2026年中考数学压轴几何模型 专题9 倍长中线模型

专题9 倍长中线模型 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 本专题从知识精讲、典例分析、课堂随练、巩固提高四个部分展开，循序渐进，层层剖析倍长中线模型的重难点，内容详实丰富，供大家学习使用，欢迎下载。 知识精讲 【常见模型及证法】 1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线. 证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE. 若连结BE，则；若连结EC，则； 2、中点型:如图2，为的中点. 证明思路：若延长至点，使得，连结，则; 若延长至点，使得，连结，则. 3、 中点+平行线型：如图3, ，点为线段的中点. 证明思路：延长交于点 (或交延长线于点)，则. 【倍长中线型辅助线】 倍长中线型辅助线一般跟中点相关，与中点相关的辅助线大体分成三大类：倍长中线、直角三角形斜边中线、中位线.，此种模型的本质都是构造“8字型”全等，主要分成三类处理方法： （1）倍长中线型——这里的中线指的是标准的三角形的中线，具体模型如下： 已知：点D为AC边的中点 作法：延长BD至E，使得DE=BD，连结AE. （2） 倍长过中点的任意线段型——这里只需要出现中点即可构造，具体模型如下： 已知：点D为AC边的中点 作法：延长FD至E，使得DE=DF，连结AE. （3） 平行线构造“8字型”——中点不是三角形的边的中点，具体模型如下： 已知：点E为DF的中点 作法：过点D作DM//AF，交AC于点M. 另外，平行线构造“8字型”的模型还可以有以下两种类型： 典型例题 典例1.如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF． 【答案】证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD． 方法一：延长AD至点M，使DM=AD，连接BM， 在△ADC和△MDB中， ， ∴△ADC≌△MDB（SAS）， ∴∠M=∠MAC，BM=AC， ∵EA=EF， ∴∠CAM=∠AFE，而∠AFE=∠BFM， ∴∠M=∠BFM， ∴BM=BF， ∴BF=AC． 方法二：延长AD至点M，使MD=FD，连接MC， 在△BDF和△CDM中， ， ∴△BDF≌△CDM（SAS）． ∴MC=BF，∠M=∠BFM． ∵EA=EF， ∴∠EAF=∠EFA， ∵∠AFE=∠BFM， ∴∠M=∠MAC， ∴AC=MC， ∴BF=AC. 【精准解析】有两种解法：①延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，则可证△BDF≌△CDM（SAS），可得MC=BF，∠M=∠BFM，再得∠M=∠MAC，得AC=MC=BF．②延长AD至点M，使DM=AD，连接BM，可证△ADC≌△MDB（SAS），方法与①相同． 典例2.如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=AC+AF． 【答案】证明：延长FE至Q，使EQ=EF，连接CQ， ∵E为BC边的中点， ∴BE=CE， ∵在△BEF和△CEQ中， ， ∴△BEF≌△CEQ， ∴BF=CQ，∠BFE=∠Q， ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD=∠BAD， ∵EF∥AD， ∴∠CAD=∠G，∠BAD=∠GFA， ∴∠G=∠GFA， ∴∠GFA=∠BFE，AG=AF， ∵∠BFE=∠Q（已证）， ∴∠G=∠Q， ∴CQ=CG， ∵CQ=BF， ∴BF=CG=AG+AC=AF+AC． 【精准解析】延长FE至Q，使EQ=EF，连接CQ，根据SAS证△BEF≌△CEQ，推出BF=CQ，∠BFE=∠Q，根据平行线性质和角平分线性质推出∠G=∠GFA=∠BFE，推出∠G=∠Q，推出CQ=CG即可． 课堂随练 练1.已知：如图，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF=AC．求证：AE平分∠BAC． 【答案】证明：如图，延长FE到G，使EG=EF，连接CG． 在△DEF和△CEG中， ∵， ∴△DEF≌△CEG． ∴DF=GC，∠DFE=∠G． ∵DF∥AB， ∴∠DFE=∠BAE． ∵DF=AC， ∴GC=AC． ∴∠G=∠CAE． ∴∠BAE=∠CAE，即AE平分∠BAC． 【解析】延长FE到G，使EG=EF．连接CG，由于已知条件通过SAS证得△DEF≌△CEG得到DF=GC，∠DFE=∠G，由平行线的性质和已知条件得到∠G=∠CAE，故有∠BAE=∠CAE，结论可得． 《小结》 当题目中出现中点，而没有合适的中线可以倍长时，也可以考虑倍长过中点的任意一条线段，构造“8字型”全等. 练2.如图，△ABC中，AB=AC，D在AB上，F在AC的延长线上，且BD=CF，连接DE交BC于E．求证：DE=EF． 【答案】证明：过D点作AF的平行线交BC于G点， ∴∠ECF=∠DGE， ∴∠DGB=∠ACB ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∴∠ABC=∠DGB， ∴DG=BD， ∵BD=CF， ∴DG=CF． 由∠ECF=∠DGE，∠DEG=∠CEF，DG=CF可得△DGE≌△FCE（AAS）， ∴DE=EF． 【精准解析】过D点作AF的平行线交BC于G点，利用等腰三角形的性质和平行线的性质，求证△DGE≌△FCE即可. 巩固提高 1．如图，与均为直角三角形，且，，，点是的中点，则的长为 ． 2．【问题背景】“转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图形全等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上，建立数量关系是处理问题的重要手段． 【问题探究】 （1）如图1，在中，平分交于点，，点在边上，且，连接，试说明：． 【综合研究】 （2）2025年是国家安全法颁布施行十周年，在第十个全民国家安全教育日来临之际，某校组织了一次推动人工智能技术与国家安全深度融合的校园活动，如图2是活动场地平面示意图，在中，米，校学生会在边、上分别取点、，使得点为的中点，于点，在线段上找点，使得米，为等腰直角三角形，，并沿其三条边搭建安全文化宣传长廊（宽度不计），其他区域规划为展示区．为了预算，需要知道的长，请你帮助校学生会计算出的长． 3．如图，是的中线，是的中线，且，求证：． 4．初二某班开展数学综合与实践活动，遇到了如下几个问题： 问题1：在中，，是中点，证明：． 老师给学生们提示解这类问题的思路：条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑“倍长”中线，或通过引平行线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （1）请利用以上思路完成该证明． 问题2：有这样一个数学故事，从前，一群海盗用船装着他们抢来的财物，来到一个荒岛上，要把这些财物埋下．因为怕时间久了会被人发现，所以他们来不及画标记位置的藏宝图了．但海盗们发现，岛上有三棵树，，，海盗头对一个水手说：“从到拉一根绳子，然后从出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度．这一点叫做1号地点．“海盗头又对另一个水手说：”从到拉一根绳子，然后从出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度．这一点叫做2号地点．”第二个水手也这样做了．等水手找到1号、2号地点的时候，海盗头便下令说：“伙计们，我们把财宝埋在这两点的正当中吧！”海盗们把财宝埋好了，上船走了． （2）设1号地点为点，2号地点为点，埋藏财宝的地点为点，连接、、，判断的形状，并证明． （3）过了几个月，其中一个水手想利用这笔财宝救助难民，于是就偷偷回到岛上．可树被台风刮走了，没有留下一点儿痕迹，只有另外两棵树、还在，水手非常懊恼．请你利用作图的方式，帮助他找到藏宝的地点，并简要说明理由． 5．（1）如图①，在中，是的中点，过点作直线，使，交的延长线于点，求证：．请结合图①写出完整的证明过程． （2）如图②，，，，连接、，是的中点，延长交于点，，，则的面积为________． 6．定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． (1)如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为____________； (2)如图3，当，时，则长为____________； (3)在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 7．如图，在中，，是的平分线，是边上的中线．用反证法说明点M与点D不重合． 8．如图1，已知是等边三角形，点在内部，连接，，在的右侧构造等边三角形，连接． (1)求证：； (2)如图2，当，，三点共线时，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，取中点，连接，，试判断与之间的数量关系并证明． 9．【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．此方法在解决几何问题中有着广泛的应用． 【解决问题】某数学学习小组拟采用上述方法解决以下问题： (1)如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接，可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，再利用三角形的三边关系，即可求出中线的取值范围． 请你直接写出的取值范围：______； (2)如图2，，点D为的中点，，，求； (3)如图3，在和中，，，．连接，，点F是的中点，连接并延长，与相交于点G．请猜想和的数量关系并说明理由． 10．综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，点是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接．根据小明的方法思考：请补充完整证明“”的推理过程． （1）求证：； 证明：点是的中点，， 在和中， （______）（依据）． （2）由“三角形的三边关系”，则的取值范围是_____；的取值范围是_____； 【解后反思】题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【初步运用】 （3）如图2，是的中线，交于点，交于，，若，，求线段的长度． 11．如图，在中，是边上的中线，，，求的取值范围．小东想到用倍长中线的方法．请根据他的想法和思路，完成以下填空． 解：如图，延长至E，使，连接． ∵为边上的中线， ∴① ， 在和中， ② ， ， ． ∴（③ ）， ∴， ∵，， ∴④ ∴的取值范围是：⑤ 12．如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，则的长为 13．如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是 ． 14．【基础探究】（ 1）如图1，平分，，是等腰三角形吗？为什么？ 【形成经验】当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形． 【经验应用】（ 2）如图2，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】（ 3）如图3，在四边形中，，为的中点，且平分，请直接写出线段、和之间的数量关系． 15．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围． (1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是 (2)由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，试说明：； (3)如图3，是的中线，过点分别向外作，使得，判断线段与的关系，并说明理由． 16．在中，，则的中线取值范围是 ． 17．在中，是边上的中线，若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 18．【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题： 如图，在中，，求出边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用二角形的三边关系可得AE的取值范围，从而得到AD的取值范围： 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形， 把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 解：________ 19．阅读下面材料，并按要求完成相应的任务． 三角形中位线定理的证明如图1，在中，点D，E分别是，的中点，连接，像这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．求证：，且． 证明：如图2，延长到点F，使，连接． ∵点D，E分别是，的中点，∴，．又∵， ∴四边形是平行四边形．（依据1） ∴，．∴，． ∴四边形是平行四边形．（依据2） ∴，．又∵，∴． 归纳总结：上述证明过程运用了“倍长线段法”，也有人称为“倍长法”（延长三角形中位线的一倍），该方法是解决初中数学几何题的一种常用方法． 任务： (1)上述材料证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：______； 依据2：______． (2)数学学习小组的同学发现可以用“倍长线段法”证明定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．请你尝试证明． 如图3，在中，，点E为边的中点．求证：． (3)如图4，四边形和四边形都是正方形，点M是的中点．若，则的长为______． 20．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明．“∴”的推理过程． （1）求证：∴； 证明：∵延长到点，使， 在和中（已作）， （______）， （中点定义）， ∴（______）， （2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围； （3）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【巩固提高参考答案】 1．/ 【分析】本题考查全等三角形性质和判定、勾股定理，平行线的判定（垂直于同一直线的两直线平行）等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 通过延长线构造全等三角形，得出的长度，结合勾股定理先求出的长度，再求出的长度，即可得出答案． 【详解】解：延长交的延长线于点，如下图所示： ∵， ∴， ∴， 又∵点为中点， ∴， ∵， ∴, ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（1）见解析；（2）米． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质、角平分线的性质等，熟练掌握一线三等角的全等模型和倍长中线的全等模型是解题的关键． （1）先证明，得出，从而证得，所以，即可得出结论； （2）过点作，交的延长线于点，根据等腰的性质证明，再根据倍长中线证明，最后通过等量代换求解即可． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）过点作，交的延长线于点，如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵米， ∴（米）， ∴米， ∵米， ∴（米）． 3．证明见详解 【分析】本题考查了三角形中线性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及平行线的判定与性质；解题的关键是通过中线倍长法构造全等三角形，利用等腰三角形和平行线的性质推导角与边的关系，从而证明线段倍分关系．先构造倍长中线，再证得；得到对应角相等，对应边相等，推导出，证得，转化线段关系，即可得到． 【详解】 延长至点，使得，连接 ∵是中线，是中线 ∴， ∵在和中 ∴ ∴ 又∵ ∴，， ∵， ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（同旁内角互补） ∵， ∴（等边对等角） ∴ ∵ 点共线（是的中线）， ∴（平角定义） ∴ ∵在和中 ∴ ∴ 又∵ ∴ 4．（1）见解析；（2）为等腰直角三角形，见解析；（3）作图步骤：连接，作且，取中点，即为藏宝地点． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和等腰三角形的三线合一性质，利用中点模型构造全等三角形是解题关键． （1）过点C作，交延长线于点D，容易证明，由此得出，，进而可证明，即可得出，由此证明； （2）过点作，交延长线于点，连接，同理可以证明，进而可得，，再利用五边形内角和为，结合，，可得，而，由此证明，进而可得，得出，，由可得是等腰直角三角形，再由是中点得出，即可得出为等腰直角三角形． （3）构造同（2）的是等腰直角三角形，取的中点即可． 【详解】（1）如图，过点C作，交延长线于点D， ∴， ， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴．， 　（2）为等腰直角三角形， 理由如下： 过点作，交延长线于点，连接 ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵五边形内角和为，即：， ，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． （3）如图：连接，过点B作，且，取中点，即为藏宝地点， 由作法可知：是等腰直角三角形， 由（2）可知：藏宝地点是的中点． 5．（1）见解析；（2）8 【分析】（1）证明，即可解答； （2）过点A作，交的延长线于点G，证明，可得，从而得到，，，再结合，可得到，可证明，可得，，从而得到，进而得到，然后三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过点A作，交的延长线于点G， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的面积，利用倍长中线模型构造全等三角形转化线段关系是解题关键． 6．(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和中线倍长的辅助线作法是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质，得到，证得是顶角为的等腰三角形，由等腰三角形三线合一得到，即可求解． （2）证，得到，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． （3）结论，延长到点M，使得，连接，，先证四边形是平行四边形，得到，，再由，得到，即，可证，即可求解． 【详解】（1）解：为等边三角形， ， ，， ， ， 又是的中线， ， ， ． （2）解：，， ， 又， ， ， 是斜边上的中线， ． （3）解：结论，， 证明：如图，延长到点M，使得，连接，， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 又， ， ， ． 7．见解析 【分析】本题考查反证法的应用，三角形的重要线段，全等三角形的判定和性质， 掌握倍长中线法是解题关键． 先假设重合，将中线延长到点N，使得，易证得，则有，．结合是的平分线，判断出，这与题意矛盾，说明假设不成立． 【详解】证明：假设点M与点D重合．延长到N，使，连接． ∵是边上的中线． ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是的平分线，点M与点D重合， ∴， ∴， ∴，这与题干相矛盾． ∴假设不成立， ∴点M与点D不重合． 8．(1)证明见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，找出等量条件证明三角形全等以及准确添加辅助线是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，求证即可； （2）由（1）中全等，得出，结合角度计算即可； （3）首先根据中点的性质，准确添加辅助线，属于倍长中线模型，即可得，结合前两问中的等量关系，证明出，故可得，即可证出． 【详解】（1）解：∵与均为等边三角形， ∴，，且， ∵，， ∴，结合，， ∴， ∴． （2）解：若，，三点共线， 则 由（1）中， ∴， ∵，， ∴． （3）解，延长至点，使得，连接，如下图所示： ∵点为中点， ∴，又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∵为等边三角形， ∴， 由（1）中， ∴，结合，， ∴， ∴，∵， ∴． 9．(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，平行线的判定和性质，三角形三边关系，同角的补角相等，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）根据三角形三边关系进行作答，即可求解； （2）如图2，延长交的延长线于H，根据中点得，证得，求得，证得为线段的垂直平分线，然后即可求解； （3）延长至点H，使，连接，先证得，得，，再根据平行线的性质证得，再证，然后即可求解； 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：如图2，延长交的延长线于H， ， ∵， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为线段的垂直平分线， ∴； （3）解：； 理由如下：延长至点H，使，连接，如图： ， ∵F是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 10．（1）， （2）， （3） 【分析】（1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）由（1）知，得到，根据三角形的三边关系可计算，而，从而可得的取值范围； （3）延长到，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质结合等腰三角形的性质可知，即可得出答案． 【详解】解：（1）点是的中点， ， 在和中， ， （依据）， 故答案为：，； （2）由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ， ， ， 故答案为：，； （3）延长到，使，连接，如图所示： 是中线， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了倍长中线的辅助线，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，等腰三角形性质和判定，掌握相关知识是解题的关键． 11．；；；；；； 【分析】本题考查了中线的定义，全等三角形的判定方法，三角形三边关系． 根据中线的定义，全等三角形的判定方法，三角形三边关系补全求解过程即可． 【详解】解：如图，延长至E，使，连接． ∵为边上的中线， ∴①， 在和中， ②，，． ∴（③）， ∴， ∵，， ∴④ ∴的取值范围是：⑤ 故答案为：；；；；；；． 12． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等角对等边，解题的关键是熟练掌握以上性质． 延长，使，连接，证明，得到，根据等角对等边得出，然后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】解：如图，延长，使，连接， ∵为边的中线， ∴, 在和中， ， ， ，即， 又， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 13． 【分析】此题考查了三角形的三边关系以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．延长至E，使，连接，易证得，可求得的长，证得，然后由三角形三边关系，求得答案． 【详解】解：如图，延长至E，使，连接， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ∵，， ∵， ∴ ∴， 的取值范围是：． 故答案为：． 14．（1）是，理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，以及全等三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的判定，平行线的性质是解题的关键． （1）由角平分线可得，由平行线的性质得，，从而，进而可证是等腰三角形； （2）同理（1）分别证明和，从而可证； （3）延长、交于点F．先根据等角对等边证明，再根据证明得，进而可证． 【详解】解：（1）是等腰三角形，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2），理由： 如图， ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3），理由： 如图，延长、交于点F． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 15．(1)AD (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）延长到点F，使得，连接．证明，得出，得出，得出，即可证明结论． （3）延长，使，连接，证明，得出，，证明，得出，即可证明结论． 【详解】（1）解：如图1，延长到点，使， ∵是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ； （2）证明：如图，延长到点F，使得，连接． ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴， ，， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：；理由如下： 如图，延长，使，连接， ∵为边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 16． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边不等关系，证明三角形全等是解题的关键．延长到F，使，连接，则易证明，有；利用三角形三边不等关系得，由此即可求得中线取值范围． 【详解】解：如图，延长到F，使，连接， 则； ∵为的中线， ∴； ∵， ∴， ∴； 在中，由三角形三边不等关系得， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 17．B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 延长至点，使，利用证明，得，再利用三角形三边关系可得答案． 【详解】解：延长至点，使，则，   为边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ∵ ∴，即， ∴． 故选：B． 18． 【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键；延长到，使得，连接，根据题意证明，可知，在中，根据，即可； 【详解】（1）解：如图，延长到，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∴． 19．(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 (2)见解析 (3)2 【分析】（1）由平行四边形的判定定理可得出答案； （2）延长到点F．使．连接，．证明四边形是平行四边形． 从而可证得四边形是矩形，由矩形的性质得到，继而可得出结论． （3）延长到点N，使，连接，．证明四边形是平行四边形．得到，．从而有．再证明，得出，继而可求解． 【详解】（1）解：对角线互相平分的四边形是平行四边形， 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． （2）证明：如图，延长到点F．使．连接，． ∵点E为的中点． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形． ∴． ∵． ∴． ∴． （3）解：如图，延长到点N，使，连接，． ∵点M是的中点， ∴． 又∵． ∴四边形是平行四边形． ∴，． ∴． ∵四边形和四边形都是正方形 ∴，．． ∴，． ∴． ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形中位线定理的证明，直角三角形斜边 中线等于斜边的一半性质的证明，全等三角形的判定与性质． 本题是四边形综合题，熟练掌握“倍长线段法”是解题的关键． 20．（1）对顶角相等，；（2）；（3） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系及垂直平分线的判定和性质，解题的关键是作辅助线． （1）根据题干已知可得； （2）根据全等三角形性质得，利用三角形三边关系即可求得答案； （3）延长交于点，证明，根据全等性质得，，利用得垂直平分，即可求得答案． 【详解】证明：（1）∵延长到点，使， 在和中，（已作）， （对顶角相等）， （中点定义）， ∴， 故答案为：对顶角相等，； （2）∵， ∴， ∴， 则， 故， 即； （3）延长交的延长线于点，如图； ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，； 又∵， ∴垂直平分， ∴． 第 2 页 共 19 页 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $