专题2-1圆的方程（考点清单，6种题型典例剖析+考场练兵）-2023-2024学年高二数学下学期期中考点大串讲（沪教版2020选修）

专题2-1圆的方程（考点清单，6种题型典例剖析+考场练兵） 知识点1．圆的标准方程 (1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． (2)确定圆的基本要素是圆心和半径，如图所示． (3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点O为圆心、半径为r的圆． 思考：平面内确定圆的要素是什么？ [提示]　圆心坐标和半径． 知识点2．点与圆的位置关系 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝. 位置关系 d与r的大小 图示 点P的坐标的特点 点在圆外 d＞r (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 d＜r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 知识点3.圆的一般方程 (1)圆的一般方程的概念 当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． 其中圆心为，圆的半径为r＝. (2)对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的讨论 ①D2＋E2－4F＞0时表示圆． ②D2＋E2－4F＝0时表示点. ③D2＋E2－4F＜0时，不表示任何图形． 思考：方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？ [提示]　A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4F＞0. 题型一：点与圆的位置关系 1.判断点与圆的位置关系的方法 (1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可； (2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断． 2．灵活运用 若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围． 1．（2023秋•浦东新区校级月考）若点在圆内，则实数的取值范围为 　　． 2．（2022秋•长宁区校级期末）已知点在圆外，则实数的取值范围为　　 A． B． C．，， D．，， 3.已知圆心为点C(－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P1(－1,0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和圆的位置关系． 4.已知圆的圆心M是直线2x＋y－1＝0与直线x－2y＋2＝0的交点，且圆过点P(－5,6)，求圆的标准方程，并判断点A(2,2)，B(1,8)，C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外？ 题型二：求圆的标准方程 确定圆的标准方程的方法 (1)几何法 它是利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程，从而得到圆的标准方程． (2)待定系数法 由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是： ①设—设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2； ②列—由已知条件，建立关于a，b，r的方程组； ③解—解方程组，求出a，b，r； ④代—将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程． 1．（22·23高二上·上海浦东新·期末）以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为 . 2．（23·24高二上·上海·期末）已知、，则以为直径的圆的标准方程为 . 3．（23·24高二上·上海青浦·阶段练习）已知圆心为，半径，写出圆的标准方程 ． 4．（22·23高二下·上海崇明·期末）已知两点、，则以PQ为直径的圆的方程是 . 5．（23·24高二上·上海·阶段练习）以为直径端点的圆的标准方程为 . 6．已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程． 7.求过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程． 8．（22·23高二下·上海静安·期末）如图是一座类似于上海卢浦大桥的圆拱桥示意图，该圆弧拱跨度为，圆拱的最高点离水面的高度为，桥面离水面的高度为.    (1)建立适当的平面直角坐标系，求圆拱所在圆的方程； (2)求桥面在圆拱内部分的长度.（结果精确到） 题型三：与圆有关的最值问题 与圆有关的最值问题的常见类型及解法 (1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x, y)和(a, b)的动直线斜率的最值问题． (2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－ x＋截距的最值问题． (3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x, y)到定点(a, b)的距离的平方的最值问题． 1．（23·24高二上·上海·期末）已知为圆上一点，为圆上一点，则点到点的距离的最大值为 . 2