴铁丝的长为， ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积为：； （2）解：正方形的面积与长方形的面积之差为：， ∵， ∴同样长度的铁丝围成的长方形和正方形，正方形面积一定比长方形面积大． 地 城 考点02 一元一次不等式 一、单选题 1 2 3 4 5 6 D A B C A A 二、填空题 7. 8. 9. 三、解答题 10． 【答案】． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故m的取值范围是． 11． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ∴， 解得：． （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 系数化为1，得． 12． 【答案】(1)1.8；3；4.2 (2) (3)至少需要黑色地砖60块 【知识点】用一元一次不等式解决几何问题、图形类规律探索 【分析】本题考查的是图形的变化规律，从图形中找出砖块的变化规律是解题的关键． （1）根据上述图形计算即可； （2）根据（1）中的规律，可知：当图案的长为．当黑色地砖块数为为正整数）时，； （3）由题可知，，求解即可． 【详解】（1）解：图1的长为：； 图2的长为：； 图3的长为：； 故答案为：1.8；3；4.2； （2）解：根据（1）中的规律，可知： 当图案的长为．当黑色地砖块数为为正整数）时， ， 故答案为：； （3）解：由题可知，， ， （块， 至少需要黑色地砖块60块． 13． 【答案】(1)A，B两种品牌的运动套装分别购进20件、10件 (2)A品牌的运动套装最多能购进7件，全部售完后总利润为795元 【详解】（1）解：设A，B两种品牌的运动套装分别购进x件，y件． 根据题意，得， 解得． 答：A，B两种品牌的运动套装分别购进20件、10件； （2）解：设A品牌的运动套装购进a件． 根据题意，得， 解得， ∵a取整数， ∴A品牌的运动套装最多能购进7件， 全部售完后总利润：（元）． 答：A品牌的运动套装最多能购进7件，全部售完后总利润为795元． 14． 【答案】(1)，或 (2)或 (3) 【详解】（1）根据题干规律可得，不等式（）的解集为； 不等式（）的解集为或； （2）由（1）得：由于， 所以或， 所以或， 所以的解集为或； （3）由绝对值的意义得方程的解就是求在数轴上到1和对应点的距离之和等于5的点对应的x的值， 因为数轴上1和对应点的距离为3， 所以满足方程的x对应的点在1的右边或的左边． 若x对应的点在1的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得； 所以方程的解为或， 所以不等式的解集为． 15． 【答案】(1)51 (2)①；② (3)或 【详解】（1）解：的个位数字与十位数字不同，且都不为，为“慧泉数”． （2）解：，． （3）解：，均为慧泉数， ，解得或或． 由，得的值等于的个位数字与十位数字之和， ，， ， ，解得． 或． 【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式，充分理解新定义的概念是解题的关键． 地 城 考点03 一元一次不等式组 一、单选题 1 2 3 4 5 6 C A A C D C 二、填空题 7. 29 8. 9. 10. 6 三、解答题 11． 【答案】 【详解】解：∵ ∴由得， ∴由得， ∴不等式组的解集为． 12． 【答案】，见解析 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， 该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 13． 【答案】(1)①3；② (2) 【详解】（1）解：①∵， ∴，解得：， 当时，，， ∴， 故答案为：3； ②∵， ∴， 解得：； （2）举反例：答案不唯一， 如，， ， 不一定成立． 14． 【答案】(1)甲水果每千克 10 元，乙水果每千克 5 元 (2)共有 3 种进货方案 (3)甲水果购买 52 千克、乙水果购买 148 千克时，获利最多 【详解】（1）解：设甲水果每千克元，乙水果每千克元， 由题意得：， 解得：， 答：甲水果每千克 10 元，乙水果每千克 5 元． （2）解：设购买甲水果千克，则乙水果为千克， 根据题意可得：， 解得：， 整数解为， 故共有 3 种进货方案． 答：共有 3 种进货方案． （3）解：根据题意可得利润为元， 故当最大时利润最大，即． 千克， 答：甲水果购买 52 千克、乙水果购买 148 千克时，获利最多． 15． 【答案】(1)A款式羽绒服的销售单价为600元，B款式羽绒服的销售单价为500元 (2)A款式羽绒服最多打八折 (3)共有三种采购方案 【详解】（1）解：设两种款式羽绒服的销售单价分别为元、元． 根据题意，可得：， 解得， 答：A款式羽绒服的销售单价为600元，B款式羽绒服的销售单价为500元． （2）解：设A款式羽绒服打m折． 根据题意，可得：， 解得． 答：A款式羽绒服最多打八折． （3）解：设采购A款式羽绒服n件，B款式羽绒服件， 根据题意，可得， 解得：． ∵为整数， ∴的值为8或9或10，共有三种采购方案． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $