精品解析：贵州遵义市第一中学2025-2026学年高一年级第二学期第一次月考数学试卷

遵义市第一中学2027届高一年级第二学期第一次月考 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 下列与2025°终边相同的角是（ ） A. 205° B. 215° C. 225° D. 235° 2. 掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件，则（ ） A. B包含A B. A与B对立 C. A与B互斥 D. A与B相互独立 3. 下面是一组学生某次跳绳活动课半分钟跳绳次数的数据：90，88，110，118，108，116，120，98，则这组数据的第60百分位数为（ ） A. 116 B. 113 C. 110 D. 108 4. 设向量，是两个不共线的单位向量，，，，则（ ） A. A，B，C三点共线 B. A，B，D三点共线 C. A，C，D三点共线 D. B，C，D三点共线 5. 已知某随机试验中，事件，，发生的概率分别是，，，则下列说法正确的是（ ） A. 与是互斥事件，且是对立事件 B. 一定是必然事件 C. D. 的概率一定等于0.5 6. 某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则下列说法中正确的是（ ） A. 丁险种参保人数超过六成 B. 41岁以上参保人数超过总参保人数的五成 C. 54周岁以上人群参保的总费用最少 D. 人均参保费用不超过5000元 7. 已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，将绕着起点逆时针旋转90°后得到，若，则（ ） A. B. C. D. 1 8. 引体向上是中小学体质健康测试男生的项目，主要测试学生上肢力量．在对某高中1000名高一、高二年级男生的引体向上成绩的调查中，采用分层随机抽样的方法抽取100人，已知这1000名学生中高一年级男生有600人，且抽取的样本中高一男生成绩的平均数和方差分别为5.5和6.74，高二男生成绩的平均数和方差分别为6.5和5.34，则总体方差（ ） （附：） A. 6.42 B. 6.18 C. 5.96 D. 5.84 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则与的长度相等且方向相同或相反 B. 向量的长度与向量的长度相等 C. 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 D. 若与同向，且，则 10. 某校高二年级第一次月考后，为分析该年级1200名学生的物理学习情况，通过分层抽样的方法对该年级200名学生的物理成绩进行统计，整理得到如图所示的频率分布直方图．则（ ） A. B. 估计该年级学生物理成绩在70分及以上的学生人数为600人 C. 估计该年级学生物理成绩的众数为75 D. 估计该年级学生物理成绩的中位数为72.6 11. 某市四所高中的足球队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法正确的是（ ） A. 甲队积分为9分的概率为 B. 四支球队的积分总和可能为15分 C. 丙队积分为3分的概率为 D. 甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若一组数据的，，，的平均数为4，则，，，的平均数为________． 13. 已知扇形的弧长为，面积为，则扇形的圆心角为________． 14. 已知平面向量，，其中，，，，若为任意实数，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，， （1）若，且，求． （2）若四边形为平行四边形，求点的坐标． 16. 乌江寨是一处集自然风光、历史文化与民俗风情于一体的旅游胜地，为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分制作如图所示的频率分布直方图： （1）根据频率分布直方图，求x的值与满意度的平均分． （2）若采用分层抽样从评分在，的两组共抽取5人，再从5人中随机抽取2人进行交流，求选取的两人评分分别在，各一人的概率． 17. 已知函数，，其中且，的图象过定点为，且在的图象上． （1）求的表达式． （2）关于x的不等式恒成立，求m的取值范围． 18. 如图所示，已知梯形ABCD中，，，E为线段BC的中点，且线段BD与AE的交点为F，设，． （1）用，表示； （2）求的值； （3）若，点G在线段CD上运动，设，求的取值范围． 19. 为了治疗某种疾病，某药物中心研发了，两种药物．现对，两种药物进行动物试验，现有4只患有疾病的小白鼠，，两种药物各对2只小白鼠进行试验，设药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为（），药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为，且每种药物对每只小白鼠实施药物后能否治愈相互独立． （1）若药物恰好治愈1只小白鼠的概率为，药物治愈2只小白鼠的概率为： ①求，的值； ②求，两种药物一共治愈2只小白鼠的概率； （2）若，求药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义市第一中学2027届高一年级第二学期第一次月考 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 下列与2025°终边相同的角是（ ） A. 205° B. 215° C. 225° D. 235° 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以角的终边与角的终边相同. 2. 掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件，则（ ） A. B包含A B. A与B对立 C. A与B互斥 D. A与B相互独立 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，因为，，因此不包含，故A错误； 对于BC，因为，， 因此与不是对立事件，也不是互斥事件，故BC错误； 对于D，由于，，而， 故，所以， 所以A与B相互独立，故D正确． 3. 下面是一组学生某次跳绳活动课半分钟跳绳次数的数据：90，88，110，118，108，116，120，98，则这组数据的第60百分位数为（ ） A. 116 B. 113 C. 110 D. 108 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的计算公式即可求解. 【详解】将这组数据从小到大排列为：88，90，98，108，110，116，118，120，共8个数据， 因为，根据百分位数的定义可知这组数据的第60百分位数为第5个数据，即110. 4. 设向量，是两个不共线的单位向量，，，，则（ ） A. A，B，C三点共线 B. A，B，D三点共线 C. A，C，D三点共线 D. B，C，D三点共线 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量共线的基本定理依次判断求解. 【详解】对于A，若A，B，C三点共线，则，， 即，则，此时无解，故A错误； 对于B，若A，B，D三点共线，则，， 而，即， 则，解得，故B正确； 对于C，若A，C，D三点共线，则，， 而，即， 则，此时无解，故C错误； 对于D，若B，C，D三点共线，则，， 即，则，此时无解，故D错误. 5. 已知某随机试验中，事件，，发生的概率分别是，，，则下列说法正确的是（ ） A. 与是互斥事件，且是对立事件 B. 一定是必然事件 C. D. 的概率一定等于0.5 【答案】C 【解析】 【分析】结合概率运算公式和互斥事件、对立事件、必然事件的概念，求解即可. 【详解】选项A：若与是互斥事件，则，若是对立事件，则（样本空间）， 题干中未说明事件，，之间的关系，无法确定与是否互斥、对立，故A错误. 选项B：若事件，，互斥，则， 若事件，，存在包含关系，则概率会小于1，因此不一定是必然事件，故B错误. 选项C：. 又，所以． 该结果满足，故C正确. 选项D：. 只有当事件，互斥时，，此时， 因此的概率不一定等于0.5，故D错误. 6. 某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则下列说法中正确的是（ ） A. 丁险种参保人数超过六成 B. 41岁以上参保人数超过总参保人数的五成 C. 54周岁以上人群参保的总费用最少 D. 人均参保费用不超过5000元 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，由条形图可知丁险种参保比例为，故A错误； 对于B，由扇形图可知，41岁以上参保人数占比为，故B错误； 对于C，由扇形图与折线图可知18－29周岁人群参保人数占比，人均参保费用在元， 而54岁及以上人群参保比例虽只占，但人均参保费用为6000元，所以18－29周岁人群参保的总费用最少，故C错误； 对于D，由扇形图与折线图可知，人均参保费用约，故D正确. 7. 已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，将绕着起点逆时针旋转90°后得到，若，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】写出向量的坐标，根据向量的线性运算可得答案. 【详解】设正方形的网格长度为1，则， 将绕着起点逆时针旋转90°后得到的向量为， 由，可得，即. 8. 引体向上是中小学体质健康测试男生的项目，主要测试学生上肢力量．在对某高中1000名高一、高二年级男生的引体向上成绩的调查中，采用分层随机抽样的方法抽取100人，已知这1000名学生中高一年级男生有600人，且抽取的样本中高一男生成绩的平均数和方差分别为5.5和6.74，高二男生成绩的平均数和方差分别为6.5和5.34，则总体方差（ ） （附：） A. 6.42 B. 6.18 C. 5.96 D. 5.84 【答案】A 【解析】 【详解】依题意，在分层随机抽样的方法所抽取的100人中，高一男生有人，高二男生有40人， 记高一男生成绩的平均数和方差分别为和； 高二男生成绩的平均数和方差分别为和， 则样本平均数为， 样本总体方差 . 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则与的长度相等且方向相同或相反 B. 向量的长度与向量的长度相等 C. 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 D. 若与同向，且，则 【答案】BC 【解析】 【详解】A：向量的模相等只能说明长度相等，但方向可以任意，不一定相同或相反，错； B：向量和的长度都等于线段AB的长度，因此相等，对； C：两个相等的向量具有相同的长度和方向，若起点相同，则终点必然重合，对； D：由向量的性质知，向量不能比较大小，错. 10. 某校高二年级第一次月考后，为分析该年级1200名学生的物理学习情况，通过分层抽样的方法对该年级200名学生的物理成绩进行统计，整理得到如图所示的频率分布直方图．则（ ） A. B. 估计该年级学生物理成绩在70分及以上的学生人数为600人 C. 估计该年级学生物理成绩的众数为75 D. 估计该年级学生物理成绩的中位数为72.6 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A：因为在频率分布直方图中，所有矩形面积之和为1， 所以，解得，故A正确； 对于B：估计该年级学生物理成绩在70分及以上的学生人数为，故B错误； 对于C：频率分布直方图中，众数是最高矩形所对应的区间中点，最高矩形是，所以中点为75，故C正确； 对于D：设中位数为，前两组的频率为，前三组的频率为， 因此中位数位于区间内，即，解得，故D错误. 11. 某市四所高中的足球队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法正确的是（ ） A. 甲队积分为9分的概率为 B. 四支球队的积分总和可能为15分 C. 丙队积分为3分的概率为 D. 甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】甲队积分为9分，则甲队三场比赛全胜，结合独立事件的概率公式判断A；选项B举例说明；选项C分析事件包含的情况，根据互斥事件和独立事件概率公式求解；选项D分析事件包含的情况，根据互斥事件和独立事件概率公式求解. 【详解】甲队积分为9分，则甲队三场比赛全胜，所以概率为， 选项A正确； 四支球队共6场比赛，例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平， 即甲得9分，乙、丙、丁各得2分， 四支球队的积分总和为15分， 选项B正确； 丙队积3分的情况为胜1平0负2或者胜0平3负0， 胜1平0负2的概率为， 胜0平3负0的概率为， 丙队积分为3分的概率为， 选项C错误； 若甲胜乙，甲队以胜1场，乙队以负1场，甲还需对丙丁胜1场，乙需对丙丁全胜， 概率为， 若乙胜甲，乙队以胜1场，甲队以负1场，乙还需对丙丁胜1场，甲需对丙丁全胜， 概率为， 若甲乙平，甲需对丙、丁全胜，乙需对丙、丁全胜， 概率为， 甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 选项D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若一组数据的，，，的平均数为4，则，，，的平均数为________． 【答案】 【解析】 【分析】若一组数据的，，，的平均数为，则，，，的平均数为，利用此公式求解. 【详解】设一组数据的，，，的平均数为，则， 则，，，的平均数为. 13. 已知扇形的弧长为，面积为，则扇形的圆心角为________． 【答案】 【解析】 【详解】设扇形的半径为，圆心角为， 则，解得， 所以扇形的圆心角为. 14. 已知平面向量，，其中，，，，若为任意实数，则的最小值为________． 【答案】##1.5 【解析】 【详解】对于任意实数，有， 由于， 代入，得， 故当时，， 因此，的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，， （1）若，且，求． （2）若四边形为平行四边形，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出的坐标，然后利用共线向量坐标满足的条件列出方程求解出，再计算. （2）先设出点的坐标，再根据是平行四边形可得，列方程求解. 【小问1详解】 ，， 又且， . 【小问2详解】 设， 四边形为平行四边形，,，. 故点的坐标为. 16. 乌江寨是一处集自然风光、历史文化与民俗风情于一体的旅游胜地，为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分制作如图所示的频率分布直方图： （1）根据频率分布直方图，求x的值与满意度的平均分． （2）若采用分层抽样从评分在，的两组共抽取5人，再从5人中随机抽取2人进行交流，求选取的两人评分分别在，各一人的概率． 【答案】（1），平均数为（分） （2） 【解析】 【小问1详解】 由图可得：，解得， 则满意度的平均分（分）； 【小问2详解】 在所抽取的5人中，评分在组的有人，设为， 评分在组的有人，设为， 抽取的两人有共10种情况， 符合条件的6种情况， 所以所求概率． 17. 已知函数，，其中且，的图象过定点为，且在的图象上． （1）求的表达式． （2）关于x的不等式恒成立，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出的图象过的定点坐标，再将点的坐标代入解析式中求解的值，再写出的表达式. （2）先判断的单调性，利用的单调性去掉不等式中的，然后分参求出的范围. 【小问1详解】 ，令，. ，又在的图象上，，. 【小问2详解】 定义域为，且和均为增函数，是上的增函数. 恒成立，即恒成立. 即恒成立，即. ，，. 当且仅当，即时，等号成立. ，即的取值范围是 18. 如图所示，已知梯形ABCD中，，，E为线段BC的中点，且线段BD与AE的交点为F，设，． （1）用，表示； （2）求的值； （3）若，点G在线段CD上运动，设，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量运算结合基本定理可得答案； （2）设出两线段的关系，利用基本定理可得答案； （3）利用基底得出的关系，结合对勾函数的性质可得范围. 【小问1详解】 因为，，所以， , 因为E为线段BC的中点，所以，. 【小问2详解】 设，则，， ， 又共线，所以存在一个实数，使得， ，两式相除可得，即. 【小问3详解】 设,；,， ， 因为，所以，可得， 解得，所以， 由对勾函数的性质可得时，. 19. 为了治疗某种疾病，某药物中心研发了，两种药物．现对，两种药物进行动物试验，现有4只患有疾病的小白鼠，，两种药物各对2只小白鼠进行试验，设药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为（），药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为，且每种药物对每只小白鼠实施药物后能否治愈相互独立． （1）若药物恰好治愈1只小白鼠的概率为，药物治愈2只小白鼠的概率为： ①求，的值； ②求，两种药物一共治愈2只小白鼠的概率； （2）若，求药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率的最大值． 【答案】（1）①，；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据独立事件的乘法公式计算求解；②根据独立事件的乘法公式和概率加法公式计算求解； （2）根据独立事件的乘法公式结合基本不等式计算可解. 【小问1详解】 ①由题意可得，解得或， 因为，所以，，解得； ②一共治愈好2只小白鼠的情况有如下三种情况： 第一种，药物恰好治愈2只小白鼠，药物治愈0只小白鼠，其概率为； 第二种，药物恰好治愈0只小白鼠，药物治愈2只小白鼠，其概率为； 第三种，药物恰好治愈1只小白鼠，药物治愈1只小白鼠，其概率为； 所以，两种药物一共治愈好2只小白鼠的概率为； 【小问2详解】 设药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率为， 则， 因为，所以， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $