第九单元 数学广角——鸡兔同笼讲义（知识梳理+考点讲练+举一反三综合训练）-2025-2026学年人教版数学四年级下册

第九单元 数学广角——鸡兔同笼 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、单元概述 1 二、核心知识点 1 三、典型例题解析 3 四、拓展延伸 4 考点讲练 4 考点一：列表法解鸡兔同笼 4 考点二：假设法解鸡兔同笼 6 综合训练 7 知识梳理 一、单元概述 本单元是“数学广角”的重要内容，旨在通过“鸡兔同笼”这一经典问题，引导学生经历从具体到抽象的思维过程，掌握解决此类问题的基本策略，培养逻辑推理能力和数学建模思想。学习目标包括： 1.知识与技能：理解“鸡兔同笼”问题的结构特点，掌握列表法、假设法等解题方法，能运用这些方法解决简单的实际问题。 2.过程与方法：通过观察、猜测、验证、归纳等活动，体验解决问题策略的多样性，渗透化繁为简、数形结合的数学思想。 3.情感态度：感受数学与生活的联系，激发学习数学的兴趣，培养严谨的思维习惯。 二、核心知识点 （一）问题结构 “鸡兔同笼”问题的基本结构为：已知鸡和兔的总头数（即总只数）和总脚数，求鸡和兔各有多少只。 关键信息：总头数（鸡头数+兔头数=总只数）、总脚数（鸡脚数+兔脚数=总脚数），且每只鸡有2只脚，每只兔有4只脚（隐含条件）。 （二）解题方法 1.列表法（枚举法） 通过列表枚举鸡和兔的数量，计算对应的总脚数，直至找到符合条件的答案。根据枚举策略不同，可分为： 逐一列表法：从鸡有0只、兔有总只数开始，逐一增加鸡的数量、减少兔的数量，计算总脚数，直到总脚数与题目一致。 示例：若总头数为8，总脚数为26，列表如下： 鸡的数量 兔的数量 总脚数（2×鸡+4×兔） 0 8 0×2+8×4=32 1 7 1×2+7×4=30 2 6 2×2+6×4=28 3 5 3×2+5×4=26 跳跃列表法：根据总脚数与目标脚数的差距，跳跃调整鸡和兔的数量（如每次增加2只鸡、减少2只兔），减少枚举次数。 取中列表法：从鸡和兔数量的中间值开始枚举，根据脚数差距调整方向（若脚数多了，减少兔的数量；若脚数少了，增加兔的数量），提高效率。 2.假设法（核心方法） 假设全是鸡或全是兔，通过计算脚数差求出另一种动物的数量，是解决“鸡兔同笼”问题的主要方法。 步骤（以假设全是鸡为例）： ① 假设：假设笼中全是鸡，则总脚数应为“总只数×2”。 ② 求差：用实际总脚数减去假设的总脚数，得到脚数差（因每只兔比鸡多2只脚，所以脚数差由兔造成）。 ③ 求兔：兔的数量=脚数差÷（4-2）（即每只兔比鸡多的脚数）。 ④ 求鸡：鸡的数量=总只数-兔的数量。 同理，假设全是兔： ① 假设总脚数=总只数×4。 ② 脚数差=假设总脚数-实际总脚数。 ③ 鸡的数量=脚数差÷（4-2）。 ④ 兔的数量=总只数-鸡的数量。 3.抬腿法（辅助理解方法） 通过“吹哨抬腿”的趣味情境帮助理解假设法原理：假设鸡和兔同时抬起2只脚，此时鸡脚全部抬起，兔还剩2只脚。 剩余脚数=总脚数-总只数×2（每只动物抬2只脚）。 兔的数量=剩余脚数÷2（每只兔剩2只脚），鸡的数量=总只数-兔的数量。 （三）解题步骤 1.审：明确题目中的总头数（总只数）和总脚数，确认鸡和兔的脚数（隐含条件）。 2.设：选择一种假设方法（假设全是鸡或全是兔）。 3.算：根据假设计算脚数差，求出另一种动物的数量，再求第一种动物的数量。 4.验：将结果代入“总脚数=鸡脚数+兔脚数”检验是否正确。 （四）易错点 1.假设后脚数差计算错误：如假设全是鸡时，误将“实际脚数-假设脚数”算成“假设脚数-实际脚数”，导致结果为负数。 2.混淆鸡和兔的数量：求出兔的数量后，误将其当作鸡的数量，忘记用总只数减去兔的数量。 3.单位或数量关系混淆：忽略“每只鸡2只脚、每只兔4只脚”的隐含条件，或总头数与总只数对应错误。 三、典型例题解析 例1：基础题型 题目：鸡兔同笼，共有8个头，26只脚。鸡和兔各有多少只？ 解法（假设法）： 假设全是鸡： 假设总脚数=8×2=16（只），脚数差=26-16=10（只）。 兔的数量=10÷（4-2）=5（只），鸡的数量=8-5=3（只）。 检验：3×2+5×4=6+20=26（只），符合题意。 答案：鸡3只，兔5只。 例2：变式题型（非鸡兔场景） 题目：停车场里有三轮车和自行车共10辆，共有24个轮子。三轮车和自行车各有多少辆？ 分析：三轮车有3个轮子，自行车有2个轮子，相当于“鸡兔同笼”中“每只鸡2脚、每只兔3脚”。 解法（假设法）： 假设全是自行车： 假设总轮子数=10×2=20（个），轮子差=24-20=4（个）。 三轮车数量=4÷（3-2）=4（辆），自行车数量=10-4=6（辆）。 答案：三轮车4辆，自行车6辆。 四、拓展延伸 1.古代“鸡兔同笼”问题：最早出自《孙子算经》：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”（雉即鸡），可直接用假设法解决（鸡23只，兔12只）。 2.同类问题迁移：如“龟鹤问题”（龟4脚、鹤2脚）、“大船小船问题”（大船坐6人、小船坐4人）等，均可用列表法或假设法解决，核心是找到“两种事物”“两种数量关系”（如头数与脚数、总数量与总价值等）。 考点讲练 考点一：列表法解鸡兔同笼 【典例精讲】甲鱼和螃蟹共有6只，有32条腿。甲鱼和螃蟹各有几只？（甲鱼有4条腿，螃蟹有8条腿） （1）列表法解答： 甲鱼/只 螃蟹/只 腿/条 （2）假设法： 方法一：假设6只都是甲鱼，就有（    ）条腿，这样就少了（    ）条腿，1只甲鱼比1只螃蟹少4条腿，就是把（    ）只螃蟹看成了甲鱼。 方法二：假设6只都是螃蟹，就有（    ）条腿，这样就多了（    ）条腿，1只螃蟹比1只甲鱼多4条腿，就是把（    ）只甲鱼看成了螃蟹。 【变式训练】一个奶牛场一天产奶220千克，刚好用20只桶装满。这些桶有大有小，大桶每只可装12千克，小桶每只可装8千克，这20只桶中有多少只大桶？多少只小桶？ 大桶/只 小桶/只 可装牛奶/kg 【变式训练】篮球赛门票分甲等、乙等票，甲等票150元/张，乙等票100元/张。王叔叔买了14张门票，共花1900元。他买了甲等票和乙等票各几张？请接着列表解决问题。 甲等票（张） 7 乙等票（张） 7 总钱数（元） 1750 答：________________________________________。 【变式训练】福州鱼丸大，美名扬天下。一只大碗装3个，一只小碗装1个，多了装不下。连江伯招待客人煮了19个福州鱼丸，正好装满9只碗。他用了大碗（    ）只，小碗（    ）只。 （1）用列表方法解决： 大碗只数 9 8 小碗只数 0 鱼丸个数 （2）用假设方法解决（继续完成）： 解：①假设9只碗全都是（    ）碗。 考点二：假设法解鸡兔同笼 【典例精讲】小区门口的非机动车停车区域里停放的自行车和三轮车共16辆，一共有38个车轮。自行车有( )辆，三轮车有( )辆。 【变式训练】在篮球比赛中，3分线外投中一个球得3分，3分线内投中一个球得2分。聪聪在一次练习投球训练中共投进7个球，得了15分，他投中了( )个3分球。 【变式训练】某次数学测验共20题，做对一题得5分，做错一题倒扣1分，不做得0分。小华得了76分，问他做对几题？ 【变式训练】某科技公司生产智能清扫机器人和智能配送机器人，清扫机器人有3个轮子，配送机器人有4个轮子。仓库里这两种机器人一共有15台，轮子总数是52个。请问智能清扫机器人和智能配送机器人分别有多少台？ 综合训练 1．妈妈在超市买了草莓和荔枝共6千克，一共花了86元。妈妈买了（    ）千克荔枝。 A．3 B．4 C．5 D．6 2．为了践行“绿水青山就是金山银山”的理念，“环保卫士”小分队28人参加植树活动。女生每人栽2棵树，男生每人栽3棵树，小分队一共栽了71棵树，其中男生一共栽了（    ）棵。 A．13 B．15 C．26 D．45 3．鸡兔同笼，头共50个，脚共140只，鸡有（    ）只。 A．20 B．25 C．30 D．无法确定 4．三年二班45个同学向爱心基金会共计捐款100元，其中11个同学每人捐1元，其他同学每人捐2元或5元，捐2元的同学有（    ）人。 A．25 B．26 C．27 D．28 5．蜘蛛有8只脚，蜻蜓有6只脚和2对翅，蝉有6只脚和1对翅。现有这三种昆虫18只，共有118只脚和20对翅，则蜻蜓有（    ）只。 A．18 B．10 C．7 D．6 6．有20个同学扎灯笼，男同学每人扎3个，女同学每人扎5个，一共扎了76个灯笼，扎灯笼的女同学有（　　）人。 A．8 B．12 C．15 D．5 7．某电动车展厅里，停放着两轮电动车和三轮电动车共53辆，这些车一共有124个轮子。那么停放的三轮电动车有( )辆。 8．某学校有30间宿舍，全部住满，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人。已知这些宿舍中共住了168人，其中有( )间大宿舍。 9．妈妈在超市买啤酒和饮料一共20瓶，花了84元。每瓶啤酒5元，每瓶饮料3元。妈妈买了( )瓶啤酒，( )瓶饮料。 10．小红与哥哥相差几岁不知道，但是知道当哥哥是今年小红年龄时，小红只有3岁，而当小红到了哥哥今年的年龄时，哥哥24岁，则小红今年 岁。 11．学校体育组这学期共买了20个篮球和足球，总价是1220元，已知篮球每个70元，足球每个40元，这20个球中有( )个篮球，( )个足球。 12．有龟和鹤共10只，龟和鹤的腿共有32条，龟和鹤各有多少只？解决这个问题的方法很多，如果假设全部都是鹤，那么一共有20条腿，比实际的腿条数( )12条（填“多”或“少”），这是因为把鹤当成龟后，每只龟少算了( )条腿，由“一共少的腿的条数”÷“每只龟少算的腿的条数”可以算出( )的数量是( )只。 13．动物园里，孔雀（2条腿）和梅花鹿（4条腿）关在一起。管理员数了数，一共有15个头和40条腿。孔雀和梅花鹿各有多少只？ 14．电影院的电影票分甲等和乙等两种，甲等票每张售价40元，乙等票每张售价30元，购买14张电影票共用了470元钱。买甲等票和乙等票各多少张？ 15．四年级同学分组参加课外兴趣小组，每人只能参加一个小组。科技类每5人一组，艺术类每3人一组，共有37名学生报名，正好分成9个组。参加科技类和艺术类的学生各有多少人？ 16．篮球比赛中，3分线外投中一球记3分，3分线内投中一球记2分。在一场比赛中李航总共得了21分，李航在这场比赛中投进了多少个3分球？（李航没有罚球） 17．在垃圾分类宣传活动中，50位志愿者分成两小队向路人发放宣传手册，一共发放了556份，其中第一小队平均每人发放10份，第二小队平均每人发放12份。第一小队和第二小队各有多少人？ 18．2024年株洲“厂BA”篮球锦标赛正在株洲市体育中心举行，在一场比赛中，A队伍三分球和两分球一共投中了24个球，总分是64分。三分球和两分球分别投中了多少个球？ 19．鸡兔同笼：工程队修一条路，由于受天气的影响，晴天每天可以修20米，雨天每天只能修12米。接连工作数天后一共修了112米，平均每天修14米。 20．学校本学期开展了课外兴趣小组，分别是科技类8人/组，体育类6人/组，文学类7人/组，艺术类5人/组，每人只能参加一个小组，共有42名学生报名科技类和艺术类，正好分成6个组，参加科技类小组的学生有多少名？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九单元 数学广角——鸡兔同笼 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、单元概述 1 二、核心知识点 1 三、典型例题解析 3 四、拓展延伸 4 考点讲练 4 考点一：列表法解鸡兔同笼 4 考点二：假设法解鸡兔同笼 10 综合训练 12 知识梳理 一、单元概述 本单元是“数学广角”的重要内容，旨在通过“鸡兔同笼”这一经典问题，引导学生经历从具体到抽象的思维过程，掌握解决此类问题的基本策略，培养逻辑推理能力和数学建模思想。学习目标包括： 1.知识与技能：理解“鸡兔同笼”问题的结构特点，掌握列表法、假设法等解题方法，能运用这些方法解决简单的实际问题。 2.过程与方法：通过观察、猜测、验证、归纳等活动，体验解决问题策略的多样性，渗透化繁为简、数形结合的数学思想。 3.情感态度：感受数学与生活的联系，激发学习数学的兴趣，培养严谨的思维习惯。 二、核心知识点 （一）问题结构 “鸡兔同笼”问题的基本结构为：已知鸡和兔的总头数（即总只数）和总脚数，求鸡和兔各有多少只。 关键信息：总头数（鸡头数+兔头数=总只数）、总脚数（鸡脚数+兔脚数=总脚数），且每只鸡有2只脚，每只兔有4只脚（隐含条件）。 （二）解题方法 1.列表法（枚举法） 通过列表枚举鸡和兔的数量，计算对应的总脚数，直至找到符合条件的答案。根据枚举策略不同，可分为： 逐一列表法：从鸡有0只、兔有总只数开始，逐一增加鸡的数量、减少兔的数量，计算总脚数，直到总脚数与题目一致。 示例：若总头数为8，总脚数为26，列表如下： 鸡的数量 兔的数量 总脚数（2×鸡+4×兔） 0 8 0×2+8×4=32 1 7 1×2+7×4=30 2 6 2×2+6×4=28 3 5 3×2+5×4=26 跳跃列表法：根据总脚数与目标脚数的差距，跳跃调整鸡和兔的数量（如每次增加2只鸡、减少2只兔），减少枚举次数。 取中列表法：从鸡和兔数量的中间值开始枚举，根据脚数差距调整方向（若脚数多了，减少兔的数量；若脚数少了，增加兔的数量），提高效率。 2.假设法（核心方法） 假设全是鸡或全是兔，通过计算脚数差求出另一种动物的数量，是解决“鸡兔同笼”问题的主要方法。 步骤（以假设全是鸡为例）： ① 假设：假设笼中全是鸡，则总脚数应为“总只数×2”。 ② 求差：用实际总脚数减去假设的总脚数，得到脚数差（因每只兔比鸡多2只脚，所以脚数差由兔造成）。 ③ 求兔：兔的数量=脚数差÷（4-2）（即每只兔比鸡多的脚数）。 ④ 求鸡：鸡的数量=总只数-兔的数量。 同理，假设全是兔： ① 假设总脚数=总只数×4。 ② 脚数差=假设总脚数-实际总脚数。 ③ 鸡的数量=脚数差÷（4-2）。 ④ 兔的数量=总只数-鸡的数量。 3.抬腿法（辅助理解方法） 通过“吹哨抬腿”的趣味情境帮助理解假设法原理：假设鸡和兔同时抬起2只脚，此时鸡脚全部抬起，兔还剩2只脚。 剩余脚数=总脚数-总只数×2（每只动物抬2只脚）。 兔的数量=剩余脚数÷2（每只兔剩2只脚），鸡的数量=总只数-兔的数量。 （三）解题步骤 1.审：明确题目中的总头数（总只数）和总脚数，确认鸡和兔的脚数（隐含条件）。 2.设：选择一种假设方法（假设全是鸡或全是兔）。 3.算：根据假设计算脚数差，求出另一种动物的数量，再求第一种动物的数量。 4.验：将结果代入“总脚数=鸡脚数+兔脚数”检验是否正确。 （四）易错点 1.假设后脚数差计算错误：如假设全是鸡时，误将“实际脚数-假设脚数”算成“假设脚数-实际脚数”，导致结果为负数。 2.混淆鸡和兔的数量：求出兔的数量后，误将其当作鸡的数量，忘记用总只数减去兔的数量。 3.单位或数量关系混淆：忽略“每只鸡2只脚、每只兔4只脚”的隐含条件，或总头数与总只数对应错误。 三、典型例题解析 例1：基础题型 题目：鸡兔同笼，共有8个头，26只脚。鸡和兔各有多少只？ 解法（假设法）： 假设全是鸡： 假设总脚数=8×2=16（只），脚数差=26-16=10（只）。 兔的数量=10÷（4-2）=5（只），鸡的数量=8-5=3（只）。 检验：3×2+5×4=6+20=26（只），符合题意。 答案：鸡3只，兔5只。 例2：变式题型（非鸡兔场景） 题目：停车场里有三轮车和自行车共10辆，共有24个轮子。三轮车和自行车各有多少辆？ 分析：三轮车有3个轮子，自行车有2个轮子，相当于“鸡兔同笼”中“每只鸡2脚、每只兔3脚”。 解法（假设法）： 假设全是自行车： 假设总轮子数=10×2=20（个），轮子差=24-20=4（个）。 三轮车数量=4÷（3-2）=4（辆），自行车数量=10-4=6（辆）。 答案：三轮车4辆，自行车6辆。 四、拓展延伸 1.古代“鸡兔同笼”问题：最早出自《孙子算经》：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”（雉即鸡），可直接用假设法解决（鸡23只，兔12只）。 2.同类问题迁移：如“龟鹤问题”（龟4脚、鹤2脚）、“大船小船问题”（大船坐6人、小船坐4人）等，均可用列表法或假设法解决，核心是找到“两种事物”“两种数量关系”（如头数与脚数、总数量与总价值等）。 考点讲练 考点一：列表法解鸡兔同笼 【典例精讲】甲鱼和螃蟹共有6只，有32条腿。甲鱼和螃蟹各有几只？（甲鱼有4条腿，螃蟹有8条腿） （1）列表法解答： 甲鱼/只 螃蟹/只 腿/条 （2）假设法： 方法一：假设6只都是甲鱼，就有（    ）条腿，这样就少了（    ）条腿，1只甲鱼比1只螃蟹少4条腿，就是把（    ）只螃蟹看成了甲鱼。 方法二：假设6只都是螃蟹，就有（    ）条腿，这样就多了（    ）条腿，1只螃蟹比1只甲鱼多4条腿，就是把（    ）只甲鱼看成了螃蟹。 【答案】（1） 甲鱼/只 6 5 4 螃蟹/只 0 1 2 腿/条 24 28 32 （2）24；8；2；48；16；4 甲鱼4只，螃蟹2只 【分析】列表解答：先假设6只全是甲鱼，1只甲鱼是4条腿，算出6只甲鱼一共多少条腿后和实际腿的数量进行比较，腿的数量不对，就依次调整甲鱼和螃蟹的数量，调整为5只甲鱼和1只螃蟹，1只螃蟹是8条腿，再算出5只甲鱼和1只螃蟹一共有多少条腿，再和实际腿的数量进行比较，腿的数量不对，再调整甲鱼和螃蟹的数量，直到和实际腿的数量相同为止。 假设法：方法一：先假设6只全是甲鱼，1只甲鱼是4条腿，算出6只甲鱼一共多少条腿后和实际腿的数量相减算出差，再算出1只甲鱼与1只螃蟹腿的数量差，用总的数量差除以1只甲鱼与1只螃蟹腿的数量差，可得螃蟹只数； 方法二：先假设6只全是螃蟹，1只螃蟹是8条腿，算出6只螃蟹一共多少条腿后和实际腿的数量相减算出差，再算出1只甲鱼与1只螃蟹腿的数量差，用总的数量差除以1只甲鱼与1只螃蟹腿的数量差，可得甲鱼只数。 【详解】（1）列表法解答： 甲鱼/只 6 5 4 螃蟹/只 0 1 2 腿/条 24 28 32 （2）假设法： 假设全是甲鱼：腿一共：（条） 共少腿数：（条） 1只甲鱼与1只螃蟹腿的数量差：（条） 螃蟹只数：（只） 方法一：假设6只都是甲鱼，就有24条腿，这样就少了8条腿，1只甲鱼比1只螃蟹少4条腿，就是把2只螃蟹看成了甲鱼。 假设全是螃蟹：腿一共：（条） 共多腿数：（条） 1只甲鱼与1只螃蟹腿的数量差：（条） 甲鱼只数：（只） 方法二：假设6只都是螃蟹，就有48条腿，这样就多了16条腿，1只螃蟹比1只甲鱼多4条腿，就是把4只甲鱼看成了螃蟹。 答：甲鱼4只，螃蟹2只。 【变式训练】一个奶牛场一天产奶220千克，刚好用20只桶装满。这些桶有大有小，大桶每只可装12千克，小桶每只可装8千克，这20只桶中有多少只大桶？多少只小桶？ 大桶/只 小桶/只 可装牛奶/kg 【答案】15只大桶，5只小桶；填表见详解； 【分析】先假设大桶、小桶尽量平均，各有20÷2＝10（只），再根据大桶的数量×12＋小桶的数量×8＝总质量求出此时可以装多少千克牛奶，再结合实际一天产奶220千克调整大桶和小桶的数量，注意：大桶的数量＋小桶的数量＝20，最后找出符合题意的答案即可。 【详解】10×12＋10×8 ＝120＋80 ＝200（千克） 12×12＋（20－12）×8 ＝144＋8×8 ＝144＋64 ＝208（千克） 14×12＋（20－14）×8 ＝168＋6×8 ＝168＋48 ＝216（千克） 15×12＋（20－15）×8 ＝180＋5×8 ＝180＋40 ＝220（千克） 大桶/只 小桶/只 可装牛奶/kg 10 10 200 12 8 208 14 6 216 15 5 220 答：这20只桶中有15只大桶，5只小桶。 【变式训练】篮球赛门票分甲等、乙等票，甲等票150元/张，乙等票100元/张。王叔叔买了14张门票，共花1900元。他买了甲等票和乙等票各几张？请接着列表解决问题。 甲等票（张） 7 乙等票（张） 7 总钱数（元） 1750 答：________________________________________。 【答案】表格见详解； 甲等票10张，乙等票4张 【分析】甲等、乙等票共买了14张票，但是没有必要从甲等有1张，乙等有13张开始列表计算，我们可以取个中间值开始试，可以假设甲等和乙等各7张，根据甲等票的单价×甲等票的数量＋乙等票的单价×乙等票的数量＝总价，可知总钱数150×7＋100×7＝1050＋700＝1750（元），1750元＜1900元，所以我们可以就从8张甲等票和6张乙等票开始列表计算，最后找到总值为1900元的情况。据此解答。 【详解】150×8＋100×6 ＝1200＋600 ＝1800（元） 150×9＋100×5 ＝1350＋500 ＝1850（元） 150×10＋100×4 ＝1500＋400 ＝1900（元） 甲等票（张） 7 8 9 10 乙等票（张） 7 6 5 4 总钱数（元） 1750 1800 1850 1900 答：他买了甲等票10张，乙等票4张。 【变式训练】福州鱼丸大，美名扬天下。一只大碗装3个，一只小碗装1个，多了装不下。连江伯招待客人煮了19个福州鱼丸，正好装满9只碗。他用了大碗（    ）只，小碗（    ）只。 （1）用列表方法解决： 大碗只数 9 8 小碗只数 0 鱼丸个数 （2）用假设方法解决（继续完成）： 解：①假设9只碗全都是（    ）碗。 【答案】5；4 （1）见详解 （2）大；解答过程见详解 【分析】（1）由题意得，一只大碗装3个鱼丸，一只小碗装1个鱼丸。连江伯煮了19个福州鱼丸，正好装满9只碗。那么大碗的数量加上小碗的数量等于9只，据此用列表法列举出大碗和小碗的数量，然后用大碗的数量乘上3再加上小碗的数量乘上1算出可以装的鱼丸总个数。最后再找出鱼丸个数等于19个的方案即可。 （2）假设9只碗全都是大碗，那么一共可以装的鱼丸个数为：9×3＝27（个）。实际上装了19个鱼丸，两者相差：27－19＝8（个）。每把一只大碗换成一只小碗，可以装的鱼丸个数就会减少：3－1＝2（个），直接用8除以2可以算出小碗的只数。最后再用9减去小碗的只数即可算出大碗的只数。 【详解】（1） 大碗只数 9 8 7 6 5 小碗只数 0 1 2 3 4 鱼丸个数 27 25 23 21 19 故连江伯用了大碗5只，小碗4只。 （2）解：①假设9只碗全都是大碗。 9×3＝27（个） 27－19＝8（个） 3－1＝2（个） 8÷2＝4（只） 9－4＝5（只） 答：连江伯用了大碗5只，小碗4只。 考点二：假设法解鸡兔同笼 【典例精讲】小区门口的非机动车停车区域里停放的自行车和三轮车共16辆，一共有38个车轮。自行车有( )辆，三轮车有( )辆。 【答案】 10 6 【分析】假设16辆车都是自行车，则有16×2＝32（个）轮子，比实际轮子少38－32＝6（个）轮子；每把一辆三轮车看作一辆自行车，则少3－2＝1（个）轮子，所以三轮车的辆数为：6÷1＝6（辆）；自行车的辆数就是总辆数减去三轮车的辆数：16－6＝10（辆）；据此解答。 【详解】假设16辆车都是自行车，则有轮子：16×2＝32（个） 38－32＝6（个） 6÷（3－2） ＝6÷1 ＝6（辆） 16－6＝10（辆） 即小区门口的非机动车停车区域里停放的自行车和三轮车共16辆，一共有38个车轮。自行车有10辆，三轮车有6辆。 【变式训练】在篮球比赛中，3分线外投中一个球得3分，3分线内投中一个球得2分。聪聪在一次练习投球训练中共投进7个球，得了15分，他投中了( )个3分球。 【答案】1 【分析】假设投中的7个全是2分球：此时总得分应为：7×2＝14（分），假设得分比实际得分少：15－14＝1（分）。因为把“3分球”当成了“2分球”，每把1个3分球换成2分球，得分会少算：3－2＝1（分）。少得的1分，是由于把1个3分球当成2分球导致的，因此：3分球的数量＝少得的总分数 ÷ 每把1个3分球换成2分球少得的分数即：1÷1＝1（个）。 【详解】7×2＝14（分） 15－14＝1（分） 3－2＝1（分） 1÷1＝1（个） 在篮球比赛中，3分线外投中一个球得3分，3分线内投中一个球得2分。聪聪在一次练习投球训练中共投进7个球，得了15分，他投中了1个3分球。 【变式训练】某次数学测验共20题，做对一题得5分，做错一题倒扣1分，不做得0分。小华得了76分，问他做对几题？ 【答案】16题 【分析】假设小华都做对了。那么应得的分数是20×5＝100（分），相差（100－76）分。而把错题看成正确的，每一题多看（5＋1）分，用相差的总分除以每题相差的分数，就是错的题数。再用总题数减去错的几题就是做对几题。 【详解】20×5＝100（分） 100－76＝24（分） 5＋1＝6（分） 24÷6＝4（题） 20－4＝16（题） 答：他做对16题。 【变式训练】某科技公司生产智能清扫机器人和智能配送机器人，清扫机器人有3个轮子，配送机器人有4个轮子。仓库里这两种机器人一共有15台，轮子总数是52个。请问智能清扫机器人和智能配送机器人分别有多少台？ 【答案】 智能清扫机器人有8台，智能配送机器人有7台。 【分析】假设15台全部是智能清扫机器人，即3×15＝45（个），比实际少了52－45＝7（个）轮子，智能配送机器人比智能清扫机器人每台多：4－3＝1（个）轮子，即智能配送机器人的台数是：7÷1＝7（台），智能清扫机器人台数是：15－7＝8（台） 【详解】52－3×15 ＝52－45 ＝7（个） 7÷（4－3） ＝7÷1 ＝7（台） 15－7＝8（台） 答：智能清扫机器人有8台，智能配送机器人有7台。 综合训练 1．妈妈在超市买了草莓和荔枝共6千克，一共花了86元。妈妈买了（    ）千克荔枝。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】假设妈妈买了6千克草莓，用每千克草莓的单价乘6千克，依此计算出购买6千克草莓的总钱数，用购买6千克草莓的总钱数减去实际总钱数，求出实际总钱数与6千克草莓的总钱数差，用1千克草莓的单价减去1千克荔枝的单价，求出1千克草莓与1千克荔枝的单价差，然后用实际总钱数与6千克草莓的总钱数差除以1千克草莓与1千克荔枝的单价差，即可求出妈妈买了多少千克荔枝。 【详解】25×6＝150（元） 150－86＝64（元） 25－9＝16（元） 64÷16＝4（千克） 妈妈在超市买了草莓和荔枝共6千克，一共花了86元。妈妈买了4千克荔枝。 故答案为：B 2．为了践行“绿水青山就是金山银山”的理念，“环保卫士”小分队28人参加植树活动。女生每人栽2棵树，男生每人栽3棵树，小分队一共栽了71棵树，其中男生一共栽了（    ）棵。 A．13 B．15 C．26 D．45 【答案】D 【分析】假设全是男生，那么栽了28×3＝84（棵）树。比实际栽的树多84－71＝13（棵）。每名男生比女生多栽3－2＝1（棵）树，则女生有13÷1＝13（人），男生就有28－13＝15（人）。再用男生人数乘每名男生栽树棵数，求出男生栽树总棵数。 【详解】假设全是男生，则女生有： （28×3－71）÷（3－2） ＝（84－71）÷1 ＝13÷1 ＝13（人） 男生有：28－13＝15（人） 15×3＝45（棵） 其中男生一共栽了45棵。 故答案为：D 【点睛】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论。 3．鸡兔同笼，头共50个，脚共140只，鸡有（    ）只。 A．20 B．25 C．30 D．无法确定 【答案】C 【分析】假设50头动物全是鸡，那么一共有100只脚。但实际上有140只脚，那么多出的脚由兔提供。每只兔子比每只鸡多出两只脚，将脚多出的部分除以2，即可求出兔子的数量。将动物总数减去兔子数量，即可求出鸡有多少只。 【详解】（140－50×2）÷（4－2） ＝（140－100）÷2 ＝40÷2 ＝20（只） 50－20＝30（只） 所以，鸡有30只。 故答案为：C 【点睛】本题考查了鸡兔同笼，掌握假设法解决鸡兔同笼问题是解题关键。 4．三年二班45个同学向爱心基金会共计捐款100元，其中11个同学每人捐1元，其他同学每人捐2元或5元，捐2元的同学有（    ）人。 A．25 B．26 C．27 D．28 【答案】C 【分析】根据题干分析可得：除了11个捐款1元的之外还剩下的人数为：45－11＝34（人），一共捐款100－11＝89（元），假设剩下的34人都是捐了5元，则一共捐款：34×5＝170（元），这比已知的89元多了170－89＝81（元），因为捐5元的比捐2元的多了3元，所以可得，捐2元的同学有（81÷3）人，据此即可解答。 【详解】45－11＝34（人） 34人一共捐款：100－11＝89（元） 假设剩下的34人都捐了5元，则捐2元的人数有： （34×5－89）÷（5－2） ＝81÷3 ＝27（人） 则捐2元的同学有27人。 故答案为：C 【点睛】此题属于鸡兔同笼问题，解答此题的关键是求出剩下的34人捐款数，再利用假设法即可解答。 5．蜘蛛有8只脚，蜻蜓有6只脚和2对翅，蝉有6只脚和1对翅。现有这三种昆虫18只，共有118只脚和20对翅，则蜻蜓有（    ）只。 A．18 B．10 C．7 D．6 【答案】C 【分析】假设全是蜘蛛，则应有脚（8×18）只，而实际有118只，这是因为每只蜻蜓和每只蝉比每只蜘蛛少了（8－6）只脚，据此可求出的蜻蜓与蝉一共有的只数，再假设全是两对翅膀，根据假设与实际翅膀的差，可求了蜻蜓和蝉的只数，据此解答。此题属于典型的鸡兔同笼问题，解答此类题的关键是用假设法进行分析比较，进而得出结论；也可以用方程，设其中的一个数为未知数，另一个数也用未知数表示，列出方程解答即可。 【详解】蜻蜓和蝉共用的只数是： （8×18－118）÷（8－6） ＝（144－118）÷2 ＝26÷2 ＝13（只） 蜘蛛的只数： 18－13＝5（只） 蝉的只数： （13×2－20）÷（2－1） ＝（26－20）÷1 ＝6÷1 ＝6（只） 蜻蜓的只数： 13－6＝7（只） 则蜻蜓有7只。 故答案为：C 【点睛】本题考查了鸡兔同笼，解题方法：假设法，抬腿法，方程法。解答时，一般采用假设法，即假定全部只数都是鸡或者都是兔，算出假定情况下的足数和实际的足数和、足数差，然后推算出鸡和兔的只数。 6．有20个同学扎灯笼，男同学每人扎3个，女同学每人扎5个，一共扎了76个灯笼，扎灯笼的女同学有（　　）人。 A．8 B．12 C．15 D．5 【答案】A 【分析】假设扎灯笼20个同学全是女同学，则一共可以扎20×5＝100（个），这比已知的76个多了24个，又因为一个女同学比一个男同学多扎5－3＝2（个），用假设比实际多的个数除以2即可求出男同学人数，进而用减法求出女同学人数。 【详解】假设扎灯笼20个同学全是女同学，则男同学有： （20×5－76）÷（5－3） ＝（100－76）÷2 ＝24÷2 ＝12（人） 20－12＝8（人） 扎灯笼的女同学有8人。 故答案为：A 【点睛】此题属于鸡兔同笼问题，解答这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论。 7．某电动车展厅里，停放着两轮电动车和三轮电动车共53辆，这些车一共有124个轮子。那么停放的三轮电动车有( )辆。 【答案】18 【分析】假设全是两轮电动车，则应该有2×53＝106（个）轮子，比实际少124－106＝18（个）轮子，因为每辆两轮电动车比每辆三轮电动车少3－2＝1（个）轮子，所以三轮电动车有18÷1＝18（辆）。 【详解】假设全是两轮电动车。 （124－2×53）÷（3－2） ＝（124－106）÷1 ＝18÷1 ＝18（辆） 停放的三轮电动车有18辆。 8．某学校有30间宿舍，全部住满，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人。已知这些宿舍中共住了168人，其中有( )间大宿舍。 【答案】24 【分析】假设30间全是小宿舍，每间住 4 人，则总人数为：（人），实际住了 168 人，比假设的总人数多：（人）； 每间大宿舍比小宿舍多住：（人），多出来的 48 人，需要通过大宿舍来补足，因此大宿舍数量为：（间） 【详解】由分析可得： 某学校有30间宿舍，全部住满，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人。已知这些宿舍中共住了168人，其中有24间大宿舍。 9．妈妈在超市买啤酒和饮料一共20瓶，花了84元。每瓶啤酒5元，每瓶饮料3元。妈妈买了( )瓶啤酒，( )瓶饮料。 【答案】 12 8 【分析】本题属于鸡兔同笼问题，可以通过假设法求解。假设全部买饮料，计算出假设总价与实际总价的差值，以及每瓶啤酒与饮料的差价，用总价差除以单价差，求出啤酒的瓶数，进而求出饮料的瓶数。 【详解】假设全部买饮料。 （84－3×20）÷（5－3） ＝（84－60）÷2 ＝24÷2 ＝12（瓶） 20－12＝8（瓶） 所以，妈妈买了12瓶啤酒，8瓶饮料。 10．小红与哥哥相差几岁不知道，但是知道当哥哥是今年小红年龄时，小红只有3岁，而当小红到了哥哥今年的年龄时，哥哥24岁，则小红今年 岁。 【答案】 10 【分析】 小红与哥哥的年龄差不变，由线段图可知小红现在的年龄减3岁，哥哥现在的年龄减去小红现在的年龄，24岁减去哥哥现在的年龄均为年龄差； 用（24－3）岁除以3即可求出两人的年龄差，用二人的年龄差加上3岁即可求出小红今年的年龄。 【详解】（24－3）÷3＋3 ＝21÷3＋3 ＝7＋3 ＝10（岁） 即小红今年10岁。 【点睛】通过题中的描述画出年龄的线段图确定二人的年龄差是解题关键。 11．学校体育组这学期共买了20个篮球和足球，总价是1220元，已知篮球每个70元，足球每个40元，这20个球中有( )个篮球，( )个足球。 【答案】 14 6 【分析】根据鸡兔同笼问题，通过假设全部是足球，计算总价差值，再根据每个篮球与足球的差价，求出篮球数量，进而求出足球数量。 【详解】假设全部是足球，则总价为20×40＝800（元）。 实际总价为1220元，差值为1220－800＝420（元）。 每个篮球比足球贵70－40＝30（元） 所以篮球数量为420÷30＝14（个） 足球数量为20－14＝6（个） 因此，这20个球中有14个篮球，6个足球。 12．有龟和鹤共10只，龟和鹤的腿共有32条，龟和鹤各有多少只？解决这个问题的方法很多，如果假设全部都是鹤，那么一共有20条腿，比实际的腿条数( )12条（填“多”或“少”），这是因为把鹤当成龟后，每只龟少算了( )条腿，由“一共少的腿的条数”÷“每只龟少算的腿的条数”可以算出( )的数量是( )只。 【答案】 少 2 龟 6 【分析】根据题意，已知有龟和鹤共10只，龟和鹤的腿共有32条，假设全部是鹤，用10×2＝20（条），求出总腿数，比实际少32－20＝12（条），每只龟少算4－2＝2（条）腿，用总少的腿数除以每只少算的腿数，可得龟的数量，列式计算即可。 【详解】根据分析可知： （32－10×2）÷（4－2） ＝（32－20）÷（4－2） ＝12÷2 ＝6（只） 综上可知，有龟和鹤共10只，龟和鹤的腿共有32条，龟和鹤各有多少只？解决这个问题的方法很多，如果假设全部都是鹤，那么一共有20条腿，比实际的腿条数少12条，这是因为把鹤当成龟后，每只龟少算了2条腿，由“一共少的腿的条数”÷“每只龟少算的腿的条数”可以算出龟的数量是6只。 13．动物园里，孔雀（2条腿）和梅花鹿（4条腿）关在一起。管理员数了数，一共有15个头和40条腿。孔雀和梅花鹿各有多少只？ 【答案】 孔雀有10只；梅花鹿有5只。 【分析】根据题意，假设全是梅花鹿，那么15乘4，就是腿的总数，再减去实际的40，就是多出来的腿的数量；再计算出孔雀（2条腿）和梅花鹿（4条腿）的腿的数量差，最后用多出来的腿的数量除以数量差，就是孔雀的数量；用15减去10，就是梅花鹿的数量；列式计算即可。 【详解】根据分析可知： （15×4－40）÷（4－2） ＝（60－40）÷2 ＝20÷2 ＝10（只） 15－10＝5（只） 答：孔雀有10只，梅花鹿有5只。 14．电影院的电影票分甲等和乙等两种，甲等票每张售价40元，乙等票每张售价30元，购买14张电影票共用了470元钱。买甲等票和乙等票各多少张？ 【答案】甲等票5张；乙等票9张 【分析】假设全是甲等票，需要40×14＝560（元），与实际用的钱多了560－470＝90（元），是因为乙等票也看成了甲等票，每张多算了40－30＝10（元），所以乙等票有90÷10＝9（张），甲等票14－9＝5（张）。 【详解】假设全是甲等票 40×14＝560（元） 560－470＝90（元） 40－30＝10（元） 90÷10＝9（张） 14－9＝5（张） 答：甲等票5张，乙等票9张。 15．四年级同学分组参加课外兴趣小组，每人只能参加一个小组。科技类每5人一组，艺术类每3人一组，共有37名学生报名，正好分成9个组。参加科技类和艺术类的学生各有多少人？ 【答案】科技类25人；艺术类12人 【分析】本题是鸡兔同笼问题，可以用假设法来解决该问题。假设9个组全是科技小组，那么一共有：5×9＝45（人）。实际上只有37名学生，两者相差：45－37＝8（人）。每把一个科技小组换成艺术小组，总人数相差：5－3＝2（人），直接用8除以2可以算出艺术小组的数量。最后再用9减去艺术小组的数量即可算出科技小组的数量。最后用科技小组和艺术小组的数量分别乘上他们每组的人数算出参加科技类和艺术类的学生各有多少人。 【详解】5×9＝45（人） 45－37＝8（人） 5－3＝2（人） 8÷2＝4（组） 9－4＝5（组） 5×5＝25（人） 3×4＝12（人） 答：参加科技类的学生有25人，参加艺术类的学生有12人。 16．篮球比赛中，3分线外投中一球记3分，3分线内投中一球记2分。在一场比赛中李航总共得了21分，李航在这场比赛中投进了多少个3分球？（李航没有罚球） 【答案】3个 【分析】此题可以用假设法解答，假设投进的都是3分球，9个3分球共得27分，实际得分是21分，比假设少了6分，因为实际还有2分球，把1个2分球当1个3分球算，多算了1分，那么把6个2分球当3分球来算，会多算6分，所以2分球是6个，9减6即可求出3分球的个数。 【详解】假设投进的9个球都是3分球。 3×9＝27（分） 27－21＝6（分） 3－2＝1（分） 6÷1＝6（个） 9－6＝3（个） 答：李航在这场比赛中投进了3个3分球。 17．在垃圾分类宣传活动中，50位志愿者分成两小队向路人发放宣传手册，一共发放了556份，其中第一小队平均每人发放10份，第二小队平均每人发放12份。第一小队和第二小队各有多少人？ 【答案】第一小队有22人，第二小队有28人 【分析】假设50个志愿者全部平均每人发放10份，那么一共发放了50×10＝500（份），因为实际一共发放了556份，少了（556－500）份，就是因为把第二小队平均每人发放12份全看作10份了，10份比12份少了（12－10）份，所以用（556－500）除以（12－10）就是第二小队的人数，再用总共的人数减去第二小队的人数，即可求出第一小队的人数，据此解答即可。 【详解】50×10＝500（份） 556－500＝56（份） 12－10＝2（份） 第二小队：56÷2＝28（人） 第一小队：50－28＝22（人） 答：第一小队有22人，第二小队有28人。 18．2024年株洲“厂BA”篮球锦标赛正在株洲市体育中心举行，在一场比赛中，A队伍三分球和两分球一共投中了24个球，总分是64分。三分球和两分球分别投中了多少个球？ 【答案】三分球和两分球分别投中16个和8个 【分析】假设都投中两分球，总分是24×2＝48（分）。实际总分是64分，相差64－48＝16（分）。每个三分球比两分球多3－2＝1（分），可知三分球投中了16÷1＝16（个）。用总个数减去三分球的个数，即可求出两分球的个数。 【详解】假设都投中两分球： 2×24＝48（分）     64－48＝16（分）     16÷（3－2） ＝16÷1 ＝16（个）     24－16＝8（个） 答：三分球和两分球分别投中16个和8个。 19．鸡兔同笼：工程队修一条路，由于受天气的影响，晴天每天可以修20米，雨天每天只能修12米。接连工作数天后一共修了112米，平均每天修14米。 【答案】6天 【分析】根据题意可知，用假设法，一共修了112米，平均每天修14米，那么总天数是112÷14＝8（天），假设这8天全是晴天，晴天每天可以修20米，则8天修20×8＝160（米），但实际修了112米，出现的差额原因是把雨天的修路速度也看成了晴天的修路速度，用相差总米数÷晴天与雨天相差米数，即可解答。 【详解】112÷14＝8（天） 假设全部为晴天，则雨天有： （20×8－112）÷（20－12） ＝（160－112）÷8 ＝48÷8 ＝6（天） 答：这数天中有6天雨天。 20．学校本学期开展了课外兴趣小组，分别是科技类8人/组，体育类6人/组，文学类7人/组，艺术类5人/组，每人只能参加一个小组，共有42名学生报名科技类和艺术类，正好分成6个组，参加科技类小组的学生有多少名？ 【答案】32名 【分析】此题属于鸡兔同笼问题。假设这6个组都是艺术类，那么总人数是30人，比42人少，是因为把科技类也按照5人一组来计算了，这样每个科技类小组少算了（8－5）人。用一共少算的人数除以每个科技类小组少算的人数即可求出科技类小组的组数。进而求出参加科技类小组的人数即可。 【详解】（42－5×6）÷（8－5） ＝12÷3 ＝4（组） 4×8＝32（名） 答：参加科技类小组的学生有32名。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $