专题01 等差数列及前n项和（9题型专项训练）数学人教B版选择性必修第三册

专题01 等差数列及前n项和（9题型专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、等差数列的基本量运算（重） 1 题型二、等差数列的判定与证明（重） 3 题型三：等差数列的性质 6 题型四：等差数列前n项和的性质 8 题型五：等差数列的最值问题（重） 10 题型六：等差数列前n项和的二次函数特征（重） 13 题型七：等差数列的实际应用 15 题型八：绝对值求和 18 题型九：等差数列的综合问题（难） 22 B综合攻坚・能力跃升 26 题型一、等差数列的基本量运算 1．记为等差数列的前n项和，若 则 （    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】由已知等差数列中，得， 即，所以， 又，则公差，所以. 2．已知等差数列的前n项和为，且满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设等差数列的首项为​，公差为， 由，可得：，解得， 由， 可得： 代入得： ， 化简得：，解得， 所以. 3．设等差数列的前n项和为，，，则公差d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知， 则， 即， 解得． 4．设等差数列的前项和为，若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为， 因为， 所以， 因为，即 所以，解得， 所以得，即 因为， 所以，整理得，解得或 因为，所以. 5．等差数列的前n项和为，公差为d，且，则______． 【答案】2 【详解】等差数列中，， 则，所以， 则. 6．已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式： (2)求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，由， 则，即， 所以. （2）由（1）知，， 则. 题型二、等差数列的判定与证明 7．已知数列满足，且中小于0的项有10项，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，所以是公差为的等差数列， 所以，即， 由，得，所以 因为中小于的项有项，所以， 解得. 【点睛】易错点：构造新数列时易漏除，或在确定的不等式边界时混淆 “小于 0 的项有 10 项” 的等号方向. 8．（多选）已知数列满足，，则（   ） A．数列是等差数列 B． C．数列的前n项和 D．数列是递减数列 【答案】AC 【详解】对于A，由，，可得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故A正确； 对于B，由A知，所以，故B错误； 对于C，由数列是以为首项，为公差的等差数列， 知，故C正确； 对于D，因为，所以数列是递增数列，故D错误. 9．已知数列中，，且，则数列的通项公式______． 【答案】 【详解】. 因为，所以， 所以数列为公差为2，首项为的等差数列， 那么，所以. 故答案为：. 10．已知正项数列的前项之积为，且.求证：数列是等差数列. 【答案】证明见解析 【详解】依题意，，当时，得，则， 由，得，则，即， 当时，，于是，解得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. 11．记为数列的前项和，已知，，且. (1)求的值； (2)证明：为等差数列. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）当时，， 即， 整理得， 解得或（舍去）. 故的值为. （2）证明：由可得， 故， 故，即， 故是首项和公差均为1的等差数列. 12．已知数列满足，且，数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)证明为等差数列； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）当时， ， ， 所以数列的通项公式为； （2）因为， 所以， 所以为首项为，公差为1的等差数列. 题型三：等差数列的性质 13．已知等差数列的前项和为，若，则______． 【答案】27 【详解】依题意，. 14．为等差数列的前项和，若，且，则（   ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【详解】由，得，即，即，所以， 又，由等差数列的性质得，解得. 15．已知等差数列的前项和为，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．24 【答案】B 【详解】等差数列中，，因此，得； 对用通项公式展开：； 由，代入、，得； 由，代入、，得； . 故选：B 16．记为正项等差数列的前项和，若 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为数列为等差数列，所以， 所以. 又因为，所以. 所以. 故选：D 17．（多选）已知是等差数列的前项和，且，，则下列选项正确的是（   ） A．数列为递减数列 B． C．的最大值为 D．使得时的最大值是14 【答案】ACD 【详解】根据题意，数列是等差数列，设其公差为， 对于A，等差数列中，易得，又由，则， 故，数列为递减数列，A正确； 对于B，由的结论，，B错误； 对于C，由的结论，且，，可知数列为递减数列，故的最大值为，C正确； 对于D，，， 故使得时的最大值是14，D正确． 18．已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为_____. 【答案】/ 【详解】等差数列与的前项和分别为，，且， 则. 故答案为：. 题型四：等差数列前n项和的性质 19．已知等差数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为.因为是等差数列的前项和， 所以， ， ， . 所以. 所以. 所以成等差数列. 由，得，所以. 所以，所以是公差为的等差数列. 所以. 所以. 故选：A. 20．已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则数列项数为（   ） A．11 B．19 C．9 D．21 【答案】B 【详解】设等差数列共项，则其中奇数项有项，偶数项有项，且各成等差数列． 偶数项和为， 奇数项和为， 因为， 所以，解得． 所以，即等差数列的项数为19． 21．设等差数列的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以． 22．若等差数列的项数为，则______． 【答案】 【详解】因 联立解得： 故. 故答案为：. 23．已知是等差数列的前项和，设为数列的前项和，若，，则_____. 【答案】 【详解】根据等差数列性质，数列为等差数列，设其公差为. 因为，， ，又，， . 故答案为：. 24．在等差数列中，，其前n项和为，若，则______． 【答案】 【详解】由等差数列前n项和的性质可知，数列也为等差数列， 设其公差为d，则由， 可得，即． 又， 所以， 所以． 故答案为：. 题型五：等差数列的最值问题 25．已知等差数列的前项和为，公差为且，当且仅当时最大，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，当且仅当时最大， 所以，即， 所以， 故选：C. 26．已知公差为的等差数列的前项和为，若，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为为等差数列，且， 所以 ， 又， 故，解得. 因为，所以，所以当时，取得最大值， 所以，又， 故，解得. 故选：C. 27．已知等差数列的前项和为.若，，则当取得最大值时，（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【详解】由，即， 由，即， 所以在等差数列中，公差，为递减数列， 且时，，时，， 则取得最大值时，. 故选：C 28．（多选）数列为等差数列，为其前项和.已知，，则下列结论正确的有（    ） A．公差 B． C． D．当时，最小 【答案】BCD 【详解】设等差数列的公差为，则，故A错误； 因为，，所以，解得，故B正确； 对于选项C、D，因为， 所以， 而；由于二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线. 又因为，所以当时，最小，故C、D正确， 故选：BCD 29．（多选）首项为正数的等差数列的前n项和为，且，当取到最大值时，n的取值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】BC 【详解】，, 故，又， 所以， 则当时，， 当时，． 故当或6时，最大． 故选：BC 30．已知等差数列的前项和为，若有且只有两个正整数满足，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】由等差数列性质，，代入，，得，解得. 前项和. 是开口向下的二次函数，对称轴为. ，， ，. 因只有两个正整数满足，结合的单调性，需满足. 故答案为： 31．已知数列是等差数列，且，． (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，求的最小值． 【答案】(1) (2)最小值 【分析】 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意可得，解得， 所以． （2）因为是等差数列，所以． 因为，所以当时，有最小值. 题型六：等差数列前n项和的二次函数特征 32．在等差数列中，是其前项和，且，，则正整数为（   ） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 【答案】D 【详解】因为等差数列的前项和是关于的二次函数， 所以由二次函数的对称性及， 可得，解得． 33．记为等差数列的前项和，若，则数列的公差为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【详解】因为为等差数列，其前项和是关于的没有常数项的二次函数， 由题意得，解得. 故， 由等差数列前项和公式得， 故，故. 34．设等差数列的前项和为，若，那么等于（    ） A．10 B．80 C． D． 【答案】D 【详解】因为等差数列的前项和为，所以设， 则，即， 两式相减，得，所以， 所以. 故选：D. 35．（多选）数列的前n项和为，指出的图象上的部分点对应的数列可能是等差数列的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于选项A、B：设等差数列的公差为，则，当时，是关于的二次函数， 点在过原点的抛物线上，选项AB正确； 对于选项C：时，存在非零常数项，不符合要求，C错误； 对于选项D：当时，点在过原点的直线上，可知，选项D正确. 36．设数列的前n项和为，且，，请写出一个满足条件的数列的通项公式______. 【答案】（答案不唯一） 【详解】因为，所以数列是递增数列， 又因为，即最小， 只要前7项均为负数，从第8项开始为正数，或者前6项为负数，第7项为0，从第8项开始为正数即可， 所以，满足条件的数列的一个通项公式如、 答案不唯一 故答案为：（答案不唯一） 37．（多选）数列的前n项和为，已知，则下列结论正确的是（    ） A．为等差数列 B．不可能为常数列 C．若为递增数列，则 D．若为递增数列，则 【答案】AC 【详解】当时，， 当时，， 显然时，上式也成立，所以. 对A，因为， 所以是以为公差的等差数列，A正确； 对B，由上可知，当时，为常数列，B错误； 对C，若为递增数列，则公差，即，C正确； 对D，若为递增数列，由函数性质可知，解得，D错误. 故选：AC 题型七：等差数列的实际应用 38．一个屋顶的某一个斜面呈等腰梯形，最上面一层铺了块瓦片，往下每一层多铺一块瓦片，斜面上铺了层瓦片，共铺了瓦片（   ） A．块 B．块 C．块 D．块 【答案】C 【详解】由题意可知，每层所铺瓦片数构成一个公差为1，首项为的等差数列， 则， 共铺瓦片数为块，故C正确． 故选：C． 39．渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄的改革方案．对于男职工，法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁．如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示： 出生时间 1965年1月～4月 1965年5月～8月 1965年9月～12月 1966年1月～4月 …… 改革后法定退休年龄 60岁1个月 60岁2个月 60岁3个月 60岁4个月 …… 那么1974年7月出生的男职工退休年龄为（    ） A．62岁3个月 B．62岁4个月 C．62岁5个月 D．63岁 【答案】C 【详解】设1965年7月出生的男职工退休年龄为（岁）， 则1966年7月出生的男职工退休年龄为（岁）， 若1965年及以后每年7月出生的男职工退休年龄构成数列， 则是首项为，公差为的等差数列， 则1974年7月出生的男职工退休年龄为（岁）． 故1974年7月出生的男职工退休年龄为62岁5个月． 故选：C. 40．粗细都是1cm的一组圆环依次相扣，悬挂在某处，最上面圆环的外直径是20cm，每个圆环的外直径皆比它上面的圆环的外直径少1cm，则从上向下数第4个环底部与第2个环顶部距离是______cm；记从上向下数第n个环底部与第一个环顶部距离是，则______. 【答案】 50 【详解】用数列表示从上往下数圆环的外直径， 则， 则从上向下数第4个环底部与第2个环顶部距离是； 由题意知， 故. 41．“嫦娥”奔月，举国欢庆，据科学计算运载“嫦娥”的“长征3号甲”火箭，点火1min内通过的路程为2km，以后每分钟通过的路程增加2km，假设火箭垂直上升，并在到达离地面240km的高度时，与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是________min． 【答案】15 【详解】由题设条件知，火箭在第通过的路程构成以为首项，公差的等差数列， 所以内通过的路程为． 令，解得． 所以大约需要的时间是. 42．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则中下两层的扇面形石板共有____________块. 【答案】2997 【详解】设第k环扇形石板块数为，上层共有n环，为数列的前n项和， 则是首项为9，公差为9的等差数列，，， 上层、中层、下层的块数分别为， 由下层比中层多729块，得， 即，解得， 所以中下两层共有扇形石板（块）. 故答案为：2997 43．（多选）甲、乙、丙、丁四人玩报数游戏：第一轮，甲报数字1，乙报数字2，3，丙报数字4，5，6，丁报数字7，8，9，10；第二轮，甲报数字11，12，13，14，15，依次循环，直到报出数字10000，游戏结束，则（   ） A．10000是乙报的 B．2025是丁报的 C．甲共报了36轮 D．甲在前四轮所报数字之和大于1600 【答案】BC 【详解】对于A，C，甲、乙、丙、丁第轮的报数个数分别为， 前轮共报数个数为． 当时，；当时，； 且，故10000是甲报出的，且甲报了36轮，A错误，C正确； 对于B，当时，；当时，， 故2025在第16轮报数中，，故数字2025是丁报的，B正确； 对于D，甲在前四轮所报数字之和为 ，D错误． 故选：BC． 题型八：绝对值求和 44．若等差数列满足且，则数列的前12项和为（   ） A．48 B．64 C．80 D．112 【答案】C 【详解】设数列的公差为，则，得， 则， 当时；当时， 因为等差数列的前项和为， 前项和为， 则数列的前12项和为. 45．已知是等差数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)求的最值； (3)设，求数列的前20项和. 【答案】(1) (2)最小值为-42，无最大值. (3)106 【分析】 【详解】（1）设数列的首项为，公差为， 则 解得， 故的通项公式为. （2）因为，所以单调递增. 因为，所以的最小值为，无最大值. （3）由（1）可知，， 所以易知为等差数列. 设的前项和为，则， 所以数列的前20项和为 46．已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式. (2)记，数列的前项和为，求. 【答案】(1)，. (2)，. 【分析】 【详解】（1）设的公差为，由，则或， 若，则，此时，， 满足条件等式； 若，则， 此时，， 不满足条件等式，舍去； 综上，. （2）由上可知， 所以当时， 此时， 当时， 此时 ， 综上，. 47．已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以； （2）由可知当时，，当时，． 当时，， 当时，， 所以 48．在等差数列中，，，的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意知在等差数列中，，，设公差为， 则，则， 故，故通项公式． （2），由，得， 即时有，时有， 若，， 若时， ， 综合上述，． 49．已知等差数列的公差，且. (1)求数列的通项公式； (2)记，若，求. 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）因为数列为等差数列，所以， 又，所以， 又，，解得， 所以由得到； （2）由（1）得，所以， 则， 所以，当时，，数列为首项是，公差为的等差数列， 所以， 当时，，数列为首项是，公差为的等差数列， 所以， 所以， 又，即，解得（舍）或. 题型九：等差数列的综合问题 50．数列中，，对，有，若，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【详解】令 ，可得， 则是首项，公差的等差数列， 通项公式为， ， 解得． 51．设数列，满足，，，设为数列的前n项和，则________． 【答案】392 【详解】由得，即，又， 所以，同理得， 由得，令，则，且， 所以，所以， 所以， 则 ． 52．（多选）已知数列的前n项和为，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【详解】对于，即， 所以数列是首项为10，公差为的等差数列， 所以， 则，故A正确. 对于B，由，得. 又，故B正确. 对于C，由，得， 两边同时除以得，即 ， 将上式相加，， 即， 因为，则，则， 即，整理得，则， 当时取等号，即，故C正确； 对于D，由，且，得， 当时，，则， 当时也成立，，故D错误. 53．（多选）已知数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（   ） A．若，则为等差数列 B．若为等差数列，则公差可能为1 C．若，则当且仅当时，取得最小值 D．若数列是递增数列，则的取值范围是 【答案】AC 【详解】由，当时，， 当时，， 若，则，符合，故为等差数列，A正确； 因为当时，，所以若为等差数列，则的公差为2，故B错误； 若，则，当时，， 所以，，，又当时，，所以当且仅当时取得最小值，故C正确； 当时，， 故数列为递增数列等价于对任意的，恒成立， 即，可得，故D错误． 54．（河南省焦作市2026届高三第一次模拟测试数学试题）已知数列和的各项均为正数，且满足：． (1)若，求； (2)设，数列的前项和为，对任意两个正整数，试比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为和的各项均为正数，，  所以，， 代入可得， 两边同除以可得，所以数列为等差数列， 令得，，，把 代入方程组解得， 所以其公差为，所以. （2）由（1）可知数列为等差数列，设其公差为， 则， ， 所以. 55．已知数列的前n项和为，是首项为1，公差为的等差数列. (1)求； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）∵是首项为1，公差为的等差数列， ∴，则， 当时，； 当时，， 则， 显然也满足上式，则. （2）由， 则 . 1．（2023·24高二下·辽宁·月考）在等差数列中，，则的值为（   ） A．15 B．20 C．30 D．40 【答案】D 【详解】等差数列中，解得， 则. 故选：D. 2．（2025·26高三上·江苏南京·期中）已知数列是公差不为0的等差数列，，若数列也是等差数列，则（    ） A．24 B．20 C．18 D．15 【答案】B 【详解】数列是公差不为0的等差数列，设公差为， 因，则， 因为数列也是等差数列， 则，即， 化简得，则， 故. 故选：B. 3．（2025·26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】由等差数列前项和公式得：， 因为，所以，即， 因为，所以， 又因为，可得，即， 由，可知数列前6项为负，第7项开始为正， 因此当取得最小值时，. 故选：C. 4．（2025·26高二上·河北沧州·期中）已知等差数列，的前项和分别为和，若，则满足的正整数有（   ） A．1个 B．2个 C．5个 D．6个 【答案】B 【详解】因为等差数列,的前n项和分别为和,， 所以可设（），， 所以时，， 又满足上式，所以（）， 时，， 又满足上式，所以,， 则， 因为，所以是63的正因数，63的正因数有1，3，7，9，21，63， 又，则，解得；，解得， 所以，15，即满足的正整数n有2个. 故选：B. 5．（2025·26高二上·重庆渝北·期中）（多选）已知等差数列的公差为，其前项和为，若，下列论断中正确的有（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．当或11时，取得最大值 【答案】AC 【详解】因为，则，即. 对于选项A：因为，故A正确； 对于选项B：若，可知数列为递增数列，则， 所以，故B错误； 对于选项C：因为，， 若，即，则，即，故C正确； 对于选项D：例如，则， 因为的图象开口向上，对称轴为， 结合对称性可知当或11时，取得最小值，故D错误； 故选：AC. 6．（2025·26高二上·重庆·期中）（多选）已知等差数列的前n项和为，，，则（    ） A． B． C．使的n的最大值为25 D． 【答案】ABD 【详解】当时，， 当时，， 所以，因为数列为等差数列，所以， 所以，解得，故A正确； 所以，适合，故等差数列的通项公式为，故B正确； 由，得，解得， 又，所以时，， 所以使的n的最大值为26，故C错误； 令，则，解得，即数列为递增数列，且， 所以 ，故D正确. 故选：ABD. 7．（2025·26高二上·安徽合肥·期中）已知数列满足，，则数列的前 项和为________. 【答案】 【详解】因为， 所以，可得数列是以为首项，为公差的等差数列. 所以， 则数列的前项和为. 故答案为：. 8．（2025·广东珠海·模拟预测）已知是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列，若是数列的前项和，则的最小值为________． 【答案】 【详解】令的公差为，成等比数列， ，，，． ， 当且仅当，即时取等号． 故答案为： 9．（2025·河南新乡·二模）已知是等差数列的前项和，数列的公差为，且是等差数列，则______. 【答案】/0.5 【详解】由题意，， 所以， 因为是等差数列，则的通项是一次函数型， 则能整理成完全平方型， 所以， 化简得，所以，即. 故答案为：. 10．（2023·24高二下·福建厦门·期中）设数列 的前 项和为 ， 若 . (1)求 ， 并证明: 数列 是等差数列; (2)求 . 【答案】(1)，，证明见解析 (2)420. 【分析】 【详解】（1）当时，由条件得，所以. 当时，由条件得，所以. 因为，所以（）， 两式相减得：，即， 所以， 从而数列为等差数列. （2）由（1）知数列是以为首项，以为公差的等差数列， 即， 所以. 11．（2025·26高三上·重庆·期中）记为数列的前项和，且，，其中. (1)证明：为等差数列，并求出数列的通项公式； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】 【详解】（1）由已知得，两式相减并化简得， 两边同时除以得， 所以数列为常数列，亦即为公差为0的等差数列. 首项为，则，即. （2）由（1）， 所以， 记，则， 当时，，当时，，当时，， ， ，则. 所以实数的取值范围为. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 等差数列及前n项和（9题型专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、等差数列的基本量运算（重） 1 题型二、等差数列的判定与证明（重） 2 题型三：等差数列的性质 3 题型四：等差数列前n项和的性质 3 题型五：等差数列的最值问题（重） 3 题型六：等差数列前n项和的二次函数特征（重） 4 题型七：等差数列的实际应用 5 题型八：绝对值求和 6 题型九：等差数列的综合问题（难） 7 B综合攻坚・能力跃升 8 题型一、等差数列的基本量运算 1．记为等差数列的前n项和，若 则 （    ） A． B． C．1 D．2 2．已知等差数列的前n项和为，且满足，，则（    ） A． B． C． D． 3．设等差数列的前n项和为，，，则公差d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．设等差数列的前项和为，若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．等差数列的前n项和为，公差为d，且，则______． 6．已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式： (2)求． 题型二、等差数列的判定与证明 7．已知数列满足，且中小于0的项有10项，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（多选）已知数列满足，，则（   ） A．数列是等差数列 B． C．数列的前n项和 D．数列是递减数列 9．已知数列中，，且，则数列的通项公式______． 10．已知正项数列的前项之积为，且.求证：数列是等差数列. 11．记为数列的前项和，已知，，且. (1)求的值； (2)证明：为等差数列. 12．已知数列满足，且，数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)证明为等差数列； 题型三：等差数列的性质 13．已知等差数列的前项和为，若，则______． 14．为等差数列的前项和，若，且，则（   ） A．12 B．15 C．16 D．18 15．已知等差数列的前项和为，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．24 16．记为正项等差数列的前项和，若 ，则 （    ） A． B． C． D． 17．（多选）已知是等差数列的前项和，且，，则下列选项正确的是（   ） A．数列为递减数列 B． C．的最大值为 D．使得时的最大值是14 18．已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为_____. 题型四：等差数列前n项和的性质 19．已知等差数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 20．已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则数列项数为（   ） A．11 B．19 C．9 D．21 21．设等差数列的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 22．若等差数列的项数为，则______． 23．已知是等差数列的前项和，设为数列的前项和，若，，则_____. 24．在等差数列中，，其前n项和为，若，则______． 题型五：等差数列的最值问题 25．已知等差数列的前项和为，公差为且，当且仅当时最大，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 26．已知公差为的等差数列的前项和为，若，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 27．已知等差数列的前项和为.若，，则当取得最大值时，（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 28．（多选）数列为等差数列，为其前项和.已知，，则下列结论正确的有（    ） A．公差 B． C． D．当时，最小 29．（多选）首项为正数的等差数列的前n项和为，且，当取到最大值时，n的取值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 30．已知等差数列的前项和为，若有且只有两个正整数满足，则实数的取值范围是__________. 31．已知数列是等差数列，且，． (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，求的最小值． 题型六：等差数列前n项和的二次函数特征 32．在等差数列中，是其前项和，且，，则正整数为（   ） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 33．记为等差数列的前项和，若，则数列的公差为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 34．设等差数列的前项和为，若，那么等于（    ） A．10 B．80 C． D． 35．（多选）数列的前n项和为，指出的图象上的部分点对应的数列可能是等差数列的是（   ） A． B． C． D． 36．设数列的前n项和为，且，，请写出一个满足条件的数列的通项公式______. 37．（多选）数列的前n项和为，已知，则下列结论正确的是（    ） A．为等差数列 B．不可能为常数列 C．若为递增数列，则 D．若为递增数列，则 题型七：等差数列的实际应用 38．一个屋顶的某一个斜面呈等腰梯形，最上面一层铺了块瓦片，往下每一层多铺一块瓦片，斜面上铺了层瓦片，共铺了瓦片（   ） A．块 B．块 C．块 D．块 39．渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄的改革方案．对于男职工，法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁．如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示： 出生时间 1965年1月～4月 1965年5月～8月 1965年9月～12月 1966年1月～4月 …… 改革后法定退休年龄 60岁1个月 60岁2个月 60岁3个月 60岁4个月 …… 那么1974年7月出生的男职工退休年龄为（    ） A．62岁3个月 B．62岁4个月 C．62岁5个月 D．63岁 40．粗细都是1cm的一组圆环依次相扣，悬挂在某处，最上面圆环的外直径是20cm，每个圆环的外直径皆比它上面的圆环的外直径少1cm，则从上向下数第4个环底部与第2个环顶部距离是______cm；记从上向下数第n个环底部与第一个环顶部距离是，则______. 41．“嫦娥”奔月，举国欢庆，据科学计算运载“嫦娥”的“长征3号甲”火箭，点火1min内通过的路程为2km，以后每分钟通过的路程增加2km，假设火箭垂直上升，并在到达离地面240km的高度时，与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是________min． 42．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则中下两层的扇面形石板共有____________块. 43．（多选）甲、乙、丙、丁四人玩报数游戏：第一轮，甲报数字1，乙报数字2，3，丙报数字4，5，6，丁报数字7，8，9，10；第二轮，甲报数字11，12，13，14，15，依次循环，直到报出数字10000，游戏结束，则（   ） A．10000是乙报的 B．2025是丁报的 C．甲共报了36轮 D．甲在前四轮所报数字之和大于1600 题型八：绝对值求和 44．若等差数列满足且，则数列的前12项和为（   ） A．48 B．64 C．80 D．112 45．已知是等差数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)求的最值； (3)设，求数列的前20项和. 46．已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式. (2)记，数列的前项和为，求. 47．已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 48．在等差数列中，，，的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 49．已知等差数列的公差，且. (1)求数列的通项公式； (2)记，若，求. 题型九：等差数列的综合问题 50．数列中，，对，有，若，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 51．设数列，满足，，，设为数列的前n项和，则________． 52．（多选）已知数列的前n项和为，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 53．（多选）已知数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（   ） A．若，则为等差数列 B．若为等差数列，则公差可能为1 C．若，则当且仅当时，取得最小值 D．若数列是递增数列，则的取值范围是 55．已知数列的前n项和为，是首项为1，公差为的等差数列. (1)求； (2)设，求数列的前项和. 1．（2023·24高二下·辽宁·月考）在等差数列中，，则的值为（   ） A．15 B．20 C．30 D．40 2．（2025·26高三上·江苏南京·期中）已知数列是公差不为0的等差数列，，若数列也是等差数列，则（    ） A．24 B．20 C．18 D．15 3．（2025·26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（2025·26高二上·河北沧州·期中）已知等差数列，的前项和分别为和，若，则满足的正整数有（   ） A．1个 B．2个 C．5个 D．6个 5．（2025·26高二上·重庆渝北·期中）（多选）已知等差数列的公差为，其前项和为，若，下列论断中正确的有（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．当或11时，取得最大值 6．（2025·26高二上·重庆·期中）（多选）已知等差数列的前n项和为，，，则（    ） A． B． C．使的n的最大值为25 D． 7．（2025·26高二上·安徽合肥·期中）已知数列满足，，则数列的前 项和为________. 8．（2025·广东珠海·模拟预测）已知是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列，若是数列的前项和，则的最小值为________． 9．（2025·河南新乡·二模）已知是等差数列的前项和，数列的公差为，且是等差数列，则______. 10．（2023·24高二下·福建厦门·期中）设数列 的前 项和为 ， 若 . (1)求 ， 并证明: 数列 是等差数列; (2)求 . 11．（2025·26高三上·重庆·期中）记为数列的前项和，且，，其中. (1)证明：为等差数列，并求出数列的通项公式； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $