考点02 正弦定理（专项训练）高一数学苏教版必修第二册

考点02 正弦定理 考点一：正弦定理 正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即： 知识点诠释： （1）正弦定理适合于任何三角形； （2）可以证明（为的外接圆半径）； （3）每个等式可视为一个方程：知三求一． （4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边． 考点二：正弦定理在解三角形中的应用 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 考点三：三角形面积公式 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则的面积． 考点四：仰角与俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角．目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示． 题型一：已知两角及任意一边解三角形 （1）正弦定理实际上是三个等式：，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个． （2）因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角． 已知两角及一边解三角形，易错点：内角和算错致第三角错误；正弦定理边与角对应关系混淆；特殊角三角函数值记错；非特殊角用和角公式出错. 1．在中，设角的对边分别为，若，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【解析】， 由正弦定理可得即，故， 故选：A. 2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则a的值为（   ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【解析】在中，因为， 所以由正弦定理可得. 因为，所以，所以. 将及，代入余弦定理 可得，即，解得， 因为是三角形的边长，所以. 故选：A 3．在中，，则边的长为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】因，则， 由正弦定理，，则. 故选：B. 4．在中，，，，则（   ） A．4 B．3 C． D．2 【答案】D 【解析】在中，，所以， 又因为，则由正弦定理得，解得. 故选：D. 5．已知的内角的对边分别为，且，则（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】A 【解析】由题意得在中，， 由正弦定理得，解得，故A正确. 故选：A 题型二：已知两边及其中一边的对角解三角形 已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤 （1）用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角． （2）用三角形内角和定理求出第三个角． （3）根据正弦定理求出第三条边． 其中进行（1）时要注意讨论该角是否可能有两个值． 解三角形时，已知两边及其中一边的对角，易忽略多解情况，误判唯一解；还会因未用大边对大角验证，出现角度矛盾；同时易混淆正弦定理与余弦定理的选用，导致计算错误。 1．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，由正弦定理，得， 又，则有，所以. 故选：B 2．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】由正弦定理，得. 又，所以，所以. 故选：B. 3．设中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由正弦定理得，即， 解得， 又，， 则为锐角， ，则． 故选：B． 4．已知在中，角，，所对应的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】根据正弦定理可得：，即，解得. 因为，所以，所以， 故选：B. 5．在中，已知，，，则的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】由正弦定理得，即， 解得，又为三角形内角，所以或， 又因为，所以，又，所以． 故选：A． 题型三：三角形形状的判断 判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等．利用正弦定理判断三角形形状的方法如下： （1）化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有： ①（为外接圆的半径）； ②； （2）化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有： ①（为外接圆的半径）； ②． 判断三角形形状，核心看边与角的关系：优先用边化角或角化边，易误将等腰与等边混淆；忽略余弦定理符号判断角的类型，漏判钝角；未验证三边关系，误判直角；忽视边角对应，导致形状结论错误。 1．已知的三个内角A，B，C满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 ， ，或， 当时，因为，所以，因此该三角形是直角三角形； 当时，可得， 由正弦定理可得：，所以由，可得，因此该三角形是等腰三角形， 综上所述：该三角形是等腰或直角三角形. 故选：D 2．在中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【解析】， 则或，则是等腰或直角三角形. 故选：B. 3．已知的三个内角所对应的边分别为,若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】A 【解析】由正弦定理边化角得， 在三角形中，只能取，所以的形状是等腰三角形， 故选：A. 4．在中，内角所对的边分别为，若，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】因为，所以， 在中，由正弦定理得 ∴， ∵，∴， 所以是等腰三角形 故选：A. 5．设中的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【解析】由，根据正弦定理可得， 则，由，则， 可得，由，解得. 故选：D. 题型四：三角形面积公式及其应用 对于面积公式，总的概括为两边与夹角正弦乘积的一半．一般是已知角A就选，但也要结合具体条件，要根据解题目标和其他条件（如已知条件中角的大小）选取对解题有利的面积公式．如已知a，c，就以选为宜． 易错点：误用公式、代错边角、计算开方错误，应用中漏用条件致误。 1．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. (1)求角B； (2)若，，求边c和的面积. 【解析】（1）已知，由余弦定理得：， 所以， 化简可得：. 又，故 （2）， 由正弦定理，代入，，： 所以. 因为， 所以. 2．在中，内角A、、的对边分别为、、，（是的外接圆半径）. (1)求； (2)若，的面积为，求的周长. 【解析】（1）由正弦定理可知，而， 所以， 又因为，于是或； （2）当时，因为的面积为， 所以， 又因为， 所以 ， 所以的周长为， 当时，因为的面积为， 所以， 又因为， 所以 ， 又因为， 所以此时不构成三角形， 综上所述：的周长为. 3．在中，角的对边分别为，且. (1)求的值； (2)若是锐角，且，求的面积. 【解析】（1）由以及正弦定理得，， 所以 因为，所以，所以； （2）因为，且是锐角，所以， 由余弦定理可得， 则， 因为，所以，得， 故的面积为. 4．在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若，，求的面积. 【解析】（1）因为，由正弦定理得，,故，即，解得， 又，所以； （2）由（1）知，所以，， 即，， 所以，所以或， 又， 所以，，或， 所以的面积. 5．在中，内角所对的边分别为，，为锐角. (1)求； (2)若，延长至，使得，，求的面积. 【解析】（1）因为，由正弦定理，得 （*）. 又，所以， 代入（*），可得. 因为，所以， 所以，即. 因为，所以， 所以，即. （2）在中，由正弦定理得① 在中，， 由正弦定理，②. 由①②可得，展开化简得， 因为，所以. 因为，所以. 所以. 题型五：判断三角形解的个数 （1）已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法 ①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数； ②在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表： A为钝角 A为直角 A为锐角 一解 一解 一解 无解 无解 一解 无解 无解 两解 一解 无解 （2）通过正弦定理和三角形中大边对大角的原理，判断三角形的解的个数，提升了逻辑推理和直观想象素养． 计算时符号与数值错误，导致解数判断失误。 1．在中，内角的对边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A选项，三角形的三个角确定，一条边确定，则三角形只有一个解，故A错； B选项，，所以三角形无解，故B错； C选项，，所以三角形有两个解，故C正确； D选项，，所以,三角形只有一个解，故D错. 故选：C. 2．在中，若，，，则解的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【答案】C 【解析】由正弦定理，得，所以，即，又， 所以，或， 所以解的个数为2． 故选：C． 3．已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 如图：三角形中，，， 则有两解的充要条件为：， 即. 故选：D. 4．在中，角所对的边分别为，已知，若三角形有两解，则边的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为在中，， 由正弦定理，可得， 因为，所以， 要使得三角形有两解，可得且，即， 即，解得. 故选：C. 5．（多选题）根据下列情况，判断三角形解的情况，其中错误的是（   ） A．，，，有两解 B．，，，有一解 C．，，，无解 D．，，，有一解 【答案】ABC 【解析】对于A，由，得，则，即只有一解，A错误； 对于B，，且，则，而为锐角，因此有两解，B错误； 对于C，由，，，得，有解，C错误； 对于D，由，得，又，则是锐角，有一解，D正确. 故选：ABC 题型六：用正弦定理解决简单的实际问题 在运用正弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解．和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解． 用正弦定理解决实际问题，核心是将实际场景转化为三角形模型，找准已知边、角与未知量。易错点：建模时漏找对应边角，混淆边角对应关系；忽略三角形内角和与边角大小限制；计算时正弦值取值范围判断失误，导致无解或多解错误。 1．一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到处时测得公路北侧一铁塔底部在西偏北的方向上，行驶200m后到达处，测得此铁塔底部在西偏北的方向上，塔顶的仰角为，则此铁塔的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设此铁塔高，根据题意，可得， 在直角中，可得， 在中，由，可得， 根据正弦定理，可得，解得． 故选：A. 2．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，某同学为了估算圣·索菲亚教堂的高度，在圣·索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得教堂顶C的仰角为，则估算圣·索菲亚教堂的高度约为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，，， ∴． 在中，． 在中，由正弦定理得， ∴． 在中，． 3．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与.现测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高AB为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在中利用正弦定理得，， 即，则， 在中得，，则. 故选：D 4．“年度十大最美桥梁”评选结果在广州揭晓，由甘肃公交建集团投资建设的线清傅公路桑园子黄河大桥凭借卓越的工程品质、独特的美学设计与突出的创新价值，获“全国最美桥梁提名奖”，为本次评选中西北地区唯一入选的桥梁.数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题知，设， 则，， 所以， 解得. 所以. 故选：B 5．小河的对岸有一棵树，设树底为，树顶为．如图，为了测量这棵树的高度，在河的另一侧选取两点，使得在同一水平面上，且三点共线，米．若在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，则这棵树的高度（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【解析】在中，，，米， 在中，由正弦定理可得，所以， 又因为， 所以，解得米， 在中，，米， 所以米， 故选：D. 1．在中，，，，则（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【解析】因为，，， 由正弦定理得， 得， 所以或，经检验，均满足题意． 当时，由三角形的内角和定理得； 当时，由三角形的内角和定理得． 因此或． 故选：B. 2．在中，内角的对边分别为，则一定为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【解析】在中， , 则，即， 则，即得, 由于，故，结合，可得， 即一定为直角三角形， 3．如图所示，滨江公园内有一块三角形形状的草坪，经测量得，在保护草坪的同时，为了方便游人行走，现打算铺设一条小路（其中点在边上，点在边上），若恰好将该草坪的面积平分，则两点间的最小距离为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由， 由余弦定理可得，则， 由题意可得，所以， 由余弦定理可得，当且仅当时取等号， 所以， 所以的最小值为. 4．在中，内角所对的边分别为，若，则的最小值为（   ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【解析】由，得， 则，由正弦定理得，， 又，则，即， 所以， 则时，取得最小值20，即的最小值为. 5．在中，，，面积的最大值为______． 【答案】 【解析】由余弦定理可得：， ，. ，当且仅当时等号成立， ， 即面积的最大值为. 6．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】由，得，即， 则， 即， 整理得，即， 又，因此，即， 由正弦定理得 ， 由，得，即，则，令， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 7．在中，角，，所对的边分别为，，，满足. (1)求角； (2)若恒成立，求实数的最小值. 【解析】（1）由， 由正弦定理得，， 又， 所以， 即， 又因为，所以，所以， 又，所以. （2）恒成立， 即恒成立，即求的最大值， 由余弦定理得， 所以， 因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以实数的最小值为. 8．在中，角的对边分别为，若． (1)求的大小； (2)如图所示，为外一点，，，，求外接圆的半径． 【解析】（1）由和正弦定理，得， 因，则， 代入化简得 ，即， 则， ，解得. （2）令，， 在中，由正弦定理得，， 因，则①. 在中，由正弦定理得，, 因,则②, 由①②得，,即， 因为，则得，解得， ， 设外接圆的半径， 由正弦定理，. 9．记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若，求的最小值及的面积. 【解析】（1）由和正弦定理， 可得，整理得， 由余弦定理，，因，则. （2）由化简得， 由余弦定理，， 当且仅当时等号成立，即当时，的最小值为. 的面积为. 10．已知的外接圆半径为2，的内角A，B，C的对边分别为，且. (1)试判断的形状； (2)若，求周长的最大值. 【解析】（1）因为，由余弦定理得，即. 故，所以，故C为钝角， 所以△ABC为钝角三角形. 另因为，由正弦定理得， 因为，所以， 即，即， 因为，所以， 所以，故C为钝角， 所以为钝角三角形. （2）的外接圆半径为. 由题，由正弦定理， 得，即. 由（1）知C为钝角，所以. 又. 因为，所以， 所以当，即时，取得最大值，取得最大值，即的最大值为4. 又， 所以的周长的最大值为. 11．在中，内角所对的边分别为为的角平分线，且. (1)若，求的大小； (2)当取得最小值时，求的面积. 【解析】（1）因为，由正弦定理得， 因为的角平分线交BC于点D，所以， 由，得， 则， 即，所以， 在中，由余弦定理得， 即； （2）由， 得， 得， 化简得，即， 所以， 当且仅当时等号成立，取得最小值， 此时，面积为． 12．在锐角中，角所对的边分别为，记，，满足． (1)求角； (2)若，且满足，求的取值范围． 【解析】（1）由，则，即， 结合正弦定理可得： ，则， 因为、，则，所以， 可得，故； （2）因为，所以， 是锐角三角形，则， 又，故， 在中，，， 由正弦定理可得， 所以， ， 因为，则，所以， 所以的取值范围是. 13．在中，角，，的对边分别为，，，为锐角三角形，已知，且满足条件． (1)求的大小； (2)求面积的最大值； (3)求的内切圆半径的最大值． 【解析】（1）依题意，， 整理得：， 由余弦定理：， 因为是锐角三角形，，故； （2）由（1）得，三角形的面积， 由基本不等式，结合， 得：当且仅当时等号成立， 代入得：； （3）三角形的面积，故， 代入得：， 由，得，代入化简：， 由正弦定理得，而，由是锐角三角形得， ， 当时，，，代入得：. 14．在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】（1）在中，因为为钝角，所以， 由，则， 因为，所以，即， 由正弦定理，，所以，解得， 由，所以. （2）选择①：因为，所以，这与矛盾，不满足题意； 选择②：因为，， 所以， 代入中得出， 由，所以， 所以 ， 所以； 选择③：将代入中得：， 由正弦定理，，所以， 由，所以， 由，所以， 所以 ， 所以. 15．已知在中，，点满足，且． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的取值范围． 【解析】（1）如图， 因为， 所以由正弦定理可得， 所以. （2）因为，点满足， 所以， 在中，由正弦定理可得：， 因为 ， 所以， 所以， 在中，由余弦定理可得：， 即， 由（1）知，，代入上式， 可得 ， 即，所以. （3）由（2）知，， 在中，由余弦定理可得： 令， 由可知，，故， 则，可得，即， 则， 故， 当时，单调递增，所以， 故. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点02 正弦定理 考点一：正弦定理 正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即： 知识点诠释： （1）正弦定理适合于任何三角形； （2）可以证明（为的外接圆半径）； （3）每个等式可视为一个方程：知三求一． （4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边． 考点二：正弦定理在解三角形中的应用 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 考点三：三角形面积公式 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则的面积． 考点四：仰角与俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角．目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示． 题型一：已知两角及任意一边解三角形 （1）正弦定理实际上是三个等式：，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个． （2）因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角． 已知两角及一边解三角形，易错点：内角和算错致第三角错误；正弦定理边与角对应关系混淆；特殊角三角函数值记错；非特殊角用和角公式出错. 1．在中，设角的对边分别为，若，则（    ） A． B．3 C． D． 2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则a的值为（   ） A．2 B．3 C． D．4 3．在中，，则边的长为（    ） A． B． C． D．1 4．在中，，，，则（   ） A．4 B．3 C． D．2 5．已知的内角的对边分别为，且，则（   ） A．3 B．4 C． D． 题型二：已知两边及其中一边的对角解三角形 已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤 （1）用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角． （2）用三角形内角和定理求出第三个角． （3）根据正弦定理求出第三条边． 其中进行（1）时要注意讨论该角是否可能有两个值． 解三角形时，已知两边及其中一边的对角，易忽略多解情况，误判唯一解；还会因未用大边对大角验证，出现角度矛盾；同时易混淆正弦定理与余弦定理的选用，导致计算错误。 1．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 2．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D．或 3．设中，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知在中，角，，所对应的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C．或 D．或 5．在中，已知，，，则的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 题型三：三角形形状的判断 判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等．利用正弦定理判断三角形形状的方法如下： （1）化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有： ①（为外接圆的半径）； ②； （2）化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有： ①（为外接圆的半径）； ②． 判断三角形形状，核心看边与角的关系：优先用边化角或角化边，易误将等腰与等边混淆；忽略余弦定理符号判断角的类型，漏判钝角；未验证三边关系，误判直角；忽视边角对应，导致形状结论错误。 1．已知的三个内角A，B，C满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 2．在中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 3．已知的三个内角所对应的边分别为,若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 4．在中，内角所对的边分别为，若，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 5．设中的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 题型四：三角形面积公式及其应用 对于面积公式，总的概括为两边与夹角正弦乘积的一半．一般是已知角A就选，但也要结合具体条件，要根据解题目标和其他条件（如已知条件中角的大小）选取对解题有利的面积公式．如已知a，c，就以选为宜． 易错点：误用公式、代错边角、计算开方错误，应用中漏用条件致误。 1．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. (1)求角B； (2)若，，求边c和的面积. 2．在中，内角A、、的对边分别为、、，（是的外接圆半径）. (1)求； (2)若，的面积为，求的周长. 3．在中，角的对边分别为，且. (1)求的值； (2)若是锐角，且，求的面积. 4．在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若，，求的面积. 5．在中，内角所对的边分别为，，为锐角. (1)求； (2)若，延长至，使得，，求的面积. 题型五：判断三角形解的个数 （1）已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法 ①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数； ②在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表： A为钝角 A为直角 A为锐角 一解 一解 一解 无解 无解 一解 无解 无解 两解 一解 无解 （2）通过正弦定理和三角形中大边对大角的原理，判断三角形的解的个数，提升了逻辑推理和直观想象素养． 计算时符号与数值错误，导致解数判断失误。 1．在中，内角的对边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 2．在中，若，，，则解的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 3．已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．在中，角所对的边分别为，已知，若三角形有两解，则边的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（多选题）根据下列情况，判断三角形解的情况，其中错误的是（   ） A．，，，有两解 B．，，，有一解 C．，，，无解 D．，，，有一解 题型六：用正弦定理解决简单的实际问题 在运用正弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解．和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解． 用正弦定理解决实际问题，核心是将实际场景转化为三角形模型，找准已知边、角与未知量。易错点：建模时漏找对应边角，混淆边角对应关系；忽略三角形内角和与边角大小限制；计算时正弦值取值范围判断失误，导致无解或多解错误。 1．一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到处时测得公路北侧一铁塔底部在西偏北的方向上，行驶200m后到达处，测得此铁塔底部在西偏北的方向上，塔顶的仰角为，则此铁塔的高度为（   ） A． B． C． D． 2．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，某同学为了估算圣·索菲亚教堂的高度，在圣·索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得教堂顶C的仰角为，则估算圣·索菲亚教堂的高度约为（   ） A． B． C． D． 3．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与.现测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高AB为（    ） A． B． C． D． 4．“年度十大最美桥梁”评选结果在广州揭晓，由甘肃公交建集团投资建设的线清傅公路桑园子黄河大桥凭借卓越的工程品质、独特的美学设计与突出的创新价值，获“全国最美桥梁提名奖”，为本次评选中西北地区唯一入选的桥梁.数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ）    A． B． C． D． 5．小河的对岸有一棵树，设树底为，树顶为．如图，为了测量这棵树的高度，在河的另一侧选取两点，使得在同一水平面上，且三点共线，米．若在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，则这棵树的高度（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 1．在中，，，，则（   ） A． B．或 C．或 D． 2．在中，内角的对边分别为，则一定为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 3．如图所示，滨江公园内有一块三角形形状的草坪，经测量得，在保护草坪的同时，为了方便游人行走，现打算铺设一条小路（其中点在边上，点在边上），若恰好将该草坪的面积平分，则两点间的最小距离为（    ）. A． B． C． D． 4．在中，内角所对的边分别为，若，则的最小值为（   ） A． B． C．6 D． 5．在中，，，面积的最大值为______． 6．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最小值为_____. 7．在中，角，，所对的边分别为，，，满足. (1)求角； (2)若恒成立，求实数的最小值. 8．在中，角的对边分别为，若． (1)求的大小； (2)如图所示，为外一点，，，，求外接圆的半径． 9．记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若，求的最小值及的面积. 10．已知的外接圆半径为2，的内角A，B，C的对边分别为，且. (1)试判断的形状； (2)若，求周长的最大值. 11．在中，内角所对的边分别为为的角平分线，且. (1)若，求的大小； (2)当取得最小值时，求的面积. 12．在锐角中，角所对的边分别为，记，，满足． (1)求角； (2)若，且满足，求的取值范围． 13．在中，角，，的对边分别为，，，为锐角三角形，已知，且满足条件． (1)求的大小； (2)求面积的最大值； (3)求的内切圆半径的最大值． 14．在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 15．已知在中，，点满足，且． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $