专题02 二元一次方程组的实际应用（专项训练）数学新教材浙教版七年级下册

专题02 二元一次方程组的实际应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、销售和利润问题（重点） 1 题型二、行程问题 4 题型三、分配问题（难点） 7 题型四、几何相关问题（重点） 11 题型五、方案问题（重点） 13 题型六、乘车、坐船、买票、分房间等问题（常考点） 18 题型七、年龄、数字等和差倍分问题 19 题型八、数学文化（重点） 21 B综合攻坚・能力跃升 题型一、销售和利润问题 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元．已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，则调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为（    ） A．50元、60元 B．44元、54元 C．40元、50元 D．45元、55元 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设调整前甲地该商品的销售单价为元，乙地该商品的销售单价为元，根据销售单价调整前甲地比乙地少元，调整后甲地比乙地少元，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设调整前甲地该商品的销售单价为元，乙地该商品的销售单价为元， 由题意得： 解得： 故调整前甲地该商品的销售单价为元，乙地该商品的销售单价为元． 故选：C． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）某班学生去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元．如果35名学生购票恰好用去750元，那么购买甲种票、乙种票的张数分别是（   ） A．17和18 B．20和15 C．18和17 D．15和20 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，准确审题，根据题目条件，找出合适的等量关系是解题的关键． 设甲、乙两种票各买张，张，根据“35名学生购票恰好用去了750元”，作为等量关系列方程组即可求解． 【详解】解：设甲种票买张，乙种票买张， 由题意，得：， 解得：． 所以设甲种票买20张，乙种票买15张． 故选：B ． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）庙会，又称“庙市”或“节场”，是中国传统民俗文化活动的重要组成部分．庙会上不仅有丰富多彩的文化活动，在市集上还有各类文创商品．已知2个绢布扇和3个手账本需花费90元；3个绢布扇和4个手账本需花费125元．则绢布扇的单价为______元，手账本的单价为______元． 【答案】 15 20 【分析】此题考查二元一次方程组的实际应用，通过设立二元一次方程组，利用消元法求解绢布扇和手账本的单价． 【详解】解：设绢布扇的单价为 元，手账本的单价为 元， 根据题意，得方程组： 解得 即绢布扇的单价为 15 元，手账本的单价为 20 元, 故答案为：15，20． 4．（24-25七年级下·福建漳州·期中）小月去买文具，打算买5支单价相同的签字笔和3本单价相同的笔记本，她与售货员的对话如图所示，那么购买一支签字笔和一本笔记本应付款________元． 小月：您好，我要买5支签字笔和3本笔记本． 售货员：好的，那你应付款52元． 小月：刚才我把两种文具的单价弄反了，以为要付款44元． 【答案】12 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设购买1支签字笔应付x元，1本笔记本应付y元，根据小月与售货员的对话信息列出二元一次方程组，求出即可． 【详解】解：设购买1支签字笔应付x元，1本笔记本应付y元， 根据题意，得， ，得， ∴， 答：购买一支签字笔和一本笔记本应付款12元， 故答案为：12． 5．（2026·湖南长沙·一模）为储备常用物资，某健身馆分三次采购运动毛巾和加厚款瑜伽垫，其中第二次采购时正赶上商场周年店庆，这两种商品同时按相同折扣促销，其余两次均按市场单价采购，三次采购的物品数量及总费用如下表． 采购批次 运动毛巾/条 瑜伽垫/个 总费用/元 第一次购物 5 6 400 第二次购物 7 6 396 第三次购物 4 3 230 (1)分别求出运动毛巾和加厚款瑜伽垫的市场单价； (2)求商场打折促销期间是打几折出售这两种商品的？ 【答案】(1)运动毛巾的市场单价为20元，加厚款瑜伽垫的市场单价为50元 (2)打9折 【分析】（1）设运动毛巾的市场单价为x元，加厚款瑜伽垫的市场单价为y元，列出方程组求出x和y的值； （2）设商场打折促销期间是打折出售这两种商品的，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设运动毛巾的市场单价为x元，加厚款瑜伽垫的市场单价为y元， 根据题意知第一、三次购物为原价，则， 解得：， 答：运动毛巾的市场单价为20元，加厚款瑜伽垫的市场单价为50元； （2）解：设商场打折促销期间是打折出售这两种商品的， 由题意得，， 解得：． 答：商场打折促销期间是打九折出售这两种商品的． 6．（25-26八年级上·河北张家口·期末）为迎接旅游旺季的到来，某商场准备购进一批纪念品进行销售．已知3件甲种纪念品和1件乙种纪念品的总进价为210元；2件甲种纪念品和3件乙种纪念品的总进价为280元．请列方程组解答下列各小题． (1)求甲、乙两种纪念品每件的进价分别为多少元？ (2)已知该商场同时购进甲、乙两种纪念品共25件，总进价恰好为1400元．若甲种纪念品每件的售价为70元，乙种纪念品每件的售价为100元，求商场销售完这25件纪念品共盈利多少元？ 【答案】(1)每件甲种纪念品的进价是50元，每件乙种纪念品的进价是60元 (2)商场销售完这25件纪念品共盈利800元 【分析】（1）设每件甲种纪念品的进价是x元，每件乙种纪念品的进价是y元，根据“3件甲种纪念品和1件乙种纪念品的总进价为210元；2件甲种纪念品和3件乙种纪念品的总进价为280元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该商场购进m件甲种纪念品，n件乙种纪念品，根据“该商场同时购进甲、乙两种纪念品共25件，总进价恰好为1400元”，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之可得出m，n的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：设每件甲种纪念品的进价是x元，每件乙种纪念品的进价是y元， 根据题意得， 解得． 答：每件甲种纪念品的进价是50元，每件乙种纪念品的进价是60元； （2）设该商场购进m件甲种纪念品，n件乙种纪念品， 根据题意得：， 解得：， ∴（元）． 答：商场销售完这25件纪念品共盈利800元． 题型二、行程问题 1．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）小明去距市区的旅游景点游玩，先乘汽车，后步行，全程共用了，已知汽车的速度为，步行的速度为，设小明乘汽车的路程和步行的路程分别为和，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，关键是根据相等关系列方程组；根据总路程和总时间的两个等量关系列方程组，核心是运用“时间=路程÷速度”的公式． 【详解】解：∵ 总路程为，乘车路程为，步行路程为， ∴ ， ∵ 总时间为，且时间=路程÷速度，汽车速度为，步行速度为， ∴ 乘车时间为，步行时间为， ∴ ， ∴方程组为， 故选：B． 2．（25-26七年级上·湖南娄底·期末）一艘轮船往返于、两港之间.顺水航行的速度是，逆水航行的速度是，则轮船在静水中的速度和水流速度分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用二元一次方程组解决流水行船问题，根据顺水速度、逆水速度与静水速度、水流速度的关系列出方程组，求解即可得出答案． 【详解】解：设轮船在静水中的速度为，水流速度为， ∵顺水速度静水速度水流速度，逆水速度静水速度水流速度 ∴根据题意列方程组得： 将两个方程相加得：， 解得。 把代入得：，解得。 ∴轮船在静水中的速度是，水流速度是。 故选：C 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）从甲地到乙地的路有一段上坡、一段平路与一段3km的下坡．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需90min，从乙地到甲地需102min．甲地到乙地的路程是_______km． 【答案】6.1 【分析】根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组． 设从甲地到乙地的上坡路为km，平路为km，根据保持上坡每小时走km，平路每小时走km，下坡每小时走km，那么从甲地到乙地用分钟，从乙地到甲地用分钟即可列出方程组然后解方程组，就可以求出甲地到乙地的全程． 【详解】解：设从甲地到乙地的上坡路为km，平路为km， 由题意得： 解得： 所以：千米 即甲地到乙地的全程是千米． 故答案为：. 4．（2025七年级下·全国·专题练习）A，B两地相距，甲骑电动车从A地出发到B地，与此同时，乙骑电动车从B地出发到A地，两人均保持匀速行驶．已知第两人相遇，又经过，甲剩余路程是乙剩余路程的8倍，则甲的骑行速度为______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲的骑行速度为，乙的骑行速度为，根据第10分钟两人相遇，又经过4分钟，甲剩余路程是乙剩余路程的8倍．列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设甲的骑行速度为，乙的骑行速度为， 依题意得：， 解得：， ∴甲的骑行速度为． 故答案为：． 5．（25-26七年级上·福建莆田·期末）李明和刘伟分别从两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发后两人相遇．相遇时李明比刘伟多行进，相遇后李明到达地． (1)两人每小时分别行进多少千米？ (2)相遇后经过多长时间刘伟到达地？ 【答案】(1)李明每小时行进16千米，刘伟每小时行进4千米 (2)相遇后经过刘伟到达A地 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用． （1）设李明每小时行进a千米，刘伟每小时行进b千米，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）根据路程速度时间解答即可． 【详解】（1）解：设李明每小时行进a千米，刘伟每小时行进b千米，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 答：李明每小时行进16千米，刘伟每小时行进4千米； （2）解：， 答：相遇后经过刘伟到达A地． 6．（25-26七年级上·湖南怀化·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走3步，接着B型机器人走4步，共需要秒；A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【答案】(1)A型机器人走一步需要1秒，B型机器人走一步需要秒 (2)完成这次接力的时间可能是39秒或38秒或37秒 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用．掌握二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用是解本题的关键． （1）设A型机器人走一步需要x秒，B型机器人走一步需要y秒，根据题意列方程组求解即可； （2）设A型机器人步数为m步，B型机器人步数为n步，根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况即可． 【详解】（1）解：设A型机器人走一步需要x秒，B型机器人走一步需要y秒． ， 解得， 答：A型机器人走一步需要1秒，B型机器人走一步需要秒． （2）解：设A型机器人步数为m步，B型机器人步数为n步． ， ， 均为正整数， 或或， ①秒， ②秒， ③秒， 答：完成这次接力的时间可能是39秒或38秒或37秒． 题型三、分配问题 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应如何分配工人才能使每天生产的螺栓和螺帽刚好配套？设生产螺栓x人，生产螺帽人，列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，难点在于理解第二个等量关系：若要保证配套，则生产的螺帽的数量是生产的螺栓数量的2倍，所以列方程的时候，应是螺栓数量的2倍=螺帽数量． 等量关系为：生产螺栓的工人数+生产螺帽的工人数=90；螺栓总数×2=螺帽总数，把相关数值代入即可． 【详解】解：设生产螺栓x人，生产螺帽人， 根据总人数可得方程； 根据生产的零件个数可得方程， 可得方程组：． 故选A． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）某家具生产厂生产某种配套桌椅（1张桌子配4把椅子），已知每块板材可制作桌子1张或椅子3把，现计划用140块这种板材生产一批桌椅（不考虑板材的损耗），生产出来的桌椅刚好配套．设用块板材制作桌子，用块板材制作椅子，则________． 【答案】60 【分析】本题考查二元一次方程组在配套问题中的应用，掌握根据配套比例建立数量关系，结合总资源数列方程的方法是解题的关键． 根据总板材数和桌椅配套关系列出二元一次方程组，通过代入法求解． 【详解】解：设用块板材制作桌子，块板材制作椅子， 由总板材数可得． 生产桌子张，椅子把，由于配套要求为张桌子配把椅子，故椅子数量是桌子数量的倍，即． 联立方程得： 解得： 故答案为：． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）小莉家用钢管做防盗窗，按设计要求，其中需要长为的钢管88根，长为的钢管36根（钢管的粗细均相同），并要求这些用料不能是焊接而成的．现钢材市场的这种规格的钢管每根都为． (1)试问一根6米长的钢管有哪些裁剪方法呢？请填写下空(余料作废)． 方法1：当只裁剪长为1.2米的用料时，最多可剪_____________根； 方法2：当先剪下1根2.3米的用料时，余下部分最多能剪1.2米长的用料_____________根； 方法3：当先剪下2根2.3米的用料时，余下部分最多能剪1.2米长的用料_____________根． (2)联合用（1）中的方法2和方法3各裁剪多少根6米长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料？ (3)小明经过探究发现：如果联合（1）中的二种裁剪方法，还有一种不同于（2）中的方案能刚好得到所需要的相应数量的材料，请写出这个裁剪方案，并说理理由． 【答案】(1)；；； (2)方法2剪28根，方法3剪4根； (3)方法1剪14根，方法3剪18根． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，根据题目中所给的信息合理列出方程是解题的关键． （1）由总数每份数份数解答即可； （2）设用方法2剪根，用方法3剪根，根据需要长为的钢管88根，长为的钢管36根列出方程运算即可； （3）设用方法1剪根，用方法3剪根，根据需要长为的钢管88根，长为的钢管36根列出方程运算即可． 【详解】（1）解：方法1：，最多可剪根； 方法2：，最多可剪根； 方法3：，最多可剪根； 故答案为：；；； （2）解：设用方法2剪根，用方法3剪根长的钢管才能刚好得到所需要的相应数量的材料， ∴， 解得：； ∴用方法2剪28根，方法3剪4根长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料； （3）解：设用方法1剪根，用方法3剪根长的钢管才能刚好得到所需要的相应数量的材料， ∴， 解得：； ∴用方法1剪14根，方法3剪18根长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料； 4．（24-25七年级下·福建泉州·月考）工作人员从仓库领取如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完． 次数 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） 第一次 560 940 第二次 420 1002 (1)下表是工作人员两次领取纸板数的记录： ①仓库管理员在核查时，发现一次记录有误，请判断第几次的记录有误，并说明理由； ②记录正确的那一次，利用领取的纸板做了竖式和横式纸盒各多少个？ (2)若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值； (3)拓展延伸：现在仓库里有张正方形纸板和张长方形纸板，如果这些纸板做出的竖式纸盒为与横式纸盒个数为，恰好使库存的纸板用完，则用的代数式表示的值． 【答案】(1)①第二次记录有误，见解析；②做成40个竖式纸盒，260个横式纸盒； (2)3 (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，代数式，比值，理解题意，找到正确的数量关系是本题的关键． （1）①设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，由领取的正方形的纸板和长方形的纸板之和应该是5的倍数，可判断第二次记录错误；②由第一次记录，列出方程组，求解即可； （2）由正方形纸板数与长方形纸板数之比为，可得，求解即可； （3）根据题意，可得到，两个方程相加，即可解答． 【详解】（1）解：①第二次记录错误，理由如下： 设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，则需要正方形纸板张，需要长方形的纸板张， ∴领取的正方形的纸板和长方形的纸板之和为，应该是5的倍数， ∴第二次记录有误； ②由题意可得：， 解得：， 答：做成40个竖式纸盒，260个横式纸盒； （2）由题意可得：， 解得：， ∴， 答：竖式纸盒与横式纸盒个数的比值为3． （3）由题意，得 ， ∴． 答：的值为． 题型四、几何相关问题 1．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）如图，在大长方形中放置10个形状、大小都相同的小长方形，大长方形的周长为36，小长方形的长比宽多4．设小长方形的长为x，宽为y，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，关键是从图中提取大长方形的长和宽与小长方形长、宽的等量关系，结合周长公式和长、宽的差列出方程组．首先，由“小长方形的长比宽多4”可直接得到；其次，大长方形周长为，根据长方形周长公式可知长与宽的和为，从图中可分析出大长方形的长与宽之和为，从而得到，进而确定正确方程组． 【详解】解：根据题意，小长方形的长比宽多4，故有； 大长方形的周长为，可得长与宽的和为； 从图中可分析出大长方形的长与宽之和为，因此； 综上，可列方程组为． 故选：D． 2．（23-24八年级上·陕西西安·月考）如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低，则每块墙砖的截面面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设每块墙砖的长为，宽为，根据图形找到两个等量关系，求解即可 【详解】解：设每块墙砖的长为，宽为， 根据题意得：， 解得： ∴每块墙砖的截面面积：， 故选：C 3．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）如图，点O在上，与互补，平分平分，若与互余，则的度数为_______． 【答案】/135度 【分析】本题主要考查了角平分线、余角与补角、几何图形中的角度计算、二元一次方程组的应用等知识点，弄清角之间的关系是解题的关键． 设，，由角平分线的定义可得，则；再根据与互余可得①；然后根据与互补可得②，①②联立求得x的值即可解答． 【详解】解：设，， ∵平分平分， ∴， ∴， ∵与互余， ∴，即①； ∵与互补， ∴，即②， ①②联立可得：，解得：， ∴． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·福建泉州·期中）利用一个长方体木块测量一张桌子的高度，首先将木块按如图1所示的方式放置，再更换木块的位置，按如图2所示的方式放置，测得数据如图所示，则桌子的高度是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设桌子的高度为，木块的高度为，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设桌子的高度为，木块的高度为， 由题意得，， 解得， ∴桌子的高度是， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积是_____． 【答案】67 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，求阴影部分的面积；设小长方形的长为a，宽为b，根据图形列出方程组，求出a，b,再用面积公式计算即可． 【详解】解：设小长方形的长为a，宽为b， 由图可知， 解得， ∴阴影部分面积为， 故答案为67． 题型五、方案问题 1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）某村为推广农作物大米品牌，计划将千克的大米分装成千克和千克“大米礼盒”捐赠给社区（两种礼盒都要有且每种礼盒不少于盒）．现要准备两种不同的包装盒，则准备方案共有（   ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】先设两种礼盒的盒数，根据总重量列方程，再结合盒数的限制条件，找出所有符合要求的整数解，统计方案数即可． 【详解】解：设千克装礼盒有盒，千克装礼盒有盒，均为正整数， 根据题意可得，且，， ∵， ∴，可得，即， ∵， ∴，且为正整数， ∴当时，，不是整数，不符合， 当时，，满足，符合要求， 当时，，不是整数，不符合， 当时，，不是整数，不符合， 当时，，满足，符合要求， ∴符合条件的方案共有种． 2．（25-26九年级上·北京昌平·月考）某超市销售四种包装饮用水，销售方式如下表所示： 种类 销售方式 矿泉水 3元/瓶，12瓶起售，购买13-24瓶每瓶9折，25-36瓶每瓶8折，37及以上折 纯净水 每瓶2元，每满30瓶送5瓶． 碱性水 25元/箱（10瓶），满14箱送1箱，仅按箱售卖，不单独售卖． 酸性水 32元/箱（12瓶），单独售卖3元/瓶． （1）若小云需购买12瓶同种包装饮用水，从划算角度考虑，你推荐她购买_______． （2）小腾手中有100元，若要用完所有钱且购买包装饮用水的总数最多（四种都要买）则购买量最多的水的种类为_______（以上两空均填水种类的名称）． 【答案】 纯净水 矿泉水 【分析】本题考查方案选择问题，理解题意并正确计算是关键． （1）计算12瓶每种饮用水的总价，并进行比较； （2）由于酸性水单价较高，故先考虑只购买一瓶，然后考虑碱性水的数量．确定碱性水和酸性水购买数量后，根据剩余的钱，对矿泉水的购买数量进行分类讨论，比较不同方案的购买总数，得出结论． 【详解】解：（1）若买矿泉水，共需元； 若买纯净水，共需元； 若买碱性水，则需要买2箱，共花费元，因需购买12瓶，故不符合题意； 若买酸性水，刚好一箱，共需32元． ∵， ∴买纯净水； （2）设矿泉水购买a瓶，纯净水购买b瓶，碱性水购买c箱，酸性水购买d瓶， 由题意可知，每种饮用水都要买，故，，，． 酸性水单价较高，故只购买一瓶． 当时，剩余元， ①当时，则剩余元，全部买纯净水，可买瓶． 所有饮用水的数量为瓶； ②当时，矿泉水单价变为元， ∴， ∵和都是正整数， ∴必须为10的倍数， 又∵， ∴，此时， 所有饮用水数量为瓶； ③当时，矿泉水单价变为元， ∴， 同理②可知，必须为5的倍数， 又∵，即， ∴，此时， 所有饮用水数量为瓶； ④当时，，不满足题意． 当时，剩余元， ⑤当时，则剩余元，无法全部购买纯净水，故买4瓶纯净水和多买1瓶酸性水． 所有饮用水数量为瓶； ⑥当时，由②可知，， ∵，不满足题意， ∴当时，矿泉水无法购买超过12瓶． 当时，最少购买量：，不满足题意； 综上所述，方案③用完所有钱且购买包装饮用水的总数最多，购买量最多的水的种类为矿泉水． 故答案为：纯净水；矿泉水． 3．（25-26七年级上·安徽六安·期末）某学校组织爱心义卖，七（1）班选定一家商店采购钥匙扣和玩偶两种商品，钥匙扣每个4元，玩偶每个2元．为支持爱心事业，该商店推出两种优惠方案： 方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠 方案二 购买玩偶满50个时，立减10元 (1)若班委购买了钥匙扣和玩偶共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，则班委购买了钥匙扣和玩偶各多少个？ (2)现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案． 【答案】(1)班委购买了钥匙扣50个、玩偶30个 (2)方案1：购买钥匙扣35个、玩偶70个；方案2：购买钥匙扣40个、玩偶62个；方案3：购买钥匙扣45个、玩偶54个 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用、二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）是解题的关键． (1)设班委购买了钥匙扣x个、玩偶y个，根据“总价单价数量”，再结合“班委计划购买钥匙扣和玩偶一共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买钥匙扣个、玩偶个，利用总价单价数量，可列出关于的二元一次方程，结合“均为正整数，且，”，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设班委购买了钥匙扣x个、玩偶y个， 由题意得： 解得：， 答：班委购买了钥匙扣50个、玩偶30个； （2）解：设购买钥匙扣个、玩偶个， 由题意得：， ， 是正整数，且，， 或 或 ， 共有以下3种购买方案： 方案1：购买钥匙扣35个、玩偶70个； 方案2：购买钥匙扣40个、玩偶62个； 方案3：购买钥匙扣45个、玩偶54个． 4．（25-26八年级上·广东深圳·期末）综合与实践：根据下面素材，探索完成任务． 背景 作为深圳建设“新一代世界一流汽车城”的核心承载区，坪山区正全力聚焦智能网联新能源汽车的研发创新与智能制造，构建起“核心研发+智能制造”的双轮驱动产业生态．为抢抓新能源汽车市场机遇，某汽车销售企业计划从坪山区新能源汽车产业集群中批量采购新能源汽车，开展市场销售布局． 素材1 采购2辆H型新能源汽车、5辆Q型新能源汽车，累计需支付进货成本80万元． 素材2 采购3辆H型新能源汽车、2辆Q型新能源汽车，累计需支付进货成本65万元． 解决问题 任务1 计算H型，Q型两种新能源汽车的每辆进货价格分别为多少万元？ 任务2 若该销售企业计划正好用120万元购进以上两种型号的新能源汽车（每种型号至少1台），请帮助该公司设计出所有满足预算要求的采购方案． 任务3 结合市场销售数据，销售1辆H型新能源汽车可获利0.5万元，销售1辆Q型新能源汽车可获利0.35万元．在任务2拟定的采购方案中，若所有采购的汽车均能顺利售出，哪种采购方案获利最大？最大利润是多少万元？ 【答案】任务1：H型新能源汽车进货价格为15万元，Q型新能源汽车进货价格为10万元；任务2：方案一：购买2辆H型新能源汽车，9辆Q型新能源汽车；方案二：购买4辆H型新能源汽车，6辆Q型新能源汽车；方案三：购买6辆H型新能源汽车，3辆Q型新能源汽车； 任务3：购买2辆H型新能源汽车，9辆Q型新能源汽车获利最大，最大利润是4.15万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用及二元一次方程组的整数解应用． （1）设H型新能源汽车进货价格为x万元，Q型新能源汽车进货价格为y万元，根据素材1、2的采购组合总价列出二元一次方程组，求解即可； （2）设购买H型新能源汽车m辆，Q型新能源汽车n辆，根据总价120万元列出方程，用m表示n，根据n为正整数的条件，确定m的取值范围，找出所有符合条件的正整数解； （3）根据各方案的m、n值，计算利润，比较各方案利润大小，得出最大利润及对应方案． 【详解】解：（1）设H型新能源汽车进货价格为x万元，Q型新能源汽车进货价格为y万元， 由题意得：， 解得， 即H型新能源汽车进货价格为15万元，Q型新能源汽车进货价格为10万元． （2）设购买H型新能源汽车m辆，Q型新能源汽车n辆， 得：， ， ∵和24均为偶数， ∴必为偶数， ∴m为正偶数， 解得， 即方案一：购买2辆H型新能源汽车，9辆Q型新能源汽车； 方案二：购买4辆H型新能源汽车，6辆Q型新能源汽车； 方案三：购买6辆H型新能源汽车，3辆Q型新能源汽车． （3）方案一：（万元）， 方案二：（万元）， 方案三：（万元）． ， ∴购买2辆H型新能源汽车，9辆Q型新能源汽车获利最大，最大利润是4.15万元． 题型六、乘车、坐船、买票、分房间等问题 1．（2025七年级上·全国·专题练习）某班级进行课外活动时，将全班学生分成x个小组．若每小组11人，则多出1人；若每小组12人，则有一组少4人．那么该班的学生人数为（   ） A．55 B．56 C．57 D．58 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．设小组数为个，该班的学生人数为人，根据总人数不变列方程求解小组数，再求总人数即可． 【详解】解：设小组数为个，该班的学生人数为人，根据题意得： ， 解得：， 答：该班的学生人数为56． 故选：B 2．某中学组织七年级学生到郊外春游，如果每辆汽车坐40人，则有5人没有上车；如果每辆汽车坐48人，则空出一辆汽车，并且其中有一辆车还可以再坐11人．现假设共有x个学生，y辆汽车，则可列出的方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意中的两个条件列出方程组即可． 【详解】解：假设共有x个学生，y辆汽车， 根据题意得：， 故选：D． 3．某小组分若干本图书，若每人分1本，则余1本，若每人分2本，则少3本，那么图书共有________本. 【答案】5 【分析】此题考查二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 设人数为，图书为，根据每人分一本，则余一本，若每人分2本，则缺3本列出方程组解答即可． 【详解】解：设人数为，图书为，根据题意可得：， 解得：， 答：共有图书5本， 故答案为：5． 题型七、年龄、数字等和差倍分问题 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（   ） A．9岁，7岁 B．10岁，6岁 C．12岁，7岁 D．12岁，6岁 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组实际应用，年龄问题，熟练掌握年龄差不变是解题的关键； 根据题目中的数量关系列出方程，进而求解哥哥和妹妹的年龄． 【详解】解：设妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁 由①得： 把③代入②，得 把代入③ 故方程组的解为 即妹妹的年龄为岁，哥哥的年龄为岁； 故选：B ． 2．（25-26七年级上·广西贵港·期末）对有理数x、y定义新运算：，其中a，b都是常数．若，，则a，b的值分别是（    ） A．1，2 B．2，1 C．2，2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 根据新定义得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， 即， 解得：． 故选：C． 3．（2026七年级下·吉林长春·专题练习）聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反，他同时还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7．则聪聪______岁． 【答案】14 【分析】设聪聪的年龄为岁，妈妈的年龄为岁，根据“过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7”，即可得出关于，的二元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设聪聪的年龄为岁，则妈妈的年龄为岁， 根据题意得：， 解得：， ∴聪聪的年龄为岁． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）小明和小亮做两个数的加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341，原来两个加数中较小的加数是________． 【答案】21 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，掌握在加数后多写一个等价于该数乘以的数量关系，从而建立方程组是解题的关键． 设两个加数分别为和，根据题意列出方程组并求解，比较大小得出较小加数． 【详解】解：设原来两个加数分别为和． 根据题意，得方程组 解方程组，将第一式乘以，得， 减去第二式，得，解得． 代入第一式，得， 即，解得． ∴方程组的解为 故原来两个加数分别为和，较小的加数是． 故答案为：． 题型八、数学文化 1．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）：马三匹、牛五头，共价三十八两、问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解：设马每匹x两，牛每头y两，根据“马四匹、牛六头共价四十八两，马三匹、牛五头共价三十八两”为等量关系列方程组即可． 【详解】解：∵设马每匹x两，牛每头y两， ∴列出方程组为． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）我国民间流传这样一道数学名题： 数学原题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两缺7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（1斤等于10两） 其大意是：听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少两银子？ 设有x个人，共分y两银子，根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“每人7两还缺7两，每人半斤多半斤”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设有个人，共分两银子， 根据题意，得． 故选：A． 3．（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）《算法统宗》是我国明朝数学家程大位的数学著作，书中有一道“僧分馒头”的问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”译文为：100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，问大和尚与小和尚分别有多少人．设大和尚人，小和尚人，则可列方程组________．（结果可以不化简） 【答案】 【分析】本题考查列二元一次方程组，根据总人数和总馒头数确定两个等量关系，结合设出的未知数即可列出方程组. 【详解】解：已知大和尚人，小和尚人，总共有个和尚，因此可得第一个方程：. 大和尚每人吃个馒头，个大和尚共吃个馒头；个小和尚吃个馒头，个小和尚共吃个馒头，总共有个馒头，因此可得第二个方程：. 联立两个方程可得方程组. 4．（25-26七年级上·湖北孝感·期末）《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每人乘一车，最终剩余辆车，若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？ 答：（1）人数为_____人；（2）车辆数为_____辆 【答案】 【分析】通过设车辆数为未知数，根据两种乘车方式下人数相等建立方程求解即可． 【详解】解：设车辆数为辆，由题意可得 ． 解得， ∴人数为． ∴（1）人数为人；（2）车辆数为辆． 故答案为，． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为．若开始记录时是上午8:00，求当箭尺读数为时的时间． 【答案】当箭尺读数为时的时间是21:00． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是通过设定初始读数和上升速度两个未知数，建立二元一次方程组，求解得到函数关系，再利用该关系解决时间计算问题。 设箭尺每小时上升，开始高度为，根据供水小时和供水小时箭尺的高度列方程组求解即可． 【详解】解：设箭尺每小时上升，开始高度为， 根据题意，得， 得：解得：． 将代入①得：． 故方程组的解为 设当箭尺读数为时，时间为， 则，解得：． 故当箭尺读数为时的时间是． 1．（天津市红桥区2025-2026学年下学期九年级数学结课考试卷）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有罗七尺，绫九尺，其价適等，只云绫尺价不及罗尺价三十六文．问：二色尺价各几何？”意思是：7尺罗类丝绸和9尺绫类丝绸的价格相同，每尺绫类丝绸的价格比罗类丝绸少36文，问这两类丝绸每尺的价格各是多少文？设罗类丝绸每尺的价格为x文，绫类丝绸每尺的价格为y文，则可以列出的方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意找出两个等量关系，即可列出对应方程组． 【详解】解：∵设罗类丝绸每尺价格为文，绫类丝绸每尺价格为文， 根据“7尺罗类丝绸和9尺绫类丝绸价格相等”，可得， 根据“每尺绫类丝绸的价格比罗类丝绸少36文”，可得， ∴所列方程组为，对应选项A． 2．（22-23七年级下·广东广州·月考）羊城某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的工程、工程，甲工程队晴天需要天完成，雨天工作效率下降；乙工程队晴天需天完成，雨天工作效率下降，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了（    ）天． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设两工程队各工作了天，在施工期间有天有雨，根据题意列出方程组即可求解，根据题意正确列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设两工程队各工作了天，在施工期间有天有雨， 由题意得，， 解得 ∴两个工程队各工作了天， 故选：． 3．（21-22七年级下·宁夏吴忠·期中）某车间有78名工人，生产甲、乙两种零件，每人每天平均生产甲种零件24个或乙种零件46个．已知每3个甲种零件和4个乙种零件成一套．设分配x名工人生产甲种零件，名工人生产乙种零件，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据总人数和零件配套的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵共有78名工人，x名工人生产甲，y名工人生产乙， ∴总人数满足，据此直接排除第一个方程错误的选项C， ∵每人每天平均生产甲24个，乙46个， ∴每天生产甲零件总数为，乙零件总数为， ∵3个甲零件和4个乙零件配成一套，刚好配套时甲、乙数量比为， 根据比例性质交叉相乘得，整理得，选项A符合总人数方程，结构匹配，故A正确． 4．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）线段图是解决行程问题的重要数学工具，如图所示的是甲、乙二人运动两次的情形．设甲的平均速度是，乙的平均速度是/，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用——行程问题，关键是根据线段图准确分析两次行程中甲乙的行驶时间、路程与总路程的数量关系． 【详解】解：根据第一次行程的线段图可知，甲先行驶小时，再与乙共同行驶2小时，两人走完的路程， 甲的总路程为，乙的路程为，因此列方程为； 根据第二次行程的线段图可知，甲乙同时行驶1小时后，两人之间仍相距，总路程为， 因此甲乙1小时的路程和加上等于总路程，列方程为； 综上，可列方程组为， 故选：A． 5．（25-26七年级上·广东深圳·期末）在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，求阴影部分图形的总面积（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设小长方形的长为，宽为，则根据图形，列二元一次方程组，求得小长方形的长和宽，再根据阴影部分面积等于长方形减去5个小长方形的面积，即可求得答案． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，依题意得： ， 解得：， 阴影部分图形的总面积为：． 故选：D． 6．（24-25九年级下·湖北武汉·自主招生）妈妈今年岁，她养育了一个儿子和一个女儿，大的是儿子，小的是女儿，当儿子岁时，妈妈的年龄比女儿年龄的2倍还大4岁，当女儿年龄是儿子的时，妈妈恰为岁，那么儿子今年______岁． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，利用二元一次方程组解决实际问题，一元一次方程的实际应用，解题关键是找准题中的等量关系． 设儿子今年x岁，女儿今年y岁，根据题中的等量关系，列出方程组，通过消元得到，进而可求出儿子今年的年龄． 【详解】解：设儿子今年x岁，女儿今年y岁，妈妈今年74岁， 当儿子岁时， 妈妈的年龄为：岁， 女儿的年龄为：岁， 此时妈妈的年龄比女儿年龄的2倍还大4岁，即：， 解得： 当妈妈岁时，（岁），即年前， 儿子的年龄为：岁， 女儿的年龄为：岁， 此时女儿年龄是儿子，即：， 则， 把代入，即， 解得：， 所以儿子今年岁． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·全国·随堂练习）甲、乙两地相距，小轿车从甲地出发开往乙地后，大客车从乙地出发开往甲地，又经过两车相遇．已知小轿车比大客车每小时多行．设大客车每小时行，小轿车每小时行，则可列方程组______． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组． 设大客车每小时行千米，小轿车每小时行千米，根据小轿车比大客车每小时多行20千米，小轿车行驶2小时，两车相向行驶4小时共走了880千米，据此列方程组求解． 【详解】解：设大客车每小时行，小轿车每小时行， 由题意得． 故答案为：． 8．（2026七年级下·全国·专题练习）小甘到文具超市去买文具．根据图中的对话信息，可求出中性笔和笔记本的单价分别是__________元和__________元． 【答案】 2 6 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设中性笔的单价是元，笔记本的单价是元，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设中性笔的单价是元，笔记本的单价是元， 根据题意得： 解得： 中性笔的单价是元，笔记本的单价是元． 故答案为：，． 9．（25-26八年级上·山西晋中·期末）小明作业本中有一道未写完的题目如下：李叔叔在某商场看中的一台电视机和一台空调，在“元旦”前购买需花费5500元，由于该商场开展“元旦”促销活动，同样的电视机打8折销售，，于是李叔叔在促销期间购买了同样的电视机一台，空调两台，共花费7200元，则“元旦”前同样的电视机和空调每台分别为多少元？ 解：设“元旦”前同样的电视机每台元，空调每台元， 根据题意，得 该题中的一个条件和方程①不小心被污染了，已知小明所列的方程组是正确的，则方程①是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据在“元旦”前购买需花费5500元可得方程①． 【详解】解：由题意得，方程①为， 故答案为：． 10．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）某学校知识竞赛共18轮，每轮胜一场积分、负一场积分均不变（无平局情况），如表记录了A、B、C、D4名参赛者前5轮积分情况．若18轮结束后，参赛者胜场数是负场数的偶数倍，则参赛者B总积分是___________． 参赛者 胜场数 负场数 积分 A 4 1 19 B 3 2 13 C 3 2 13 D 2 3 7 【答案】54或78/78或54 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确建立方程组是解题关键． 由A和D的积分数据建立方程组，求解胜一场和负一场的积分；再根据B的总场数为18和胜场数是负场数的偶数倍的条件，列出方程求可能负场数，结合前5轮B已有2负，排除负场数为18的情况，得到负场数为2或6，计算积分分别为78或54． 【详解】解：设胜一场得分，负一场得分． 由A（4胜1负积分19）得： 由D（2胜3负积分7）得： 解方程组：， 得， 故胜一场得5分，负一场得分． 设B在18轮后胜场数为，负场数为，则，且（为正偶数）． 代入得，． 为18的正因数，且为偶数，为奇数． 18的正因数有1、2、3、6、9、18． 时，不是偶数； 时，是偶数； 时，不是偶数； 时，是偶数； 时，不是偶数； 时，不是正偶数，故无效． 因此或． B总积分． 若，则； 若，则． 故答案为：54或78． 11．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）贴春联是中国人过年的重要习俗马年春节临近，沃尔玛超市用元购进，两种春联进行销售，春联的进价和售价如表所示，全部销售后可获得利润元． 种春联 种春联 进价（元副） 售价（元副） (1)沃尔玛超市购进、两种春联各多少副？ (2)由于两种春联的销量比较好，沃尔玛超市决定再用元购进这两种春联（元正好用完且两种春联均购买），因货品紧俏，批发市场春联涨价，种春联为元/副，种春联为元/副，请问沃尔玛超市可以有哪几种购买方案？ 【答案】(1)沃尔玛超市购进种春联副，种春联副 (2)沃尔玛超市可以有种购买方案： ①购买副种春联，副种春联； ②购买副种春联，副种春联； ③购买副种春联，副种春联；④购买副种春联，副种春联 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、二元一次方程的应用等知识点，审清题意、正确列出二元一次方程和方程组是解题的关键． （1）设沃尔玛超市购进种春联副，种春联副， 再根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购进种春联副，种春联副， 则， 整理得：， 然后根据m、n为正整数，确定m、n的可能取值即可解答． 【详解】（1）解：设沃尔玛超市购进种春联副，种春联副， 由题意得：， 解得：． 答：沃尔玛超市购进种春联副，种春联副； （2）解：设购进种春联副，种春联副， 由题意得：， 整理得：， 、均为正整数， 或或或， 沃尔玛超市可以有种购买方案： 购买副种春联，副种春联； 购买副种春联，副种春联； 购买副种春联，副种春联； 购买副种春联，副种春联． 12．（25-26八年级上·四川达州·期末）研学是一种很好的体验式学习方式，为拓宽学生视野，增强对自然与社会的认识，直观了解课本知识，学校组织八年级660名学生到郊外参加研学活动．已知用3辆小客车和2辆大客车每次可运送学生150人，用2辆小客车和1辆大客车每次可运送学生85人． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若计划租小客车辆，大客车辆，一次送完，恰好每辆车都坐满且两种车都要租，请你设计出所有的租车方案． (3)在第（2）问的条件下，若1辆小客车需租金120元/次，1辆大客车需租金220元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生 (2)共有3种租车方案， 方案1：租用24辆小客车，4辆大客车； 方案2：租用15辆小客车，8辆大客车； 方案3：租用6辆小客车，12辆大客车 (3)最省钱的租车方案是方案三，即租用6辆小客车，12辆大客车，最少租车费为3360元 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的运用，理解数量关系正确列式是关键． （1） 设每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生，结合题意列二元一次方程组求解即可； （2）根据题意得：，由二元一次方程的解的方法求解即可； （3）根据（2）中的方法，结合题意分别算出各自的费用，再比较即可求解． 【详解】（1）解：设每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生； （2）解：根据题意得：， ， 又，均为正整数， 或或， 共有3种租车方案， 方案1：租用24辆小客车，4辆大客车； 方案2：租用15辆小客车，8辆大客车； 方案3：租用6辆小客车，12辆大客车． （3）解：方案一所需租金为（元）； 方案二所需租金为（元）； 方案三所需租金为（元）； ， 最省钱的租车方案是方案三，即租用6辆小客车，12辆大客车，最少租车费为3360元． 13．（23-24七年级下·河北邢台·月考）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计板材裁切方案？ 素材1 图l中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．圈2是靠背与座垫的尺寸示意图． 素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材来加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为240cm，宽为50cm．（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法． 方法一：裁切靠背16张和座垫0张． 方法二：裁切靠背______张和座垫______张． 方法三：裁切靠背______张和座垫______张． 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进110张该型号板材，能制作成多少张学生掎？ 任务三 解决实际问题 现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有4张座垫和12张靠背，若将板材采用方法二和方法三裁切，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？ 【答案】任务一：8，3；0，6；任务二：购进110张该型号板材，制作成480张学生椅；任务三：159张 【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用，解题的关键是读懂题意，列出二元一次方程和二元一次方程组． 任务一：设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张，可得：，求出非负整数解即可； 任务二：列式计算得能制作成240张学生椅； 任务三：设用x张板材裁切靠背8张和坐垫3张，用y张板材裁切靠背0张和坐垫6张，可得，解方程组可得答案． 【详解】解：任务一：设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张， ， m，n为非负整数， 或或 故答案为：8，3；0，6； 任务二：∵（张）， ∴购进110张该型号板材，制作成480张学生椅； 任务三：设用x张板材裁切靠背8张和座垫3张，用y张板材裁切靠背0张和座垫6张，， 解得： ∵（张）， ∴需要购买该型号板材159张，用其中86张板材裁切靠背8张和座垫3张，用73张板材裁切靠背0张和座垫6张． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二元一次方程组的实际应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、销售和利润问题（重点） 1 题型二、行程问题 4 题型三、分配问题（难点） 7 题型四、几何相关问题（重点） 11 题型五、方案问题（重点） 13 题型六、乘车、坐船、买票、分房间等问题（常考点） 18 题型七、年龄、数字等和差倍分问题 19 题型八、数学文化（重点） 21 B综合攻坚・能力跃升 题型一、销售和利润问题 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元．已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，则调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为（    ） A．50元、60元 B．44元、54元 C．40元、50元 D．45元、55元 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）某班学生去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元．如果35名学生购票恰好用去750元，那么购买甲种票、乙种票的张数分别是（   ） A．17和18 B．20和15 C．18和17 D．15和20 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）庙会，又称“庙市”或“节场”，是中国传统民俗文化活动的重要组成部分．庙会上不仅有丰富多彩的文化活动，在市集上还有各类文创商品．已知2个绢布扇和3个手账本需花费90元；3个绢布扇和4个手账本需花费125元．则绢布扇的单价为______元，手账本的单价为______元． 4．（24-25七年级下·福建漳州·期中）小月去买文具，打算买5支单价相同的签字笔和3本单价相同的笔记本，她与售货员的对话如图所示，那么购买一支签字笔和一本笔记本应付款________元． 小月：您好，我要买5支签字笔和3本笔记本． 售货员：好的，那你应付款52元． 小月：刚才我把两种文具的单价弄反了，以为要付款44元． 5．（2026·湖南长沙·一模）为储备常用物资，某健身馆分三次采购运动毛巾和加厚款瑜伽垫，其中第二次采购时正赶上商场周年店庆，这两种商品同时按相同折扣促销，其余两次均按市场单价采购，三次采购的物品数量及总费用如下表． 采购批次 运动毛巾/条 瑜伽垫/个 总费用/元 第一次购物 5 6 400 第二次购物 7 6 396 第三次购物 4 3 230 (1)分别求出运动毛巾和加厚款瑜伽垫的市场单价； (2)求商场打折促销期间是打几折出售这两种商品的？ 6．（25-26八年级上·河北张家口·期末）为迎接旅游旺季的到来，某商场准备购进一批纪念品进行销售．已知3件甲种纪念品和1件乙种纪念品的总进价为210元；2件甲种纪念品和3件乙种纪念品的总进价为280元．请列方程组解答下列各小题． (1)求甲、乙两种纪念品每件的进价分别为多少元？ (2)已知该商场同时购进甲、乙两种纪念品共25件，总进价恰好为1400元．若甲种纪念品每件的售价为70元，乙种纪念品每件的售价为100元，求商场销售完这25件纪念品共盈利多少元？ 题型二、行程问题 1．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）小明去距市区的旅游景点游玩，先乘汽车，后步行，全程共用了，已知汽车的速度为，步行的速度为，设小明乘汽车的路程和步行的路程分别为和，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·湖南娄底·期末）一艘轮船往返于、两港之间.顺水航行的速度是，逆水航行的速度是，则轮船在静水中的速度和水流速度分别是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）从甲地到乙地的路有一段上坡、一段平路与一段3km的下坡．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需90min，从乙地到甲地需102min．甲地到乙地的路程是_______km． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）A，B两地相距，甲骑电动车从A地出发到B地，与此同时，乙骑电动车从B地出发到A地，两人均保持匀速行驶．已知第两人相遇，又经过，甲剩余路程是乙剩余路程的8倍，则甲的骑行速度为______． 5．（25-26七年级上·福建莆田·期末）李明和刘伟分别从两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发后两人相遇．相遇时李明比刘伟多行进，相遇后李明到达地． (1)两人每小时分别行进多少千米？ (2)相遇后经过多长时间刘伟到达地？ 6．（25-26七年级上·湖南怀化·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走3步，接着B型机器人走4步，共需要秒；A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 题型三、分配问题 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应如何分配工人才能使每天生产的螺栓和螺帽刚好配套？设生产螺栓x人，生产螺帽人，列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）某家具生产厂生产某种配套桌椅（1张桌子配4把椅子），已知每块板材可制作桌子1张或椅子3把，现计划用140块这种板材生产一批桌椅（不考虑板材的损耗），生产出来的桌椅刚好配套．设用块板材制作桌子，用块板材制作椅子，则________． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）小莉家用钢管做防盗窗，按设计要求，其中需要长为的钢管88根，长为的钢管36根（钢管的粗细均相同），并要求这些用料不能是焊接而成的．现钢材市场的这种规格的钢管每根都为． (1)试问一根6米长的钢管有哪些裁剪方法呢？请填写下空(余料作废)． 方法1：当只裁剪长为1.2米的用料时，最多可剪_____________根； 方法2：当先剪下1根2.3米的用料时，余下部分最多能剪1.2米长的用料_____________根； 方法3：当先剪下2根2.3米的用料时，余下部分最多能剪1.2米长的用料_____________根． (2)联合用（1）中的方法2和方法3各裁剪多少根6米长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料？ (3)小明经过探究发现：如果联合（1）中的二种裁剪方法，还有一种不同于（2）中的方案能刚好得到所需要的相应数量的材料，请写出这个裁剪方案，并说理理由． 4．（24-25七年级下·福建泉州·月考）工作人员从仓库领取如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完． 次数 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） 第一次 560 940 第二次 420 1002 (1)下表是工作人员两次领取纸板数的记录： ①仓库管理员在核查时，发现一次记录有误，请判断第几次的记录有误，并说明理由； ②记录正确的那一次，利用领取的纸板做了竖式和横式纸盒各多少个？ (2)若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值； (3)拓展延伸：现在仓库里有张正方形纸板和张长方形纸板，如果这些纸板做出的竖式纸盒为与横式纸盒个数为，恰好使库存的纸板用完，则用的代数式表示的值． 题型四、几何相关问题 1．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）如图，在大长方形中放置10个形状、大小都相同的小长方形，大长方形的周长为36，小长方形的长比宽多4．设小长方形的长为x，宽为y，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·陕西西安·月考）如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低，则每块墙砖的截面面积是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）如图，点O在上，与互补，平分平分，若与互余，则的度数为_______． 4．（24-25七年级下·福建泉州·期中）利用一个长方体木块测量一张桌子的高度，首先将木块按如图1所示的方式放置，再更换木块的位置，按如图2所示的方式放置，测得数据如图所示，则桌子的高度是_____________． 5．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积是_____． 题型五、方案问题 1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）某村为推广农作物大米品牌，计划将千克的大米分装成千克和千克“大米礼盒”捐赠给社区（两种礼盒都要有且每种礼盒不少于盒）．现要准备两种不同的包装盒，则准备方案共有（   ）． A．种 B．种 C．种 D．种 2．（25-26九年级上·北京昌平·月考）某超市销售四种包装饮用水，销售方式如下表所示： 种类 销售方式 矿泉水 3元/瓶，12瓶起售，购买13-24瓶每瓶9折，25-36瓶每瓶8折，37及以上折 纯净水 每瓶2元，每满30瓶送5瓶． 碱性水 25元/箱（10瓶），满14箱送1箱，仅按箱售卖，不单独售卖． 酸性水 32元/箱（12瓶），单独售卖3元/瓶． （1）若小云需购买12瓶同种包装饮用水，从划算角度考虑，你推荐她购买_______． （2）小腾手中有100元，若要用完所有钱且购买包装饮用水的总数最多（四种都要买）则购买量最多的水的种类为_______（以上两空均填水种类的名称）． 3．（25-26七年级上·安徽六安·期末）某学校组织爱心义卖，七（1）班选定一家商店采购钥匙扣和玩偶两种商品，钥匙扣每个4元，玩偶每个2元．为支持爱心事业，该商店推出两种优惠方案： 方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠 方案二 购买玩偶满50个时，立减10元 (1)若班委购买了钥匙扣和玩偶共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，则班委购买了钥匙扣和玩偶各多少个？ (2)现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案． 4．（25-26八年级上·广东深圳·期末）综合与实践：根据下面素材，探索完成任务． 背景 作为深圳建设“新一代世界一流汽车城”的核心承载区，坪山区正全力聚焦智能网联新能源汽车的研发创新与智能制造，构建起“核心研发+智能制造”的双轮驱动产业生态．为抢抓新能源汽车市场机遇，某汽车销售企业计划从坪山区新能源汽车产业集群中批量采购新能源汽车，开展市场销售布局． 素材1 采购2辆H型新能源汽车、5辆Q型新能源汽车，累计需支付进货成本80万元． 素材2 采购3辆H型新能源汽车、2辆Q型新能源汽车，累计需支付进货成本65万元． 解决问题 任务1 计算H型，Q型两种新能源汽车的每辆进货价格分别为多少万元？ 任务2 若该销售企业计划正好用120万元购进以上两种型号的新能源汽车（每种型号至少1台），请帮助该公司设计出所有满足预算要求的采购方案． 任务3 结合市场销售数据，销售1辆H型新能源汽车可获利0.5万元，销售1辆Q型新能源汽车可获利0.35万元．在任务2拟定的采购方案中，若所有采购的汽车均能顺利售出，哪种采购方案获利最大？最大利润是多少万元？ 题型六、乘车、坐船、买票、分房间等问题 1．（2025七年级上·全国·专题练习）某班级进行课外活动时，将全班学生分成x个小组．若每小组11人，则多出1人；若每小组12人，则有一组少4人．那么该班的学生人数为（   ） A．55 B．56 C．57 D．58 2．某中学组织七年级学生到郊外春游，如果每辆汽车坐40人，则有5人没有上车；如果每辆汽车坐48人，则空出一辆汽车，并且其中有一辆车还可以再坐11人．现假设共有x个学生，y辆汽车，则可列出的方程组为（    ） A． B． C． D． 3．某小组分若干本图书，若每人分1本，则余1本，若每人分2本，则少3本，那么图书共有________本. 题型七、年龄、数字等和差倍分问题 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（   ） A．9岁，7岁 B．10岁，6岁 C．12岁，7岁 D．12岁，6岁 2．（25-26七年级上·广西贵港·期末）对有理数x、y定义新运算：，其中a，b都是常数．若，，则a，b的值分别是（    ） A．1，2 B．2，1 C．2，2 D． 3．（2026七年级下·吉林长春·专题练习）聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反，他同时还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7．则聪聪______岁． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）小明和小亮做两个数的加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341，原来两个加数中较小的加数是________． 题型八、数学文化 1．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）：马三匹、牛五头，共价三十八两、问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）我国民间流传这样一道数学名题： 数学原题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两缺7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（1斤等于10两） 其大意是：听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少两银子？ 设有x个人，共分y两银子，根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）《算法统宗》是我国明朝数学家程大位的数学著作，书中有一道“僧分馒头”的问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”译文为：100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，问大和尚与小和尚分别有多少人．设大和尚人，小和尚人，则可列方程组________．（结果可以不化简） 4．（25-26七年级上·湖北孝感·期末）《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每人乘一车，最终剩余辆车，若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？ 答：（1）人数为_____人；（2）车辆数为_____辆 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为．若开始记录时是上午8:00，求当箭尺读数为时的时间． 1．（天津市红桥区2025-2026学年下学期九年级数学结课考试卷）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有罗七尺，绫九尺，其价適等，只云绫尺价不及罗尺价三十六文．问：二色尺价各几何？”意思是：7尺罗类丝绸和9尺绫类丝绸的价格相同，每尺绫类丝绸的价格比罗类丝绸少36文，问这两类丝绸每尺的价格各是多少文？设罗类丝绸每尺的价格为x文，绫类丝绸每尺的价格为y文，则可以列出的方程组为（   ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·广东广州·月考）羊城某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的工程、工程，甲工程队晴天需要天完成，雨天工作效率下降；乙工程队晴天需天完成，雨天工作效率下降，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了（    ）天． A． B． C． D． 3．（21-22七年级下·宁夏吴忠·期中）某车间有78名工人，生产甲、乙两种零件，每人每天平均生产甲种零件24个或乙种零件46个．已知每3个甲种零件和4个乙种零件成一套．设分配x名工人生产甲种零件，名工人生产乙种零件，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）线段图是解决行程问题的重要数学工具，如图所示的是甲、乙二人运动两次的情形．设甲的平均速度是，乙的平均速度是/，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·广东深圳·期末）在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，求阴影部分图形的总面积（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·湖北武汉·自主招生）妈妈今年岁，她养育了一个儿子和一个女儿，大的是儿子，小的是女儿，当儿子岁时，妈妈的年龄比女儿年龄的2倍还大4岁，当女儿年龄是儿子的时，妈妈恰为岁，那么儿子今年______岁． 7．（25-26八年级上·全国·随堂练习）甲、乙两地相距，小轿车从甲地出发开往乙地后，大客车从乙地出发开往甲地，又经过两车相遇．已知小轿车比大客车每小时多行．设大客车每小时行，小轿车每小时行，则可列方程组______． 8．（2026七年级下·全国·专题练习）小甘到文具超市去买文具．根据图中的对话信息，可求出中性笔和笔记本的单价分别是__________元和__________元． 9．（25-26八年级上·山西晋中·期末）小明作业本中有一道未写完的题目如下：李叔叔在某商场看中的一台电视机和一台空调，在“元旦”前购买需花费5500元，由于该商场开展“元旦”促销活动，同样的电视机打8折销售，，于是李叔叔在促销期间购买了同样的电视机一台，空调两台，共花费7200元，则“元旦”前同样的电视机和空调每台分别为多少元？ 解：设“元旦”前同样的电视机每台元，空调每台元， 根据题意，得 该题中的一个条件和方程①不小心被污染了，已知小明所列的方程组是正确的，则方程①是__________． 10．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）某学校知识竞赛共18轮，每轮胜一场积分、负一场积分均不变（无平局情况），如表记录了A、B、C、D4名参赛者前5轮积分情况．若18轮结束后，参赛者胜场数是负场数的偶数倍，则参赛者B总积分是___________． 参赛者 胜场数 负场数 积分 A 4 1 19 B 3 2 13 C 3 2 13 D 2 3 7 11．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）贴春联是中国人过年的重要习俗马年春节临近，沃尔玛超市用元购进，两种春联进行销售，春联的进价和售价如表所示，全部销售后可获得利润元． 种春联 种春联 进价（元副） 售价（元副） (1)沃尔玛超市购进、两种春联各多少副？ (2)由于两种春联的销量比较好，沃尔玛超市决定再用元购进这两种春联（元正好用完且两种春联均购买），因货品紧俏，批发市场春联涨价，种春联为元/副，种春联为元/副，请问沃尔玛超市可以有哪几种购买方案？ 12．（25-26八年级上·四川达州·期末）研学是一种很好的体验式学习方式，为拓宽学生视野，增强对自然与社会的认识，直观了解课本知识，学校组织八年级660名学生到郊外参加研学活动．已知用3辆小客车和2辆大客车每次可运送学生150人，用2辆小客车和1辆大客车每次可运送学生85人． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若计划租小客车辆，大客车辆，一次送完，恰好每辆车都坐满且两种车都要租，请你设计出所有的租车方案． (3)在第（2）问的条件下，若1辆小客车需租金120元/次，1辆大客车需租金220元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 13．（23-24七年级下·河北邢台·月考）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计板材裁切方案？ 素材1 图l中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．圈2是靠背与座垫的尺寸示意图． 素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材来加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为240cm，宽为50cm．（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法． 方法一：裁切靠背16张和座垫0张． 方法二：裁切靠背______张和座垫______张． 方法三：裁切靠背______张和座垫______张． 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进110张该型号板材，能制作成多少张学生掎？ 任务三 解决实际问题 现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有4张座垫和12张靠背，若将板材采用方法二和方法三裁切，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？ 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $