第3章 整式的乘除（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材浙教版七年级下册

第3章 整式的乘除（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，需运用同底数幂的乘法法则进行计算． 【详解】解：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴， 故选：B． 2．维生素D是一种脂溶性维生素，主要存在于鱼、蛋黄、牛肝等食物中，它可以促进钙的吸收，有助于骨骼健康．成人每天维生素D 的摄入量约为0.0000046克．将数据0.0000046用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：∵， 故选D． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、积的乘方、合并同类项等知识点．运用合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，故该选项符合题意； B、和不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：A． 4．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方运算法则，掌握积的乘方等于各因式分别乘方再相乘，幂的乘方底数不变指数相乘是解题的关键． 根据积的乘方法则，将积中每个因式分别乘方，再结合幂的乘方法则计算． 【详解】解： ． 故选：B． 5．若，，则的值为（　　） A．45 B．30 C．14 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用． 先逆用同底数幂的乘法将化为，再逆用幂的乘方将化为，进而根据，求解即可． 【详解】解：． 故选：A． 6．若能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（    ） A．或8 B．4 C． D．4或 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式的应用，根据完全平方公式的结构特征，确定一次项系数与常数项的关系，进而求解常数的值． 【详解】解：能用完全平方公式进行因式分解， ． ． 当时， 当时， 的值为4或． 故选D． 7．从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．通过计算两个图形阴影部分的面积，从左至右验证成立的公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．分别表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，结合面积相等，即可解题． 【详解】解：由图知，甲图形阴影部分的面积为， 乙图形阴影部分的长为，高为，则其面积为， 即， 故选：C． 8．若展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握法则是解本题的关键．展开多项式，令x一次项的系数为零，即可得到p与q的关系． 【详解】解：∵ ， 又∵ 展开后不含x的一次项， ∴． 故选：C． 9．王老师让同学们从两个盒子中各抽取一张卡片，李华抽到的两张卡片上分别是，，要使这两个整式相等，则的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了多项式相等的条件，完全平方公式，掌握多项式相等时对应项系数相等是解题的关键． 根据多项式相等的条件，对应项系数相等，列出方程求解． 【详解】解：∵ , ∴ , , 解得 , , ∴ 故选：B． 10．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”． 杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数． 根据“杨辉三角”的规律，的展开式中第三项的系数为（   ） A．55 B．45 C．36 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了数字的变化类、数学常识、多项式、完全平方公式，解决本题的关键是理解“杨辉三角”．根据杨辉三角形的排列规律，续写到第10行，即可得到的展开式中第三项的系数． 【详解】解：根据“杨辉三角”的规律，的展开式中第三项的系数为45． 故选：B． 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．计算：______． 【答案】 【详解】解：． 12．计算的值______． 【答案】 【详解】解： ． 13．若，，则的值是________． 【答案】10 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆运算，根据计算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 14．若，则的值是________． 【答案】 【分析】根据多项式的乘法法则将等式左边展开，与右边比较即可解答． 【详解】解： ∴ ∴ ． 15．已知，若正方形的边长为，其面积记为，长方形的长为，宽为，其面积记为，用等式表示与的数量关系为___________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，整式的混合运算的应用，掌握相关运算法则是解题关键．由题意可知，，，再计算即可． 【详解】解：由题意可知，，， 则 ． 即． 16．用图1中的卡片覆盖图2月历上的四个数，记，则与之间的数量关系是__________． 【答案】 【分析】此题主要考查列代数式，多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，解题的关键是发现日历的特点，设表示的数为，根据日历的特点表示出，再利用整式乘法的运算法则得到，进而得到，即可解答． 【详解】解：设表示的数为，根据日历的特点表示出， ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 3. 解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，同底数幂的乘法运算，熟练掌握以上知识点是关键． （1）直接利用单项式乘以单项式运算法则分别化简得出答案； （2）直接利用单项式乘以单项式，积的乘方运算运算法则分别化简得出答案． 【详解】解：（1）原式． （2）原式． 18．（8分）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．（8分）（1）计算：； （2）先化简，再求值：．其中，． 【答案】（1）；（2）， 【分析】对于本题，重点掌握完全平方公式，平方差公式． （1）根据完全平方公式计算即可； （2）先由完全平方公式和平方差公式计算中括号，再计算多项式除以单项式，最后代入求值即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当，时， 原式． 20．（8分）已知．求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了代数式求值、完全平方公式的变形，关键是灵活应用公式进行求解； （1）将代数式去括号后，整体代入求值即可； （2）将完全平方公式变形后，求值即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 21．（10分）阅读材料并回答问题： 我们知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，如就可以用图①或图②中图形的面积表示． (1)请写出图③所表示的代数恒等式． (2)试画一个几何图形，使它的面积可用表示． (3)请依照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出它对应的几何图形． 【答案】(1) (2)作图见解析 (3)，作图见解析（答案不唯一，合理即可） 【分析】本题考查了多项式乘多项式，考查几何意义，抓住面积不变是解题的关键． （1）大长方形的长为，宽为，所以面积表示为；大长方形的面积还可以表示为6个图形面积的和，从而得到等式； （2）设计一个长方形的长为，宽为的大长方形即可； （3）可以写一个恒等式为：，图形是长为，宽为的大长方形． 【详解】（1）解：． （2）解：如图1所示： （3）解：代数恒等式是：，如图2所示： 22．（10分）逆向运用幂的运算法则可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)的结果是________． (2)若，求的值． (3)比较大小：已知，，，，则，，，的大小关系是什么？（提示：如果，为正整数，那么） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握幂的运算的逆运算，是解题的关键： （1）逆用积的乘方进行计算即可； （2）利用幂的乘方，以及同底数的乘法法则进行求解即可； （3）先将各数化为同指数的形式，再比较底数的大小即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：， ， ， ， 解得． （3）解：，， ，， 又∵， ， ． 23．（10分）请同学们认真阅读下面求代数值的方法． 已知实数、满足，计算的值． 解：因为， 所以． 借鉴上面的方法，解决下列问题： 若实数a、b满足． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)18 (2)123 【分析】（1）阅读题目中所给的求代数值的方法，按照这个方法代数求值； （2）利用题目中所给的方法，结合（1）中的数据，变形代入数值计算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：由（1）得，， ， ． 24．（10分）所谓完全平方式，就是对于一个整式，如果存在另一个整式，使，则称是完全平方式，例如：，，所以，就是完全平方式．请解决下列问题： (1)已知，，则______． (2)如果是一个完全平方式，则的值为______． (3)若x满足，求的值． (4)如图所示，在长方形中，，，点，分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和． ①______，______；（用含的式子表示） ②若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)①，；② 【分析】本题考查完全平方公式的应用，利用完全平方公式变形求值，矩形与正方形的性质，掌握好相关知识是关键． （1）利用完全平方公式变形求值即可； （2）对比完全平方公式确认与，再计算出的值即可； （3）设，，利用完全平方公式求值即可； （4）①根据线段和差关系进行填空； ②由矩形的面积为，可得，利用完全平方公式变形求得，根据正方形面积公式求出阴影面积． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴； （2）解：在完全平方式中，，， ∴， 当时， ， ∴， 当时， ， ∴； 综上所述，或； （3）解：设，， ∴，， ， ∴， ∴； （4）解：①∵四边形是矩形， ∴，， ∴，； ②∵长方形的面积为， ∴． ∵， ∴， ∴． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 整式的乘除（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 2．维生素D是一种脂溶性维生素，主要存在于鱼、蛋黄、牛肝等食物中，它可以促进钙的吸收，有助于骨骼健康．成人每天维生素D 的摄入量约为0.0000046克．将数据0.0000046用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 5．若，，则的值为（　　） A．45 B．30 C．14 D．11 6．若能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（    ） A．或8 B．4 C． D．4或 7．从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．通过计算两个图形阴影部分的面积，从左至右验证成立的公式为（   ） A． B． C． D． 8．若展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（   ） A． B． C． D． 9．王老师让同学们从两个盒子中各抽取一张卡片，李华抽到的两张卡片上分别是，，要使这两个整式相等，则的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 10．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”． 杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数． 根据“杨辉三角”的规律，的展开式中第三项的系数为（   ） A．55 B．45 C．36 D．11 2． 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．计算：______． 12．计算的值______． 13．若，，则的值是________． 14．若，则的值是________． 15．已知，若正方形的边长为，其面积记为，长方形的长为，宽为，其面积记为，用等式表示与的数量关系为___________． 16．用图1中的卡片覆盖图2月历上的四个数，记，则与之间的数量关系是__________． 3. 解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）计算： (1)． (2)． 18．（8分）计算： (1) (2) 19．（8分）（1）计算：； （2）先化简，再求值：．其中，． 20．（8分）已知．求： (1)的值； (2)的值． 21．（10分）阅读材料并回答问题： 我们知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，如就可以用图①或图②中图形的面积表示． (1)请写出图③所表示的代数恒等式． (2)试画一个几何图形，使它的面积可用表示． (3)请依照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出它对应的几何图形． 22．（10分）逆向运用幂的运算法则可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)的结果是________． (2)若，求的值． (3)比较大小：已知，，，，则，，，的大小关系是什么？（提示：如果，为正整数，那么） 23．（10分）请同学们认真阅读下面求代数值的方法． 已知实数、满足，计算的值． 解：因为， 所以． 借鉴上面的方法，解决下列问题： 若实数a、b满足． (1)求的值； (2)求的值． 24．（10分）所谓完全平方式，就是对于一个整式，如果存在另一个整式，使，则称是完全平方式，例如：，，所以，就是完全平方式．请解决下列问题： (1)已知，，则______． (2)如果是一个完全平方式，则的值为______． (3)若x满足，求的值． (4)如图所示，在长方形中，，，点，分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和． ①______，______；（用含的式子表示） ②若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $