第九单元 数学广角——鸡兔同笼 奥数专项提升讲义（知识讲解+考点讲解+真题训练）2025-2026学年人教版数学四年级下册

第九单元 数学广角——鸡兔同笼 奥数专项提升讲义 知识讲解 一、核心基础拓展（奥数入门必备） 1. 鸡兔同笼本质深化 课本核心： 已知鸡兔总头数、总脚数，求鸡、兔各自数量的典型应用题。 奥数拓展： ① 假设法是奥数解题核心，适用于所有鸡兔同笼基础题与变式题； ② 抬腿法为趣味速算技巧，简化脚数计算，适合口算巧解； ③ 分组法针对含倍数、数量关系的变式题，是奥数提升关键； ④ 可转化模型：得失问题、硬币问题、坐船问题等，均能套用鸡兔同笼思路。 2. 核心数量关系 总头数 = 鸡的数量 + 兔的数量 总脚数 = 鸡的数量×2 + 兔的数量×4 核心公式：脚数总差 ÷ 单只脚数差 = 另一种动物数量 假设全是鸡：兔的数量 =（总脚数 - 总头数×2）÷（4-2） 假设全是兔：鸡的数量 =（总头数×4 - 总脚数）÷（4-2） 3. 鸡兔同笼奥数应用（重点） 标准鸡兔同笼：基础假设法求解； 抬腿巧算：简化脚数，快速口算； 分组解题：适配倍数、脚数关系变式； 模型转化：得失、硬币、租车等生活题归为鸡兔同笼； 综合应用：结合和差倍、四则运算列式求解。 二、奥数易错点提醒 单只脚数混淆：记错鸡2只脚、兔4只脚，导致脚数差计算错误； 假设法差额算错：总脚数差与单只脚数差对应错误，结果颠倒； 变式题未转化：得失问题只算得分、忽略扣分，总差额计算不全； 分组法规律找错：倍数/数量关系对应错误，分组数量不符； 隐藏条件忽略：未统一头数、单位，直接套用公式。 三、奥数解题口诀 鸡兔同笼用假设，全鸡全兔先算差； 总差除以单只差，另种数量就到家； 抬腿减半更简便，分组变式找规律； 得失问题算总分，差额对应求答案。 考点讲解 考点1：标准鸡兔同笼（最常考） 核心思路：用假设法，假设全是鸡或全是兔，通过脚数差求数量。 典型例题：鸡兔同笼，头共35，脚共94，鸡、兔各有几只？ 解题步骤： 假设全是鸡：总脚数=35×2=70（只） 脚数总差=94-70=24（只） 兔的数量=24÷(4-2)=12（只） 鸡的数量=35-12=23（只） 考点2：抬腿法巧解（奥数速算） 核心思路：让鸡兔同时抬腿，简化总脚数，快速得出兔的数量。 典型例题：同上题 解题步骤： 鸡兔各抬2只脚，剩余脚数=94-35×2=24（只） 剩余脚全是兔的，每只兔剩2只脚，兔=24÷2=12（只） 鸡=35-12=23（只） 考点3：分组法解变式（奥数提升） 核心思路：已知鸡兔倍数/脚数关系，按规律分组，用总头数求组数。 典型例题：鸡兔共100只，兔脚总数是鸡脚总数的3倍，鸡、兔各几只？ 解题步骤： 由脚数关系得：3只鸡+2只兔为一组（鸡6脚，兔8脚，8是6的3倍） 每组5只，总组数=100÷5=20（组） 鸡=3×20=60（只），兔=2×20=40（只） 考点4：得失问题转化（核心变式） 核心思路：答对得分、答错扣分，总差额=得分+扣分，转化为脚数差。 典型例题：抢答赛答对加10分，答错扣5分，小明答10题得70分，答对几题？ 解题步骤： 假设全对：总得分=10×10=100（分） 分数差=100-70=30（分） 答错1题差10+5=15（分），答错=30÷15=2（题） 答对=10-2=8（题） 考点5：生活类鸡兔同笼（综合应用） 核心思路：将硬币、租车、坐船等问题，转化为鸡兔同笼模型求解。 典型例题：20元、50元纸币共10张，总钱数380元，两种纸币各几张？ 解题步骤： 假设全是20元：总钱数=10×20=200（元） 钱数差=380-200=180（元） 50元纸币=180÷(50-20)=6（张），20元纸币=10-6=4（张） 真题训练 1．鸡兔同笼，共46个头，128条腿，鸡、兔分别有（    ）只。 A．28、18 B．18、28 C．20、26 D．24、22 【答案】A 【分析】假设全部是鸡，这样算出的总腿数会比实际少，这个差值是因为把兔当成鸡来算，每只兔少算了2条腿，用总腿数差除以每只兔少算的腿数，就能得到兔的数量，再用总只数减去兔的数量，就得到鸡的数量。 【详解】假设全部是鸡。 46×2＝92（条） 兔的数量：（128－92）÷（4－2） ＝36÷2 ＝18（只） 鸡的数量：46－18＝28（只） 所以鸡有28只，兔有18只。 2．五（1）班同学上手工课，共折纸船和纸飞机16个，做一个纸船需要5张彩纸，做一个纸飞机需要3张彩纸，他们一共用了68张彩纸。纸船做了（    ）个。 A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】假设全部折的是纸飞机，计算所需彩纸总数；再对比实际使用的彩纸数，计算差值； 接着计算每个纸船比纸飞机多用几张彩纸；最后用总差值除以单个差异张数，得到纸船数量。 【详解】假设全部折的是纸飞机，则 16个纸飞机需要的彩纸数：16×3＝48（张） 实际比假设多用的纸张数：68－48＝20（张） 每个纸船比纸飞机多用的张数：5－3＝2（张） 纸船数量为：20÷2＝10（个） 因此，纸船做了10个。 故答案为：C 3．某家具厂委托“货拉拉”运送茶具到外地，安全送达一套得运费5元，如有破损则一套扣40元。“货拉拉”这次一共运送了100套茶具，得到410元运费。这次运送茶具有破损吗？其中安全送达的是几套？（    ） A．没有破损：100套 B．有破损；82套 C．有破损；98套 D．有破损；18套 【答案】C 【分析】已知安全送达一套得运费5元，如有破损则一套扣40元。“货拉拉”这次一共运送了100套茶具，得到410元运费。假设“货拉拉”这次运送的100套茶具全部安全送达，则一共得到运费（5×100）元，比实际多了（5×100－410）元，多出的钱数就是运输中损坏少得的钱数，每损坏一套不但得不到运费还要扣除40元，那么用多出的钱数除以损坏每套扣除的钱数和运费，计算出损坏的套数，再用总数减去损坏的套数计算出安全送达的套数。 【详解】5×100－410 ＝500－410 ＝90（元） 90÷（5＋40） ＝90÷45 ＝2（套） 100－2＝98（套） 所以这次运送茶具有破损，其中安全送达的是98套。 故答案为：C 4．有三轮车和自行车共18辆，车轮共39个，则其中三轮车有（    ）辆。 A．3 B．13 C．15 D．16 【答案】A 【分析】本题为鸡兔同笼问题，可以用假设法作答。自行车有2个车轮，三轮车有3个车轮，假设18辆全是自行车，则有18×2＝36个车轮，但是实际上有39个车轮，多的3个车轮就是因为将三轮车全部看作为自行车，每多一辆三轮车，就会多3－2＝1个车轮，据此求出三轮车的数量。 【详解】18×2＝36（个） 39－36＝3（个） 3－2＝1（个） 3÷1＝3（辆） 因此其中三轮车有3辆。 故答案为：A 5．前进小学“环保卫士”小分队11人参加捡废弃塑料瓶活动，男生每人捡了5个，女生每人捡了3个，一共捡了49个废弃塑料瓶。“环保卫士”小分队有女生（    ）人。 A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题是鸡兔同笼类问题，可以用假设法来解决该问题。假设11人全是男生，那么一共可以捡11×5＝55（个）废弃塑料瓶。实际捡了49个废弃塑料瓶，两者相差：55－49＝6（个）。每将一名男生换成一名女生，所捡的瓶子数量就会减少：5－3＝2（个），直接用6除以2即可算出女生的人数。 【详解】11×5＝55（个） 55－49＝6（个） 5－3＝2（个） 6÷2＝3（人），即“环保卫士”小分队有女生3人。 故答案为：A 6．投壶游戏规定：投入壶口记2分，投入壶耳记3分。明明一共投进12支箭矢，共计28分，投入壶耳有（    ）。 A．2支 B．4支 C．6支 D．8支 【答案】B 【分析】根据题意，假设12支都是投入壶耳，计算出总分：12×3＝36（分）；计算出总分比实际的多了多少：36－28＝8（分）；求出投入壶口和投入壶耳的分数差：3－2＝1（分）；用8÷1＝8（支），计算出投入壶口的支数；用12减去8，计算出投入壶耳的支数。以此计算出结果，再进行选择即可。 【详解】根据分析可知： （12×3－28）÷（3－2） ＝（36－28）÷1 ＝8÷1 ＝8（支） 12－8＝4（支） 投壶游戏规定：投入壶口记2分，投入壶耳记3分。明明一共投进12支箭矢，共计28分，投入壶耳有4支。 故答案为：B 7．为了践行“绿水青山就是金山银山”的理念，“环保卫士”小分队28人参加植树活动。女生每人栽2棵树，男生每人栽3棵树，小分队一共栽了71棵树，其中男生一共栽了（    ）棵。 A．13 B．15 C．26 D．45 【答案】D 【分析】假设全是男生，那么栽了28×3＝84（棵）树。比实际栽的树多84－71＝13（棵）。每名男生比女生多栽3－2＝1（棵）树，则女生有13÷1＝13（人），男生就有28－13＝15（人）。再用男生人数乘每名男生栽树棵数，求出男生栽树总棵数。 【详解】假设全是男生，则女生有： （28×3－71）÷（3－2） ＝（84－71）÷1 ＝13÷1 ＝13（人） 男生有：28－13＝15（人） 15×3＝45（棵） 其中男生一共栽了45棵。 故答案为：D 【点睛】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论。 8．数学竞赛共10道题，做对一题得8分，做错一题（或不做）倒扣5分，小明得41分，他共做错（或不做）了（    ）道题。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据题意，假设10道题全做对，则得（分），这样就少得（分）；实际做错一题比做对一题少（分），那么做错的题数（道），据此解答。 【详解】假设全部做对，那么答错（或不做）的题数： （道） 数学竞赛共10道题，做对一题得8分，做错一题（或不做）倒扣5分，小明得41分，他共做错（或不做）了（3）道题。 故答案为：B 【点睛】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论；也可以用方程进行解答。 9．笼子里有鸡和兔共20只，一共有64条腿，那么笼子里有( )只鸡，( )只兔。 【答案】 8 12 【分析】假设笼子里全是鸡，算出此时的总腿数。用实际腿数减去假设的腿数，得到多出的腿数，这部分是因为把兔当成鸡少算的腿数。每只兔比鸡多2条腿，用多出的腿数除以2，就能得到兔的数量，最后用总只数减去兔的数量，就是鸡的数量。 【详解】假设笼子里全是鸡。 2×20＝40（条） 兔的数量：（64－40）÷（4－2） ＝24÷2 ＝12（只） 鸡的数量：20－12＝8（只） 10．一车棚里有两轮电动车和三轮电动车共12辆，一共28个轮子，两轮电动车有( )辆、三轮电动车有( )辆。 【答案】 8 4 【分析】鸡兔同笼问题，已知车辆总数和轮子总数，假设12辆车全部为两轮电动车，计算出实际轮子与假设轮子总数的差值，因为每辆三轮车比两轮车多1个轮子，即假设时每辆三轮车少算了一个轮子，则假设与实际相差几个轮子，就有几辆三轮车，再用总辆数－三轮车数＝两轮车数。 【详解】假设12辆车全部为两轮电动车； 三轮车：（28－12×2）÷（3－2） ＝（28－24）÷1 ＝4÷1 ＝4（辆） 两轮车：12－4＝8（辆） 11．鸡兔同笼，共有5个头，18条腿，兔有( )只。 【答案】4 【分析】假设笼子里全部是鸡，一共有5只鸡，每只鸡有2条腿，一共有（5×2＝10）条腿，实际有18条腿，多出的是兔子的腿数，每只兔子比鸡多2条腿，用除法求出兔子的数量，最后用总数量减去兔子的数量就是鸡的数量，据此解答。 【详解】18－5×2 ＝18－10 ＝8（条） 8÷2＝4（只） 即兔有4只。 12．用假设法解决鸡兔同笼问题时，假设笼里全部是鸡，则算出来腿的只数肯定比题目已知条件中腿的总只数要( )。（填“多”或“少”） 【答案】少 【分析】用假设法解决鸡兔同笼问题时，假设笼里全部是鸡，那么相当于把一部分兔子看成了鸡。兔子有4只脚，鸡有2只脚，所以算出来腿的只数肯定比题目已知条件中腿的总只数要少。 【详解】用假设法解决鸡兔同笼问题时，假设笼里全部是鸡，则算出来腿的只数肯定比题目已知条件中腿的总只数要少。 13．想要科技发展，实验是必不可少的，这就要求我们有一定的动手能力，在学校劳动课上同学们动手折书签，第一小组有12名同学，男同学每人折2个，女同学每人折3个，一共折了32个书签，折书签的女同学有( )人。 【答案】8 【分析】假设全部是男同学，用男同学每人折的个数乘12，计算出可以折多少个，再与32求差，所得的数是由于把女同学看成男同学来计算引起的，用这个数除以每个女同学与男同学折的数量差，即可算出女同学有多少人。据此解答。 【详解】假设全部是男同学，则： 2×12＝24（个） 32－24＝8（个） 3－2＝1（个） 女同学：8÷1＝8（人） 想要科技发展，实验是必不可少的，这就要求我们有一定的动手能力，在学校劳动课上同学们动手折书签，第一小组有12名同学，男同学每人折2个，女同学每人折3个，一共折了32个书签，折书签的女同学有8人。 14．学校手工兴趣小组有27名同学一共包了96个粽子，其中男同学每人包3个，女同学每人包4个，那么男同学有( )人，女同学有( )人。 【答案】 12 15 【分析】假设全部都是男同学，用3乘27，计算出一共包了多少个粽子，再用96去减一共包的个数，所得的差是由于把女同学看作男同学来计算引起的，用这个差除以每个女同学与男同学包的粽子个数差，即可算出有几个女同学，再用总人数减去女同学人数，即可算出男同学人数。据此解答。 【详解】假设全部是男同学，则： 3×27＝81（个） 96－81＝15（个） 4－3＝1（个） 女同学：15÷1＝15（人） 男同学：27－15＝12（人） 因此，男同学有12人，女同学有15人。 15．有31个同学去划船，租9条船正好坐满。每条大船可以坐5人，每条小船可以坐3人。大船租了( )条，小船租了( )条。 【答案】 2 7 【分析】根据题意，假设9条船都租了小船，则9条小船坐了3×9＝27人，剩下31－27＝4人，而大船比小船多坐了5－3＝2人，则这4人分到大船去，即可知道租了几条大船，再用总船数减去大船的条数，即可知道小船租了几条。 【详解】假设9条船租小船 31－（3×9） ＝31－27 ＝4（人） 大船：4÷（5－3） ＝4÷2 ＝2（条） 小船：9－2＝7（条） 即有31个同学去划船，租9条船正好坐满。每条大船可以坐5人，每条小船可以坐3人。大船租了（2）条，小船租了（7）条。 16．有龟和鹤共10只，龟和鹤的腿共有32条，龟和鹤各有多少只？解决这个问题的方法很多，如果假设全部都是鹤，那么一共有20条腿，比实际的腿条数( )12条（填“多”或“少”），这是因为把鹤当成龟后，每只龟少算了( )条腿，由“一共少的腿的条数”÷“每只龟少算的腿的条数”可以算出( )的数量是( )只。 【答案】 少 2 龟 6 【分析】根据题意，已知有龟和鹤共10只，龟和鹤的腿共有32条，假设全部是鹤，用10×2＝20（条），求出总腿数，比实际少32－20＝12（条），每只龟少算4－2＝2（条）腿，用总少的腿数除以每只少算的腿数，可得龟的数量，列式计算即可。 【详解】根据分析可知： （32－10×2）÷（4－2） ＝（32－20）÷（4－2） ＝12÷2 ＝6（只） 综上可知，有龟和鹤共10只，龟和鹤的腿共有32条，龟和鹤各有多少只？解决这个问题的方法很多，如果假设全部都是鹤，那么一共有20条腿，比实际的腿条数少12条，这是因为把鹤当成龟后，每只龟少算了2条腿，由“一共少的腿的条数”÷“每只龟少算的腿的条数”可以算出龟的数量是6只。 17．游乐场在周六这天售出成人票和儿童票共1200张，共收入5400元，成人票6元一张，儿童票4元一张，周六这天售出成人票多少张？ 【答案】300张 【分析】这道题的核心是通过假设全部是儿童票，对比假设的总价和实际的总价求出价钱差，同时求出成人票和儿童票的金额差进而求出成人票的数量。题目中已知成人票和儿童票共1200张，共收入5400元，成人票6元一张，儿童票4元一张，假设全部都是儿童票，用假设总价与实际总价的差除以两种票的金额差结果是成人票数量。据此解答。 【详解】假设全是儿童票。 求假设总价：（元） 求总价差：（元） 求两种票的金额差：（元） 求成人票的数量：（张） 答：周六这天售出成人票300张。 18．小木偶每说一句假话，鼻子就会变长2cm；每说一句真话，鼻子就会变短1cm。一开始小木偶的鼻子长6cm，当他说完6句话后，鼻子变成了3cm，那么这6句话中真话和假话分别有几句？ 【答案】假话 1句；真话5句 【分析】小木偶的鼻子由6cm变成了3cm，变短了（cm）。假设小木偶说的都是真话，鼻子应该变短（cm），与实际变短长度相差（cm）。因为小木偶每说一句假话，鼻子会变长2cm，说假话与说真话每句相差（cm），用得到假话的句数，最后求出真话的句数。 【详解】（cm） 假设小木偶说的都是真话。 假话： （句） 真话：（句） 答；6句话中真话有5句，假话有1句。 19．王老师买了80支画笔，有2元一支的、5元一支的、10元一支的，共支付人民币490元。已知5元一支与10元一支的画笔的数量相同。这三种画笔各有多少支？ 【答案】5元一支和10元一支的画笔各有30支， 2元一支的画笔有20支。 【分析】 因为5元一支与10元一支的画笔数量相同，可将它们看作一种“组合画笔”，先求出这种组合画笔的平均单价，再假设80支全是2元的画笔，通过总价差和单价差求出组合画笔的组数，进而得出5元、10元画笔的数量，最后求出2元画笔的数量。 【详解】把1支5元画笔和1支10元画笔看作一组，这一组的数量是2支，总价是（元） 则平均每支单价为（元） 假设80支全是2元的画笔，总价应为（元） 实际支付490元，比假设的总价多（元） 每一组“组合画笔”比2支2元画笔多花（元） (元） （元） 所以组合画笔的组数为（组） 则5元画笔和10元画笔各有30支 2元画笔数量为 （支） 答：2元一支的画笔有20支，5元一支的画笔有30支，10元一支的画笔有30支。 【点睛】当有两种物品数量相同时，可将它们组合成一个整体计算平均单价，再用假设法通过总价差和单价差求出组合的数量，进而解决问题。 20．松鼠妈妈采松子。晴天每天采35个，雨天每天采28个，松鼠妈妈7天一共采了231个松子。这期间晴天有多少天？ 【答案】5天 【分析】假设7天全是晴天，计算总采松子数与实际数量的差值，再计算晴天每天采松子个数与雨天每天采松子个数的差值，用总差值除以每天的差值，可以计算出雨天的天数，用7减去雨天的天数，即可求出这期间晴天的天数。 【详解】35×7＝245（个） 245－231＝14（个） 35－28＝7（个） 14÷7＝2（天） 7－2＝5（天） 答：这期间晴天有5天。 21．社区统计垃圾分类情况，共回收塑料瓶和易拉罐35个，总重量1000克。已知每个塑料瓶重20克，每个易拉罐重35克，问塑料瓶和易拉罐各有多少个？ 【答案】易拉罐20个；塑料瓶15个 【分析】假设全是塑料瓶，一共重（20×35）克，比实际轻了（1000－20×35）克，因为把一个易拉罐看成一个塑料瓶，少看了（35－20）克。假设全是塑料瓶时的总质量比实际总质量轻的质量除以每个塑料瓶比每个易拉罐轻的质量，即可算出有多少个易拉罐，塑料瓶和易拉罐的总个数减去易拉罐的个数，即可算出塑料瓶有多少个。 【详解】1000－20×35 ＝1000－700 ＝300（克） 35－20＝15（克） 300÷15＝20（个） 35－20＝15（个） 答：易拉罐有20个，塑料瓶有15个。 22．阳光社区快递站今天收到了一批包裹共52个，这批包裹中有大小两种包裹，大包裹每个5千克，小包裹每个1千克，已知这批包裹一共有100千克，请问大包裹和小包裹分别有多少个？ 【答案】大包裹有12个，小包裹有40个 【分析】假设全是小包裹，小包裹的质量是52×1＝52千克，比实际少了100－52＝48千克，每个大包裹比每个小包裹的质量多5－1千克，用比实际少的质量除以大包裹比小包裹多的质量，求出大包裹的个数，再用包裹的总个数减去大包裹的个数，即可求出小包裹的个数。 【详解】（100－52×1）÷（5－1） ＝（100－52）÷（5－1） ＝48÷（5－1） ＝48÷4 ＝12（个） 52－12＝40（个） 答：大包裹有12个，小包裹有40个。 23．丽丽家4月份一共投放垃圾20次，获得积分84个，她家这个月正确投放垃圾多少次？ 社区为了更好地开展垃圾分类工作，规定：每次正确投放垃圾可获得5个积分，错误投放倒扣3个积分。 【答案】18次 【分析】本题是鸡兔同笼类问题，可以用假设法来解决。假设丽丽家20次全部正确投放，总积分应为20×5＝100分，而实际获得84分，相差16分。每次错误投放比正确少：5＋3＝8分，那么直接用相差的分数除以8即可算出错误的次数。最后再用20减去错误的次数即可算出丽丽家这个月正确投放垃圾多少次。 【详解】20×5＝100（分） 100－84＝16（分） 5＋3＝8（分） 16÷8＝2（次） 20－2＝18（次） 答：丽丽家这个月正确投放垃圾18次。 24．2024年株洲“厂BA”篮球锦标赛正在株洲市体育中心举行，在一场比赛中，A队伍三分球和两分球一共投中了24个球，总分是64分。三分球和两分球分别投中了多少个球？ 【答案】三分球和两分球分别投中16个和8个 【分析】假设都投中两分球，总分是24×2＝48（分）。实际总分是64分，相差64－48＝16（分）。每个三分球比两分球多3－2＝1（分），可知三分球投中了16÷1＝16（个）。用总个数减去三分球的个数，即可求出两分球的个数。 【详解】假设都投中两分球： 2×24＝48（分）     64－48＝16（分）     16÷（3－2） ＝16÷1 ＝16（个）     24－16＝8（个） 答：三分球和两分球分别投中16个和8个。 25．文体中心在举行青少年乒乓球比赛。一共有20张乒乓球桌，共64人正在打乒乓球，有两人单打也有四人双打。正在进行双打的有几张桌子？ 【答案】12张 【分析】假设全是单打桌，则有同学2×20＝40（人），而比实际少了64－40＝24（人），因为每张单打桌比每张双打桌少（4－2）人，用比实际少的人数除以每桌少的人数，即可求出正在进行双打的有几张桌子。据此解答即可。 【详解】假设所有球桌都在打单打，一共的人数： （人） 比实际少的人数： （人） 一桌双打比一桌单打多的人数： （人） 双打的桌子张数： （张） 答：正在进行双打的有12张桌子。 26．篮球比赛中，3分线外投中一球记3分，3分线内投中一球记2分。在一场比赛中李航总共得了21分，李航在这场比赛中投进了多少个3分球？（李航没有罚球） 【答案】3个 【分析】此题可以用假设法解答，假设投进的都是3分球，9个3分球共得27分，实际得分是21分，比假设少了6分，因为实际还有2分球，把1个2分球当1个3分球算，多算了1分，那么把6个2分球当3分球来算，会多算6分，所以2分球是6个，9减6即可求出3分球的个数。 【详解】假设投进的9个球都是3分球。 3×9＝27（分） 27－21＝6（分） 3－2＝1（分） 6÷1＝6（个） 9－6＝3（个） 答：李航在这场比赛中投进了3个3分球。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九单元 数学广角——鸡兔同笼 奥数专项提升讲义 知识讲解 一、核心基础拓展（奥数入门必备） 1. 鸡兔同笼本质深化 课本核心： 已知鸡兔总头数、总脚数，求鸡、兔各自数量的典型应用题。 奥数拓展： ① 假设法是奥数解题核心，适用于所有鸡兔同笼基础题与变式题； ② 抬腿法为趣味速算技巧，简化脚数计算，适合口算巧解； ③ 分组法针对含倍数、数量关系的变式题，是奥数提升关键； ④ 可转化模型：得失问题、硬币问题、坐船问题等，均能套用鸡兔同笼思路。 2. 核心数量关系 总头数 = 鸡的数量 + 兔的数量 总脚数 = 鸡的数量×2 + 兔的数量×4 核心公式：脚数总差 ÷ 单只脚数差 = 另一种动物数量 假设全是鸡：兔的数量 =（总脚数 - 总头数×2）÷（4-2） 假设全是兔：鸡的数量 =（总头数×4 - 总脚数）÷（4-2） 3. 鸡兔同笼奥数应用（重点） 标准鸡兔同笼：基础假设法求解； 抬腿巧算：简化脚数，快速口算； 分组解题：适配倍数、脚数关系变式； 模型转化：得失、硬币、租车等生活题归为鸡兔同笼； 综合应用：结合和差倍、四则运算列式求解。 二、奥数易错点提醒 单只脚数混淆：记错鸡2只脚、兔4只脚，导致脚数差计算错误； 假设法差额算错：总脚数差与单只脚数差对应错误，结果颠倒； 变式题未转化：得失问题只算得分、忽略扣分，总差额计算不全； 分组法规律找错：倍数/数量关系对应错误，分组数量不符； 隐藏条件忽略：未统一头数、单位，直接套用公式。 三、奥数解题口诀 鸡兔同笼用假设，全鸡全兔先算差； 总差除以单只差，另种数量就到家； 抬腿减半更简便，分组变式找规律； 得失问题算总分，差额对应求答案。 考点讲解 考点1：标准鸡兔同笼（最常考） 核心思路：用假设法，假设全是鸡或全是兔，通过脚数差求数量。 典型例题：鸡兔同笼，头共35，脚共94，鸡、兔各有几只？ 解题步骤： 假设全是鸡：总脚数=35×2=70（只） 脚数总差=94-70=24（只） 兔的数量=24÷(4-2)=12（只） 鸡的数量=35-12=23（只） 考点2：抬腿法巧解（奥数速算） 核心思路：让鸡兔同时抬腿，简化总脚数，快速得出兔的数量。 典型例题：同上题 解题步骤： 鸡兔各抬2只脚，剩余脚数=94-35×2=24（只） 剩余脚全是兔的，每只兔剩2只脚，兔=24÷2=12（只） 鸡=35-12=23（只） 考点3：分组法解变式（奥数提升） 核心思路：已知鸡兔倍数/脚数关系，按规律分组，用总头数求组数。 典型例题：鸡兔共100只，兔脚总数是鸡脚总数的3倍，鸡、兔各几只？ 解题步骤： 由脚数关系得：3只鸡+2只兔为一组（鸡6脚，兔8脚，8是6的3倍） 每组5只，总组数=100÷5=20（组） 鸡=3×20=60（只），兔=2×20=40（只） 考点4：得失问题转化（核心变式） 核心思路：答对得分、答错扣分，总差额=得分+扣分，转化为脚数差。 典型例题：抢答赛答对加10分，答错扣5分，小明答10题得70分，答对几题？ 解题步骤： 假设全对：总得分=10×10=100（分） 分数差=100-70=30（分） 答错1题差10+5=15（分），答错=30÷15=2（题） 答对=10-2=8（题） 考点5：生活类鸡兔同笼（综合应用） 核心思路：将硬币、租车、坐船等问题，转化为鸡兔同笼模型求解。 典型例题：20元、50元纸币共10张，总钱数380元，两种纸币各几张？ 解题步骤： 假设全是20元：总钱数=10×20=200（元） 钱数差=380-200=180（元） 50元纸币=180÷(50-20)=6（张），20元纸币=10-6=4（张） 真题训练 1．鸡兔同笼，共46个头，128条腿，鸡、兔分别有（    ）只。 A．28、18 B．18、28 C．20、26 D．24、22 2．五（1）班同学上手工课，共折纸船和纸飞机16个，做一个纸船需要5张彩纸，做一个纸飞机需要3张彩纸，他们一共用了68张彩纸。纸船做了（    ）个。 A．6 B．8 C．10 D．12 3．某家具厂委托“货拉拉”运送茶具到外地，安全送达一套得运费5元，如有破损则一套扣40元。“货拉拉”这次一共运送了100套茶具，得到410元运费。这次运送茶具有破损吗？其中安全送达的是几套？（    ） A．没有破损：100套 B．有破损；82套 C．有破损；98套 D．有破损；18套 4．有三轮车和自行车共18辆，车轮共39个，则其中三轮车有（    ）辆。 A．3 B．13 C．15 D．16 5．前进小学“环保卫士”小分队11人参加捡废弃塑料瓶活动，男生每人捡了5个，女生每人捡了3个，一共捡了49个废弃塑料瓶。“环保卫士”小分队有女生（    ）人。 A．3 B．5 C．6 D．8 6．投壶游戏规定：投入壶口记2分，投入壶耳记3分。明明一共投进12支箭矢，共计28分，投入壶耳有（    ）。 A．2支 B．4支 C．6支 D．8支 7．为了践行“绿水青山就是金山银山”的理念，“环保卫士”小分队28人参加植树活动。女生每人栽2棵树，男生每人栽3棵树，小分队一共栽了71棵树，其中男生一共栽了（    ）棵。 A．13 B．15 C．26 D．45 8．数学竞赛共10道题，做对一题得8分，做错一题（或不做）倒扣5分，小明得41分，他共做错（或不做）了（    ）道题。 A．2 B．3 C．4 D．5 9．笼子里有鸡和兔共20只，一共有64条腿，那么笼子里有( )只鸡，( )只兔。 10．一车棚里有两轮电动车和三轮电动车共12辆，一共28个轮子，两轮电动车有( )辆、三轮电动车有( )辆。 11．鸡兔同笼，共有5个头，18条腿，兔有( )只。 12．用假设法解决鸡兔同笼问题时，假设笼里全部是鸡，则算出来腿的只数肯定比题目已知条件中腿的总只数要( )。（填“多”或“少”） 13．想要科技发展，实验是必不可少的，这就要求我们有一定的动手能力，在学校劳动课上同学们动手折书签，第一小组有12名同学，男同学每人折2个，女同学每人折3个，一共折了32个书签，折书签的女同学有( )人。 14．学校手工兴趣小组有27名同学一共包了96个粽子，其中男同学每人包3个，女同学每人包4个，那么男同学有( )人，女同学有( )人。 15．有31个同学去划船，租9条船正好坐满。每条大船可以坐5人，每条小船可以坐3人。大船租了( )条，小船租了( )条。 16．有龟和鹤共10只，龟和鹤的腿共有32条，龟和鹤各有多少只？解决这个问题的方法很多，如果假设全部都是鹤，那么一共有20条腿，比实际的腿条数( )12条（填“多”或“少”），这是因为把鹤当成龟后，每只龟少算了( )条腿，由“一共少的腿的条数”÷“每只龟少算的腿的条数”可以算出( )的数量是( )只。 17．游乐场在周六这天售出成人票和儿童票共1200张，共收入5400元，成人票6元一张，儿童票4元一张，周六这天售出成人票多少张？ 18．小木偶每说一句假话，鼻子就会变长2cm；每说一句真话，鼻子就会变短1cm。一开始小木偶的鼻子长6cm，当他说完6句话后，鼻子变成了3cm，那么这6句话中真话和假话分别有几句？ 19．王老师买了80支画笔，有2元一支的、5元一支的、10元一支的，共支付人民币490元。已知5元一支与10元一支的画笔的数量相同。这三种画笔各有多少支？ 20．松鼠妈妈采松子。晴天每天采35个，雨天每天采28个，松鼠妈妈7天一共采了231个松子。这期间晴天有多少天？ 21．社区统计垃圾分类情况，共回收塑料瓶和易拉罐35个，总重量1000克。已知每个塑料瓶重20克，每个易拉罐重35克，问塑料瓶和易拉罐各有多少个？ 22．阳光社区快递站今天收到了一批包裹共52个，这批包裹中有大小两种包裹，大包裹每个5千克，小包裹每个1千克，已知这批包裹一共有100千克，请问大包裹和小包裹分别有多少个？ 23．丽丽家4月份一共投放垃圾20次，获得积分84个，她家这个月正确投放垃圾多少次？ 社区为了更好地开展垃圾分类工作，规定：每次正确投放垃圾可获得5个积分，错误投放倒扣3个积分。 24．2024年株洲“厂BA”篮球锦标赛正在株洲市体育中心举行，在一场比赛中，A队伍三分球和两分球一共投中了24个球，总分是64分。三分球和两分球分别投中了多少个球？ 25．文体中心在举行青少年乒乓球比赛。一共有20张乒乓球桌，共64人正在打乒乓球，有两人单打也有四人双打。正在进行双打的有几张桌子？ 26．篮球比赛中，3分线外投中一球记3分，3分线内投中一球记2分。在一场比赛中李航总共得了21分，李航在这场比赛中投进了多少个3分球？（李航没有罚球） 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $