专题01 多边形与平行四边形8大题型（期中复习专项训练）八年级数学下学期新教材沪教版五四制

专题01 多边形与平行四边形 题型1 多边形（常考点） 题型5 添一个条件成为平行四边形（常考点） 题型2 利用平行四边形的性质求解（重点） 题型6 利用平行四边形的判定与性质求解（重点） 题型3 利用平行四边形的性质证明（重点） 题型7 利用平行四边形性质和判定证明（重点） 题型4 判断能否构成平行四边形（常考点） 题型8 平行四边形性质和判定的应用（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 多边形（共8小题） 1．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如果一个边形的内角和为，那么的值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题考查了边形的内角和公式，依题意，列式进行计算，即可作答． 【详解】解：∵一个边形的内角和是， ∴， 解得， 故选：C． 2．（24-25八年级下·上海闵行·期中）如果一个多边形的边数增加1，那么它的内角和将增加（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，设原多边形的边数为n，则边数变化后的多边形边数为，根据多项式内角和计算公式分别表示出变化前后多边形内角和，二者相减即可得到答案． 【详解】解：设原多边形的边数为n，则边数变化后的多边形边数为， ∴原来多边形的内角和为，变化后的多边形内角和为， ∵， ∴内角和将增加， 故选：C． 3．（23-24八年级下·上海宝山·期中）在一个凸多边形中，它的内角中最多有个锐角，则为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】本题主要考查了多边形的内角和外角和，根据任意凸多边形的外角和是，内角与其相邻的外角是邻补角的关系，可知它的外角中，最多有3个钝角，则内角中，最多有3个锐角，即可求解． 【详解】解： 任意凸多边形的外角和是， 外角中最多有3个钝角，则内角中，最多有3个锐角． 故选：B． 4．（24-25八年级下·上海·期中）从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个九边形分割成的三角形个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对角线分成的三角形个数问题 【分析】本题考查了多边形的对角线，根据边形从一个顶点引出的对角线条数为条，可分成个三角形即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个九边形分割成的三角形个数为个， 故选：． 5．（23-24八年级下·上海闵行·期中）如果一个多边形的边数由4增加到n（n为整数，且），那么它的外角和的度数（    ） A．不变 B．增加 C．减少 D．不能确定 【答案】A 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】此题考查多边形内角和与外角和，注意多边形外角和等于．利用多边形的外角和特征即可解决问题． 【详解】解：因为多边形外角和为，所以外角和的度数是不变的． 故选：A． 6．（22-23八年级下·上海宝山·期中）一个多边形的所有内角中，锐角最多可能有______个． 【答案】3 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】多边形的内角与其相邻的外角互为邻补角，利用多边形的外角和是360度即可求出答案． 【详解】解：因为多边形的外角和是360度，在外角中最多有三个钝角，如果超过三个则和一定大于360度， 多边形的内角与其相邻外角互为邻补角，则外角中最多有3个钝角，内角中就最多有3个锐角． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，由于内角和不是定值，不容易考虑，而外角和是360度，因而内角的问题可以转化为外角的问题． 7．（24-25八年级下·上海金山·期中）一个多边形从一个顶点出发有5条对角线，那么这个多边形共有________条对角线． 【答案】20 【知识点】多边形对角线的条数问题 【分析】本题主要考查了多边形对角线条数问题，从一个n边形的一个顶点出发有对角线，n边形公有条对角线，据此先求出多边形的边数，再求出其对角线条数即可． 【详解】解：设多边形为n边形， ∵从n边形的一个顶点出发共有5条对角线， ∴， ∴， ∴这个多边形的边数为8， ∴这个多边形共有条对角线， 故答案为：20． 8．（23-24八年级下·上海闵行·期中）如果从一个边形的一个顶点出发，最多能引出7条对角线，那么这个边形的内角和是___________． 【答案】 【知识点】多边形对角线的条数问题、多边形内角和问题 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形对角线条数问题，从一个边形的一个顶点出发，最多能引出条对角线，据此可求出，再根据边形的内角和是进行求解即可． 【详解】解：∵从一个边形的一个顶点出发，最多能引出7条对角线， ∴， ∴， ∴这个边形的内角和是， 故答案为：． 题型二 利用平行四边形的性质求解（共7小题） 9．（24-25八年级下·上海·期中）已知平行四边形的一条边长为14，下列各组数中，能分别作它的两条对角线长的是（   ） A．10与16 B．12与16 C．20与22 D．10与18 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，构成三角形的条件，在平行四边形中，对角线交于点O，，则，令对角线的长等于对应选项中的值，进而得到的长，再判断能否构成三角形即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在平行四边形中，对角线交于点O，，则， A、当时，则， ∴，即此时不能构成三角形，故此选项不符合题意； B、当时，则， ∴，即此时不能构成三角形，故此选项不符合题意； C、当时，则， ∴，即此时能构成三角形，故此选项符合题意； D、 当时，则， ∴，即此时不能构成三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 10．（24-25八年级下·上海·期中）如图，平行四边形中，两对角线交于点，，，，则对角线的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，先根据平行四边形的性质得，，，再运用勾股定理算出，以及，进行作答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， 则， 在中，， ∴， 故选：D 11．（24-25八年级下·上海·期中）在中，若，则∠D为______度． 【答案】45 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角相等，对边平行是解题的关键． 根据平行四边形的性质，可得，，再结合，可得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：45 12．（24-25八年级下·上海静安·期中）在平行四边形中，是的2倍， 那么_________． 【答案】/120度 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握对边平行是解题的关键． 根据平行四边形对边平行得到，再由即可求解． 【详解】解：∵平行四边形， ∴ ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 13．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在中，，，，点在边上，过点作于，交边于点，将沿直线翻折，点、分别与点、对应，如果四边形是平行四边形，那么的长是________． 【答案】6 【知识点】含30度角的直角三角形、三角形的外角的定义及性质、折叠问题、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，折叠的性质，平行四边形的性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据题意作图，由含30度角的直角三角形的性质得到，折叠的性质，平行四边形的性质，结合三角形外角的性质得到，由即可求解． 【详解】解：根据题意作图如下， ∵在中，，，， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴相互平分，交于点， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6 ． 14．（24-25八年级下·上海·期中）如图，已知平行四边形的对角线、交于点，，，且的周长为19，则的长为_____． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形得到，，再根据周长得到． 【详解】解：∵平行四边形的对角线、交于点，，， ∴，，， ∵的周长为19， ∴, 故答案为：． 15．（24-25八年级下·上海崇明·期中）如图，在平行四边形中，已知对角线与相交于点O，． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】此题考查了平行四边形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质是关键． （1）根据平行四边形的性质和勾股定理得到，即可得到的长； （2）根据平行四边形的性质得到，利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴的面积为 题型三 利用平行四边形的性质证明（共4小题） 16．（23-24八年级下·上海·期中）如图，已知在中，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】利用平行四边形的性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，结合平行四边形的性质，利用证明可证明结论； 【详解】证明：∵四边形为平行四边形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴， ∴； 17．（24-25八年级下·上海宝山·期中）已知：如图，、是平行四边形对角线上的两个点，且．求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用平行四边形的性质证明、内错角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．根据平行四边形的性质证明得到，再由等角的补角相等得到，即可证明平行． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 18．（24-25八年级下·上海松江·期中）已知，点为对角线的中点，过点分别作直线，，直线交边、于点、，直线交边、于点、．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【知识点】利用平行四边形的性质证明、证明四边形是平行四边形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 由平行四边形得到，，，证明出，得到，同理得到，即可证明四边形为平行四边形． 【详解】∵，点为对角线的中点， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴同理可证， ∴ ∴四边形为平行四边形． 19．（24-25八年级下·上海·期中）如图已知点是平行四边形对角线上的一点，连结，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，，当，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明、三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）根据平行四边形的性质得出，，证明，得出，然后根据等式的性质即可得证； （2）由全等三角形的性质得出，根据勾股定理求出，根据三线合一的性质得出，根据等面积法求出，根据勾股定理求出，结合（1）中即可求解． 【详解】（1）证明∶设、相交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型四 判断能否构成平行四边形（共3小题） 20．（22-23八年级下·上海宝山·期中）点A、B、C、D在一个平面内，若从①；②；③；④．这四个条件中选两个，但不能推导出四边形是平行四边形的选项是（　　） A．①② B．①④ C．②④ D．①③ 【答案】B 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】根据平行四边形的判定方法逐一分析即可． 【详解】解：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可选①③；故D不符合题意； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可选②④；故C不符合题意； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可选①②或③④；故A不符合题意； 一组对边平行另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形．故B符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关． 21．（23-24八年级下·上海金山·期中）如图，在四边形中，对角线和相交于点O．下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵， ∴四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项B符合题意， C、∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵， ∴四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B． 22．（23-24八年级下·上海·期中）下列说法：（1）多边形边数增加条时，它的内角和增加；（2）在四边形中，对角线AC，BD交于点O，，，那么这个四边形是平行四边形；（3）三角形的外角和小于其它多边形的外角和；（4）边形共有条对角线；（5）四边形的四个内角至少有一个角不小于直角．其中正确说法的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多边形对角线的条数问题、多边形内角和与外角和综合、判断能否构成平行四边形 【分析】分别根据多边形，三角形的外角，平行四边形的判定以及多边形的内角和公式逐一判断即可． 【详解】解：（1）当多边形边数增加1条时，它的内角和增加180°，说法正确． （2）在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且OA=OC，OB=OD，那么这个四边形是平行四边形，原说法正确． （3）三角形的外角和等于其它多边形的外角和，原说法错误． （4）n边形共有条对角线，原说法错误． （5）四边形的四个内角至少有一个角不小于直角，说法正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，多边形的内角与外角以及三角形的外角性质，熟记相关知识是解答本题的关键． 题型五 添一个条件成为平行四边形（共3小题） 23．（24-25八年级下·上海静安·期中）在四边形中，已知，再添加一个条件还不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】根据平行四边形的判定定理分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵AB=CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； B、∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； C、∵，∴，又∵，不能证明四边形是平行四边形；故C符合题意； D、∵，∴AB∥CD，又∵，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理进行判断． 24．（24-25八年级下·上海宝山·期中）如图在四边形中，若已知，再添加下列条件之一，能使四边形成为平行四边形的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】此题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定进行逐项判断即可． 【详解】解：A、由，，不能判定四边形成为平行四边形，故选项A不符合题意； B、由，，不能判定四边形成为平行四边形，故选项B不符合题意； C、∵， ∴，不能判定四边形成为平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故选项D符合题意； 故选：D． 25．（24-25八年级下·上海崇明·期中）如图，在四边形中，E是边的中点，联结并延长交的延长线于点F，如果，那么再添加以下一个条件使得四边形是平行四边形，请选出正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】本题考查平行四边形的判定．当添加时，可证得，进而推出，，即可得到四边形是平行四边形． 【详解】解：当添加时，， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 而添加，，均无法证明四边形是平行四边形． 故选：D 题型六 利用平行四边形的判定与性质求解（共3小题） 26．（24-25八年级下·上海·期中）梯形的上下底分别为3和7，一腰长为6，则另一腰长的取值范围是_____． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，三角形三边关系．作辅助线：平移一腰，构造一个三角形，再根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．从而求得答案． 【详解】解：如图，梯形中，，，，，， 过D作，交于E点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 根据题意得：，即． 故答案为：． 27．（24-25八年级下·上海·期中）已知：如图，沿射线平移后得，，若的面积为S，则四边形的面积为_______．（用含S的代数式表示） 【答案】 【知识点】利用平移的性质求解、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】该题考查了平移的性质，平行四边形的性质和判定，设，则，的高为，表示出，即，根据平移的性质说明四边形是平行四边形，根据求解即可． 【详解】解：设，则，的高为， 则，即， 根据平移的性质得，和的高都为， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：． 28．（22-23八年级下·上海杨浦·期中）如图，已知平行四边形的对角线相交于点交边于点，若的周长为15厘米，则平行四边形的周长为_________厘米．    【答案】30 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、利用平行四边形的性质证明、线段垂直平分线的判定 【分析】根据题意可知是的垂直平分线，得,再由的周长为15厘米求出厘米，再根据平行四边形周长公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形, ∴ 又 ∴是的垂直平分线， ∴, ∵的周长为15厘米， ∴厘米， ∴厘米，即厘米， ∴平行四边形的周长厘米， 故答案为：30． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形的周长以及平行四边形的周长，正确求出厘米是解答本题的关键． 题型七 利用平行四边形性质和判定证明（共7小题） 29．（24-25八年级下·上海·期中）如图，是平行四边形的对角线，点、在上，要使四边形是平行四边形，还需要增加的一个条件是________（只要填写一种情况）． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，根据两条对角线互相平分的四边形是平行四边形即可解答． 【详解】解：还需要增加的一个条件是，理由为： 连接，交于， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：． 30．（24-25八年级下·上海长宁·期中）如图，平行四边形ABCD中，∠BAD=120°，E、F分别在CD和BC的延长线上，，EF⊥BC，，则AB的长是______． 【答案】3 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】首先根据平行四边形的判定及性质，可证得D为CE中点，∠CEF=30°，再设CE=2x，CF=x，根据勾股定理即可求得CE=6，据此即可求得． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，AB=CD， ∵， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴AB=DE， ∴AB=DE=CD，即D为CE中点， ∵EF⊥BC， ∴∠EFC=90°， ∵∠BAD=120°， ∴∠BCD=120°， ∴∠ECF=60°，∠CEF=30°， 故设CE=2x，CF=x，在Rt△CEF有： ， 解得x=3， ∴CE=6， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，勾股定理，采用方程思想是解决此类题的关键． 31．（24-25八年级下·上海静安·期中）已知： 如图， 在中，点D、E、F分别为上的点，，且，延长到点 G，使． 求证：互相平分． 【答案】见解析 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，掌握平行四边形的性质和判定，正确的作出辅助线是解题的关键；由，，可得四边形是平行四边形，进而可得，由可得，进而可证四边形是平行四边形，由平行四边形的性质即可得证． 【详解】证明：连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴和互相平分． 32．（23-24八年级下·上海崇明·期中）已知：如图，在平行四边形中，的平行线分别交、的延长线于点、，交、于点、，求证：．    【答案】见解析． 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明 【分析】根据平行四边形的性质得出，，又则可证四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，再根据性质可证，最后通过线段和差即可求证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握性质与判定的应用． 33．（24-25八年级下·上海徐汇·期中）如图，已知、分别为▱的对边、上的点，且，于，于，交于点，求证：与互相平分． 【答案】见解析 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】连接、，利用于，于，推出 EMFN，根据AAS证明△AEM≌△CFN，得到EM=FN，证明四边形是平行四边形，由此得到结论． 【详解】证明：连接、， ，， ， ∴EMFN， 四边形是平行四边形， ∴ADBC，， ， ， ， 在和中 ≌， ， ∵EMFN， 四边形是平行四边形， 与互相平分． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确掌握平行四边形的判定定理和性质定理及全等三角形的判定定理是解题的关键． 34．（23-24八年级下·上海·期中）如图，已知ABCD中，AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的角平分线．求证：AE=CF． 【答案】证明见解析 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明 【分析】先根据平行四边形的性质可得，再根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定可得，最后根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得证． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， 分别是的角平分线， ， ， 又， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． 35．（23-24八年级下·上海青浦·期中）已知：如图，在四边形中，，对角线、相交于点，在边的延长线上，且，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、三角形内角和定理的应用、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了直角三角形的判定，平行四边形的性质，熟记定理是解题的关键． （1）证明，推出，利用对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论成立； （2）由平行四边形的性质得到，由等量代换推出，根据三角形内角和定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， ， ． 题型八 平行四边形性质和判定的应用（共5小题） 36．（23-24八年级下·上海·期中）如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（   ） A．2s B．s C．4s D．5s 【答案】B 【知识点】平行四边形性质和判定的应用 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过t秒，以点，，，为顶点组成平行四边形， ∵在边上运动， ∴， ∵以点，，，为顶点组成平行四边形， ∴， 分以下情况：①点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不符合题意． ②点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；符合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；不合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不合题意． 故选：B． 37．（24-25八年级下·上海静安·期中）如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】证明四边形是平行四边形、平行四边形性质和判定的应用、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得，根据一边平行且相等的四边形为平行四边形得出结论； （2）由平行四边形的性质得，，再由勾股定理求出，然后由三角形面积求出的长即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形； （2）由（1）可知，四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 的长为． 38．（2025·八年级下·上海·期中）问题探究 （1）如图1，在四边形中，点在直线上，且，求作，使得点，在直线上，边，，分别经过点，，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的值； 问题解决 （2）如图2，某市郊野公园现有一块四边形草坪，顶点，，，处均有一棵荔枝古树，点处有一座八角观景亭，园林管理部门准备扩建草坪，想使草坪面积扩大一倍，又想保持棵荔枝古树、八角观景亭在草坪边不动，并要求扩建后的草坪成平行四边形的形状．请问能否实现这一设想？若能，请你设计出所要画的图形；若不能，请说明理由． 【答案】（1）图见解析，；（2）能，图见解析． 【知识点】平行四边形性质和判定的应用、过直线外一点作已知直线的平行线 【分析】本题考查了作图——基本作图，平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）连接，过点作的平行线，再过点、点分别作的平行线，四条线的交点为、、、，则四边形即为所求，根据平行四边形的性质可得出的值； （2）连接，过点和分别作的平行线，再连接分别交过点、过点的直线于点、，最后过点作的平行线分别交过点、过点的直线于点、，则四边形即为所求． 【详解】解（1）如图，即为所求， ，， 四边形和四边形均是平行四边形， ， 直线与间的距离处处相等，与间的距离处处相等， ，， ， ； （2）能实现这一设想，如图，连接，过点和分别作的平行线，再连接分别交过点、过点的直线于点、，最后过点作的平行线分别交过点、过点的直线于点、，则四边形即为所求， 理由如下： ，， 四边形、四边形和四边形均是平行四边形， ， 直线与间的距离处处相等，与间的距离处处相等， ，， ， ． 39．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）数学实践小组开展测量篮球架篮板的高度的实践活动．测量方案如下表： 课题 测量篮球架篮板的高度 测量 工具竹竿、测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）将竹竿垂直固定在地面上，从竹竿上的F点处观察篮板底部点B； （2）测量视线与竹竿的夹角，； （3）将观察点沿着竹竿向上移动到点G，测量从点G观察篮板顶部点A的视线与竹竿的夹角； （4）测量的长 测量数据 根据以上测量方案和数据求篮球架篮板的高度． 【答案】篮球架篮板的高度为 【知识点】平行四边形性质和判定的应用 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质的应用．根据垂直定义可得，从而可得，再根据同位角相等，两直线平行可得，从而可得四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得，即可解答 【详解】解：，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 答：篮球架篮板的高度为． 40．（24-25八年级·上海宝山·期中）如图，在四边形中，，以点A为圆心，的长为半径作弧分别交边，边于点F，E，（点E，F都不与边的端点重合）． (1)如图，当， ①探索和的数量关系并证明你的结论； ②若平分，求证：是等边三角形并直接写出此时线段，，之间的数量关系． (2)连接，当平分时，若是以为腰的等腰三角形，求的值． 【答案】(1)①，证明见详解；②，证明见详解 (2)或1 【知识点】平行四边形性质和判定的应用、角平分线的有关计算、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）①过点A作交于点H，根据题意得出为等腰三角形，再由可根据等腰三角形的三线合一的定义可知为等腰的中垂线，从而进一步求得，，利用角度的和差关系得出，通过“”证明，从而最终得出；②通过角平分线的定义及①问中得出的结论可推导出，设，则，通过三角形内角和定理列出关于α的方程求得α的值，进一步推导出是等边三角形．设，则，再利用已知的条件可得出，，进一步推导出四边形为正方形，从而求得相关线段的表达式并进行构造，最终得出； （2）根据角平分线的定义得出，利用“”证得，得出及，此时分情况讨论：①当时，②当时，根据不同的情况作出对应的辅助线并根据不同的情况假设关键线段的长度，通过计算推导最终求得的结果． 【详解】（1）解：①， 证明：如图，过点A作交于点H， 由题意知，， ∴为等腰三角形， ∵， ∴为等腰的中垂线， ∴，， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． ②， 证明：如图，由①知，， 又∵平分， ∴， ∴， 设， 在等腰中，， ∵， ∴， ∴， 由等腰可知，根据三角形内角和定理得：， 解得， ∴， 即是等边三角形． 设，则， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 则， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， 则， ∴， 即． （2）解：∵，平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ①如图，当时，，， ∴，， ∴， 过点E作交于点N，过E作交的延长线于点M，过点A作交于点H， 设， ∴，则， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵，即， ∴； ②如图，当时，， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 综上所述，的值为或1． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形、矩形、正方形的判定与性质，等腰三角形三线合一及平行线的性质等知识点. $专题01 多边形与平行四边形 题型1 多边形（常考点） 题型5 添一个条件成为平行四边形（常考点） 题型2 利用平行四边形的性质求解（重点） 题型6 利用平行四边形的判定与性质求解（重点） 题型3 利用平行四边形的性质证明（重点） 题型7 利用平行四边形性质和判定证明（重点） 题型4 判断能否构成平行四边形（常考点） 题型8 平行四边形性质和判定的应用（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 多边形（共8小题） 1．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如果一个边形的内角和为，那么的值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（24-25八年级下·上海闵行·期中）如果一个多边形的边数增加1，那么它的内角和将增加（   ）． A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·上海宝山·期中）在一个凸多边形中，它的内角中最多有个锐角，则为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（24-25八年级下·上海·期中）从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个九边形分割成的三角形个数是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·上海闵行·期中）如果一个多边形的边数由4增加到n（n为整数，且），那么它的外角和的度数（    ） A．不变 B．增加 C．减少 D．不能确定 6．（22-23八年级下·上海宝山·期中）一个多边形的所有内角中，锐角最多可能有______个． 7．（24-25八年级下·上海金山·期中）一个多边形从一个顶点出发有5条对角线，那么这个多边形共有________条对角线． 8．（23-24八年级下·上海闵行·期中）如果从一个边形的一个顶点出发，最多能引出7条对角线，那么这个边形的内角和是___________． 题型二 利用平行四边形的性质求解（共7小题） 9．（24-25八年级下·上海·期中）已知平行四边形的一条边长为14，下列各组数中，能分别作它的两条对角线长的是（   ） A．10与16 B．12与16 C．20与22 D．10与18 10．（24-25八年级下·上海·期中）如图，平行四边形中，两对角线交于点，，，，则对角线的长为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级下·上海·期中）在中，若，则∠D为______度． 12．（24-25八年级下·上海静安·期中）在平行四边形中，是的2倍， 那么_________． 13．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在中，，，，点在边上，过点作于，交边于点，将沿直线翻折，点、分别与点、对应，如果四边形是平行四边形，那么的长是________． 14．（24-25八年级下·上海·期中）如图，已知平行四边形的对角线、交于点，，，且的周长为19，则的长为_____． 15．（24-25八年级下·上海崇明·期中）如图，在平行四边形中，已知对角线与相交于点O，． (1)求的长； (2)求的面积． 题型三 利用平行四边形的性质证明（共4小题） 16．（23-24八年级下·上海·期中）如图，已知在中，，求证：． 17．（24-25八年级下·上海宝山·期中）已知：如图，、是平行四边形对角线上的两个点，且．求证：． 18．（24-25八年级下·上海松江·期中）已知，点为对角线的中点，过点分别作直线，，直线交边、于点、，直线交边、于点、．求证：四边形为平行四边形． 19．（24-25八年级下·上海·期中）如图已知点是平行四边形对角线上的一点，连结，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，，当，求的长． 题型四 判断能否构成平行四边形（共3小题） 20．（22-23八年级下·上海宝山·期中）点A、B、C、D在一个平面内，若从①；②；③；④．这四个条件中选两个，但不能推导出四边形是平行四边形的选项是（　　） A．①② B．①④ C．②④ D．①③ 21．（23-24八年级下·上海金山·期中）如图，在四边形中，对角线和相交于点O．下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 22．（23-24八年级下·上海·期中）下列说法：（1）多边形边数增加条时，它的内角和增加；（2）在四边形中，对角线AC，BD交于点O，，，那么这个四边形是平行四边形；（3）三角形的外角和小于其它多边形的外角和；（4）边形共有条对角线；（5）四边形的四个内角至少有一个角不小于直角．其中正确说法的个数是（    ） A． B． C． D． 题型五 添一个条件成为平行四边形（共3小题） 23．（24-25八年级下·上海静安·期中）在四边形中，已知，再添加一个条件还不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 24．（24-25八年级下·上海宝山·期中）如图在四边形中，若已知，再添加下列条件之一，能使四边形成为平行四边形的条件是（　　） A． B． C． D． 25．（24-25八年级下·上海崇明·期中）如图，在四边形中，E是边的中点，联结并延长交的延长线于点F，如果，那么再添加以下一个条件使得四边形是平行四边形，请选出正确的是（   ） A． B． C． D． 题型六 利用平行四边形的判定与性质求解（共3小题） 26．（24-25八年级下·上海·期中）梯形的上下底分别为3和7，一腰长为6，则另一腰长的取值范围是_____． 27．（24-25八年级下·上海·期中）已知：如图，沿射线平移后得，，若的面积为S，则四边形的面积为_______．（用含S的代数式表示） 28．（22-23八年级下·上海杨浦·期中）如图，已知平行四边形的对角线相交于点交边于点，若的周长为15厘米，则平行四边形的周长为_________厘米．    题型七 利用平行四边形性质和判定证明（共7小题） 29．（24-25八年级下·上海·期中）如图，是平行四边形的对角线，点、在上，要使四边形是平行四边形，还需要增加的一个条件是________（只要填写一种情况）． 30．（24-25八年级下·上海长宁·期中）如图，平行四边形ABCD中，∠BAD=120°，E、F分别在CD和BC的延长线上，，EF⊥BC，，则AB的长是______． 31．（24-25八年级下·上海静安·期中）已知： 如图， 在中，点D、E、F分别为上的点，，且，延长到点 G，使． 求证：互相平分． 32．（23-24八年级下·上海崇明·期中）已知：如图，在平行四边形中，的平行线分别交、的延长线于点、，交、于点、，求证：．    33．（24-25八年级下·上海徐汇·期中）如图，已知、分别为▱的对边、上的点，且，于，于，交于点，求证：与互相平分． 34．（23-24八年级下·上海·期中）如图，已知ABCD中，AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的角平分线．求证：AE=CF． 35．（23-24八年级下·上海青浦·期中）已知：如图，在四边形中，，对角线、相交于点，在边的延长线上，且，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，求证：． 题型八 平行四边形性质和判定的应用（共5小题） 36．（23-24八年级下·上海·期中）如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（   ） A．2s B．s C．4s D．5s 37．（24-25八年级下·上海静安·期中）如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 38．（2025·八年级下·上海·期中）问题探究 （1）如图1，在四边形中，点在直线上，且，求作，使得点，在直线上，边，，分别经过点，，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的值； 问题解决 （2）如图2，某市郊野公园现有一块四边形草坪，顶点，，，处均有一棵荔枝古树，点处有一座八角观景亭，园林管理部门准备扩建草坪，想使草坪面积扩大一倍，又想保持棵荔枝古树、八角观景亭在草坪边不动，并要求扩建后的草坪成平行四边形的形状．请问能否实现这一设想？若能，请你设计出所要画的图形；若不能，请说明理由． 39．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）数学实践小组开展测量篮球架篮板的高度的实践活动．测量方案如下表： 课题 测量篮球架篮板的高度 测量 工具竹竿、测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）将竹竿垂直固定在地面上，从竹竿上的F点处观察篮板底部点B； （2）测量视线与竹竿的夹角，； （3）将观察点沿着竹竿向上移动到点G，测量从点G观察篮板顶部点A的视线与竹竿的夹角； （4）测量的长 测量数据 根据以上测量方案和数据求篮球架篮板的高度． 40．（24-25八年级·上海宝山·期中）如图，在四边形中，，以点A为圆心，的长为半径作弧分别交边，边于点F，E，（点E，F都不与边的端点重合）． (1)如图，当， ①探索和的数量关系并证明你的结论； ②若平分，求证：是等边三角形并直接写出此时线段，，之间的数量关系． (2)连接，当平分时，若是以为腰的等腰三角形，求的值． $