精品解析：陕西西安市长安区第一中学2025-2026学年第二学期第一次质量检测高一数学试题

陕西西安市长安区第一中学2025-2026学年第二学期第一次质量检测高一数学试题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 已知为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据共线向量定理及相关性质、充分必要条件的定义求解判断即可. 【详解】若存在实数，使，则共线； 若，则同向； 所以“存在实数，使”是“”的必要不充分条件. 2. 在平行四边形中，，，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据线性运算及数量积的定义计算求解. 【详解】因为， 在平行四边形中，，， 所以. 3. 已知点是的重心，若，则（ ） A. -1 B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算计算即可. 【详解】 设是的中点，则. 所以. 因为，所以， 因此. 4. 已知，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数t不能取的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】若点能构成三角形，则三点不共线，即向量与不共线，计算两个向量的坐标，根据向量共线的坐标表示可得实数t不能取的值. 【详解】由题可知，，. 若点能构成三角形，则三点不共线，即向量与不共线， 所以，即，所以. 故选：C. 5. 在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，以为基底，根据向量的线性运算及数量积可得，结合得到范围即可． 【详解】设，因为四边形是菱形， 所以， 由点是的中点，得， 由题意得，， 所以 ， 因为，所以的取值范围是． 6. 已知平面向量．若，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以 ， 展开整理得， 又因为， 故，， ， 代入等式得：，解得. 7. 已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设两个向量的夹角为，则， 所以向量在向量方向上的投影数量为， 所以投影向量为. 8. 已知中，，D是边上一点，，，且，则边的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由求出，由的值和求出，利用诱导公式求出和，由，利用两角差的正弦公式求出的值，利用正弦定理求出的值，由得到，计算出的值，由是边上一点得到，代入数值得解. 【详解】，， ，， ， ，，， ，， ， ， ， ， ， ，，，， 在中，， ，， ，， ，， ，，， 是边上一点，. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则向量与的夹角为钝角 B. 若，则向量在向量方向上的投影向量为 C. 两个非零向量，若，则与共线且反向 D. 若为的外心，，则为的垂心 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A：因为，即，所以向量与的夹角为钝角或平角，A错误； 对于B：若，则，所以向量在向量方向上的投影向量为，B正确； 对于C：将两边平方，化简得，所以，结合向量夹角的范围得夹角为，C正确； 对于D：因为为的外心，，则， 所以， 所以，同理可得，故为的垂心，D正确. 10. 如图，是半径为1的圆的两条不同的直径，，则（ ） A. B. C. 满足的实数与的和为定值4 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据所给线段长度关系判断A，建立平面直角坐标系，利用坐标运算判断B，根据三点共线判断C，利用向量的坐标运算求向量夹角判断D. 【详解】， ，故A错误； 以为原点，以为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系， 则，设，则， 则， ，故B正确； ， 三点共线，，即，故C正确. ， ， ， ， ， ，故D正确. 11. 已知的内角的对边分别为，则能判定一定是等腰三角形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正余弦定理、和差公式逐一分析即可. 【详解】对A，由正弦定理将边化角得， 即，所以为等腰三角形； 对B，因为， 所以， 所以，整理得， 又，所以，即，所以为等腰三角形； 对C，， 所以，整理得， 所以或，即是直角三角形或等腰三角形； 对D，， 当且仅当，即时等号成立，又，所以只能成立， 此时为等腰三角形. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在直角三角形ABC中，，D为斜边AB上一点，若与的内切圆面积相等，则_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】如图，设，两圆半径为，根据内切圆性质可构建关于、的方程，求出后再结合三角变换和正弦定理可求的长. 【详解】 由题设，两圆半径相等，设内切圆半径为. 设圆为的内切圆，该圆与的切点为， 圆为的内切圆，该圆与的切点为，则为的平分线. 因为，故， 故，故（负值舍去）， 同理， 设，则，， 故且， 所以，即， 故，故（负值舍去）. 故，而为锐角， 故，而，因为锐角， 故，， 所以 ， 在中，由正弦定理可得， 故，故，故. 13. 已知的面积为，，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】在三角形中由，再结合条件可得，再由面积公式及余弦定理可得. 【详解】设角所对的边分别为， 因为，所以， , 即，所以，① 又因为的面积为，，所以，得. 再由余弦定理，② 联立①②解得，即． 14. 若___________． 【答案】 【解析】 【详解】令，则， 代入运算， 所以，解得， 所以. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤） 15. 已知平面内三点，，. （1）若三点共线，求的值. （2）当时，线段上的点满足，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，结合向量共线的坐标表示运算求解即可； （2）设，可求，，根据求，进而可求数量积. 【小问1详解】 因为，，，则，， 由三点共线得，则，解得. 【小问2详解】 当时，点， 设，则，， 因为，则，解得，即， 则，且，所以. 16. 设是两个不共线的向量，． （1）若三个向量的起点相同，且终点在同一直线上，求； （2）若，且与的夹角为，那么为何值时，的值最小？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量共线定理进行求解即可； （2）根据平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可. 【小问1详解】 由已知可得， ∵不共线，∴， 解得．∴当时，向量终点在同一直线上. 【小问2详解】 ， 故当时，最小. 17. 已知平面内一三角形，点为其外心. （1）点为边的中点，，，求的值； （2）若过点的直线分别交边、于点，证明： . 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题可得，然后由数量积几何意义可得答案； （2）设三角形外接圆半径为R，用两种办法表示，可得，及，据此可完成证明. 【小问1详解】 ， 由数量积几何意义可得：， 同理得. 则； 【小问2详解】 证明：设三角形外接圆半径为R， ，. 因，所以. 同理，所以， 又，，. 则. 故 ① ∵点O为三角形ABC的外心，， ，， 同理，. 则. 代入上式①中，结合，可得： ， 所以，原命题得证 18. 已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为. （1）若复数是实数，求实数的值； （2）若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数的取值范围； （3）已知实系数一元二次方程的两根为和，若，求m的值. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用复数乘法法则得到，根据是实数，可得方程，可求出； （2）利用复数除法法则化简，得到对应的点坐标，根据所在象限，得到不等式组，求出实数的取值范围； （3）分方程的两根为实数根与虚数根两种情况求解即可. 【小问1详解】 由可得， 所以， 若复数是实数，可得， 解得； 【小问2详解】 ， 易知复数在复平面内所对应的点坐标为， 又复数在复平面内所对应的点位于第四象限，可得， 解得， 即实数的取值范围为. 【小问3详解】 若方程的两根为实数根，则， 解得， 若方程的两根为虚数根，则设，，可得， 则，，，所以，所以， 由韦达定理可得，所以， 此时，满足题意， 综上，或. 19. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点D为线段上的一点，为的平分线，. （1）若，，求的值； （2）当时，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先通过正弦定理将边的关系转化为角的关系，求出，再在中用正弦定理求出，最后用二倍角公式计算 （2）利用三角形面积关系得到与、的关系，再结合余弦定理和基本不等式求最小值. 【小问1详解】 由正弦定理，将化为， 整理得： 因为，所以，即. 由于，，得，则. 设，在中，由正弦定理， 代入、，得：. 因为是角平分线，，由二倍角公式：. 【小问2详解】 因为是角平分线，，. 由面积关系，得： 化简可得：即. 在中，由余弦定理，代入和， 得： 将代入上式： 整理得： 由基本不等式，得， 代入上式： 当且仅当时取等号，故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西西安市长安区第一中学2025-2026学年第二学期第一次质量检测高一数学试题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 已知为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 在平行四边形中，，，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知点是的重心，若，则（ ） A. -1 B. C. 0 D. 1 4. 已知，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数t不能取的值为（ ） A. B. C. D. 5. 在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面向量．若，则（ ） A. B. C. D. 2 7. 已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 已知中，，D是边上一点，，，且，则边的长为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则向量与的夹角为钝角 B. 若，则向量在向量方向上的投影向量为 C. 两个非零向量，若，则与共线且反向 D. 若为的外心，，则为的垂心 10. 如图，是半径为1的圆的两条不同的直径，，则（ ） A. B. C. 满足的实数与的和为定值4 D. 11. 已知的内角的对边分别为，则能判定一定是等腰三角形的为（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在直角三角形ABC中，，D为斜边AB上一点，若与的内切圆面积相等，则_____________． 13. 已知的面积为，，，则__________. 14. 若___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤） 15. 已知平面内三点，，. （1）若三点共线，求的值. （2）当时，线段上的点满足，求的值. 16. 设是两个不共线的向量，． （1）若三个向量的起点相同，且终点在同一直线上，求； （2）若，且与的夹角为，那么为何值时，的值最小？ 17. 已知平面内一三角形，点为其外心. （1）点为边的中点，，，求的值； （2）若过点的直线分别交边、于点，证明： . 18. 已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为. （1）若复数是实数，求实数的值； （2）若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数的取值范围； （3）已知实系数一元二次方程的两根为和，若，求m的值. 19. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点D为线段上的一点，为的平分线，. （1）若，，求的值； （2）当时，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $