第三单元 运算律 奥数专项提升讲义（知识讲解+考点讲解+真题训练）2025-2026学年人教版数学四年级下册

第三单元 运算律 奥数专项提升讲义 知识讲解 一、核心基础知识点（奥数必背） 1. 加法运算律 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。 公式： 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变。 公式： 2. 乘法运算律 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。 公式： 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变。 公式： 乘法分配律（奥数核心）：一个数乘两个数的和/差，等于这个数分别乘这两个数，再相加/相减。 正用：； 逆用：； 3. 减法/除法运算性质（奥数巧算关键） 减法性质：连续减两个数 = 减这两个数的和；括号前是减号，去括号要变号。 公式：； 除法性质（除数≠0）：连续除两个数 = 除以这两个数的积；括号前是除号，去括号要变号。 公式：； 二、奥数核心拓展技巧 1.凑整巧算 利用运算律把数凑成整十、整百、整千（如、），简化计算。 2.提取公因数 乘法分配律逆用，找到算式中相同因数，合并后计算，是奥数速算必考方法。 3.拆分法 把复杂数拆成整十/整百±数（如）或因数相乘（如），适配运算律。 4.添/去括号变号 括号前是减号、除号，添/去括号时，括号内**+变-、-变+；×变÷、÷变×。 5.分组计算 长串加减/乘除算式，按规律分组，用运算律快速求和/积。 三、奥数易错点提醒 1.乘法分配律漏乘：只算，漏掉。 2.添/去括号不变号：减号、除号后去括号，未改变运算符号。 3.除法性质误用：忽略除数不能为0，混淆与。 4.运算律跨级混用：加减与乘除不能随意交换、结合，仅同级运算可用。 5.提取公因数找错：无法准确识别算式中的相同因数。 四、奥数解题口诀 加乘交换顺序换，结合凑整更简便； 分配乘开要全算，逆用提取公因数； 减除括号看符号，去括变号记心间； 除法连除变相乘，除数为零不能算； 拆分凑整巧简化，运算定律记周全。 考点讲解 考点1：凑整法巧算（基础必考） 核心：用结合律凑整，避免硬算。 例： 考点2：乘法分配律正用/逆用/拓展（核心考点） 核心：正用拆括号，逆用提公因数，拓展算近整十/整百数。 例：； 考点3：添去括号+减/除性质（高频） 核心：变号规则+性质简化，适用于连加、连减、连除。 例：； 考点4：运算律综合应用（提升） 核心：结合错中求解、归一归总、和差倍问题，用运算律列式巧算。 真题训练 1．19×4×25＝19×（4×25）应用了乘法的（    ）。 A．交换律 B．结合律 C．分配律 D．交换律和分配律 【答案】B 【分析】乘法交换律：交换两个因数的位置，积不变，用字母表示为：a×b＝b×a；乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再与第三个数相乘，或者是先把后两个数相乘，再与第一个数相乘，积不变，用字母表示为：（a×b）×c＝a×（b×c）；乘法分配律：一个数乘两个数的和，等于这个数分别乘这两个加数，然后把乘得的积相加，用字母表示为：（a＋b）×c＝a×c＋b×c；据此解答即可。 【详解】19×4×25＝19×（4×25）应用了乘法的结合律。 2．四（1）班有40个学生，老师给每个学生发6个语文作业本，14本数学作业本，一共要准备多少个作业本。算式正确的是（    ）。 A．40×6＋14 B．40×6×14 C．（6＋14）×40 D．6＋14×40 【答案】C 【分析】要求需要准备多少本作业本，可以用发作业本的本数乘学生数，分别求出语文作业本总数和数学作业本总数，再相加即可；也可以先求出语文作业本和数学作业本的总本数，再乘学生数即可。                  【详解】6×40＋14×40 ＝（6＋14）×40 ＝20×40 ＝800（本） 所以，要求一共要准备多少个作业本，算式是6×40＋14×40或（6＋14）×40。 3．29×18＋29×82＝29×（18＋82）＝2900，运用了（    ）。 A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．都不正确 【答案】C 【分析】两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变，叫做乘法交换律；乘法结合律是指三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另一个数相乘，积不变的乘法运算方法；乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加，据此选择即可。 【详解】计算29×18＋29×82时，根据乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c的逆运算，将算式改写成29×（18＋82），最后按运算顺序计算即可。 运用了乘法分配律。 4．下列运算过程错误的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】99＝100－1，a－99＝a－（100－1），然后去括号为a－100＋1； 利用除法的性质，一个数连续除以两个数，等于这个数除以后面两个数的积，所以a÷11÷8＝a÷（11×8）； 乘法分配律逆运算，（a＋b）×c＝a×c＋b×c； 乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c，利用乘法分配律，a×99＋a＝a×（99＋1）＝a×100。 【详解】A．a－99＝a－100＋1，原题干错误，符合题意； B．a÷11÷8＝a÷（11×8），原题干正确，不符合题意； C．（a＋b）×4＝a×4＋b×4，原题干正确，不符合题意； D．a×99＋a＝a×100，原题干正确，不符合题意。 5．聪明的高斯快速地计算出了1＋2＋3＋…＋98＋99＋100的和是5050。你能快速地计算出100＋99＋98＋…＋3＋2＋1的和是多少吗？你计算出的结果是（    ）。 A．1265 B．2525 C．5050 D．10100 【答案】C 【分析】根据题意，因为100＋99＋98＋＋3＋2＋1与1＋2＋3＋＋100包含相同的加数（从1到100的所有整数），只是顺序不同。根据加法交换律，改变加数的顺序不影响和。已知1＋2＋3＋＋100的和是5050，所以100＋99＋98＋＋1的和也应是5050。以此答题即可。 【详解】根据分析： 100＋99＋98＋…＋3＋2＋1＝5050 故答案为：C 6．肖弘用计算器计算，可是计算器的“4”坏了，但他还是用这个计算器计算出了正确的结果，他用的方法不可能是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】，将34拆成（17×2），交换235和17的位置，从左往右计算； 将34拆成（35－1），根据乘法分配律，235分别与小括号里的数相乘，再相减； 将34拆成（33＋1），根据乘法分配律，235分别与小括号里的数相乘，再相加； 将34拆成（21＋13），根据乘法分配律，235分别与小括号里的数相乘，再相加。 【详解】A．235×34 ＝235×（17×2） ＝17×235×2→与选项相同 ＝3995×2 ＝7990 B．235×34 ＝235×（35－1） ＝235×35－235×1 ＝235×35－235 ＝8225－235 ＝7990 选项方法错误。 C．235×34 ＝235×（33＋1） ＝235×33＋235×1 ＝235×33＋235→与选项相同 ＝7755＋235 ＝7990 D．235×34 ＝235×（21＋13） ＝235×21＋235×13→与选项相同 ＝4935＋3055 ＝7990 他用的方法不可能是。 故答案为：B 7．明明在计算4×（△＋□）时，看成了4×△＋□，结果比原来少24，如果把少的部分在图上圈出来，下面正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据乘法分配律，可以把4×（△＋□）化成4×△＋4×□，所以错看成4×△＋□的结果比原来少3个□，据此解答。 【详解】根据分析可知，少的部分是3个□； A．，圈出的部分是4个□，不符合题意，该选项错误； B．，圈出的部分是3个△，不符合题意，该选项错误； C．，圈出的部分是3个□，符合题意，该选项正确； D．，圈出的部分是3个△和3个□，不符合题意，该选项错误。 故答案为：C 8．在下面情境中，能解释“（10＋8）×25＝10×25＋8×25”的共有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】两位数乘两位数的计算方法：先是用第二个因数的个位上的数与第一个因数相乘；接着用第二个因数的十位上的数与第一个因数相乘，最后把两次乘得的积相加。 单价×数量＝总价，据此先算出买笔记本和订书机各花了多少钱，再相加，算出一共的钱数。或者先算出买一本笔记本和一个订书机的价格和，再用价格和乘25，算出一共的钱数； 长方形的面积＝长×宽，由图可知，面积之和有两种求法；第一种，可以直接求出大长方形的宽，然后直接用长乘宽。第二种，可以分别求出两个小长方形的面积，再把它们加起来 把三段线段相加就是一共长多少。 【详解】笔算25×18时，先算8×25＝200，再算10×25＝250，最后算200＋250＝450。所以18×25＝（8＋10）×25＝8×25＋10×25，满足题意。 方法一：买笔记本一共花了8×25＝200（元），买订书机一共花了10×25＝250（元），所以一共花了200＋250＝450（元）。 方法二：先算买一本笔记本和一个订书机的价格和是8＋10＝18（元），一共花了18×25＝450（元），也就是（8＋10）×25＝450（元）。所以18×25＝（8＋10）×25＝8×25＋10×25，满足题意。 方法一：先算大长方形的宽是10＋8＝18，再算大长方形的面积是18×25＝450，也就是（8＋10）×25＝450。 方法二：下面的长方形的面积是8×25＝200，上面的长方形的面积是10×25＝250，所以大长方形的面积是200＋250＝450。所以18×25＝（8＋10）×25＝8×25＋10×25，满足题意。要求一共有多长，只需要8＋10＋25即可，不能解释（8＋10）×25＝8×25＋10×25。 综上所述，能解释“（8＋10）×25＝8×25＋10×25”的共有3个。 故答案为：C 9．42×26＋42×74＝42×（26＋74）＝4200，这里运用了( )律。 【答案】乘法分配 【分析】观察题中算式，等号左边是42分别乘26与74，然后将所得的积相加，等号右边是先将26与74相加，然后再用所得的和与42相乘，我们可以根据乘法分配律的定义：一个数分别与另两个数相乘，然后将所得积相加，也可将另两个数相加，然后用所得和与这个数相乘，所得结果不变，可以得出这里运用了乘法分配律。 【详解】42×26＋42×74＝42×（26＋74）＝4200，这里运用了乘法分配律。 10．每块香皂重125克，每5块装1盒，这样的8盒香皂重( )千克。 【答案】5 【分析】先用每块香皂的重量乘一盒的数量，算出一盒香皂的重量。再用一盒香皂的重量乘8盒，求出8盒香皂的总重量。最后根据1千克＝1000克换算单位。计算时注意使用乘法交换律使计算简便。 【详解】125×5×8 ＝125×8×5 ＝1000×5 ＝5000（克） 5000克＝5千克 这样的8盒香皂重5千克。 11．59×99＋59＝59×( )，这个算式是根据( )律来简便计算的。 【答案】 99＋1 乘法分配 【分析】把后面单独的59看成59乘1，这样算式就变成两个乘法算式相加，且两个乘法算式中有相同的因数，符合乘法分配律的形式，再把相同因数提取出来，将剩下的两个数相加，从而进行简便计算。 【详解】根据分析： 59×99＋59 ＝59×99＋59×1 ＝59×（99＋1） ＝59×100 ＝5900 运用到了乘法分配律。 12．小鹏用计算器计算36×2999时，不小心把36输成了37，得到的结果是110963，请问得到的这个结果比正确的结果大( )。 【答案】2999 【分析】36×2999表示36个2999，37×2999表示37个2999，37个2999比36个2999多1个2999，也就是得到的结果比正确结果大2999；乘法分配律逆运算：a×c＋b×c＝（a＋b）×c。 【详解】37×2999－36×2999 ＝（37－36）×2999 ＝2999 小鹏用计算器计算36×2999时，不小心把36输成了37，得到的结果是110963，请问得到的这个结果比正确的结果大2999。 13．小明将17×（□＋3）算成17×□＋3，他算出的结果与正确答案相差________。 【答案】 48 【分析】根据题意，根据乘法分配律求出17×（□＋3）的结果，再减去17×□＋3，然后再进一步解答。 【详解】17×（□＋3）－（17×□＋3） ＝17×□＋17×3－17×□－3 ＝（17×□－17×□）＋（17×3－3） ＝51－3 ＝48 小明将17×（□＋3）算成17×□＋3，他算出的结果与正确答案相差48。 14．如果△×&＝30，那么（△×100）×&＝( )；如果☆－#＝10，那么85×☆－85×#＝( )。 【答案】 3000 850 【分析】乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变；三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。根据乘法结合律与乘法交换律把原式变为△×&×100，然后代入数据进行计算； 乘法分配律：一个数乘两个数的和，等于这个数分别乘这两个加数，然后把乘得的积相加。根据乘法分配律的逆运算，将原式变为85×（☆－#），然后代入数据进行计算。 【详解】△×&＝30 （△×100）×& ＝△×100×& ＝△×&×100 ＝30×100 ＝3000 ☆－#＝10 85×☆－85×# ＝85×（☆－#） ＝85×10 ＝850 如果△×&＝30，那么（△×100）×&＝3000；如果☆－#＝10，那么85×☆－85×#＝850。 15．125×88＝125×（80＋8）＝125×80＋125×8，这是运用了( )律。 【答案】乘法分配 【分析】计算125×88时，可以先把88拆成80＋8，算式变成125×（80＋8），然后根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c把算式变成125×80＋125×8，据此解答。 【详解】125×88 ＝125×（80＋8） ＝125×80＋125×8 ＝10000＋1000 ＝11000 125×88＝125×（80＋8）＝125×80＋125×8，这是运用了（乘法分配）律。 16．已知34×－34×＝340，则－＝( )；已知＋＝20，则45×＋45×＝( )。 【答案】 10 900 【分析】乘法分配律：两个数的和（或差）与第三个数相乘，可以把这两个数与第三个数分别相乘再相加（或相减）。 （1）由题意得，利用乘法分配律将算式34×－34×＝340转化为34×（－）＝340，直接用340除以34即可算出－的值。 （2）利用乘法分配律将算式45×＋45×转化为45×（＋），然后将＋的值代入即可算出45×＋45×的值。 【详解】 （1）34×－34×＝34×（－）＝340，所以－＝340÷34＝10。 （2）45×＋45×＝45×（＋）＝45×20＝900。 因此已知34×－34×＝340，则－＝10；已知＋＝20，则45×＋45×＝900。 17．计算，能简算的要简算。 8×25×125×4             555－222－178            3700÷4÷25 28×86＋86×73－86                      （244－124÷4）×5 【答案】100000；155；37； 8600；1065 【分析】（1）根据乘法交换律：a×b＝b×a和乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）或a×b×c＝a×（b×c），变算式为：4×25×（8×125），再进行计算。 （2）根据减法的性质：a－b－c＝a－（b＋c），变算式为：555－（222＋178），再进行计算。 （3）根据除法的性质：a÷b÷c＝a÷（b×c），变算式为：3700÷（4×25），再进行计算。 （4）根据乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，变算式为：86×（28＋73－1），再进行计算。 （5）先算小括号里的除法，再算小括号里的减法，最后算乘法。 【详解】8×25×125×4                          ＝（125×8）×（25×4）           ＝1000×100                                ＝100000                                        555－222－178 ＝555－（222＋178） ＝555－400 ＝155 3700÷4÷25 ＝3700÷（25×4） ＝3700÷100 ＝37 28×86＋86×73－86                          ＝86×（28＋73－1） ＝86×（101－1） ＝86×100                                 ＝8600                                     （244－124÷4）×5 ＝（244－31）×5 ＝213×5 ＝1065 18．计算下面各题，怎样简便就怎样算。 412－198÷6            268－156－44           1300÷25÷4      16×5＋120÷8       83×16－16×58      （103－88）×12÷6 【答案】379；68；13 95；400；30 【分析】（1）先算除法，再算减法； （2）根据减法的性质，式子可写为：268－（156＋44），然后计算； （3）根据除法的性质，式子可写为：1300÷（25×4），然后计算； （4）先算乘除法，再算加法； （5）根据乘法分配律，式子可写为：16×（83－58），然后计算； （6）先算括号内的减法，再算括号外的乘法，最后算除法。 【详解】412－198÷6                          ＝412－33                  ＝379                                   268－156－44 ＝268－（156＋44） ＝268－200 ＝68 1300÷25÷4 ＝1300÷（25×4） ＝1300÷100 ＝13 16×5＋120÷8              ＝80＋15                     ＝95                                 83×16－16×58 ＝16×（83－58） ＝16×25 ＝400 （103－88）×12÷6 ＝15×12÷6 ＝180÷6 ＝30 19．计算下面各题，怎样简便就怎样算。 564＋626＋136          9900÷36÷25            245－145÷5            （231－199）×125÷5      63×67＋63×33      25×（212－196）÷8 【答案】1326；11；216； 800；6300；50 【分析】根据加法交换律a＋b＝b＋a，将算式变成：564＋136＋626再计算； 根据除法的性质a÷b÷c＝ a÷（b×c），将算式变成9900÷（36×25）再计算； 先计算除法，再计算减法； 先计算小括号内减法，得到32×125÷5，将32看成4×8，再利用乘法结合律把算式变成4×（8×125）÷5再计算； 利用乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c的逆运算，将算式变成（67＋33）×63再计算； 先计算小括号内减法，得到25×16÷8，将16看成4×4，再计算。 【详解】564＋626＋136 ＝564＋136＋626 ＝700＋626 ＝1326 9900÷36÷25 ＝9900÷（36×25） ＝11 245－145÷5 ＝245－29 ＝216 （231－199）×125÷5 ＝32×125÷5 ＝4×（8×125）÷5 ＝4×1000÷5 ＝4000÷5 ＝800 63×67＋63×33   ＝（67＋33）×63 ＝6300 25×（212－196）÷8 ＝25×16÷8 ＝25×4×4÷8 ＝100×4÷8 ＝400÷8 ＝50 20．脱式计算，怎么简便怎么算。 28.72＋15.5－8.72            103×13            8100÷25÷81 15×[240÷（60－48）]        108×47－47×8        35×125×16 【答案】35.5；1339；4； 300；4700；70000 【分析】28.72＋15.5－8.72交换15.5与8.72的位置，先减8.72再加15.5； 103×13把103改成（100＋3），再根据乘法分配率进行简便； 8100÷25÷81交换25和81的位置，先除以81，再除以25； 15×[240÷（60－48）]先算小括号里面的减法，再算中括号里面的除法，最后算乘法； 108×47－47×8根据乘法分配律进行简便，将算式变为47×（108－8）； 35×125×16把16改成2×8，然后运用乘法结合律，让35和2相乘，125和8相乘，再将两个积相乘。 【详解】28.72＋15.5－8.72 ＝28.72－8.72＋15.5 ＝20＋15.5 ＝35.5 103×13 ＝（100＋3）×13 ＝100×13＋3×13 ＝1300＋39 ＝1339 8100÷25÷81 ＝8100÷80÷25 ＝100÷25 ＝4 15×[240÷（60－48）] ＝15×[240÷12] ＝15×20 ＝300 108×47－47×8 ＝47×（108－8） ＝47×100 ＝4700 35×125×16 ＝35×125×2×8 ＝（35×2）×（125×8） ＝70×1000 ＝70000 21．水果店运来苹果和雪梨各25件，苹果每件14千克，雪梨每件16千克，两种水果一共运来多少千克？ 【答案】750千克 【分析】根据题意，用每件质量×件数分别求出苹果和雪梨的质量，再相加即可求出水果的总质量，计算时可利用乘法分配律简算。 【详解】14×25＋16×25 ＝（14＋16）×25 ＝30×25 ＝750（千克） 答：两种水果一共运来750千克。 22．玩具店运进15箱布娃娃，每箱布娃娃有12个，每个卖14元，这些布娃娃一共可以卖多少钱？ 【答案】2520元 【分析】已知布娃娃的箱数、每箱个数及单个售价，可先计算出每箱布娃娃总价，再乘箱数（每箱价格×箱数＝总价），即可列出算式（14×12）×15，运用乘法结合律，先算12×15更简便，据此解答。 【详解】（14×12）×15 ＝14×（12×15） ＝14×180 ＝2520（元） 答：这些布娃娃一共可以卖2520元。 23．绵阳市东山运动公园河道景观区准备种梅花4800株，根据品种不同平均分成4块，每块有25行，平均每行种梅花多少株？ 【答案】48株 【分析】用总数依次除以分成的块数和每块的行数，就能求出平均每行种的株数。计算时注意使用除法的性质简算。 【详解】4800÷4÷25 ＝4800÷（4×25） ＝4800÷100 ＝48（株） 答：平均每行种梅花48株。 24．小宇在计算（25＋a）×8时，漏掉了括号，算成了25＋a×8，那么正确结果与错误结果相差多少？ 【答案】175 【分析】原式根据乘法分配律可以写成，与错误的算式相减，可消去变量a的影响得到固定值。据此解答。 【详解】 答：正确结果与错误结果相差175。 25．中国传统书画擅长将书法和绘画结合，且自古就有“书画同源”的说法。如下图，涂色部分为绘画作品，空白部分为书法作品。书法作品的面积是多少？ 【答案】6000平方厘米 【分析】将书法作品部分分成如图所示的两个长方形，根据长方形面积=长×宽，列出算式，利用乘法分配律将算式变成进行简便运算。 【详解】 （平方厘米） 答：书法作品的面积是6000平方厘米。 26．4月23日是世界读书日，为迎接读书日的到来，图书馆新进了28箱故事书和22箱漫画书，故事书和漫画书每箱都有24本，一共新进多少本图书？ 【答案】1200本 【分析】要计算图书馆一共新进的图书数量，可通过“先算总箱数，再算总本数”或“先分别算两类书的本数，再求和”两种思路解决，核心是利用“总数量＝每箱数量×箱数”的关系，具体如下： 思路一（先算总箱数）：   先求出故事书和漫画书的总箱数，再用总箱数乘每箱的固定本数（24本），即可得到新进图书的总数。 思路二（先分别算两类书的本数）：   先分别算出故事书的总本数（故事书箱数×24）和漫画书的总本数（漫画书箱数×24），再将两类书的本数相加，得到总数。 【详解】方法一：先算总箱数，再算总本数 （28＋22）×24 ＝50×24 ＝1200（本） 总本数＝50×24＝1200（本） 方法二：先分别算两类书的本数，再求和 故事书总本数＝28×24＝672（本） 漫画书总本数＝22×24＝528（本）   总数＝672＋528 ＝1200（本） 答：一共新进1200本图书。 27．四季超市为了迎接端午节促销活动，从仓库调运了一批粮食。已知大米和面粉各运来了48袋，大米每袋75千克，面粉每袋25千克，超市经理王阿姨需要快速计算出这批粮食的总重量，以便安排仓储，你能帮王阿姨算算一共运来了大米和面粉共多少千克吗？ 【答案】4800千克 【分析】由题意得，大米和面粉各运来了48袋，大米每袋75千克，面粉每袋25千克。可以用大米每袋的质量乘上48算出大米的总质量，然后再用面粉每袋的质量乘上48算出面粉的总质量，然后把它们的质量加起来即可算出大米和面粉一共的质量。计算时，利用乘法分配律可使计算简便。 【详解】75×48＋25×48 ＝（75＋25）×48 ＝100×48 ＝4800（千克） 答：一共运来了大米和面粉共4800千克。 28．某商场举办促销活动，冰箱每台优惠660元，标价满5000元的再减340元。王阿姨想买一台标价5598元的冰箱只需付多少钱？ 【答案】4598元 【分析】原价满5000元可以优惠340元，先减去660元就是优惠价，再减去340元，就是王阿姨要付的钱数。列式为5598－660－340，再根据减法的性质简算：a－b－c＝a－（b＋c）。 【详解】5598－660－340 ＝5598－（660＋340） ＝5598－1000 ＝4598（元） 答：王阿姨想买一台标价5598元的冰箱只需付4598元。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 运算律 奥数专项提升讲义 知识讲解 一、核心基础知识点（奥数必背） 1. 加法运算律 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。 公式： 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变。 公式： 2. 乘法运算律 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。 公式： 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变。 公式： 乘法分配律（奥数核心）：一个数乘两个数的和/差，等于这个数分别乘这两个数，再相加/相减。 正用：； 逆用：； 3. 减法/除法运算性质（奥数巧算关键） 减法性质：连续减两个数 = 减这两个数的和；括号前是减号，去括号要变号。 公式：； 除法性质（除数≠0）：连续除两个数 = 除以这两个数的积；括号前是除号，去括号要变号。 公式：； 二、奥数核心拓展技巧 1.凑整巧算 利用运算律把数凑成整十、整百、整千（如、），简化计算。 2.提取公因数 乘法分配律逆用，找到算式中相同因数，合并后计算，是奥数速算必考方法。 3.拆分法 把复杂数拆成整十/整百±数（如）或因数相乘（如），适配运算律。 4.添/去括号变号 括号前是减号、除号，添/去括号时，括号内**+变-、-变+；×变÷、÷变×。 5.分组计算 长串加减/乘除算式，按规律分组，用运算律快速求和/积。 三、奥数易错点提醒 1.乘法分配律漏乘：只算，漏掉。 2.添/去括号不变号：减号、除号后去括号，未改变运算符号。 3.除法性质误用：忽略除数不能为0，混淆与。 4.运算律跨级混用：加减与乘除不能随意交换、结合，仅同级运算可用。 5.提取公因数找错：无法准确识别算式中的相同因数。 四、奥数解题口诀 加乘交换顺序换，结合凑整更简便； 分配乘开要全算，逆用提取公因数； 减除括号看符号，去括变号记心间； 除法连除变相乘，除数为零不能算； 拆分凑整巧简化，运算定律记周全。 考点讲解 考点1：凑整法巧算（基础必考） 核心：用结合律凑整，避免硬算。 例： 考点2：乘法分配律正用/逆用/拓展（核心考点） 核心：正用拆括号，逆用提公因数，拓展算近整十/整百数。 例：； 考点3：添去括号+减/除性质（高频） 核心：变号规则+性质简化，适用于连加、连减、连除。 例：； 考点4：运算律综合应用（提升） 核心：结合错中求解、归一归总、和差倍问题，用运算律列式巧算。 真题训练 1．19×4×25＝19×（4×25）应用了乘法的（    ）。 A．交换律 B．结合律 C．分配律 D．交换律和分配律 2．四（1）班有40个学生，老师给每个学生发6个语文作业本，14本数学作业本，一共要准备多少个作业本。算式正确的是（    ）。 A．40×6＋14 B．40×6×14 C．（6＋14）×40 D．6＋14×40 3．29×18＋29×82＝29×（18＋82）＝2900，运用了（    ）。 A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．都不正确 4．下列运算过程错误的是（    ）。 A． B． C． D． 5．聪明的高斯快速地计算出了1＋2＋3＋…＋98＋99＋100的和是5050。你能快速地计算出100＋99＋98＋…＋3＋2＋1的和是多少吗？你计算出的结果是（    ）。 A．1265 B．2525 C．5050 D．10100 6．肖弘用计算器计算，可是计算器的“4”坏了，但他还是用这个计算器计算出了正确的结果，他用的方法不可能是（    ）。 A． B． C． D． 7．明明在计算4×（△＋□）时，看成了4×△＋□，结果比原来少24，如果把少的部分在图上圈出来，下面正确的是（    ）。 A． B． C． D． 8．在下面情境中，能解释“（10＋8）×25＝10×25＋8×25”的共有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 9．42×26＋42×74＝42×（26＋74）＝4200，这里运用了( )律。 10．每块香皂重125克，每5块装1盒，这样的8盒香皂重( )千克。 11．59×99＋59＝59×( )，这个算式是根据( )律来简便计算的。 12．小鹏用计算器计算36×2999时，不小心把36输成了37，得到的结果是110963，请问得到的这个结果比正确的结果大( )。 13．小明将17×（□＋3）算成17×□＋3，他算出的结果与正确答案相差________。 14．如果△×&＝30，那么（△×100）×&＝( )；如果☆－#＝10，那么85×☆－85×#＝( )。 15．125×88＝125×（80＋8）＝125×80＋125×8，这是运用了( )律。 16．已知34×－34×＝340，则－＝( )；已知＋＝20，则45×＋45×＝( )。 17．计算，能简算的要简算。 8×25×125×4             555－222－178            3700÷4÷25 28×86＋86×73－86                      （244－124÷4）×5 18．计算下面各题，怎样简便就怎样算。 412－198÷6            268－156－44           1300÷25÷4      16×5＋120÷8       83×16－16×58      （103－88）×12÷6 19．计算下面各题，怎样简便就怎样算。 564＋626＋136          9900÷36÷25            245－145÷5            （231－199）×125÷5      63×67＋63×33      25×（212－196）÷8 20．脱式计算，怎么简便怎么算。 28.72＋15.5－8.72            103×13            8100÷25÷81 15×[240÷（60－48）]        108×47－47×8        35×125×16 21．水果店运来苹果和雪梨各25件，苹果每件14千克，雪梨每件16千克，两种水果一共运来多少千克？ 22．玩具店运进15箱布娃娃，每箱布娃娃有12个，每个卖14元，这些布娃娃一共可以卖多少钱？ 23．绵阳市东山运动公园河道景观区准备种梅花4800株，根据品种不同平均分成4块，每块有25行，平均每行种梅花多少株？ 24．小宇在计算（25＋a）×8时，漏掉了括号，算成了25＋a×8，那么正确结果与错误结果相差多少？ 25．中国传统书画擅长将书法和绘画结合，且自古就有“书画同源”的说法。如下图，涂色部分为绘画作品，空白部分为书法作品。书法作品的面积是多少？ 26．4月23日是世界读书日，为迎接读书日的到来，图书馆新进了28箱故事书和22箱漫画书，故事书和漫画书每箱都有24本，一共新进多少本图书？ 27．四季超市为了迎接端午节促销活动，从仓库调运了一批粮食。已知大米和面粉各运来了48袋，大米每袋75千克，面粉每袋25千克，超市经理王阿姨需要快速计算出这批粮食的总重量，以便安排仓储，你能帮王阿姨算算一共运来了大米和面粉共多少千克吗？ 28．某商场举办促销活动，冰箱每台优惠660元，标价满5000元的再减340元。王阿姨想买一台标价5598元的冰箱只需付多少钱？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $