第五章 数列（单元自测·基础卷）数学人教B版选择性必修第三册

2025-2026学年高二数学单元自测 第五章 数列·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．数列1，，，，，…的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方法一：对于A，设数列1，，，，，…的第项为， 则，，， ，， 故数列的一个通项公式为. 方法二：对于A，当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，， 故数列1，，，，，…的通项公式可以为，A正确. 对于B，当时，，故B错误， 对于C ，当时，，故C错误， 对于D，当时，，故D错误， 2．记等差数列的前n项和为，已知，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】详解】因为为等差数列，则，解得. 3．某个与正整数有关的命题：如果当时命题成立，则可以推出当时该命题也成立.现已知时命题不成立，那么可以推得（    ） A．当时命题不成立 B．当时命题不成立 C．当时命题成立 D．当时命题成立 【答案】A 【详解】因为当时命题成立，则可以推出当时该命题也成立， 所以假设当时命题成立，那么时命题也成立，这与已知矛盾， 所以当时命题不成立. 4．已知数列是等比数列，公比，前项和为，满足，且，则（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【分析】详解】因为，， 所以， 即， 解得或， 又因为，所以. 5．已知数列 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】详解】由题得，则原式 故选：D. 6．已知数列的首项，若数列是递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】因为，整理得， 由于，可得数列是首项为，公比为的等比数列， 则. 因为数列是递增数列，所以， 即对任意的正整数都成立. 当为偶数时，恒成立，所以， 由单调递减，可得，则； 当为奇数时，恒成立，所以， 由单调递增，可得， 则，则的取值范围是. 7．已知等差数列的前n项和为，且．当取得最大值时n的值为k，使得成立的最大正整数n的值为m．则的值为（   ） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】B 【分析】详解】因为，所以， 令数列公差为，所以， 所以是单调递减数列，且，则， 所以，则取得最大值时对应，即， 因为，， 且，在开口向下的抛物线上， 所以成立的最大，即，故. 8．已知数列的前n项和为，若，，则不正确的是（    ） A． B．数列为等比数列 C． D． 【答案】A 【分析】详解】数列中，，， 则，， 整理得，而， 因此数列是首项、公比均为的等比数列，B正确； ，解得， 对于A，，A错误； 对于C，，则，C正确； 对于D， ，D正确． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．记为正项数列的前项和，为的前项积，已知，则（    ） A． B．可能为常数列 C． D． 【答案】ABC 【分析】详解】因为是正项数列，所以，，所以，故A正确； 若，满足，故B正确； ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 当且仅当时，等号成立，故C正确； ， 即，故D错误． 故选：ABC． 10．已知数列中，，，，其前项和为，则（   ） A． B． C．当取最小值时， D．数列的前项和为 【答案】ABD 【分析】详解】，即， 所以数列首项，公差的等差数列， ，故A正确； ，，故B正确； 当时，取最小值，故C错误； ， ，故D正确； 故选：ABD. 11．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，将图中的1，6，15，28，…称为六边形数，将六边形数按从小到大的顺序排成数列，则（    ） A． B． C．不是等比数列 D． 【答案】BC 【分析】详解】在数列中，有， 进一步，得， 所以可以得到递推关系：，即， 因为，显然不是常数， 所以数列不是等比数列，故C正确； 当时， ， 显然也成立，所以， 可得，，故A错误，B正确； 因为， 即，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知数列满足，，，则数列的通项公式是_________. 【答案】 【分析】详解】因为，且，可知， 可得，即， 可知数列是首项为，公差为4的等差数列， 可得，所以. 故答案为： 13．设等比数列的前项和为，若，则该数列的公比为______. 【答案】 【分析】详解】因为等比数列的前项和为，设该等比数列的首项为，公比为， 当公比时，，此时，不合题意，所以. 当时，. 因为，所以. 解得，所以该数列的公比为. 故答案为：. 14．已知数列的前项和为，且，若，则数列的前项和________． 【答案】 【分析】详解】因为，当时，；当时，； 所以，即，又因，满足前式， 所以是以为首项，为公比的等比数列，则. 因此， 所以. 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知等差数列满足．数列的各项均为正数，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【详解】（1）是等差数列，由等差中项性质得：，得， 又，所以，公差， 所以； 3分 ， 因为数列各项为正数，，故， 即是首项、公比为的等比数列，则通项公式：； 6分 （2）由的定义，前项和可分为奇数项和与偶数项和两部分： 设奇数项和为，设偶数项和为， ， 8分 为奇数时，奇数项为，是首项为、公比为的等比数列， 共项，故， 10分 为偶数时，设，则：， 裂项相消求和：， 12分 所以. 13分 16．（15分）已知数列的首项，前项和为，且满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)若，求数列的前项和． 【详解】（1）由，① 当时，，由，解得， 2分 当时，，② ①-②得：，即， 从而， 4分 又因为，且也满足上式， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列． 6分 （2）由（1）得，则， 8分 从而， 所以， ， 10分 令，① 则，② ①-②得：， 所以， 13分 又， 所以． 15分 17．（15分）记各项均为正数的数列的前项和为，已知． (1)证明：数列为等差数列； (2)记，数列的前项和为，若存在正整数，使得，求的取值范围． 【详解】（1）因为，所以当时，， 因为，整理得，所以. 2分 又，所以.当，， 展开移项化简，因式分解， 5分 因为各项均为正数，所以，所以， 数列是以为首项，为公差的等差数列，所以. 8分 （2）由（1）可知，所以. 10分 , 要使，即，整理得， 13分 因为在上递减，所以当时取得最大值为. 因为存在正整数，使得，所以，所以. 15分 18．（17分）已知数列的前项和为，且，，成等差数列，数列满足． (1)求数列，的通项公式； (2)是否存在正整数，使得？如果存在，请求出，的值；如果不存在，请说明理由． 【详解】（1）由题，，成等差数列，所以，① 2分 当时，，② ①②得：，即，所以， 5分 当时，，解得，所以， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，即，又满足上式， 7分 因此，从而． 综上：，． 9分 （2）由（1）得，，， 11分 从而． 14分 由于，为正整数， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 综上只有当，时满足条件， 因此存在，使得原等式成立． 17分 19．（17分）已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为，即：．① 2分 当时，， 又，所以． 当时，，② 由①－②整理得：． 整理得， 5分 由累乘法得：， 代入比值：， 当时，，符合上式， 所以数列的通项公式为． 8分 （2）当为偶数时， ， 10分 所以，为偶数， 由恒成立，得， 是偶数，当时，有最小值，所以； 12分 当为奇数时，为偶数， ， 14分 所以，为奇数， 由恒成立，得， 又在上单调递增， 所以当时，有最小值1，所以． 综上，实数的取值范围是 17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学单元自测 第五章 数列·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．数列1，，，，，…的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 2．记等差数列的前n项和为，已知，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．某个与正整数有关的命题：如果当时命题成立，则可以推出当时该命题也成立.现已知时命题不成立，那么可以推得（    ） A．当时命题不成立 B．当时命题不成立 C．当时命题成立 D．当时命题成立 4．已知数列是等比数列，公比，前项和为，满足，且，则（    ） A． B．4 C． D．2 5．已知数列 ，则 （    ） A． B． C． D． 6．已知数列的首项，若数列是递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知等差数列的前n项和为，且．当取得最大值时n的值为k，使得成立的最大正整数n的值为m．则的值为（   ） A．28 B．29 C．30 D．31 8．已知数列的前n项和为，若，，则不正确的是（    ） A． B．数列为等比数列 C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．记为正项数列的前项和，为的前项积，已知，则（    ） A． B．可能为常数列 C． D． 10．已知数列中，，，，其前项和为，则（   ） A． B． C．当取最小值时， D．数列的前项和为 11．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，将图中的1，6，15，28，…称为六边形数，将六边形数按从小到大的顺序排成数列，则（    ） A． B． C．不是等比数列 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知数列满足，，，则数列的通项公式是_________. 13．设等比数列的前项和为，若，则该数列的公比为______. 14．已知数列的前项和为，且，若，则数列的前项和________． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知等差数列满足．数列的各项均为正数，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 16．（15分）已知数列的首项，前项和为，且满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)若，求数列的前项和． 17．（15分）记各项均为正数的数列的前项和为，已知． (1)证明：数列为等差数列； (2)记，数列的前项和为，若存在正整数，使得，求的取值范围． 18．（17分）已知数列的前项和为，且，，成等差数列，数列满足． (1)求数列，的通项公式； (2)是否存在正整数，使得？如果存在，请求出，的值；如果不存在，请说明理由． 19．（17分）已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元自测 第五章 数列·基础通关（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 A B A D D B B A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 ABC ABD BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．【详解】（1）是等差数列，由等差中项性质得：，得， 又，所以，公差， 所以； 3分 ， 因为数列各项为正数，，故， 即是首项、公比为的等比数列，则通项公式：； 6分 （2）由的定义，前项和可分为奇数项和与偶数项和两部分： 设奇数项和为，设偶数项和为， ， 8分 为奇数时，奇数项为，是首项为、公比为的等比数列， 共项，故， 10分 为偶数时，设，则：， 裂项相消求和：， 12分 所以. 13分 16．【详解】（1）由，① 当时，，由，解得， 2分 当时，，② ①-②得：，即， 从而， 4分 又因为，且也满足上式， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列． 6分 （2）由（1）得，则， 8分 从而， 所以， ， 10分 令，① 则，② ①-②得：， 所以， 13分 又， 所以． 15分 17．【详解】（1）因为，所以当时，， 因为，整理得，所以. 2分 又，所以.当，， 展开移项化简，因式分解， 5分 因为各项均为正数，所以，所以， 数列是以为首项，为公差的等差数列，所以. 8分 （2）由（1）可知，所以. 10分 , 要使，即，整理得， 13分 因为在上递减，所以当时取得最大值为. 因为存在正整数，使得，所以，所以. 15分 18．【详解】（1）由题，，成等差数列，所以，① 2分 当时，，② ①②得：，即，所以， 5分 当时，，解得，所以， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，即，又满足上式， 7分 因此，从而． 综上：，． 9分 （2）由（1）得，，， 11分 从而． 14分 由于，为正整数， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 综上只有当，时满足条件， 因此存在，使得原等式成立． 17分 19．【详解】（1）因为，即：．① 2分 当时，， 又，所以． 当时，，② 由①－②整理得：． 整理得， 5分 由累乘法得：， 代入比值：， 当时，，符合上式， 所以数列的通项公式为． 8分 （2）当为偶数时， ， 10分 所以，为偶数， 由恒成立，得， 是偶数，当时，有最小值，所以； 12分 当为奇数时，为偶数， ， 14分nn 所以，为奇数， 由恒成立，得， 又在上单调递增， 所以当时，有最小值1，所以． 综上，实数的取值范围是 17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元自测 第五章 数列·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．数列1，，，，，…的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 2．记等差数列的前n项和为，已知，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．某个与正整数有关的命题：如果当时命题成立，则可以推出当时该命题也成立.现已知时命题不成立，那么可以推得（    ） A．当时命题不成立 B．当时命题不成立 C．当时命题成立 D．当时命题成立 4．已知数列是等比数列，公比，前项和为，满足，且，则（    ） A． B．4 C． D．2 5．已知数列 ，则 （    ） A． B． C． D． 6．已知数列的首项，若数列是递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知等差数列的前n项和为，且．当取得最大值时n的值为k，使得成立的最大正整数n的值为m．则的值为（   ） A．28 B．29 C．30 D．31 8．已知数列的前n项和为，若，，则不正确的是（    ） A． B．数列为等比数列 C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．记为正项数列的前项和，为的前项积，已知，则（    ） A． B．可能为常数列 C． D． 10．已知数列中，，，，其前项和为，则（   ） A． B． C．当取最小值时， D．数列的前项和为 11．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，将图中的1，6，15，28，…称为六边形数，将六边形数按从小到大的顺序排成数列，则（    ） A． B． C．不是等比数列 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知数列满足，，，则数列的通项公式是_________. 13．设等比数列的前项和为，若，则该数列的公比为______. 14．已知数列的前项和为，且，若，则数列的前项和________． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知等差数列满足．数列的各项均为正数，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 16．（15分）已知数列的首项，前项和为，且满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)若，求数列的前项和． 17．（15分）记各项均为正数的数列的前项和为，已知． (1)证明：数列为等差数列； (2)记，数列的前项和为，若存在正整数，使得，求的取值范围． 18．（17分）已知数列的前项和为，且，，成等差数列，数列满足． (1)求数列，的通项公式； (2)是否存在正整数，使得？如果存在，请求出，的值；如果不存在，请说明理由． 19．（17分）已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $