专题04 数列通项，数列求和（8大考点期中真题汇编，黑吉辽蒙专用）高二数学下学期人教B版

专题04 数列通项，数列求和 8大高频考点概览 考点01数列通项 考点02数列求和之分组求和 考点03数列求和之裂项相消 考点04数列求和之错位相减 考点05数列求和之放缩求和 考点06数列奇偶项问题 考点07数列不等式问题 考点08数列与概率交汇问题 地 城 考点01 数列通项 一、单选题 1．(24-25高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)已知中，为数列前项和，对都有，则（    ） A．-1 B．1 C．2 D．-2 【答案】B 【分析】令，得，即，令即可求解. 【详解】由题意有：令得，即得. 令得. 故选：B 2．(24-25高二下·辽宁普通·期中)若数列满足（且），，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用递推思想，结合累加法和裂项相消法即可求解. 【详解】由，可得： ，累计可得：， 故选：D. 3．(24-25高二下·辽宁沈阳五校协作体·期中)已知定义在的函数，满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过已知的递推公式，逐步推导出的表达式，进而求出的值.首先对递推公式进行变形，构造出一个新的数列，求出新数列的通项公式，再得到的通项公式，最后代入求值. 【详解】因为，等式两边同时除以， 得到. 设，则，且. 所以是以0为首项，为公差的等差数列. 所以该数列的通项公式为. 所以. 所以. 故选：B. 二、多选题 4．(24-25高二下·辽宁实验中学·期中)已知数列的前n项和，则（   ） A． B．是等差数列 C．的最大值是2 D．的最大值是 【答案】ACD 【分析】根据前项和公式求出通项公式即可判断A，根据等差的定义结合特例判断B，结合二次函数性质求解最值判断C，根据对勾函数的单调性求解最值判断D. 【详解】A，当时，， 当时，，不满足上式，故，故A正确； B，由A可知，显然，所以不是等差数列，故B错误； C，，故当或6时，有最大值2，C正确； D，， 根据对勾函数性质可知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，且，， 所以的最大值是，D正确， 故选：ACD 5．（24-25高二下·辽宁省七校协作体·期中）已知数列的前项和为，则下列说法正确的有（    ） A．若是等比数列，则 B．若，则 C．若是等差数列， ，若，则 D．若，，则 【答案】BCD 【分析】对于A，由等比数列和的性质列式计算即可；对于B，根据的正负即可去掉绝对值符号，进而代入公式计算即可；对于C，利用等差数列的通项及求和公式计算即可；对于D，由可得是等差数列，代入公式即可求. 【详解】对于A，因为是等比数列， 所以成等比数列， 所以，即，解得，故A错误； 对于B，因为，所以，所以是等差数列， 由得， 所以 ，故B正确； 对于C，设等差数列的公差为， 因为，所以，故C正确； 对于D， 因为，所以， 所以，又，所以是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，所以，所以，故D正确. 故选：BCD 6．(24-25高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)已知数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（    ） A． B．是单调递增数列 C．是等比数列 D．是等比数列 【答案】ABD 【分析】由题干等式变形得出，可判断A选项；求出的值，当时，由与的关系得出，结合等比数列的定义可判断C选项；由已知等式变形得出，结合等比数列的定义可判断D选项；求出数列的通项公式，结合数列单调性的定义可判断B选项. 【详解】对于A选项，由得，A对； 对于C选项，， 当时，由得， 上述两个等式作差得，所以， 故当时，，且， 所以，数列不是等比数列，C错； 对于D选项，由可得， 且，所以，故数列是以为首项，公比为的等比数列，D对； 对于B选项，由D选项可知，所以， 所以， 令，故，即， 所以，数列为单调递增数列，即数列为单调递增数列，B对. 故选：ABD. 7．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期中)已知数列满足，，则（   ） A．， B．， C．，为完全立方数 D．，数列的前项和 【答案】ABD 【分析】先利用累乘法求出数列的通项公式，作差判断A，根据数列的增减性判断B，利用判断C，利用数学归纳法，假设数列的前项和成立判断D. 【详解】由题意可得，， 所以当时，，…，，， 以上个式子左右两边分别相乘得， 即，将代入解得， 当时满足，所以数列的通项公式为， 因为对恒成立， 所以对恒成立，A说法正确； 易知数列是递增数列，且，，所以，，B说法正确； 因为，所以不存在使得为完全立方数，C说法错误； 下证，数列的前项和， 当时，成立， 假设当时，成立， 则当时， 成立， 所以，数列的前项和，D说法正确； 故选：ABD 8．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期中)已知数列满足，，则（   ） A．是递减数列 B． C．当的前n项和取得最小值时， D．对任意，不等式，则 【答案】ACD 【分析】对A，由题得，利用数列单调性定义判断；对B，由题，当时，，利用累乘法求出通项；对C，由题得，可得数列的前6项均小于0，从第7项开始大于0，得解；对D，对分奇数和偶数讨论，将原不等式转化为恒成立，求出最值得解. 【详解】对于A，由题，， 又，由递推式可得，所以是递减数列，故A正确； 对于B，由上面可知，当时，， 将上式累乘得，， 整理得，又，所以，故B错误； 对于C，设，则，， ，，，，， 由指数函数与函数的增长速度可知，当时，， 所以当数列的前n项和取得最小值时，，故C正确； 对于D，当为偶数时，不等式转化为，又， 所以， 当为奇数时，不等式转化为，又， 所以， 综上，，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 9．（24-25高二下·辽宁大连第二十四中学·期中）已知数列前项和满足，则________. 【答案】 【分析】先利用对数运算得到，进而利用求出答案. 【详解】因为，所以， 当时，， 当时，， 因为， 故， 故答案为： 10．（24-25高二下·辽宁省名校联盟·期中）已知数列为递减数列，其前项和，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】先由求出数列的通项公式，根据通项公式可知，当时，数列递减，因此只需使即可. 【详解】①当时，， ②当时，， ∴当时，，数列递减， 综上所述，若使为递减数列，只需满足，即， 解得， 故答案为：. 地 城 考点02 数列求和之分组求和 一、解答题 1．（24-25高二下·辽宁省普通高中·期中）已知数列为等差数列，，，等比数列的公比为，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出公差得数列的通项；利用等比数列性质求出得数列的通项. （2）由（1）的结论，利用分组求和法，结合公式法求得解. 【详解】（1）在等差数列中，，，公差， 所以数列的通项公式为； 在等比数列中，，由，得， 解得，，而，因此， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知， . 2．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期中)设数列满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题结合累加法可得通项公式； （2）由（1）结合分组求和法可得答案. 【详解】（1）由题意，当时，， 相加得 所以 时，符合上式，所以 （2） 3．（24-25高二下·辽宁大连滨城高中联盟·期中）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据递推式子即可求通项公式； （2）易知的周期为4，故构造构数列，易证数列为常数列，故题目所求可化为. 【详解】（1）① 当时，，即； 当时，② ①－②得 因为时，也满足上式， 故． （2）记， 则 （常数） 数到为常数列， 地 城 考点03 数列求和之裂项相消 一、单选题 1．(24-25高二下·辽宁实验中学·期中)若数列的前n项和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由求出，然后利用裂项相消法求和即可. 【详解】当时，； 当时，； 也满足；故的通项公式为. 所以， 则. 故选：D 2．（24-25高二下·辽宁省七校协作体·期中）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（    ） A．2025 B．2026 C．2023 D．2024 【答案】C 【分析】首先根据累加法得到的通项公式，并对进行放缩得到，进而采用裂项相消法解得结果即可. 【详解】由得， 因此数列为首项为，公比为的等比数列，故， 进而根据累加法得： ， 所以， 由， 因为， 又， 所以，令， 所以， 所以， 所以， 代入得，所以. 故选：C. 二、填空题 3．（24-25高二下·辽宁省七校协作体·期中）已知数列的首项为2，前项和为，．若数列的前项和为，则满足成立的的最小值为________. 【答案】7 【分析】利用数列和与项的关系、裂项法求数列通项公式、累加法求数列前项和的知识解答即可. 【详解】当时， 故即， 又当时，，则， 故数列为首项为,公比为的等比数列，故的通项公式为 故， 则， 故当时，即，即又可得的最小值为. 故答案为： 三、解答题 4．(24-25高二·辽宁抚顺六校协作体·期中)已知是等差数列的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)已知数列满足，为的前项和，若，求整数的最小值． 【答案】(1) (2)99 【分析】（1）根据的关系求解即可； （2）求出数列的通项，利用裂项求和求出，再解不等式即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为． 由，可得， 两式相减可得， 所以，即． 当时，，解得， 所以，故的通项公式为． （2）， 所以． 由，可得，解得，故整数的最小值为99． 5．（24-25高二下·辽宁省名校联盟·期中）已知等差数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，令，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，由题意可得，解方程求出，即可求出数列的通项公式； （2）由（1）可得，由累乘法可求出的通项公式，再由裂项相消法求解即可. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为． 由，得， 解得：，所以． （2）由（1）知，， 即，，，……，， 利用累乘法可得： ，也符合上式， 所以． 6．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期中)设数列满足，；正项数列满足，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列、的通项公式； (3)设是数列的前n项和，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3)证明见解析 【分析】（1）由递推公式通过构造得到，即可求证； （2）由（1）可求，由，通过因式分解得到，即可求解； （3）通过裂项相消法求和，进而可求证. 【详解】（1）证明：由得 进而 又 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列 （2）由（1）得 所以 由得， 因为，所以 又，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列． 所以 （3） 所以 因为，所以 易知是关于的增函数，所以 综上 7．（24-25高二下·辽宁省东北育才中学·期中）已知数列的前项和满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列的通项公式可得，再由与的关系，即可得到结果； （2）由裂项相消法代入计算，即可得到结果. 【详解】（1） ， 当时，； 当时，， 且满足上式，所以. （2） ， ， 数列的前项和为. 8．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期中)已知数列的各项均为正整数，其前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）利用与关系可证得数列为等差数列，利用等差数列通项公式可求得结果； （2）由（1）得，利用裂项相消法求和，得证. 【详解】（1）由，当时，， 两式相减得，整理得， 又数列的各项均为正整数，则，即，， 又，解得， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以的通项公式为. （2）由（1）可知，所以， 所以. 9．（24-25高二下·辽宁省沈阳市第一二0中学·期中）已知等差数列满足是关于的方程的两个根. (1)求. (2)求数列的通项公式. (3)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用韦达定理，结合等差数列公式即可求解； （2）利用韦达定理可直接得到； （3）利用裂项相消法即可求和. 【详解】（1）数列是等差数列，设公差为， 由根与系数关系得， 于是有，则， 故，则； （2）由（1）知，故， 由根与系数关系知； （3）由（2）得， 所以 地 城 考点04 数列求和之错位相减 一、多选题 1．（24-25高二下·辽宁大连第二十四中学·期中）已知数列的首项为4，且满足，则（   ） A．为等差数列 B．为递增数列 C．的前项和 D．的前项和 【答案】BCD 【分析】由得，所以可知数列是以首项为4，公比为2的等比数列，从而可求出，可得数列为递增数列，利用错位相减法可求得的前项和，由于，从而利用等差数列的求和公式可求出数列的前项和． 【详解】对于选项A：由，得， 所以是以为首项，2为公比的等比数列，故A错误； 对于选项B：因为，即， 显然，且，即， 所以为递增数列，故B正确； 对于选项C：因为， 则， 两式相减得， 所以，故C正确； 对于选项D：因为， 所以的前项和，故D正确． 故选：BCD． 二、解答题 2．（24-25高二下·辽宁省七校协作体·期中）等比数列中，，数列的前n项和. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前n项和，求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据求出公比，再代入求出，即可求出的通项公式，再根据作差即可求出的通项公式； （2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可 【详解】（1）设等比数列的公比为， 在等比数列中，，， 所以， 所以，所以，所以， 又数列的前项和， 当时， 当时， 经检验当时也成立，所以. （2）因为，所以， 所以， ， 两式相减得， 即， 也即 . 3．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期中)记为数列的前项和，已知，是等差数列，，，. (1)求，的通项公式； (2)设，求. 【答案】(1)，， (2). 【分析】（1）由条件，结合关系，当时，可求，设数列的公差为，结合关系化简条件求，再求， （2）利用错位相减法求. 【详解】（1）因为， 所以当时，，又，所以， 当时，， 又，所以， 所以数列的通项公式为， 设数列的公差为， 因为， 所以， 又，， 所以，所以， 故，即数列的通项公式为， （2）因为， 由（1）① 所以② ①②得：， 所以， 所以. 4．（24-25高二下·辽宁省普通高中·期中）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等比数列的定义可得数列是首项、公比均为3的等比数列，即可求解； （2）由错位相减求解. 【详解】（1）由，又，可得数列是首项、公比均为3的等比数列， 故， （2）由（1）可得，      则，     所以，       两式相减得，   所以 5．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期中)设是数列的前n项和，若，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，是数列的前n项和，若对任意的，恒成立，其中是实数，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，由题可得，两式相减得，据此可得通项公式； （2）由（1）结合错位相减法可得，则，然后由单调性可得答案. 【详解】（1）当时，，两式相减可得： . 中令，得，注意到 符合上式，所以数列是以为首项，为公比得等比数列． 所以 （2） ，相减得 所以，则 从而恒成立．即 令， 则当为奇数时，随着n增大而减小，当为偶数时，随着n增大而增大， 又注意到，则 所以，从而 6．(24-25高二下·辽宁大连滨城高中联盟·期中)已知数列满足， (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为． ①求； ②若，成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】（1）根据给定的递推公式，利用构造法求出通项公式. （2）①由（1）的结论，利用错位相减法求出前项和；②由①的结论，结合已知分离参数，构造新数列，利用不等式确定最大项即可. 【详解】（1）由，得， 因此数列是以为首项，3为公差的等差数列，， 所以数列的通项公式. （2）①由（1）得，， ， 于是， 则， ， 所以. ②由，，得， 令，不妨设的第项取得最大值， 由，解得，即数列的最大值为， 所以，即的取值范围是. 地 城 考点05 数列求和之放缩求和 一、解答题 1．(24-25高二下·辽宁实验中学·期中)已知等比数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前n项和； (3)令，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据和关系求得，即可求出公比，再利用条件求出，即可求解通项公式. （2）利用错位相减法求和即可. （3）通过变形得，结合等比数列求和公式及数列的有界性证明即可. 【详解】（1）由，得， 两式相减，得， 即，又是等比数列，故公比， 由，知，则． （2）由题， 则， ， 两式相减，得， 即． （3），由， 得： 则. 2．（24-25高二下·辽宁省县域重点高中·期中）数列中， (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用累加法计算可得； （2）由（1）可得，再利用裂项相消法求和即可得证. 【详解】（1）因为，即， 所以当时，， 将以上各式相加，得，则， 当时也符合上式，故. （2）由题意. 所以 地 城 考点06 数列奇偶项问题 一、多选题 1．（24-25高二下·辽宁省沈阳市第一二0中学·期中）已知数列满足，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】A选项直接由递推关系式即可求出；B选项由即可判断；C选项由即可判断；D选项由分组求和及等比数列求和公式即可判断. 【详解】，故选项A正确； 对于，有， 两式相加，得，则，故选项B正确； 由，知， 则，故选项C错误； 由偶数项均为，可得为偶数时，， 则 ， 则，故选项D正确. 故选：ABD. 2．（24-25高二下·辽宁抚顺六校协作体·期中）已知是数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A．数列是等比数列 B． C．数列是等比数列 D．若恒成立，则的取值范围为 【答案】ABD 【分析】根据数列的递推公式可证明A正确；由等比数列通项公式计算可得B正确；采用分组求和以及等比数列前项和公式计算可得C错误；对为奇数和偶数进行分类讨论，再结合数列单调性解不等式即可求得D正确. 【详解】对于A，由题可知，则， 又，所以是首项为，公比为的等比数列，A正确； 对于B，， ，B正确； 对于C，， 所以 ， 则， 故不是等比数列，C错误. 对于D，由题可知 易知当为奇数时，单调递增且；当为偶数时，单调递减，且； 若恒成立，则当为奇数时，，所以； 当为偶数时，，所以. 综上，的取值范围为，D正确. 故选：ABD. 二、解答题 3．(24-25高二下·辽宁沈阳五校协作体·期中)数列的前n项和，满足：，，（），数列满足，． (1)求，的通项公式； (2)设，求的前2n和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）对于，由与的关系，通过作差即可求解，对于，通过的奇偶，分别确定递推公式即可求解； （2）由等比数列的求和公式及错位相减法，分别计算奇数项、偶数项的和，即可. 【详解】（1）由，当，可得，当，解得， 所以，所以， 即，而，所以从第二项起为等比数列，∴ 因为数列满足 因为所以， 当，时，， 当，时，， 所以，所以n为奇数时， 当，时，， 所以，所以，所以n为偶数时，， 所以 （2） ∴ ∴ ∴， ∴ 4．（24-25高二下·辽宁省七校协作体·期中）已知数列满足，且. (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)在数列中，，，求的通项公式； (3)记数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) (3) 【分析】（1）根据递推公式结合等比数列定义证明，再应用通项公式求解； （2）累加法求数列通项公式； （3）先分奇偶项求和再应用错位相减法计算. 【详解】（1）， 变形得：， 又，故，所以是首项为3，公比为3的等比数列. 从而，即. （2）由题意可得， 所以当时，，，，， 上式累加可得， ， 又，所以， 当时，满足上式，所以 （3）由（1）、（2）知， 则在前项中， , , 作差得 . . 从而. 5．(24-25高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)已知等差数列前项和为，数列是等比数列，，. (1)求数列和的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由条件结合等差数列通项公式和等比数列通项公式列方程求，由此可得结论； （2）先求，再分别确定为偶数时的通项和为奇数时的通项，再利用分组求和法结合裂项相消法和等比数列求和公式求结论. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由， 得，所以 解得， 所以，， （2）由（1）知，， 因此当为偶数时， 当为奇数时，， 所以 . 6．（24-25高二下·内蒙古自治区呼和浩特市剑桥中学·期中）已知数列是公差大于2的等差数列，其前项和为，，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据给定条件，结合等比数列定义列式求出公差，进而求得通项公式. （2）由（1）的结论，按奇偶分类，利用裂项相消法求和. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则，， 由，，成等比数列，得，而，解得， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）得， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 所以. 7．（24-25高二下·辽宁大连第二十四中学·期中）记为数列的前项和，已知，，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，若对任意，，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出，再利用数列通项公式与前项和的关系得到递推关系，因为，可求得数列为等差数列，由此可写出数列的通项公式； （2）先写出数列的通项公式，再求出数列的前项和为，解法一是分部求和，解法二是分组求和，解法三直接从问题入手，构造新数列，求其最小值，则不大于其最小值，此即为恒成立，由此可得实数的取值范围. 【详解】（1）时，，解得或，因为，所以， 时，，得， 因为，所以，又， 故数列是首项为3，公差为2的等差数列， 所以数列的通项公式为； （2）解法一：由，所以， 当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 所以， 因为对任意的，成立， 所以，当为奇数时，即，所以， 不等号的右边可看作关于的二次函数，对称轴为， 因为为奇数，所以时，，则 当为偶数时，，所以， 同理可得，因为为偶数，所以时，，则， 综上，. 解法二：由， 当为偶数时， . 当为奇数时， ， 所以（下同解法一） 解法三：因为对任意的，成立， 则，即求的最小值，令， 当为奇数时， 则，所以最小值一定在为奇数时取到， 当为奇数时， ， 当时，，当时，， 所以当为奇数时，， 则的最小值为， 所以. 地 城 考点07 数列不等式问题 一、多选题 1．（24-25高二下·辽宁省普通高中·期中）已知数列的首项为1，且，数列的前n项积为，且不等式对都成立，则（   ） A． B．数列的前n项和为 C． D．实数k的最小值为 【答案】AD 【分析】对于A，由已知递推关系可构造出等比数列，从而求出数列的通项公式；对于B，由数列的通项公式，再利用分组求和即可求出数列的前n项和；对于C，先写出数列的通项公式，再得到其前项积的表达式，即可判断C选项；对于D，由已知可得得，令，利用作商法分析数列的单调性，由此可判断D选项. 【详解】由，得，又， 所以数列是首项为2，公比为4的等比数列， 所以，即，故A正确； 数列的前n项和为，故B错误； 因为，所以，故C错误； 由，得，令， 所以，， ，所以数列单调递减， 当时，的最大值为， 所以，即实数k的最小值为，故D正确， 故选：AD． 二、填空题 2．(24-25高二下·辽宁大连滨城高中联盟·期中)已知在数列中，，，设数列的前项和为，若不等式对恒成立，则的最小值为________． 【答案】 【分析】由递推公式可得数列是常数列，即可得到的通项公式，结合裂项相消法即可得到，然后结合基本不等式，即可得到结果. 【详解】由题意知，则数列是首项为的常数列， ， ，，， 当且仅当，即时取等号， ，则的最小值为． 故答案为：． 三、解答题 3．(24-25高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)已知数列满足，. (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)若记为满足不等式的正整数的个数，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，，若不等式对都成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析， (2) (3) 【分析】（1）由题干等式变形得出，结合等差数列的定义可证得结论成立，进而可求得数列的通项公式； （2）根据解出满足条件的正整数的个数，可得出数列的通项公式，再利用错位相减法可求得的表达式； （3）求出数列的通项公式，对分奇数和偶数两种情况讨论，分析数列的单调性，求出数列最大值和最小值，结合已知条件可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1），即， 又，为等差数列，其首项为，公差为. ，. （2）由得，， ，满足不等式的正整数的个数为， ，， ①， ②， ①②得：， . （3）由已知可得， 当为奇数时，， 因为数列为递增数列，所以当时，取最小值，此时， 当为偶数时，， 因为数列为递减数列，所以当时，取最大值，此时， 所以且，所以，解得. 因此，实数的取值范围为. 地 城 考点08 数列与概率交汇问题 一、多选题 1．（24-25高二下·辽宁大连第二十四中学·期中）设一个正方体，一只蚂蚁从上底面的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个相邻顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行次，仍然在上底面的概率为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由，可判定A正确；再由，得到，得出数列为等比数列，求得，可判定B、D不正确；结合等比数列的求和公式，可判定C正确. 【详解】解：由题意得，所以A正确； 蚂蚁爬行次，仍然在上底面的概率为，则它前一步只有两种情况： ①本来就在上底面，再走一步要想不在下底面，只有两条路，其概率为； ②若上一步在下底面，第步不在上底面的概率为， 如果爬上来，其概率应为， 所以，整理得，即， 所以数列构成首项为，公比为的等比数列， 所以，所以， 所以，所以B、D不正确； 因为数列构成首项为，公比为的等比数列， 所以，所以C正确. 故选：AC. 二、解答题 2．（24-25高二下·辽宁抚顺六校协作体·期中）甲､乙两人参加某答题挑战赛，规则如下：每次由其中一人答题，若答对了，则此人继续答题，若未答对，则换对方答题，每次答题系统都会随机地给出一道文学题或科学题，给出文学题的概率为，给出科学题的概率为.已知甲答对文学题与科学题的概率分别为，，乙答对文学题与科学题的概率均为，且各轮答题正确与否相互独立.由抽签确定第1次答题的人选，第1次答题的人是甲､乙的概率各为. (1)已知第1次甲答题，求甲答对题目的概率； (2)求第2次答题的人是乙的概率； (3)求第次答题的人是甲的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用全概率公式求解即可； （2）利用全概率公式求出乙答对题目的概率，再根据独立事件与互斥事件的概率公式求解； （3）先根据全概率公式求出递推关系，再构造等比数列，结合等比数列的通项公式求解即可. 【详解】（1）甲答对题目的概率为. （2）乙答对题目的概率为. 记“第次答题的人是甲”为事件，“第次答题的人是乙”为事件， 所以 . （3）设，依题可知，，则， 即. 设，解得，则. 又， 所以是首项为，公比为的等比数列， 即. 3．(24-25高二下·辽宁大连滨城高中联盟·期中)前关湿地有两条散步路线，分别记为路线和路线．湿地附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和．已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为． (1)若有4位居民连续两天去湿地散步，记第二天选择路线散步的人数为，求的数学期望． (2)若某居民每天都去湿地散步，记第天选择路线的概率为． ①请写出与的递推关系； ②设，求证： 【答案】(1) (2)① ；②证明见解析 【分析】（1）先求居民第二天路线的概率，然后根据二项分布的概率公式求出概率，可得分布列，利用二项分布期望公式可得期望； （2）（ⅰ）分析第天选择路线，和路线情况下第天选择路线的概率，再由全概率公式列式，利用构造法求出关系式； （ⅱ）由（ⅰ）构造法求出通项公式，再借助放缩法及等比数列前和公式推理得证. 【详解】（1）记附近居民第天选择路线，分别为事件，， 依题意，，，，，， 则由全概率公式，得居民第二天选择路线散步的概率 ； 记第二天选择路线散步的人数为，则， 则，， ，， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 故的数学期望． （2）（i）当第天选择路线时，第天选择路线的概率； 当第天选择路线时，第天选择路线的概率， 所以 （ii）由（i）知， 则，而，， 于是数列是首项为，公比为的等比数列， 因此，即， ， 当时，，而， 所以； 当时，， 而， 所以， 所以． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 数列通项，数列求和 8大高频考点概览 考点01数列通项 考点02数列求和之分组求和 考点03数列求和之裂项相消 考点04数列求和之错位相减 考点05数列求和之放缩求和 考点06数列奇偶项问题 考点07数列不等式问题 考点08数列与概率交汇问题 地 城 考点01 数列通项 一、单选题 1．(24-25高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)已知中，为数列前项和，对都有，则（    ） A．-1 B．1 C．2 D．-2 2．(24-25高二下·辽宁普通·期中)若数列满足（且），，则（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·辽宁沈阳五校协作体·期中)已知定义在的函数，满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．(24-25高二下·辽宁实验中学·期中)已知数列的前n项和，则（   ） A． B．是等差数列 C．的最大值是2 D．的最大值是 5．（24-25高二下·辽宁省七校协作体·期中）已知数列的前项和为，则下列说法正确的有（    ） A．若是等比数列，则 B．若，则 C．若是等差数列， ，若，则 D．若，，则 6．(24-25高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)已知数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（    ） A． B．是单调递增数列 C．是等比数列 D．是等比数列 7．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期中)已知数列满足，，则（   ） A．， B．， C．，为完全立方数 D．，数列的前项和 8．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期中)已知数列满足，，则（   ） A．是递减数列 B． C．当的前n项和取得最小值时， D．对任意，不等式，则 三、填空题 9．（24-25高二下·辽宁大连第二十四中学·期中）已知数列前项和满足，则________. 10．（24-25高二下·辽宁省名校联盟·期中）已知数列为递减数列，其前项和，则实数的取值范围是___________. 地 城 考点02 数列求和之分组求和 一、解答题 1．（24-25高二下·辽宁省普通高中·期中）已知数列为等差数列，，，等比数列的公比为，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 2．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期中)设数列满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 3．（24-25高二下·辽宁大连滨城高中联盟·期中）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求. 地 城 考点03 数列求和之裂项相消 一、单选题 1．(24-25高二下·辽宁实验中学·期中)若数列的前n项和，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·辽宁省七校协作体·期中）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（    ） A．2025 B．2026 C．2023 D．2024 二、填空题 3．（24-25高二下·辽宁省七校协作体·期中）已知数列的首项为2，前项和为，．若数列的前项和为，则满足成立的的最小值为________. 三、解答题 4．(24-25高二·辽宁抚顺六校协作体·期中)已知是等差数列的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)已知数列满足，为的前项和，若，求整数的最小值． 5．（24-25高二下·辽宁省名校联盟·期中）已知等差数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，令，求证：． 6．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期中)设数列满足，；正项数列满足，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列、的通项公式； (3)设是数列的前n项和，证明：． 7．（24-25高二下·辽宁省东北育才中学·期中）已知数列的前项和满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 8．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期中)已知数列的各项均为正整数，其前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，证明：． 9．（24-25高二下·辽宁省沈阳市第一二0中学·期中）已知等差数列满足是关于的方程的两个根. (1)求. (2)求数列的通项公式. (3)设，求数列的前项和. 地 城 考点04 数列求和之错位相减 一、多选题 1．（24-25高二下·辽宁大连第二十四中学·期中）已知数列的首项为4，且满足，则（   ） A．为等差数列 B．为递增数列 C．的前项和 D．的前项和 二、解答题 2．（24-25高二下·辽宁省七校协作体·期中）等比数列中，，数列的前n项和. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前n项和，求. 3．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期中)记为数列的前项和，已知，是等差数列，，，. (1)求，的通项公式； (2)设，求. 4．（24-25高二下·辽宁省普通高中·期中）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 5．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期中)设是数列的前n项和，若，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，是数列的前n项和，若对任意的，恒成立，其中是实数，求的最小值． 6．(24-25高二下·辽宁大连滨城高中联盟·期中)已知数列满足， (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为． ①求； ②若，成立，求的取值范围． 地 城 考点05 数列求和之放缩求和 一、解答题 1．(24-25高二下·辽宁实验中学·期中)已知等比数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前n项和； (3)令，证明：． 2．（24-25高二下·辽宁省县域重点高中·期中）数列中， (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明. 地 城 考点06 数列奇偶项问题 一、多选题 1．（24-25高二下·辽宁省沈阳市第一二0中学·期中）已知数列满足，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·辽宁抚顺六校协作体·期中）已知是数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A．数列是等比数列 B． C．数列是等比数列 D．若恒成立，则的取值范围为 二、解答题 3．(24-25高二下·辽宁沈阳五校协作体·期中)数列的前n项和，满足：，，（），数列满足，． (1)求，的通项公式； (2)设，求的前2n和． 4．（24-25高二下·辽宁省七校协作体·期中）已知数列满足，且. (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)在数列中，，，求的通项公式； (3)记数列满足，求数列的前项和. 5．(24-25高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)已知等差数列前项和为，数列是等比数列，，. (1)求数列和的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求. 6．（24-25高二下·内蒙古自治区呼和浩特市剑桥中学·期中）已知数列是公差大于2的等差数列，其前项和为，，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 7．（24-25高二下·辽宁大连第二十四中学·期中）记为数列的前项和，已知，，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，若对任意，，求实数的取值范围. 地 城 考点07 数列不等式问题 一、多选题 1．（24-25高二下·辽宁省普通高中·期中）已知数列的首项为1，且，数列的前n项积为，且不等式对都成立，则（   ） A． B．数列的前n项和为 C． D．实数k的最小值为 二、填空题 2．(24-25高二下·辽宁大连滨城高中联盟·期中)已知在数列中，，，设数列的前项和为，若不等式对恒成立，则的最小值为________． 三、解答题 3．(24-25高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)已知数列满足，. (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)若记为满足不等式的正整数的个数，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，，若不等式对都成立，求实数的取值范围. 地 城 考点08 数列与概率交汇问题 一、多选题 1．（24-25高二下·辽宁大连第二十四中学·期中）设一个正方体，一只蚂蚁从上底面的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个相邻顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行次，仍然在上底面的概率为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 二、解答题 2．（24-25高二下·辽宁抚顺六校协作体·期中）甲､乙两人参加某答题挑战赛，规则如下：每次由其中一人答题，若答对了，则此人继续答题，若未答对，则换对方答题，每次答题系统都会随机地给出一道文学题或科学题，给出文学题的概率为，给出科学题的概率为.已知甲答对文学题与科学题的概率分别为，，乙答对文学题与科学题的概率均为，且各轮答题正确与否相互独立.由抽签确定第1次答题的人选，第1次答题的人是甲､乙的概率各为. (1)已知第1次甲答题，求甲答对题目的概率； (2)求第2次答题的人是乙的概率； (3)求第次答题的人是甲的概率. 3．(24-25高二下·辽宁大连滨城高中联盟·期中)前关湿地有两条散步路线，分别记为路线和路线．湿地附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和．已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为． (1)若有4位居民连续两天去湿地散步，记第二天选择路线散步的人数为，求的数学期望． (2)若某居民每天都去湿地散步，记第天选择路线的概率为． ①请写出与的递推关系； ②设，求证： 0 1 2 3 4 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 04数列通项，数列求和 目目 考点01 数列通项 一、 单选题 1.B 2.D. 3.B 二、多选题 4.ACD 5.BCD 6.ABD 7.ABD 8.ACD 三、填空题 11,n=1 9. 9×10-1,n≥2 10.（-2,+0) 目目 考点02 数列求和之分组求和 一、解答题 1.【详解】(1)在等差数列{a,}中，a=1,a4=10,公差d=4:-4=3, 4-1 所以数列an}的通项公式为an=a,+(n-1)d=3n-2; 在等比数列bn}中，b=b,b=36,由b(1+g2)=b2+b:=60>0,得b2>0, 解得b,=6,g2=9,而q>0,因此q=3, 所以数列b}的通项公式是b,=b,g-2=23-1 (2)由(1)知，Sn=(a1+a2+…+an)-3(b+b2+…+bn) =n0+3n-2）-3.20-39）_n3n-D+3-31 2 1-32 1/18 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0n-an-1=2"-+2 2.【详解】(1)由题意，当n≥2时， 0m-1-an-2=20-2+2 。。4。。 a2-a1=2+2 相加得a,一a,= 21-2-） +2n-2=2"+2n-4 1-2 所以an=2"+2n n=1时，a,=4符合上式，所以an=2”+2n (2)S。=(2+2+…+2）+21+2+…+m 20-2+2.m+-2+m+n-2 1-2 2 3.【详解11D:+3+5++2n-3+2-1-n0 a az a3 an-an 当-，1，即a= 1+3++2n-3=n-12 当n22时，aa, an-1 0-②特2n-1-4,=2n-1n≥2 因为n=1时，a,=1也满足上式， 故an=2n-l(neN). (2)记Cn=b4m-3+b4n-2+b4m-1+b4n, 则c.=ana,到+a5inn,2+an4n,+asim4-an3-a 2 2 2 2 =[2(4n-3)-1小-{2(4n-1)-1]=-4(常数) 数到cn}为常数列， :S100=b+b2+b+ba+bs+b6+b+bs+...+b97+bos+b99+b1oo =G1+C2+..+C25=-4×25=-100. 目目 考点03 数列求和之裂项相消 一、 单选题 1.D 2.C 2/18 丽学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 二、填空题 3.7 三、解答题 4.【详解】(1)设等差数列{an}的公差为d. 由S。+S1=n2+2n+1=(n+1)2,可得Sn1+Sn+2=(n+2)2, 两式相减可得an+1+an+2=2n+3, 所以2d=(an+2+an+3)-(an1+an+2）=2,即d=1. 当n=1时，S1+S2=2a1+a2=3a1+d=4,解得a=1, 所以an=1+(n-1)×1=n，,故{an}的通项公式为an=n. (2)6=1=1=11 a,dn n(n+1)nn+1' 所以无-19…日 k中产100解得k≥99，故整数k的最小值为9. 、99 由T2,可得之9 5.【详解】(1)设等差数列an}的首项为a,公差为d. 4a,+6d=8a,+4d 由S4=4S2,a2m=2an+1,得 a,+(2n-1d=2a,+2(n-1d+1' 解得：a,=1,d=2,所以an=1+2(n-1=2n-1n∈N). (2)由(1)知，(2n-1)bn=2n+3)b+1, 即=2n-1,6=2m-3,b1=2n-5. ，b=5b2_1 62m+3'6n2n+1'b.,2m-1’,6,76=5, 利用累乘法可得：bn= 名会00…号 bn-1 bn-2 b1 2n-2-22,4=地合上统 9 是b:=b+b+b+…+b+b 凯-片…2an】-0a4 3/18 丽学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 所2小 6.【详解】(1)证明：由a1=3an+2a-1an得 1=3.1+2 an an 进而上+1=3L+1 am-1 又1+1=3 1 所以数列一+1是以3为首项，3为公比的等比数列 a (2)由1)得+1=33=3 a, 1 所以a,=3-可 由b1=bn（2bn+1+3b)得bn1-3bn)b1+bn=0, 因为bn>0,所以b1=3b, 又b=3,所以数列{b}是以3为首项，3为公比的等比数列. 所以bn=3” sF-可产司） 所双-好+士片可 因为23-可0，所以5.<号 易知5-2与可是关于的婚手纸，所以5，之-6 1 3 7.【详解】(1)√S=√a=2. VS-S.=2(nEN), Sn=2+2(n-1)=2n.Sn=4n2. 4/18 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当n=1时，a1=S,=4; 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=8n-4, 且a,满足上式，所以an=8n-4 (2)b,=1 1 11 anam+1(8n-4)(8n+4)16(2n-1)(2n+1) =1x11-1）-1(11） 1622n-12n+1322n-12n+1' 玉=6+- 1 +…+1-1 2n-12n+1 n :数列b.的前项和为162n+) n 8.【详解】(1)由2Sn=a+n,当n≥2时，2Sn1=a-+n-1, 两式相减得2an=a-a+1,整理得(an-1)=a1, 又数列{an}的各项均为正整数，则a-1=an-1,即an-an-=1,n之2， 又2S,=a2+1,解得a1=1, 所以数列an}是首项为1，公差为1的等差数列， 所以{an}的通项公式为an=n 2》由1D可知S,=m1月，所以6an+in+2a++a+习 2 1 1 2 商-合rgB动西o网分g号 1111 9.【详解】(1)数列an}是等差数列，设公差为d, 由根与系数关系得an+an+1=4n, 于是有/0+4=4 a+a,=8aa=4=2d,则d=2, 故4=a1+a2=2a1+d,则a1=1; (2)由(1)知a1=1,d=2,故an=a1+(n-1d=2n-1, 5/18 丽学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 由根与系数关系知b。=a,01=4n2-1: 》由2得<=r=-r 1+1 2n-12n+1 所以S2n=- An =-1+ 4n+1 4n+1 目目 考点04 数列求和之错位相减 一、多选题 1.BCD 二、解答题 2.【详解】(1)设等比数列{an}的公比为9， 在等比数列(an}中，41+a3=10,a2+a4=20, 所以g=+0=20=2, a1+a310 所以a1+4a1=10,所以a1=2,所以a,=2×2"-=2", 又数列{bn}的前n项和Sn=n2+2n, 当n=1时b=S1=12+2×1=3, 当n≥2时b,=S。-S1=n2+2n-[(n-12+2(n-1]=2n+1, 经检验当n=1时b,=2n+1也成立，所以b,=2n+1. (2)因为6，=2n+1,所以2-2+1 所以7=3+5+4m+2 2 22 23 2 2222 111 6/18 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1- =3+2 -20-5-25 1 1- 2" 2 3.【详解】(1)因为Sn=2”-1, 所以当n=1时，S,=2-1=1,又a1=S,所以a1=1, 当n22时，an=Sn-Sn1=2”-1-2"-1+1=2-1， 又a,=1=2,所以an=2-, 所以数列an}的通项公式为a,=2"-, 设数列bn}的公差为d, 因衣清松动 安药…6活后有…。副 66…+i6,6=2,4=16 所北沿)-石·所以4 故bn=2+(n-=n+1,即数列{bn}的通项公式为bn=n+1, (2)因为1=久+么+4+…+点 an an-an-2 a 234 由1)7.=2+2+ +…+ n+l① 2 1 所以2双=2号+22+…+月+2m+② 2,3 @8得：不品+女*士+…*分-2a+, 所以7 -20+0是+2是-2-22 2 2-+ 11 2 所以T,=2n. 4.【详解)1)由-3，又4+1=3，可得数列a,+川是首项、公比均为3的等比数列， a+1 故an+1=3”,an=3-1 7118 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)由(1)可得bn=n3”, 则Sn=13+232+…+n3”, 所以3S。=132+233+…+(n-13+n…3+, 两相藏得-35.=+3+34+9-9-n3-位小3m-号 1-3 所以S,=2n13+3 4 4 5.【详解】(1)当n≥2时， 3Sn+2am+1+1=0 3Sn1+2an+1=0' 两式相减可得： 3a,+2am-2an=0=an=- 3Sn+2a1+1=0中令n=1，得4=4， 注意到a2=- 符合上式。所以数列口，是以号为首项，号为公比得等比数列。 所以a=厂=（ (2)b=log a =n =+2(+** =+f+a-+a( ,相减得 以-号2-号 从面s1-扩s相暖立.年a-(·-(] 8/18 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 n=2k-1 keN', ,n=2k 则当n为奇数时，f(n)随着n增大而减小，当n为偶数时，f(n)随着n增大而增大， 又注意到1 则f0@=f-多f0=12)-} 所以入女三 2’从而4-1 333 244 6.【详解】1)由a=2a,+3-2,存2器会=3 因此数列}是以号=1为首项，3为公差的等差数列，9=1+0m-)3=3n-2, 2 2 所以数列{an}的通项公式an=(3n-2)·2” (2)①油1)得，6.-+1=a+1)-2”, 3n-2 S=22+322+42+…+n2-+(n+1)2”, 于是2Sn=222+3.23+424+…+n2”+(n+1021, 则-Sn=22+22+23+…+2”-(n+1)21=2+22+23+…+2”-(n+1)2*1+2, -20-22）-m+0-2+2=-2+2-0m+10-21+2=-n:2, 1-2 所以S。=n…2m+ ②由neN,S.<m3,得neN,n-(专)<m 令c,=n~(台)，不妨设c}的第项取得最大值， n-()1≥(n-1)() 由 解得2sn≤3，即数列c,}的最大值为，=6=27 16 2 n(白)*1≥(n+1)(白)+2 3 所以m> 16 16 27 即m的取值范围是(7+切） 目目 考点05 数列求和之放缩求和 一、解答题 9/18 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.【详解】(1)由a1=3(S,+1,，得an=3(n-1+1(n≥2)， 两式相减，得a+1-a。=3ann22), 即a1=4ann之2)，又{an}是等比数列，故公比q=4, 由a,=3a+l=4a,知a=3,则an=3×4-1. (2)由题bn=nan=3n×4-, 则T。=3.4°+6.4+…+3n4", 4Tn=3.4+6.42+…+3n…4", 两武相减，得-37，=31+4+4++4）-3n4”.31=4-3n=1-3训4-1， 1-4 21 34"1-1+1 3)6=a-1=3×4-1,由34343434->0， 得： 112 c。34-134时=d, 则上+1+…+L<d+d,+…+d.= C1 C2 Cn 4 2.【详解】(1)因为an+1=an+n+1,即an+1-an=n+1, 所以当n≥2时，a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-am-1=n, 将以上各式相加，得a.-4=2+3+n=a-1a+2,则0.=+n+2。 2 2 当n=1时也符合上式，故a,=口+n+2 2 所以-+o4-片片小？ 目目 考点06 数列奇偶项问题 一、多选题 10/18