第五单元 三角形 奥数专项提升讲义（知识讲解+考点讲解+真题训练）2025-2026学年人教版数学四年级下册

第五单元 三角形 奥数专项提升讲义 知识讲解 一、核心基础拓展（奥数入门必备） 1. 三角形本质深化 课本核心： 定义：由3条线段围成（每相邻两条线段端点相连）的封闭图形。 三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 内角和：三角形内角和是180°。 分类：按角分（锐角、直角、钝角三角形）；按边分（等腰、等边三角形）。 高与底：每个三角形都有3条高，直角三角形两条直角边互为底和高。 奥数拓展： ① 三边关系是判断三角形、求边长范围、周长最值的核心依据； ② 等腰/等边三角形是奥数高频考点，等边三角形是特殊的等腰三角形； ③ 多边形内角和公式：(边数-2)×180°，可推导四边形、五边形等内角和； ④ 三角形分割、拼接：大三角形分小三角形、小三角形拼大图形，计数与边长计算是必考技巧； ⑤ 直角三角形特殊性质：两锐角互余，斜边最长。 2. 三角形奥数应用（重点） 三边判断：快速判断3条线段能否围成三角形； 边长范围：已知两边，求第三边的取值范围； 角度计算：利用内角和、等腰性质求未知角； 几何计数：数复杂图形中三角形的个数； 周长最值：三边关系结合整数边长，求周长最大/最小值； 综合应用：三角形与和差倍、周长计算结合的应用题。 二、奥数易错点提醒 三边关系误用：只算一组两边之和，忽略任意二字； 内角和计算错误：漏算角、混淆多边形与三角形内角和； 等腰三角形混淆：腰和底、顶角和底角对应错误； 几何计数失误：漏数小三角形、多数组合三角形； 高的认知错误：钝角三角形两条高在图形外部，易漏画； 周长计算失误：忽略边长为整数的隐含条件，或超出三边范围。 三、奥数解题口诀 三角三边是关键，两边之和大第三； 内角一百八十度，等腰等边性质全； 多边形和减二乘，分割计数不重偏； 直角三角互余角，钝角高在图形边。 考点讲解 考点1：三角形三边关系（最常考） 核心思路：用任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边判断、求边长范围。 典型例题：有3cm、5cm、8cm、10cm的小棒，选3根围成三角形，有几种选法？ 解题步骤： ① 3、5、8：3+5=8，不满足； ② 3、5、10：3+5＜10，不满足； ③ 3、8、10：3+8＞10，满足； ④ 5、8、10：5+8＞10，满足； 共2种选法。 考点2：三角形内角和与角度计算（核心考点） 核心思路：三角形内角和180°，等腰三角形两底角相等，等边三角形三角都是60°。 典型例题：等腰三角形顶角80°，求一个底角的度数。 解题步骤：(180°-80°)÷2=50°。 考点3：等腰/等边三角形性质应用（奥数提升） 核心思路：等边三角形三边相等、三角60°；等腰三角形两边相等、两底角相等。 典型例题：等边三角形周长24cm，求边长。 解题步骤：24÷3=8（cm）。 考点4：三角形几何计数（奥数难点） 核心思路：按单个小三角形→组合三角形分层数，不重不漏。 典型例题：数出图中三角形个数（单层3个小三角形）。 解题步骤：单个3个+组合2个+大1个=6个。 考点5：三角形周长综合应用 核心思路：结合三边关系+整数边长，求周长最值。 典型例题：三角形两边长4cm、7cm，第三边是整数，求周长最大/最小值。 解题步骤： 第三边范围：7-4＜第三边＜7+4 → 3＜第三边＜11； 整数第三边：4、5、6、7、8、9、10； 周长最小：4+7+4=15（cm）；周长最大：4+7+10=21（cm）。 真题训练 1．一个三角形中，两个内角的和是89°，这个三角形是（    ）。 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．不能确定 D．直角三角形 2．在一个等腰三角形中，已知一个角是40度，另外两个角分别是（    ）。 A．100和100度 B．70度70度 C．70度和70度或40度和100度 D．140度和140度 3．一个等腰三角形的一个底角是45度，这个三角形按角分类，属于（    ）。 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．都不确定 4．如图，用木条钉成一个长方形框架，长12厘米，宽9厘米。将长方形框架拉成平行四边形框架，平行四边形框架的高可能（    ）。 A．11厘米 B．10厘米 C．9厘米 D．8厘米 5．如图，李叔叔要估计池塘两岸A、B之间的距离，因为A、B之间有淤泥，不方便直接测量，所以李叔叔在池塘外选取一点O，测得OA＝20米，OB＝15米。根据以上信息，李叔叔猜测AB之间的距离可能是（    ）米。 A．5 B．35 C．40 D．25 6．有两根长度分别是5厘米和3厘米的小棒，如果再添一根小棒（长度为整厘米数）搭成一个三角形，那这个三角形的周长最短是（    ）。 A．10 B．11 C．13 D．16 7．用三根长度为整厘米数的小棒围成一个三角形，如果其中两根小棒分别长5厘米、8厘米，那么第三根小棒最短是（    ）厘米。 A．3 B．4 C．7 D．14 8．美术课上，小明发现自己的画板支架损坏了，需要更换木条（如图）。那么需要更换的木条的长度可能为（    ）。 A．2.2m B．0.8m C．0.3m D．0.2m 9．一个等腰三角形的两边长为5cm和6cm，它的周长是( )。 10．用三根木条钉成一个三角形，用力拉都不会变形，这是三角形的( )性。 11．一个三角形的边长均为整厘米数，其中两条边分别是6cm和4cm，第三条边的长度最长是( )cm，最短是( )cm。 12．如图，四边形ABCD是正方形，三角形BCE是等边三角形。请你算一算，∠1的度数是________，∠2的度数是________。 13．一个梯形下底长15厘米，下底的长是上底的3倍，它的上底延长( )厘米会变成一个平行四边形，它的上底缩短( )厘米会变成一个三角形。 14．一个等腰三角形两条边的长度分别为2cm和4cm，则它的周长是( )cm。 15．装修师傅在粉刷墙壁时使用折叠梯，梯子两腿与地面的夹角均为70°，如图所示。这时梯子 ______ 安全使用条件。（填“符合”或“不符合”） 16．一个西瓜味的三角形冰棒被咬了一个角（如图），已知其他两个角都是75°，则被咬掉的角是( )°。按角分，原来的冰棒形状是一个( )三角形。 17．如图，∠1＋∠2＋∠3＝180°，∠3是直角，请求出∠1和∠2的度数。 18．一根铁丝刚好可以围成一个边长是8cm的等边三角形，若把它重新围成一条边长是6cm的等腰三角形，则这个等腰三角形的底和腰各是多少厘米？ 19．如下图，三角形ABC是等边三角形。已知∠1＝35°，求∠2的度数。 20．公园里有一个等腰三角形的草坪，它的周长是186米，底边长是76米，这块草坪的腰长是多少米？ 21．下面是创新小组同学在课堂上的操作记录，根据他们的操作记录，你可以得出什么数学结论？ 22．为方便阅读，笑笑自己制作了一个等腰三角形的书签。书签周长是24厘米，其中一条边长是10厘米，你觉得书签有哪几种形状？请你算一算等腰三角形书签的另外两条边的长分别是多少厘米？并画出书签示意图。 23．爸爸和明明去工艺品店，买了一个三角铁艺桌面书架。已知每个三角形都是等腰三角形，顶角是80度，一个底角是多少度？ 24．公园的草坪上有一块三角形的警示牌，已知它是一个等腰三角形，并且三个角都是锐角。测得其中一个角是70度，另外两个角可能是多少度？（请写出所有的情况） 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 三角形 奥数专项提升讲义 知识讲解 一、核心基础拓展（奥数入门必备） 1. 三角形本质深化 课本核心： 定义：由3条线段围成（每相邻两条线段端点相连）的封闭图形。 三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 内角和：三角形内角和是180°。 分类：按角分（锐角、直角、钝角三角形）；按边分（等腰、等边三角形）。 高与底：每个三角形都有3条高，直角三角形两条直角边互为底和高。 奥数拓展： ① 三边关系是判断三角形、求边长范围、周长最值的核心依据； ② 等腰/等边三角形是奥数高频考点，等边三角形是特殊的等腰三角形； ③ 多边形内角和公式：(边数-2)×180°，可推导四边形、五边形等内角和； ④ 三角形分割、拼接：大三角形分小三角形、小三角形拼大图形，计数与边长计算是必考技巧； ⑤ 直角三角形特殊性质：两锐角互余，斜边最长。 2. 三角形奥数应用（重点） 三边判断：快速判断3条线段能否围成三角形； 边长范围：已知两边，求第三边的取值范围； 角度计算：利用内角和、等腰性质求未知角； 几何计数：数复杂图形中三角形的个数； 周长最值：三边关系结合整数边长，求周长最大/最小值； 综合应用：三角形与和差倍、周长计算结合的应用题。 二、奥数易错点提醒 三边关系误用：只算一组两边之和，忽略任意二字； 内角和计算错误：漏算角、混淆多边形与三角形内角和； 等腰三角形混淆：腰和底、顶角和底角对应错误； 几何计数失误：漏数小三角形、多数组合三角形； 高的认知错误：钝角三角形两条高在图形外部，易漏画； 周长计算失误：忽略边长为整数的隐含条件，或超出三边范围。 三、奥数解题口诀 三角三边是关键，两边之和大第三； 内角一百八十度，等腰等边性质全； 多边形和减二乘，分割计数不重偏； 直角三角互余角，钝角高在图形边。 考点讲解 考点1：三角形三边关系（最常考） 核心思路：用任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边判断、求边长范围。 典型例题：有3cm、5cm、8cm、10cm的小棒，选3根围成三角形，有几种选法？ 解题步骤： ① 3、5、8：3+5=8，不满足； ② 3、5、10：3+5＜10，不满足； ③ 3、8、10：3+8＞10，满足； ④ 5、8、10：5+8＞10，满足； 共2种选法。 考点2：三角形内角和与角度计算（核心考点） 核心思路：三角形内角和180°，等腰三角形两底角相等，等边三角形三角都是60°。 典型例题：等腰三角形顶角80°，求一个底角的度数。 解题步骤：(180°-80°)÷2=50°。 考点3：等腰/等边三角形性质应用（奥数提升） 核心思路：等边三角形三边相等、三角60°；等腰三角形两边相等、两底角相等。 典型例题：等边三角形周长24cm，求边长。 解题步骤：24÷3=8（cm）。 考点4：三角形几何计数（奥数难点） 核心思路：按单个小三角形→组合三角形分层数，不重不漏。 典型例题：数出图中三角形个数（单层3个小三角形）。 解题步骤：单个3个+组合2个+大1个=6个。 考点5：三角形周长综合应用 核心思路：结合三边关系+整数边长，求周长最值。 典型例题：三角形两边长4cm、7cm，第三边是整数，求周长最大/最小值。 解题步骤： 第三边范围：7-4＜第三边＜7+4 → 3＜第三边＜11； 整数第三边：4、5、6、7、8、9、10； 周长最小：4+7+4=15（cm）；周长最大：4+7+10=21（cm）。 真题训练 1．一个三角形中，两个内角的和是89°，这个三角形是（    ）。 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．不能确定 D．直角三角形 【答案】B 【分析】三角形的内角和是180°；结合题意可知，三角形中的另一个角的度数＝180°－其中两个角的度数和；大于90°且小于180°的角是钝角；三角形中，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，据此解答。 【详解】180°－89°＝91° 91°＞90°，所以这个三角形是钝角三角形。 2．在一个等腰三角形中，已知一个角是40度，另外两个角分别是（    ）。 A．100和100度 B．70度70度 C．70度和70度或40度和100度 D．140度和140度 【答案】C 【分析】等腰三角形的两腰相等，两个底角也相等；三角形的内角和为180°，如果40°的角是三角形的顶角，那么两个底角的度数都为：（180°－40°）÷2；如果40°的角是三角形的一个底角，那么另一个底角也为40°，顶角为：180°－40°×2；据此解答。 【详解】当40°的角是三角形的顶角，那么两个底角的度数都为： （180°－40°）÷2 ＝140°÷2 ＝70° 另外两个角的度数为70°和70°。 当40°的角是三角形的一个底角： 180°－40°×2 ＝180°－80° ＝100° 另外两个角的度数为40°和100°。 则在一个等腰三角形中，已知一个角是40度，另外两个角分别是70度和70度或40度和100度。 3．一个等腰三角形的一个底角是45度，这个三角形按角分类，属于（    ）。 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．都不确定 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的两个底角相等以及三角形的内角和为180°，求出顶角的大小，再进行分类。 【详解】45°＋45°＝90° 180°－90°＝90° 这个三角形的顶角是直角，属于直角三角形。 4．如图，用木条钉成一个长方形框架，长12厘米，宽9厘米。将长方形框架拉成平行四边形框架，平行四边形框架的高可能（    ）。 A．11厘米 B．10厘米 C．9厘米 D．8厘米 【答案】D 【分析】根据题意，长方形框架拉成平行四边形框架后，四条边的长度不变，平行四边形的底对应长方形的长，长度为12厘米，长方形的宽为9厘米，根据直角三角形中斜边大于直角边的特征，平行四边形的高一定小于长方形的宽，据此结合选项选出符合要求的数值，据此解答。 【详解】将长12厘米，宽9厘米的长方形框架拉成平行四边形，平行四边形的底等于长方形的长，为12厘米。 长方形拉成平行四边形后，平行四边形的斜边对应长方形的宽，长度为9厘米。 根据直角三角形概念，直角边（平行四边形的高）一定小于斜边9厘米。 对比四个选项，只有8厘米小于9厘米，符合要求。 5．如图，李叔叔要估计池塘两岸A、B之间的距离，因为A、B之间有淤泥，不方便直接测量，所以李叔叔在池塘外选取一点O，测得OA＝20米，OB＝15米。根据以上信息，李叔叔猜测AB之间的距离可能是（    ）米。 A．5 B．35 C．40 D．25 【答案】D 【详解】根据题意，连接O、A、B这三点围成一个三角形，三角形任意两边的和大于第三条边。据此解答即可。 【分析】根据分析可知： 15＋20＝35（米） 20－15＝5（米） A、B之间的距离应该比35米小，比5米大。 A．5＝5，不符合题意。 B．35＝35，不符合题意。 C．40＞35，不符合题意。 D．5＜25＜35，符合题意。 故答案为：D 6．有两根长度分别是5厘米和3厘米的小棒，如果再添一根小棒（长度为整厘米数）搭成一个三角形，那这个三角形的周长最短是（    ）。 A．10 B．11 C．13 D．16 【答案】B 【分析】三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。据此判断出第三边最短的长度，进而求出周长。 【详解】5＋3＝8（厘米） 5－3＝2（厘米） 所以第三边小于8厘米，大于2厘米，由于长度为整厘米数，所以第三边最短为3厘米。 5＋3＋3 ＝8＋3 ＝11（厘米） 这个三角形的周长最短是11厘米。 故答案为：B 7．用三根长度为整厘米数的小棒围成一个三角形，如果其中两根小棒分别长5厘米、8厘米，那么第三根小棒最短是（    ）厘米。 A．3 B．4 C．7 D．14 【答案】B 【分析】三角形的三条边长度关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。（厘米），（厘米），所以3厘米＜第三条边的长度＜13厘米；据此解答。 【详解】A．3＝3，不满足第三条边的长度范围； B．3＜4＜13，满足第三条边的长度范围； C．3＜7＜13，满足第三条边的长度范围； D．14＞13，不满足第三条边的长度范围； 综上所述，虽然4厘米和7厘米都满足第三条边的长度范围，但是最短的是厘米，所以第三根小棒最短是4厘米。 故答案为：B 8．美术课上，小明发现自己的画板支架损坏了，需要更换木条（如图）。那么需要更换的木条的长度可能为（    ）。 A．2.2m B．0.8m C．0.3m D．0.2m 【答案】B 【分析】根据题意，明确三角形两边之和大于三边，两边之差小于第三边，所以更换木条的长度在大于1.2－0.9＝0.3（米），而小于1.2＋0.9＝2.1（米）之间，以此逐项分析选择即可。 【详解】根据分析可知： 1.2－0.9＝0.3（米） 1.2＋0.9＝2.1（米） A．2.2＞2.1，不符合题意。 B．0.3＜0.8＜2.1，符合题意。 C．0.3＝0.3，不符合题意。 D．0.2＜0.3，不符合题意。 故答案为：B 9．一个等腰三角形的两边长为5cm和6cm，它的周长是( )。 【答案】16cm或17cm 【分析】等腰三角形的两条腰长是相等的，三角形中两边之和大于第三边，据此确定等腰三角形的边长，相加算出周长即可。 【详解】如果腰长是6cm，6＋6＞5，符合要求；腰长是5cm，5＋5＞6，符合要求； 当腰长为5cm时，周长为： 5＋5＋6 ＝10＋6 ＝16（cm） 当腰长为6cm时，周长为： 6＋6＋5 ＝12＋5 ＝17（cm） 所以等腰三角形的周长是16cm或17cm。 10．用三根木条钉成一个三角形，用力拉都不会变形，这是三角形的( )性。 【答案】稳定 【分析】三角形具有不易变形的特点，这种特性被称为稳定性。 【详解】用三根木条钉成一个三角形，用力拉都不会变形，这是三角形的稳定性。 11．一个三角形的边长均为整厘米数，其中两条边分别是6cm和4cm，第三条边的长度最长是( )cm，最短是( )cm。 【答案】 9 3 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，解答此题即可。 【详解】6－4＝2（cm） 6＋4＝10（cm） 2cm＜第三边＜10cm 又因为三角形的三条边长均为整厘米数， 所以第三条边的长度最长为9cm，最短为3cm。 12．如图，四边形ABCD是正方形，三角形BCE是等边三角形。请你算一算，∠1的度数是________，∠2的度数是________。 【答案】 15° 105° 【分析】四边形ABCD是正方形，所以∠ABC＝90°，AB＝BC。三角形BCE是等边三角形，所以∠CBE＝60°，BC＝BE，所以AB＝BE。在等腰三角形ABE中，AB＝BE，根据三角形内角和等于180°，由上面信息计算出∠ABE，则∠1＝（180°－∠ABE）÷2。而∠BEF＝∠1，在三角形BFE中，已知∠CBE＝60°，∠BEF＝∠1，所以∠2＝180°－∠CBE－∠BEF，据此解答即可。 【详解】∠ABC＝90°，AB＝BC ∠CBE＝60°，BC＝BE 所以AB＝BE，∠BEF＝∠1 ∠ABE＝∠ABC＋∠CBE ＝90°＋60° ＝150° ∠1＝（180°－∠ABE）÷2 ＝（180°－150°）÷2 ＝30°÷2 ＝15° ∠2＝180°－∠CBE－∠BEF ＝180°－60°－15° ＝120°－15° ＝105° 所以∠1的度数是15°，∠2的度数是105°。 13．一个梯形下底长15厘米，下底的长是上底的3倍，它的上底延长( )厘米会变成一个平行四边形，它的上底缩短( )厘米会变成一个三角形。 【答案】 10 5 【分析】根据题意，用15÷3求出上底的长；平行四边形的对边平行且相等，再用下底的长度减去上底的长度就是上底需要延长的长度；由三条线段首尾相接组成的图形是三角形，所以三角形要求上底为0；据此解答。 【详解】上底：15÷3＝5（厘米） 15－5＝10（厘米），则它的上底延长10厘米会变成一个平行四边形； 5－0＝5（厘米），则它的上底缩短5厘米会变成一个三角形。 14．一个等腰三角形两条边的长度分别为2cm和4cm，则它的周长是( )cm。 【答案】10 【分析】根据三角形三边关系，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，4＋4＞2，2＋2＝4，所以这个等腰三角形的腰长是4cm，底为2cm，然后求出三边的和即可。 【详解】4＋4＞2 2＋2＝4 这个等腰三角形的腰长是4cm。 4＋4＋2＝10（cm） 它的周长是10cm。 15．装修师傅在粉刷墙壁时使用折叠梯，梯子两腿与地面的夹角均为70°，如图所示。这时梯子 ______ 安全使用条件。（填“符合”或“不符合”） 【答案】符合 【分析】根据题意，梯子两腿与地面形成一个等腰三角形，两个底角都是70°，用三角形内角和180°减去两个底角，可求出顶角，即折叠梯上部夹角的度数，再与35°～45°比较，看是否在这个范围内，即可知道是否符合安全使用条件。 【详解】三角形内角和为180°。 180°－70°－70° ＝110°－70° ＝40° 即折叠梯上部夹角的度数为40°，在35°～45°范围内。 因此这时梯子符合安全使用条件。 16．一个西瓜味的三角形冰棒被咬了一个角（如图），已知其他两个角都是75°，则被咬掉的角是( )°。按角分，原来的冰棒形状是一个( )三角形。 【答案】 30 锐角 【分析】三角形的内角和是180°，因为两个角都是75°，用180°减75°，再减75°，即可求出被咬掉的那个角的度数。三角形中最大的角属于什么角这个三角形就是什么三角形，此题中3个内角都小于90°，是锐角，所以这是一个锐角三角形。 【详解】180°－75°－75° ＝105°－75° ＝30° 一个西瓜味的三角形冰棒被咬了一个角（如图），已知其他两个角都是75°，则被咬掉的角是30°。按角分，原来的冰棒形状是一个锐角三角形。 17．如图，∠1＋∠2＋∠3＝180°，∠3是直角，请求出∠1和∠2的度数。 【答案】∠1是60°；∠2是30° 【分析】观察图片可知，∠1和120°组成了一个平角，平角＝180°，所以∠1＋120°＝180°，∠1用180°－120°即可求出。上一步求出∠1的度数，题目中给出∠3是直角，∠3＝90°，且∠1＋∠2＋∠3＝180°，用180°－∠3－∠1即可求出∠2的度数。 【详解】∠1＋120°＝180°，所以∠1＝180°－120°＝60° ∠1＋∠2＋∠3＝180°，因为∠1＝60°，∠3＝90°，所以∠2＝180°－∠3－∠1 ∠2＝180°－90°－60°＝30° 答：∠1是60°，∠2是30°。 18．一根铁丝刚好可以围成一个边长是8cm的等边三角形，若把它重新围成一条边长是6cm的等腰三角形，则这个等腰三角形的底和腰各是多少厘米？ 【答案】底是6cm，腰是9cm 【分析】先计算铁丝的总长度，再分两种情况讨论等腰三角形的边长，根据三角形三边关系判断哪种情况成立，从而确定底和腰的长度；据此解答。 【详解】（cm） 如果腰是6cm，那么底是 （cm） 因为，所以围不成三角形，则这个等腰三角形的底是6cm。 腰长： （cm） 答：这个等腰三角形的底是6厘米，腰长是9厘米。 19．如下图，三角形ABC是等边三角形。已知∠1＝35°，求∠2的度数。 【答案】 【分析】因为三角形ABC是等边三角形，所以每个内角都是60°，即∠4＝60°。利用平角大小求出∠3，再结合内角和180°，最后求出∠2。 【详解】因为三角形ABC是等边三角形，所以， 所以， 所以 答：∠2的度数是25°。 20．公园里有一个等腰三角形的草坪，它的周长是186米，底边长是76米，这块草坪的腰长是多少米？ 【答案】 55米 【分析】等腰三角形特征：两条腰长相等，三角形周长是三条边长之和，用186米减去底边长再除以2即可求出腰长。 【详解】根据分析可得： （186－76）÷2 ＝110÷2 ＝55（米） 答：这块草坪的腰长是55米。 21．下面是创新小组同学在课堂上的操作记录，根据他们的操作记录，你可以得出什么数学结论？ 【答案】三角形的内角和为180° 【分析】三角形的三个角折在一起变成了一个平角，平角＝180°，说明三角形的内角和为180°。 【详解】三角形的三个角折成了一个平角，所以根据他们的操作记录，可以得出三角形的内角和为180°。 22．为方便阅读，笑笑自己制作了一个等腰三角形的书签。书签周长是24厘米，其中一条边长是10厘米，你觉得书签有哪几种形状？请你算一算等腰三角形书签的另外两条边的长分别是多少厘米？并画出书签示意图。 【答案】10厘米、4厘米或者7厘米、7厘米；画图见详解 【分析】三角形的周长是指三边的长度之和，已知周长为24厘米，则三角形的三边之和为24厘米；先假设10厘米的边长是腰长，求出底长；根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，判断是否符合三角形三边关系，符合，则能围成这个等腰三角形；同理假设10厘米的边长是底长，求出腰长，再根据三角形三边关系判断是否能围成等腰三角形。 【详解】第一种情况：如果10厘米是等腰三角形的腰长 那么底边的长是24－10－10＝4（厘米） 10＋4＞10，符合三角形三边关系，如下图： 第二种情况：如果10厘米是等腰三角形的底长 两条腰长的和是24－10＝14厘米，腰长是14÷2＝7（厘米） 7＋7＞10，符合三角形三边关系，如下图： 答：等腰三角形书签的另外两条边的长分别是10厘米、4厘米或者7厘米、7厘米。 23．爸爸和明明去工艺品店，买了一个三角铁艺桌面书架。已知每个三角形都是等腰三角形，顶角是80度，一个底角是多少度？ 【答案】50度 【分析】等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和为180°。 已知一个等腰三角形的顶角是80度，用三角形的内角和减去80°，求出两个底角的和，再除以2，就是一个底角的度数，列式计算即可。 【详解】（180－80）÷2 ＝100÷2 ＝50（度） 答：一个底角是50度。 24．公园的草坪上有一块三角形的警示牌，已知它是一个等腰三角形，并且三个角都是锐角。测得其中一个角是70度，另外两个角可能是多少度？（请写出所有的情况） 【答案】70度和40度；55度和55度 【分析】如果70度是底角，还有一个底角是也是70度，根据三角形内角和为180度，可算出顶角为40度。 如果70度是顶角，根据三角形内角和为180度，两个底角和为180度－70度＝110度，除以2求出底角；据此解答。 【详解】第一种情况：70度是底角 180－70×2 ＝180－140 ＝40（度）                                                第二种情况：70度是顶角 （180－70）÷2 ＝110÷2 ＝55（度） 答：如果70度是底角，另外两个角是70度和40度，如果70度是顶角，另外两个角是55度和55度。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $