9.专题9 常见三角形相似模型-【中考导学案】2026年湖北武汉中考数学讲义本配套课件

该初中数学中考复习课件系统梳理了三角形相似五大核心模型（A字型、母子型、8字型、手拉手旋转型、一线三等角型），对接中考说明明确相似判定与性质的考查要求，分析各模型在中考中的权重，归纳证明相似、计算线段比等常考题型，体现备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“模型解读+真题改编+技巧指导”模式，如2018武汉中考题通过一线三垂直模型构造辅助线，培养学生几何直观与推理能力。针对母子型射影定理应用等考点，提供相似证明与计算的突破方法，帮助学生掌握答题技巧提高得分率，教师可依此开展系统复习，助力学生中考冲刺。

专题9　常见三角形相似模型 《中考导学案》 2026武汉数学 1 目 录 2 3 1 2 考法示例 精题精练 2 考点综述 01 考法示例 3 有一个公共角或有公共顶点的一对等角，此时需要找另一对角相等.若题中未明确相似三角形对应顶点，则需要分类讨论. 正A字型(DE∥BC) 斜交型　 双垂直共角型 已知：∠1＝∠2，结论：△ADE∽△ABC. 模型一 A字型 模 型 读 解 首页 目录 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 考法示例 精题精练 4 例1 问题背景：(1)如图1，在四边形ABDC中，点F，E，G分别在AB，AD，AC上，EF∥BD，EG∥CD，求证：； 图1　 证明：∵EF∥BD，EG∥CD， ∴△AFE∽△ABD，△AEG∽△ADC. ∴.∴. 首页 目录 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 考法示例 精题精练 5 尝试应用：(2)如图2，AM是△ABC的中线，点E在AM上，直线BE交AC于点G，直线CE交AB于点F，若，求的值. 解：图2中，延长EM至点D，使得MD＝EM， 连接DB，DC. ∵AM是△ABC的中线，∴MB＝MC. ∴四边形BECD是平行四边形. ∴BD＝EC，EF∥BD，BE＝DC，EG∥DC. 由(1)得，∴.∴. 图2 首页 目录 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 考法示例 精题精练 6 有一个公共角，又已知一对角相等，可以得到两个三角形相似.反之，当题目中给出三角形边的乘积或比例关系时，也能判断题中的相似三角形. 母子型，也称共边共角型 双垂直共角共线型，也称射影定理型 　　已知：∠ACD＝∠ABC，结论：△ACD∽△ABC，AC2＝AD·AB. 模型二 母子型 模 型 读 解 首页 目录 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 考法示例 精题精练 7 例2 在△ABC中，P为边AB上一点. (1)如图1，若∠ACP＝∠B，求证：AC2＝AP·AB； 图1 证明：∵∠ACP＝∠B，∠BAC＝∠CAP， ∴△ACP∽△ABC.∴AC∶AB＝AP∶AC.∴AC2＝AP·AB. 首页 目录 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 考法示例 精题精练 8 (2)如图2，若M为CP的中点，AC＝2，∠PBM＝ ∠ACP，AB＝3，求BP的长. 解：如图，过点C作CQ∥BM交AB的延长线于点Q. 设BP＝x，则PB＝BQ＝x， ∴AP＝3－x，AQ＝3＋x. ∵∠PBM＝∠ACP＝∠AQC，∠PAC＝∠CAQ， ∴△APC∽△ACQ. 由AC2＝AP·AQ，得22＝(3－x)(3＋x)， ∴x＝，即BP＝. 　图2 首页 目录 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 考法示例 精题精练 9 模型三 8字型 有一组隐含的等角(对顶角)，需要从已知条件、图中隐含条件或通过证明得到另一对角相等.若题中未明确指出相似三角形对应顶点，则需要分类讨论. AB∥CD正8字型　　∠A＝∠C或∠B＝∠D斜8字型 模 型 读 解 首页 目录 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 考法示例 精题精练 10 例3 (2025·南通改编) 如图，在矩形ABCD中， 对角线AC，BD相交于点O，M是BC的中点， DM交AC于点G.求证：CG＝2OG. 证明：连接OM.∵四边形ABCD是矩形， ∴OB＝OD. 又∵M是BC的中点，∴OM∥CD且OM＝CD. ∴△OMG∽△CDG.∴＝2.∴CG＝2OG. 首页 目录 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 考法示例 精题精练 11 练习1　如图，在四边形ABCD中，AC，BD交 于点E，∠BAE＝∠CDE，求证：∠CBE＝ ∠DAE. 证明：∵∠BAE＝∠CDE，∠AEB＝∠DEC，∴△ABE∽△DCE. ∴.∴. 又∵∠AED＝∠BEC，∴△AED∽△BEC.∴∠CBE＝∠DAE. 首页 目录 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 考法示例 精题精练 12 模型四 “手拉手”旋转型 根据两组对应边之比始终相等，以及旋转角相等得到两个三角形相似.该模型对考生的综合能力要求较高，考查知识点有相似、旋转、勾股定理、锐角三角函数等. 模 型 读 解 结论：△ABD∽△ACE. 首页 目录 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 考法示例 精题精练 13 例4 (2020·武汉改编) 问题背景 (1)如图1，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE； 图1 证明：∵△ABC∽△ADE， ∴，∠BAC＝∠DAE. ∴，∠BAD＝∠CAE.∴△ABD∽△ACE. 首页 目录 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 考法示例 精题精练 14 (2)如图2，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，，求的值. 解：图2中，连接EC. ∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，∴△ABC∽△ADE. 由(1)知△ABD∽△ACE，∴， 首页 目录 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 考法示例 精题精练 15 ∠ACE＝∠ABD＝∠ADE＝30°. 在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴. ∴××＝3. ∵∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC， ∴△ADF∽△ECF.∴＝3. 图2 首页 目录 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 考法示例 精题精练 16 模型五 一线三等角型(K型) 1.点P在线段AB上(同侧型) 一线三等锐角　　　一线三垂直　　　一线三等钝角 已知：∠1＝∠2＝∠3，结论：△APC∽△BDP. 模 型 读 解 首页 目录 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 考法示例 精题精练 17 2.点P在线段AB的延长线上(异侧型) 一线三等锐角　　一线三垂直　　一线三等钝角 已知：∠1＝∠2＝∠3，结论：△APC∽△BDP. 首页 目录 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 考法示例 精题精练 18 例5 (2018·武汉) 在△ABC中，∠ABC＝90°. (1)如图1，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M，N，求证：△ABM∽△BCN； 图1 证明：∵AM⊥MN，CN⊥MN，∴∠AMB＝∠BNC＝90°，∠BAM＋∠ABM＝90°. ∵∠ABC＝90°，∴∠ABM＋∠CBN＝90°. ∴∠BAM＝∠CBN.∴△ABM∽△BCN. 首页 目录 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 考法示例 精题精练 19 (2)如图2，P是边BC上一点，∠BAP＝∠C， tan∠PAC＝，求tan C的值； 图2 解：如图，过点P作PF⊥AP交AC于点F， 过点F作FQ⊥CP交BC于点Q. 在Rt△AFP中，tan∠PAC＝. 又∵△ABP∽△PQF， ∴，∠BAP＝∠FPQ. 首页 目录 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 考法示例 精题精练 20 ∴设AB＝y，PQ＝2y，BP＝x. ∵∠BAP＝∠C＝∠FPC，∠B＝∠B＝90°， ∴PQ＝QC＝2y.∴Rt△ABP∽Rt△CBA， ∴.∴AB2＝BP×BC.∴5y2＝x·(x＋4y). ∴x＝y或x＝－5y(舍去). ∴tan C＝tan∠BAP＝. 首页 目录 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 考法示例 精题精练 (3)如图3，D是边CA延长线上一点，AE＝AB， ∠DEB＝90°，sin∠BAC＝，直接 写出tan∠CEB的值. 图3 解：tan∠CEB＝. 首页 目录 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 考法示例 精题精练 22 考点综述 02 精题精练 23 1.如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°.若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为(　　) A.1.8 B.2.4 C.3 D.3.2 C 首页 目录 1 2 3 4 5 考法示例 精题精练 24 2.(2025·湖北节选) 在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C旋转得到△DEC，点A的对应点D落在边AB上，连接BE. (1)如图1，求证：△BCE∽△ACD； 证明：∵将△ABC绕点C旋转得到△DEC， 点A的对应点D落在边AB上， ∴AC＝CD，CB＝CE，∠BCE＝∠ACD. ∴. ∴△BCE∽△ACD. 首页 目录 1 2 3 4 5 考法示例 精题精练 25 (2)如图2，当BC＝2，AC＝1时，求BE的长. 解：∵BC＝2，AC＝1，∠ACB＝90°， ∴CD＝AC＝1，AB＝， tan A＝＝2.图2中，过点D作DH⊥AC于点H， ∴tan A＝＝2.∴DH＝2AH. 首页 目录 1 2 3 4 5 考法示例 精题精练 在△CDH中，CH2＋DH2＝CD2，即(1－AH)2＋ (2AH)2＝12，解得AH＝或AH＝0(舍去). ∴DH＝. 在Rt△ADH中，AD＝AH＝. ∵△BCE∽△ACD，∴，即.∴BE＝. 首页 目录 1 2 3 4 5 考法示例 精题精练 3.如图，在△ABC中，AC＞AB，AD是角平分线，AE是中线.BF⊥AD于点G，交AE于点F，交AC于点M，EG的延长线交AB于点H. (1)求证：AH＝BH； 证明：∵BF⊥AD，∴∠ABG＋∠BAG＝90°， ∠AMG＋∠MAG＝90°. ∵AD是角平分线，∴∠BAG＝∠MAG. ∴∠ABG＝∠AMG.∴AB＝AM.∴BG＝MG. ∵BE＝EC，∴GE∥AC.∴.∴AH＝BH. 首页 目录 1 2 3 4 5 考法示例 精题精练 28 (2)若∠BAC＝60°，求的值. 解：延长EH到点P，使HP＝HG，连接AP和BP. ∵AH＝BH，∴四边形APBG是平行四边形. ∴AP＝BG，AP∥BG.∴.∴. 同理，.∴，∴. ∵∠BAC＝60°，AD是角平分线，∴∠BAG＝30°. 在Rt△ABG中，＝tan 30°＝，∴. 首页 目录 1 2 3 4 5 考法示例 精题精练 4.(2025·武汉节选) 如图，四边形ABCD是正方形，点E在边CD上，点F在边BC的延长线上，DE＝CF，射线AE交对角线BD于点G，交线段DF于点H. 首页 目录 1 2 3 4 5 考法示例 精题精练 30 (1)求证：DH＝GH；(温馨提示：若思考有困难，可尝试证明△ADE≌△DCF) 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADE＝∠DCF＝90°，AD＝DC. 又∵DE＝CF，∴△ADE≌△DCF(SAS). ∴∠DAE＝∠CDF.∵∠ADB＝∠CDB＝45°， ∴∠DAE＋∠ADB＝∠CDF＋∠CDB，即∠HGD＝∠HDG. ∴DH＝GH. 首页 目录 1 2 3 4 5 考法示例 精题精练 (2)求证：AG·EH＝EG·GH； 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABG＝∠EDG＝45°. 又∵∠AGB＝∠EGD，∴△AGB∽△EGD. ∴. ∵∠DAE＝∠CDF，∠AHD＝∠DHE， ∴△ADH∽△DEH.∴.∵AB＝AD，DH＝GH，∴. ∴AG·EH＝EG·GH. 首页 目录 1 2 3 4 5 考法示例 精题精练 5.(2023·武汉四调改编) 如图，E，F，H分别是正方形ABCD边CD，DA，BC上三点，连接BE，CF交于点G，连接AG，GH，CE＝DF. (1)判定BE与CF的位置关系，并证明你的结论； 解：BE⊥CF.证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°. 又∵CE＝DF，∴△BCE≌△CDF(SAS). ∴∠CBE＝∠DCF. ∴∠EGC＝∠CBE＋∠BCG＝∠DCF＋∠BCG＝ ∠BCD＝90°，即BE⊥CF. 首页 目录 1 2 3 4 5 考法示例 精题精练 33 (2)若CE＝CH，求证：∠BAG＝∠CHG. 证明：∵∠EGC＝∠ECB＝90°， ∴tan∠CBE＝. ∵CE＝CH，CB＝AB，∴. ∵∠GCB＋∠GBC＝∠GBA＋∠GBC＝90°， ∴∠GCB＝∠GBA. ∴△GCH∽△GBA.∴∠BAG＝∠CHG. 首页 目录 1 2 3 4 5 考法示例 精题精练 34 本讲内容结束 $