专题03 第5章 导数与不等式（恒成立，能成立问题）（4考点清单，知识导图+6个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学下学期期中考点大串讲（沪教版2020选择性必修第二册）

清单03 第5章 导数与不等式（恒成立，能成立问题） （4个考点梳理+6题型解读+提升训练） 清单01 分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． ③转化：，使得能成立； ，使得能成立． ④求最值. 清单02 分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． 清单03 等价转化法 ①当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. ②当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. 清单04 最值定位法 （1）,,使得成立 （2）,,使得成立 （3）,,使得成立 （4）,,使得成立 【考点题型一】借助分离变量法解决恒成立问题（） 【例1】（24-25高三上·上海嘉定·阶段练习）设函数，. (1)求方程的实数解； (2)若不等式对于一切都成立，求实数b的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、简单的指数方程 【分析】（1）转化为关于的一元二次方程进行求解. （2）分离参数，构造函数，求导得到的最小值即可求解. 【详解】（1）由，代入方程得：， 即，解得，即. （2）不等式即， 原不等式可化为对都成立， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故当时，， 所以，即，解得：. 【变式1-1】.（24-25高二下·河南郑州·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的极值点； (2)若对任意，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)是函数的极小值点； (2). 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、求已知函数的极值点 【分析】（1）利用导数求出函数的极值点. （2）分离参数并构造，再利用导数求出最大值即可. 【详解】（1）当时，函数的定义域为，求导得， 由，得，当时，；当时，， 所以是函数的极小值点. （2）当时，不等式， 设，依题意，，， 求导得，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，，则， 所以实数的取值范围是. 【变式1-2】.（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）函数. (1)当时，求函数的极值； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数的单调区间（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）先求出函数的导函数，根据导函数正负得出函数单调性，进而得出函数极值； （2）先根据不等式应用参数分离得出，再构造函数，根据导函数得出函数最大值即可得出参数范围. 【详解】（1）依题意，，定义域为， ， 令得， 当时，，所以函数在上单调递减，； 当时，，所以函数在上单调递增. 故函数有极小值，极小值为，无极大值. （2）因为，即恒成立， 令， 则. 令， 则，即在上单调递减. 又，故当时，，所以函数在上单调递增； 当时，所以函数在上单调递减， 所以， 又恒成立，即， 所以的取值范围是. 【变式1-3】.（24-25高二下·江苏徐州·阶段练习）设函数，. (1)时，求的最小值； (2)若在恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)2 (2). 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）对函数进行求导，利用导数判断函数的单调性求最值即可； （2）当时，恒成立等价于，即对任意恒成立，令，对函数进行求导判断其单调性求上的最小值即可. 【详解】（1）时，， 则 ， 令，得， 当时，，在单调递减； 当，，在单调递增； 所以； （2）由题意知，对任意恒成立， 当时，恒成立等价于 对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，，则， 所以当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以当时函数有最小值为， 所以此时的取值范围为， 综上可知所求的取值范围为. 【变式1-4】.（24-25高二下·江苏扬州·阶段练习）已知函数（其中）． (1)当时，求的单调区间； (2)对任意，都有成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）应用导数研究函数的单调区间即可； （2）问题化为在上恒成立，应用导数研究右侧的最小值，即可得参数范围. 【详解】（1）将代入函数中，，由，所以， 当时，，所以函数在上单调递增； 当时，，所以函数在上单调递减； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）任意都有成立， 即，即， 令，则， 令，， 在上恒成立，即在上单调递增． 又，，故在内有零点，设零点为， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 且，则，所以， 设，，，所以在单调递增， 所以，，，即，所以， 所以最小值，所以，即实数a的取值范围是． 【考点题型二】借助分离变量法解决能成立（有解）问题（） 【例2】（2025·河北张家口·一模）已知，. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，使，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）由题意结合导数依次求出即可由直线点斜式方程求解； （2）先由得到，构造函数，利用导数求出即可由存在性得解. 【详解】（1）时，， 所以，所以切线斜率， 所以曲线在处的切线方程为即. （2）因为，使得即， 所以，令，则， 所以在上恒成立，所以函数在上单调递减， 所以，所以在上恒成立， 所以函数在上单调递增，所以， 所以. 【变式2-1】.（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知函数. (1)讨论函数在区间上的单调性； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增； (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）求导，即可根据导函数的正负求解， （2）将问题转化为存在，成立，构造函数，求导得函数的最值即可求解． 【详解】（1）， 解得， 因为，所以， 当，当， 所以在上单调递减，在上单调递增； （2）， 当时，由可得不成立， 当时，， 令恒成立， 故在单调递减， 所以， 所以的取值范围为. 【变式2-2】.（2023·安徽宿州·一模）已知函数（e为自然对数的底数），a，. (1)当时，讨论在上的单调性； (2)当时，若存在，使，求a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用导数研究能成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】 （1）对a分类讨论，由导数法求函数单调性； （2）法一，由分离变量法，转为由导数法研究函数最值，得出结论；法二，将函数拆分为前后两个函数，对a分类讨论，由导数法分别研究两函数单调性及最值，得出结论； 【详解】（1）当时，，的定义域为，， 当，即时，且不恒为0，所以在上单调递增； 当时，方程有两不等正根， 结合定义域由可得，由可得， 所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增； 当时，方程有一负根和一正根， 结合定义域由可得，由可得， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增. 综上可知： 当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. （2）法一：分离变量可得：，令，，则 ， 易得当时，，且，从而， 所以在单调递减，于是. 即a的取值范围为. 法二：当时，，令，，则，即为， 而在上单调递减，所以当时，， 又， i. 当，即时，，符合题意； ii. 当时，由（1）知在上是增函数，恒有，故不存在，使； iii. 当时，由于时，，所以， 令，则，所以在上是增函数，最大值为， 又，所以，此时恒有， 因此不存在，使. 综上可知，，即a的取值范围为. 【点睛】函数不等式恒成立或可能成立问题，一般可用分离变量法，转为由导数法研究函数最值，得出结论；或采用分类讨论法，由导数法研究函数单调性及最值，得出结论； 【考点题型三】借助分类讨论法解决恒成立问题（） 【例3】（23-24高二下·安徽六安·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求出，利用导数几何意义求得切线斜率，代入点斜式直线方程求解即可； （2）求出导函数，按照和分类讨论求解即可； （3）解法一：根据函数的单调性分类讨论研究的最小值，即可解答； 解法二：分类讨论，先求时a的取值范围，然后参变分离，把恒成立问题转化为恒成立问题，构造函数，利用导数求解函数最值即可求解. 【详解】（1）当时，，得， ，则， 所以切线方程为：，即； （2）由题，可得， 当时，，，单调递减， ，，单调递增， 当时，的解为， ①当，即时，，则在上单调递增； ②当，即时， 在区间上，，在区间上，， 所以的单调增区间为；单调减区间为； ③当，即时， 在区间上，，在区间上，， 所以的单调增区间为；单调减区间为； （3）解法一：， ①当时，因为，所以，，所以， 则在上单调递增，成立， ②当时，， 所以在上单调递增，所以成立. ③当时，在区间上，；在区间，， 所以在上单调递减，上单调递增，所以，不符合. 综上所述，的取值范围是. 解法二：当时，恒成立，等价于“当时，恒成立”.即在上恒成立. 当时，，所以. 当时，，所以恒成立. 设，则， 因为，所以，所以在区间上单调递增. 所以，所以. 综上所述，的取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 【变式3-1】.（25-26高三上·上海·期末）若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点 【分析】令，，首先利用导数说明的单调性，即可得到，再对分类讨论，当时显然成立，当时，利用导数说明函数的单调性即可得. 【详解】令， 设，则对任意的恒成立， 所以在上单调递增，从而. ①若，则当时，恒成立，符合题意. ②若，，易知在上单调递增， 因为，所以，所以，即， 所以. 因为，，所以，，所以. 因为在上单调递增，其图象是一条连续的曲线， 且，所以存在唯一的，使得， 当时，，所以函数在上单调递减，，不符合题意，舍去. 综上，实数a的取值范围为. 故答案为：. 【变式3-2】.（23-24高三下·上海浦东新·阶段练习）设函数 (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，曲线与有两条公切线，求实数的取值范围； (3)若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增区为，单调递减区间为 (2) (3). 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）利用导数，求函数单调区间； （2）设两个曲线上的切点坐标，利用导数求切线斜率，由公切线的性质，列方程，通过构造函数研究单调性和最值，求实数的取值范围； （3）构造函数，利用导数研究单调性，由不等式恒成立的条件求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， ， 当时，，当时，， 的单调递增区为，单调递减区间为； （2）设公切线切于点，切于， 则有，即， 得，代入得. 解法一：构造函数，. 当递减，当递增， ，又当时，，当时，， 根据题意有两根，即，得； 解法二（同构）：令时，， 当时，，当时，， 故，且当时，当时，， 根据题意有两根， ，得. 所以实数的取值范围为. （3）对恒成立，即在上恒成立， 令，则， 令，则在上为增函数， 当时，，即，在上为增函数， 若，有，不合题意. 当时，由得（舍去）， 时，，则在上单调递减， 时，，则在上单调递增， 的最小值为，由， 只有，才能满足恒成立，解得. 综上可知，若对恒成立，有. 【点睛】方法点睛： 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理，利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用，不等式问题，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 【考点题型四】借助分类讨论法解决能成立（有解）问题（） 【例4】（2025·江西·一模）已知函数， (1)若，求函数的最小值； (2)设函数，讨论函数的单调性； (3)若在区间上存在一点，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【知识点】利用导数研究能成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）当时，求出函数的解析式，利用导数分析函数的单调性，即可求出函数的最小值； （2）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用函数单调性与导数的关系可求得函数的增区间和减区间； （3）由题意可知，当时，，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上单调性，结合可求得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为， 所以，. （2）因为，其中， 则， 当时，即当时，由可得，由可得， 此时，函数的减区间为，增区间为； 当时，即当时， 由可得，由可得或， 此时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，即当时，对任意的，， 此时，函数的增区间为，无减区间； 当时，即当时， 由可得或，由可得， 此时，函数的增区间为、，减区间为. 综上所述，当时，函数的减区间为，增区间为； 当时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的增区间为、，减区间为. （3）由（2）可知，当时，函数在上单调递增，则，不合乎题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， （i）若，则时，则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 设，其中，则， 所以，函数在上单调递减，则，合乎题意； （ii）若，即当时，函数在上单调递减， 所以，，解得， 因为，则. 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】思路点睛：讨论含参函数的单调性，通常注意以下几个方面： （1）求导后看最高次项系数是否为，须需分类讨论； （2）若最高次项系数不为，通常是二次函数，若二次函数开口方向确定时，再根据判别式讨论无根或两根相等的情况； （3）再根据判别式讨论两根不等时，注意两根大小比较，或与定义域比较.                         【变式4-1】.（23-24高三上·山西大同·阶段练习）已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1)函数在上单调递减，在单调递增 (2) 【知识点】利用导数研究能成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求出函数的导函数，分和两种情况讨论，分别求出函数的单调区间； （2）依题意即存在使成立，令，求出函数的导函数，分、、三种情况讨论，求出函数在的最小值，只需最小值小于即可. 【详解】（1）函数的定义域为，且， ①当时，恒成立，在上单调递增； ②当时，令得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在单调递增. 综上可得：当时在上单调递增， 当时在上单调递减，在单调递增. （2）的定义域为，由，整理得， 即存在使成立， 令，， 则 因为，所以，令，则. 因为， 所以，若，即时，在上恒成立，所以在上单调递增， 只需，解得. 若，即时，在上恒成立，所以在上单调递减， 只需，不成立. 若，即时， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在上的极小值为， 只需，即， 而当时，，，所以不成立. 综上可得的取值范围为. 【变式4-2】（2024·河南郑州·模拟预测）已知函数，，其中． (1)若方程在（为自然对数的底数）上存在唯一实数解，求实数a的取值范围； (2)若存在，使不等式成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用导数研究方程的根、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究能成立问题、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）由可得，则题意可转化成在上有唯一的零点,分，和三种情况进行讨论分析即可； （2）题意可转化成函数在上的最小值小于零，求导，然后分，和三种情况分析其最小值即可 【详解】（1）函数, 因为,所以,即, 令,由题意得只需函数在上有唯一的零点, 又,其中, 当时,恒成立,单调递增,又,则函数在区间[1,e]上有唯一的零点; 当时,恒成立,单调递减,又,则函数在区间[1,e]上有唯一的零点; 当时, 当时,单调递减,又,所以,则函数在区间上有唯一的零点; 当时,单调递增,则当时符合题意,即, 所以,所以当时,则函数在区间上有唯一的零点; 综上所述,实数的取值范围是; （2）存在,使不等式成立, 等价于在上有解,即函数在上的最小值小于零, ①时,即时,在[1,e]上单调递减,所以的最小值为, 由,可得,又,故; ②当时,即时,在[1,e]上单调递增,所以的最小值为, 由,可得; ③当,即时, 当时,单调递减,当时,单调递增， 可得的最小值为, 因为,所以,, 所以不成立, 综上所述,实数的取值范围是 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 【变式4-3】.（204·河南焦作·三模）已知函数. (1)若曲线与直线相切，求a的值； (2)若存在，使得不等式成立，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用导数研究能成立问题、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）求出函数导数，令求得切点即可得出方程，比较可得出答案； （2）构造函数，利用导数讨论的单调性，根据函数值变化可得. 【详解】（1）的定义域为，. 令，得，又， 所以曲线的斜率为1的切线为， 由题意知这条切线即，故. （2）存在，使得成立，即存在，使得成立. 设，则. 设，则. 当时，，当时，， 所以. 若，则，即，所以单调递增， 故当时，，不符合题意. 若，，， 所以存在，使得， 当时，，即，在上单调递减， 所以当时，，符合题意. 综上可知，的取值范围是. 【考点题型五】最值定位法解决双参不等式问题（） 【例5】（2025·江西萍乡·一模）设函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】将问题转化为，求出，然后参变分离，构造函数，利用导数求最值即可. 【详解】由题意，，当时，，，所以； 当时，，，所以， 等号仅当时成立，所以. 所以对，即，即. 令，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，因此. 故答案为： 【变式5-1】.（2024高三·全国·专题练习）已知函数f(x)＝x3－3x＋a，g(x)＝.若对任意x1∈[－2，2]，总存在x2∈[2，3]，使得f(x1)≤g(x2)成立，则实数a的最大值为（    ） A．7 B．5 C． D．3 【答案】D 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题 【详解】 因为f(x)＝x3－3x＋a，所以f′(x)＝3x2－3，所以当x∈(－2，－1)，(1，2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(－1，1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．因为f(－2)＝－2＋a，f(－1)＝2＋a，f(1)＝－2＋a，f(2)＝2＋a，所以当x∈[－2，2]时，f(x)max＝2＋a.因为g(x)＝＝2＋，所以g(x)在区间[2，3]上单调递减，所以当x∈[2，3]时，g(x)max＝g(2)＝5.因为对任意x1∈[－2，2]，总存在x2∈[2，3]，使得f(x1)≤g(x2)成立，所以2＋a≤5，即a≤3，所以实数a的最大值为3.故选D. 【变式5-2】.（23-24高二下·四川雅安）已知函数，．若对任意，总存在，使得成立，则实数的最大值为（    ） A．7 B．5 C． D．3 【答案】D 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题 【分析】分别求出两个函数在对应区间上的最大值，然后可得答案. 【详解】因为，所以， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因为，，，， 所以当时，， 因为，所以在区间上单调递减， 所以当时，， 因为对任意，总存在，使得成立，所以，即， 所以实数的最大值为3， 故选：D 【变式5-3】.（2024高三·全国·专题练习）已知函数，，若， ，使得，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】利用导数研究能成立问题 【分析】将题意转化为，再根据的单调性分别求解最小值即可. 【详解】当时，由得，， ∴在单调递减， ∴是函数的最小值， ∵∀x1∈[，1]，都∃x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2）， 可得f（x）在x1∈[，1]的最小值不小于g（x）在x2∈[2，3]的最小值， 即∃x∈[2，3]，使成立，即∃x∈[2，3]，使成立，故. 故答案为： 【变式5-4】.（23-24高二下·重庆北碚·阶段练习）已知函数，，若，则的值域为 ；若对，，使成立，则c的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（含参） 【分析】求出函数的导数，根据导数的符号求出函数的单调区间，再根据函数的单调性求出值域即可；利用导数求出函数在上的值域，再根据对，，使成立，则有函数的值域是函数的值域，从而可得出答案. 【详解】解：因为，所以， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在上最大值为， 当时，且， 所以函数值域为， 由， 当时，， 所以在上单调递增， 所以在上的值域为， 因为对，，使成立， 所以， 所以，解得， 所以c的取值范围为 故答案为：； 【考点题型六】值域法解决双变量相等问题（） 【例6】（2024·河南开封·模拟预测）已知函数，若，使得成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（含参） 【分析】由，使得成立，可得函数的值域包含的值域.利用二次函数的性质与导数分析和时，函数的单调性，进而求得的值域和的值域，从而求解. 【详解】由，使得成立， 则函数的值域包含的值域. 当时，函数开口向上，对称轴， 所以在上单调递减，且， 所以； 当时，，则， ①若，当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以，即，解得； ②若，则，在上单调递增， 此时值域为，符合题意. ③当时，的值域为，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 故选：B. 【变式6-1】.（23-24高一上·北京·期末）已知函数，若，使得，则实数的取值范围为        A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据集合的包含关系求参数、利用函数单调性求最值或值域、利用导数研究能成立问题、函数不等式恒成立问题 【分析】分别求出函数在的值域，再利用集合的包含关系列式求解即得. 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增， 则，，函数的值域为； 函数在上单调递增，函数的值域为， 由，使得，得， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C 提升训练 一、填空题 1．（22-23高三下·上海普陀·阶段练习）已知函数，，若在上恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】根据题意参变分离可得在上恒成立，构造新函数，求导求单调性，求出最值，即可得的取值范围. 【详解】解：因为在上恒成立， 即在上恒成立， 取，所以， 因为，所以，而，即， 所以在上，，单调递增，所以， 因为在上恒成立，所以. 故答案为： 2．（22-23高三上·上海杨浦·阶段练习）对于任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、函数不等式恒成立问题 【分析】参变分离，得到，变形后利用导函数求出的最小值，从而求出实数的取值范围. 【详解】变形为，只需要求出的最小值即可， ， 令， ，， 在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以在处取得最小值，， 所以， 实数的取值范围为. 故答案为： 3．（24-25高二上·安徽·期末）若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】首先将不等式转化为，再构造函数，利用导数求函数的单调性进一步将问题转化为恒成立，再构造函数，利用函数的单调性即可求得结果. 【详解】因为，所以， 即，令，所以， 又，所以在上单调递增，所以， 即，令，所以， 令，解得，令，解得，所以在上单调递增， 在上单调递减，所以，所以，即的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题主要将不等式转化为，再构造函数，利用导数判断单调性进一步将问题转化为恒成立，再构造函数，通过两次构造函数即可求得结果. 4．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】参变分离，构造新函数，求其最小值即可. 【详解】因为在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 因为， 因为，所以，而，即， 所以在上，单调递增， 所以， 所以. 故答案为：. 5．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知函数，若 恒成立，则实数 的取值范围为 . 【答案】 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、函数不等式恒成立问题 【分析】将不等式变形为，对恒成立，构造函数，利用函数单调性可得，即，对恒成立，利用导数求出的最大值得解. 【详解】由恒成立，即，对恒成立， 整理得，对恒成立， 令，易知在上单调递增， 则上式为，则，即， 整理得，对恒成立， 令，则， 可得，，单调递增， ，，单调递减，则， 所以. 故答案为：. 6．（24-25高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数，若关于的不等式有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】构造函数，通过其单调性奇偶性，得到在上有解，求得最值，进而可求解； 【详解】设， 因为，在R上单调递增，所以在R上单调递增， 又，则是奇函数， 由，可得， 即， ，即在上有解， 令，则，， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， ， ，即实数的取值范围为. 故答案为：. 7．（2024高三·全国·专题练习）关于的不等式在有解，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】利用导数研究能成立问题 【分析】根据对数的运算性质，分离参数，将问题转化成在有解问题，然后求不等式右边的最小值即可. 【详解】先证明，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 故，即，当且仅当时等号成立； 当，两边取对数可得，，当且仅当时等号成立. 由题设有，又由题设可得在有解， 故在有解， 而，，当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故函数的最小值为，故，故. 故答案为： 8．（24-25高三上·吉林白城·期中）已知定义域为的函数满足：（c为常数），，则的单调递增区间是 ；若不等式（其中）的解集中恰有两个整数，则a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】求出函数的导数，结合导数与单调性关系即可求得函数的单调递增区间；设，作出，的大致图象，确定的解集中恰有两个整数为0，-1，列出相应不等式组，即可求得a的取值范围. 【详解】由题意，得， 所以，， 令，，所以的单调递增区间是． 令，，所以的单调递减区间是． 且当时，； 设，可知该函数恒过点， 画出，的大致图象，如图所示，    设过的切线的切点为， 则，故， 而， 不等式（其中）的解集中恰有两个整数， 则这两个整数为0，或， 所以，或 即或，解得或 故答案为：，. 9．（2024高一上·江苏·专题练习）设函数，其中，若存在唯一负整数，使得，则实数的取值范围是 【答案】， 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究能成立问题、利用导数研究函数的零点、利用导数研究函数图象及性质 【分析】由已知可得解集中只有一个负整数，结合不等式特点构造函数，然后结合导数分析的性质，结合两函数图象可求． 【详解】由可得， 所以解集中只有一个负整数， 令，则， 易得，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，当时，，只有一个零点， 图象为直线，过定点，其大致图象如图所示， 结合图像可知，， 解得，． 故答案为：． 10．（2024高三下·全国·专题练习）对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“倒戈函数”．设是定义在上的“倒戈函数”，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】根据“倒戈函数”定义可得，转化为有解问题，构造函数，令，则，利用导数求出的值域可得答案. 【详解】∵是定义在上的“倒戈函数”， ∴存在满足， ∴， ∴， 构造函数，， 因为，单调递增， 所以问题转化为与有交点， ， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， ∴在处取极大值，即最大值为， 又， ， 所以函数取得最小值， 即， 又∵，∴，∴. 则实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是根据题目中“倒戈函数”的定义写出关于实数的表达式，然后转化为有解问题. 二、单选题 11．（2025高三下·全国·专题练习）已知函数，若存在使得成立，则实数的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数研究能成立问题、已知两点求斜率 【分析】将问题转化为存在使得成立， 即求直线上的动点到曲线的最小距离，结合导数的几何意义计算即可求解. 【详解】函数， 若存在使得成立， 则存在使得成立． 即存在使得成立． 可以看作是动点与动点之间距离的平方小于或等于， 动点在函数的图象上，在直线的图象上， 问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离， 由，得，解得， 所以曲线上点到直线的距离最小，最小距离，即， 根据题意，要使，则， 此时恰好为垂足，由，解得． 故选：A 12．（24-25高二下·重庆·阶段练习）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的最小值为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】根据对数的运算性质将不等式等价为恒成立，构造函数，，利用导数求解函数单调性进而得最值即可求解. 【详解】因为，不等式成立，即， 又，则恒成立， 令，可得， 当，，单调递增， 则不等式恒成立等价于恒成立， 即恒成立，即恒成立， 设，可得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以当，函数取得最大值，最大值为， 所以，即，则实数m的最小值为． 故选：C． 三、解答题 13．（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）已知函数， (1)求曲线在处的切线方程； (2)设函数，求函数的单调区间； (3)在（2）的条件下，若函数的图象恒在直线的图象的上方，求实数的最大值. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)2 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）求出函数在处的导数，利用点斜式方程即可得到切线方程； （2）求出的导数，讨论参数的范围，根据的符号，写出单调区间； （3）将函数图象的位置关系转化为函数等式恒成立问题，根据(2)中的单调区间，求参数范围即可. 【详解】（1）已知函数 ，则， 将代入可得 将代入可得， 所以切点为,切线斜率, 则切线方程为，整理得； （2）已知，其定义域为. ， 令，， 当，即时，恒成立(因为二次函数开口向上)， 则恒成立，所以在上单调递增； 当，即时，由，根据求根公式可得，； 则在和上, 单调递增； 在上，, , 单调递减； 综上，当时，的单调递增区间为，无减区间； 当时，的 单 调 递 增 区 间 为 和 , 单 调 递 减 区 间 为 . （3）由题意知在上恒成立，即在上恒成立， 等价于在上恒成立， 令，则恒成立， 对进行求导，， 令，对其求导得， 所以在上单调递增； 又，所以当时，，即, 所以在上单调递增， 因为在上单调递增，所以， 所以, 即实数的最大值为2. 14．（24-25高二下·陕西·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)函数的单调减区间为，无单调增区间. (3) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）由函数解析式求得切点坐标，再由导数求得切线斜率，根据点斜式，可得答案； （2）由函数解析式求导，根据导数与函数单调性的关系，可得答案； （3）利用参变分离整理不等式，并构造函数，由导数与隐零点的思想求得函数的最小值，可得答案. 【详解】（1）由，则， 求导可得，则， 所以切线方程为， 整理可得. （2）由，则，求导可得， 令，求导可得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则，即， 故函数单调减区间为，无单调增区间. （3）由不等式，整理可得， 令，求导可得， 令，,函数在上单调递增， 由，，则存在，使得，即， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故， 可得. 15．（2025·陕西·一模）已知，函数在处取得极值． (1)求a； (2)证明：对任意的m，，都有； (3)若存在实数，使得成立，求k的最小整数值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)5． 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究能成立问题、根据极值点求参数 【分析】（1）先求导，由在处取得极值，得解出验证即可； （2）设，验证的单调递增，即有，即可得证； （3）存在实数，使得成立，即成立．构造函数，即求即可. 【详解】（1）， 因为在处取得极值， 所以，所以， 解得． 经验证当时，在处取得极小值，符合题意， 故． （2）对任意的m，，设，则， 由（1）知，则在上单调递增， 所以当时，，即，所以在上单调递增， 因为，所以，即， 故． （3）存在实数，使得成立，即成立． 令，，则，， 令，则在上恒成立， 故在上单调递增． 又，， 故存在唯一的，使得，即． 当时，，即，当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故， 故，结合，得， 故k的最小整数值为5． 16．（2025·山东菏泽·一模）已知函数. (1)求的单调区间； (2)当时，存在，使得，求a的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】利用导数研究能成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求出导函数，对参数进行讨论，判断与0的大小即可得到相应的单调性； （2）依题意，由参数可知只需即可，结合（1）可求. 【详解】（1） 当时，恒成立，此时在上单调递减； 当时，令，则 当时，，此时在单调递减， 当时，，此时在单调递增； 综上所述，当时，的减区间为，无增区间； 当时，的减区间为，增区间为. （2）因为存在，使得.只需或 因为，所以     所以只需，由（1）知为与中的较大者 所以或，解得或，     所以 综上所述，a的取值范围为 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 第5章 导数与不等式（恒成立，能成立问题） （4个考点梳理+6题型解读+提升训练） 清单01 分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． ③转化：，使得能成立； ，使得能成立． ④求最值. 清单02 分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． 清单03 等价转化法 ①当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. ②当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. 清单04 最值定位法 （1）,,使得成立 （2）,,使得成立 （3）,,使得成立 （4）,,使得成立 【考点题型一】借助分离变量法解决恒成立问题（） 【例1】（24-25高三上·上海嘉定·阶段练习）设函数，. (1)求方程的实数解； (2)若不等式对于一切都成立，求实数b的取值范围. 【变式1-1】.（24-25高二下·河南郑州·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的极值点； (2)若对任意，恒成立，求实数a的取值范围. 【变式1-2】.（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）函数. (1)当时，求函数的极值； (2)若恒成立，求的取值范围. 【变式1-3】.（24-25高二下·江苏徐州·阶段练习）设函数，. (1)时，求的最小值； (2)若在恒成立，求的取值范围． 【变式1-4】.（24-25高二下·江苏扬州·阶段练习）已知函数（其中）． (1)当时，求的单调区间； (2)对任意，都有成立，求实数a的取值范围． 【考点题型二】借助分离变量法解决能成立（有解）问题（） 【例2】（2025·河北张家口·一模）已知，. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，使，求的取值范围. 【变式2-1】.（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知函数. (1)讨论函数在区间上的单调性； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【变式2-2】.（2023·安徽宿州·一模）已知函数（e为自然对数的底数），a，. (1)当时，讨论在上的单调性； (2)当时，若存在，使，求a的取值范围. 【考点题型三】借助分类讨论法解决恒成立问题（） 【例3】（23-24高二下·安徽六安·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，恒成立，求a的取值范围. 【变式3-1】.（25-26高三上·上海·期末）若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为 . 【变式3-2】.（23-24高三下·上海浦东新·阶段练习）设函数 (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，曲线与有两条公切线，求实数的取值范围； (3)若对恒成立，求实数的取值范围. 【考点题型四】借助分类讨论法解决能成立（有解）问题（） 【例4】（2025·江西·一模）已知函数， (1)若，求函数的最小值； (2)设函数，讨论函数的单调性； (3)若在区间上存在一点，使得成立，求的取值范围．                【变式4-1】.（23-24高三上·山西大同·阶段练习）已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若存在，使得成立，求的取值范围. 【变式4-2】（2024·河南郑州·模拟预测）已知函数，，其中． (1)若方程在（为自然对数的底数）上存在唯一实数解，求实数a的取值范围； (2)若存在，使不等式成立，求实数a的取值范围． 【变式4-3】.（204·河南焦作·三模）已知函数. (1)若曲线与直线相切，求a的值； (2)若存在，使得不等式成立，求a的取值范围. 【考点题型五】最值定位法解决双参不等式问题（） 【例5】（2025·江西萍乡·一模）设函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 . 【变式5-1】.（2024高三·全国·专题练习）已知函数f(x)＝x3－3x＋a，g(x)＝.若对任意x1∈[－2，2]，总存在x2∈[2，3]，使得f(x1)≤g(x2)成立，则实数a的最大值为（    ） A．7 B．5 C． D．3 【变式5-2】.（23-24高二下·四川雅安）已知函数，．若对任意，总存在，使得成立，则实数的最大值为（    ） A．7 B．5 C． D．3 【变式5-3】.（2024高三·全国·专题练习）已知函数，，若， ，使得，则实数的取值范围是 ． 【变式5-4】.（23-24高二下·重庆北碚·阶段练习）已知函数，，若，则的值域为 ；若对，，使成立，则c的取值范围是 . 【考点题型六】值域法解决双变量相等问题（） 【例6】（2024·河南开封·模拟预测）已知函数，若，使得成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】.（23-24高一上·北京·期末）已知函数，若，使得，则实数的取值范围为        A． B． C． D． 提升训练 一、填空题 1．（22-23高三下·上海普陀·阶段练习）已知函数，，若在上恒成立，则实数的取值范围是 . 2．（22-23高三上·上海杨浦·阶段练习）对于任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 3．（24-25高二上·安徽·期末）若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为 . 4．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是 . 5．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知函数，若 恒成立，则实数 的取值范围为 . 6．（24-25高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数，若关于的不等式有解，则实数的取值范围为 . 7．（2024高三·全国·专题练习）关于的不等式在有解，则的取值范围为 ． 8．（24-25高三上·吉林白城·期中）已知定义域为的函数满足：（c为常数），，则的单调递增区间是 ；若不等式（其中）的解集中恰有两个整数，则a的取值范围是 . 9．（2024高一上·江苏·专题练习）设函数，其中，若存在唯一负整数，使得，则实数的取值范围是 10．（2024高三下·全国·专题练习）对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“倒戈函数”．设是定义在上的“倒戈函数”，则实数的取值范围是 ． 二、单选题 11．（2025高三下·全国·专题练习）已知函数，若存在使得成立，则实数的值为（   ） A． B．1 C． D．2 12．（24-25高二下·重庆·阶段练习）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的最小值为（ ） A． B．1 C． D． 三、解答题 13．（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）已知函数， (1)求曲线在处的切线方程； (2)设函数，求函数的单调区间； (3)在（2）的条件下，若函数的图象恒在直线的图象的上方，求实数的最大值. 14．（24-25高二下·陕西·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)若，求的取值范围． 15．（2025·陕西·一模）已知，函数在处取得极值． (1)求a； (2)证明：对任意的m，，都有； (3)若存在实数，使得成立，求k的最小整数值． 16．（2025·山东菏泽·一模）已知函数. (1)求的单调区间； (2)当时，存在，使得，求a的取值范围. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$