第16章 相交线与平行线（复习讲义，3知识&5题型+分层训练）数学新教材沪教版五四制七年级下册

第16章 相交线与平行线（复习讲义） 1.识别对顶角、邻补角、同位角、内错角、同旁内角，掌握对顶角相等、邻补角互补的性质。 2.理解垂线、垂线段的概念，掌握过一点有且只有一条直线与已知直线垂直、垂线段最短。 3.掌握平行线的3个判定定理与3个性质定理，理解判定与性质的互逆关系。 4.了解命题的结构（题设、结论），能判断简单命题的真假，会用“∵…，∴…”书写几何推理。 5.掌握平移的性质，能进行简单平移作图与计算。 知识点01：相交线（基础概念） 核心概念 对顶角：有公共顶点，两边互为反向延长线；性质：对顶角相等。 邻补角：有公共顶点与公共边，另一边互为反向延长线；性质：和为180°。 垂线：两条直线相交成90°，互相垂直；性质： 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短（点到直线的距离）。 易错点 邻补角≠相邻的角，必须满足“互补+共边共顶点”。 对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。 知识点02：平行线（核心重点） 核心概念 平行线：同一平面内不相交的两条直线，记作。 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 平行公理推论：平行于同一直线的两条直线互相平行（）。 三线八角（识别关键） 角的类型 位置特征 图形模型 同位角 截线同侧，被截线同方向 “F”型 内错角 截线两侧，被截线之间 “Z”型 同旁内角 截线同侧，被截线之间 “U”型 判定定理（由角推线） 1.同位角相等，两直线平行。 2.内错角相等，两直线平行。 3.同旁内角互补，两直线平行。 性质定理（由线推角，与判定互逆） 1.两直线平行，同位角相等。 2.两直线平行，内错角相等。 3.两直线平行，同旁内角互补。 易错点 判定与性质易混淆：判定是“证平行”，性质是“用平行”。 忽略“同一平面内”前提（异面直线不适用）。 知识点03：命题与证明（逻辑入门） 命题：判断一件事情的语句，分题设（条件）与结论两部分，可写成“如果…，那么…”形式。 真/假命题：正确为真，错误为假（举反例可证假）。 证明：从已知出发，依据定义、公理、定理，推导出结论的过程，需步步有据。 备考核心口诀 对顶相等邻补和，垂直唯一垂线短。三线八角记模型，F同Z内U同旁。 判定由角推平行，性质由平行推角。拐点作平拆角度，平移不变找对应。 推理步步要有据，几何书写要规范。 题型一 基础概念辨析（选择/填空） 【例1-1】（24-25七年级下·上海·月考）下列叙述正确的是（    ） A．过直线外一点可作两条直线与已知直线平行 B．直线外一点到这条直线的垂线的长度叫作点到直线的距离 C．过一点与已知直线垂直的直线有且只有一条 D．如果两条直线不垂直，那么这两条直线平行 【例1-2】（24-25七年级下·上海·期中）下列图中，和是对顶角的是（　　） A．B．C． D． 【例1-3】（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如图所示，下列说法中正确的是（   ） A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 【例1-4】（24-25七年级下·上海青浦·期末）用反证法证明“已知：在中，，求证：”时，应先假设（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，，是斜边上的高，那么表示点到直线的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【变式1-2】（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，在同一平面上，如果直线垂直于直线，直线垂直于直线，垂足为点，那么直线与直线重合的理由是（   ） A．垂线段相等 B．两点确定一条直线 C．在同一平面上，已知直线的垂线只有一条 D．在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 【变式1-3】（24-25七年级下·上海青浦·期中）已知直线a、b、c在同一平面内，如果，，那么直线a、b的位置关系是______． 【变式1-4】（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，的同位角是______；的内错角是______；的同旁内角是______．（每空各填一个符合要求的角） 【变式1-5】（24-25七年级下·上海松江·月考）用反证法证明：已知，，是平面内3条不同的直线，如果，，那么． 证明：假设 ，那么它们相交于一点． 因为，，过点的两条直线、都与直线垂直．这与基本事实“ ”矛盾，故假设不成立．所以． 题型二 相交线角度计算（填空/解答，高频） 【例2-1】（25-26七年级下·上海·月考）如图，，与的度数之比为，则____． 【例2-2】（24-25七年级下·上海·月考）如图，直线、相交于点，平分，且，那么______ 【例2-3】（22-23七年级下·上海宝山·月考）如图，直线与相交于点，平分，．已知，求的度数．    【变式3-1】（24-25七年级下·上海普陀·期中）已知与是对顶角，且与互余，那么______． 【变式3-2】（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，，，，则______． 【变式3-3】（23-24七年级下·上海·月考）如图，直线相交于点，，平分，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 题型三 平行线角度计算（含拐点）（填空/解答，高频） 【例3-1】（25-26七年级下·上海·月考）如图，平分，，且，则____°． 【例3-2】（24-25七年级下·上海·月考）如图，直线，点、、分别在直线、、上，若，，则______． 【例3-3】（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知，，，那么__________． 【例3-4】（24-25七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知，与交于点，，，则的度数为多少？ 【变式3-1】（24-25七年级下·上海·期末）如图，将长方形纸条折叠，．按如图折叠，，则_____． 【变式3-2】（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，，，用和表示，_______． 【变式3-3】（24-25七年级下·上海青浦·期末）如图，已知，求的度数． 【变式3-4】（24-25七年级下·上海·期末）如图，在四边形中，，平分，E是上一点，交于点F．    (1)求的大小； (2)若，求的大小． 题型四 平行线的判定与证明（解答，核心） 【例4-1】（25-26七年级下·上海·月考）如图，已知，平分，平分，求证：． 【例4-2】（24-25七年级下·上海浦东新·期末）完成下列证明： 已知：，，求证：． 证明：①　　， 又， ∴， ②　　③　　． ∴④　　⑤　　． （已知）， ∴． ⑥　　． 【例4-3】（24-25七年级下·上海闵行·期末）如图，直线与直线分别相交于点． 请你从①；②；③中选择其中两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，并进行证明． 你选择作为已知条件的是：_______，作为结论的是_______．（填序号） 证明： 【变式4-1】（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，点P在上，已知，，请说明的理由． 【变式4-2】（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，垂足为点，，，求证：． 证明：， __________（ ）， ， ， （______）， （______）， ， ． ____________（______） （______） 【变式4-3】（24-25七年级下·上海·月考）如图，直线和直线被直线所截，，求证：． 证明：， ______ ， ____________． 即______． ______ 【变式4-4】（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，已知，直线交线段的延长线于点M，按下列步骤完成证明：． 步骤一、 假设，则______（______） ∵， ∴________ ∴________________ 这与________矛盾， 即不等于． 步骤二、（请自己写出后面的证明过程） 题型五 综合探究题（压轴） 【例5-1】（24-25七年级下·上海·月考）如图1，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，，如图2，固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角． (1)当为______度时，，并在图3中画出相应的图形； (2)如图4，在旋转过程中，当时，试探究与之间的数量关系； (3)若旋转速度为/秒，当它的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出时间的所有值． 【例5-2】（24-25七年级下·上海金山·期中）【问题背景】 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为、之间一点，连接、，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【实际运用】 （2）消防云梯的示意图如图（2）所示，其由救援台、延展臂（在的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成，在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图（3）．使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，这时展角______°． 【深入探索】 （3）今年元宵节小美江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转．如图（4），射线从开始，绕点以10°每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以25°每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为45°，请求出运动时间秒（）的值． 【变式5-1】（24-25七年级下·上海浦东新·期中）根据表格中的素材，探索并在表格中完成任务． 项目主题 设计躺椅 设计背景 如图①，某家居制品工作室新设计了一款智能躺椅，可以根据人的坐姿自动调节椅背与腿托，使舒适感得到最大化，且该椅子的椅面始终与地面保持平行． 素材 如图②，已知在初始状态下，椅面平行于地面，腿托垂直于椅面，椅面与椅背所构成的此椅子可以通过开关分别调整椅背与腿托的角度，以达到舒适程度．已知在调整过程中，椅背以每秒顺时针转动，腿托以每秒顺时针转动． 任务一 如图③，在初始状态下仅调整腿托，使得腿托与椅背平行，请你在图③中画出此时拨托所在的直线，并求出腿托与椅面所形成的的度数； 任务二 如图④，在初始状态下仅调整椅背，将椅背转动，连接，此时测得，求的度数； 任务三 如图⑤，在初始状态下同时调整腿托与椅背，根据人体工学原理，当腿托与椅背平行时，舒适度更佳，求将椅子调整到该状态下，需要多长时间？ 【变式5-2】（24-25七年级下·上海闵行·月考）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为，之间一点，连接，，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． （2）如图（2），若在之间，，平分，，求与的数量关系； （3）如图（3），射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间秒的值． 【变式5-3】（22-23七年级下·上海·期中）自“中欧铁路——上海号”发车以来，中欧班列逐渐开辟了一条以上海为起点，连接欧洲及“一带一路”沿线地区的商贸流通的全新通道．“中欧铁路”为了安全起见需要在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即且． (1)填空： °； (2)如图2，若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动．在转动过程中，灯B射线与交于点．在灯B射线到达之前，设灯A转动t秒． ①当时，则 °， （用含t的式子表示）． ②当灯A转动 秒时，两灯的光束可以互相平行？ (3) 如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前，过C作交于点D，且，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）下列命题中，假命题的是（   ） A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．平行于同一直线的两直线平行 D．过两点有且只有一条直线 2．（23-24七年级下·上海闵行·期中）如图，，与互余，则的度数是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25七年级下·上海·月考）如图，中，，，垂足分别是、，那么点到的距离是线段______的长度． 4．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，如果________，那么（请添加一个适当的条件，使该命题为真命题）． 5．（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，已知，且，则________度． 6．（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，平分，且．如果，那么______． 7．（24-25七年级下·上海·期末）如图，直线，将三角板的直角顶点放在直线上，如果，那么的度数是______． 8．（24-25七年级下·上海闵行·月考）如图，与是直线_____与直线_____被直线_____所截得到的内错角． 9．（22-23七年级下·上海闵行·期中）如图，，直线平分，则________． 10．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）光从空气斜射入水中时会发生折射现象，在空气中平行的光线，因同种介质折射率相同，在水中仍保持平行．如图，如果，，那么______°． 三、解答题 11．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知：，求证：． 12．（24-25七年级下·上海·月考）如图，平面上有两条直线、，点在直线上，按要求画图（不写结论）并填空： (1)过点画直线的垂线，垂足为点； (2)过点画直线交直线于点； (3)过点画直线．由图可知：点到直线距离为线段______的长度． 13．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，，求证：． 证明： ____________（______） ____________（______） （______） 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25七年级下·上海崇明·月考）下列命题中，是真命题的是（   ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．两个锐角的和是钝角 C．任何数的平方都大于0 D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2．（24-25七年级下·上海静安·月考）如图已知，，则下列结论（1）；（2）；（3）；（4）．正确的有（    ） A．1个； B．2个； C．3个； D．4个． 二、填空题 3．（24-25七年级下·上海静安·月考）如果一个角，它的两边与另一个角的两边分别平行，另一个角的大小为______． 4．（25-26七年级下·上海·月考）如图，点E、F分别在线段上，线段交于点G，，找出图中与所有相等的角：_____． 5．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，直线、相交于点．已知，把分成两个角，且，将射线绕点逆时针旋转角到，若时，的度数是___________． 6．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知长方形纸带，，，将纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，，再沿折叠，______． 7．（24-25七年级下·上海青浦·期末）将一副三角尺如图1所示摆放，分别在直线上，，直线．现将三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设时间为秒，当时，如果边与三角尺的一条直角边平行（旋转过程中三角尺任意两边所在的直线不重合），那么所有满足条件的的值为___________． 三、解答题 8．（24-25七年级下·上海·月考）一大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于点，平行于地面，若，求的度数； 解：过点作 ， _________________（______） （余下的说理过程请写在下方） 9．（24-25七年级下·上海虹口·期末）已知：如图，中，于点D，于点G，线段，点E、A、C在同一直线上，求证：平分．请把以下证明过程补充完整． 证明：∵于点D，于点G， ∴ ∴（_______） ∴______（_________）， _________（________） ∵， ∴______（________） ∴，即平分． 10．（24-25七年级下·上海宝山·月考）在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点画直线的平行线的方法，折纸过程如下：． (1)通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是______；如图④，______，则与的位置关系为______． (2)张华在（1）的条件下继续探究，他在两点处安装了绚丽的小射灯，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，若灯射线转动20秒后，灯射线开始转动，在灯射线第一次到达之前，当灯转动秒时，灯射线转动到如图⑤的位置． ①用含的式子表示_________；②当时，两条射线的夹角为_________． (3)在（2）的条件下，在灯射线第一次到达之前． 灯转动______秒，两灯的光束互相平行： 灯转动______秒，两灯的光束互相垂直． 11．（24-25七年级下·上海静安·期中）如图1，数学课上老师将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，． (1)求此时的度数； (2)如图2，若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数； (3)在（2）的前提下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当三角板第一次回到图的位置时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16章 相交线与平行线（复习讲义） 1.识别对顶角、邻补角、同位角、内错角、同旁内角，掌握对顶角相等、邻补角互补的性质。 2.理解垂线、垂线段的概念，掌握过一点有且只有一条直线与已知直线垂直、垂线段最短。 3.掌握平行线的3个判定定理与3个性质定理，理解判定与性质的互逆关系。 4.了解命题的结构（题设、结论），能判断简单命题的真假，会用“∵…，∴…”书写几何推理。 5.掌握平移的性质，能进行简单平移作图与计算。 知识点01：相交线（基础概念） 核心概念 对顶角：有公共顶点，两边互为反向延长线；性质：对顶角相等。 邻补角：有公共顶点与公共边，另一边互为反向延长线；性质：和为180°。 垂线：两条直线相交成90°，互相垂直；性质： 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短（点到直线的距离）。 易错点 邻补角≠相邻的角，必须满足“互补+共边共顶点”。 对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。 知识点02：平行线（核心重点） 核心概念 平行线：同一平面内不相交的两条直线，记作。 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 平行公理推论：平行于同一直线的两条直线互相平行（）。 三线八角（识别关键） 角的类型 位置特征 图形模型 同位角 截线同侧，被截线同方向 “F”型 内错角 截线两侧，被截线之间 “Z”型 同旁内角 截线同侧，被截线之间 “U”型 判定定理（由角推线） 1.同位角相等，两直线平行。 2.内错角相等，两直线平行。 3.同旁内角互补，两直线平行。 性质定理（由线推角，与判定互逆） 1.两直线平行，同位角相等。 2.两直线平行，内错角相等。 3.两直线平行，同旁内角互补。 易错点 判定与性质易混淆：判定是“证平行”，性质是“用平行”。 忽略“同一平面内”前提（异面直线不适用）。 知识点03：命题与证明（逻辑入门） 命题：判断一件事情的语句，分题设（条件）与结论两部分，可写成“如果…，那么…”形式。 真/假命题：正确为真，错误为假（举反例可证假）。 证明：从已知出发，依据定义、公理、定理，推导出结论的过程，需步步有据。 备考核心口诀 对顶相等邻补和，垂直唯一垂线短。三线八角记模型，F同Z内U同旁。 判定由角推平行，性质由平行推角。拐点作平拆角度，平移不变找对应。 推理步步要有据，几何书写要规范。 题型一 基础概念辨析（选择/填空） 【例1-1】（24-25七年级下·上海·月考）下列叙述正确的是（    ） A．过直线外一点可作两条直线与已知直线平行 B．直线外一点到这条直线的垂线的长度叫作点到直线的距离 C．过一点与已知直线垂直的直线有且只有一条 D．如果两条直线不垂直，那么这两条直线平行 【答案】B 【分析】本题考查了点到直线的距离，平行公理，两直线的位置关系，垂线的定义，根据以上知识逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项不正确，不符合题意； B. 直线外一点到这条直线的垂线的长度叫作点到直线的距离，故该选项正确，符合题意； C. 同一平面内，过一点与已知直线垂直的直线有且只有一条，故该选项不正确，不符合题意； D. 同一平面内，如果两条直线不垂直，那么这两条直线相交或平行，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【例1-2】（24-25七年级下·上海·期中）下列图中，和是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角的定义，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角，由此逐项分析即可得解． 【详解】解：A、和不是对顶角，故不符合题意； B、和不是对顶角，故不符合题意； C、和不是对顶角，故不符合题意； D、和是对顶角，故符合题意； 故选：D． 【例1-3】（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如图所示，下列说法中正确的是（   ） A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 【答案】C 【分析】本题考查三线八角，根据同位角，内错角，同旁内角的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、与是同旁内角，原说法错误，不符合题意； B、与不是同位角，原说法错误，不符合题意； C、与是内错角，原说法正确，符合题意； D、与不是同旁内角，原说法错误，不符合题意； 故选C． 【例1-4】（24-25七年级下·上海青浦·期末）用反证法证明“已知：在中，，求证：”时，应先假设（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须——否定． 根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】反证法证明命题：在中，，求证：， 第一步应先假设， 故选：B． 【变式1-1】（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，，是斜边上的高，那么表示点到直线的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】A 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长度，即可得解． 【详解】解：由题意可得：表示点到直线的距离是线段的长度， 故选：A． 【变式1-2】（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，在同一平面上，如果直线垂直于直线，直线垂直于直线，垂足为点，那么直线与直线重合的理由是（   ） A．垂线段相等 B．两点确定一条直线 C．在同一平面上，已知直线的垂线只有一条 D．在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 【答案】D 【分析】本题考查了垂线的定义，直接利用垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进而判断得出答案，掌握垂线的定义是解题的关键． 【详解】解：在同一平面内，，，垂足为，则直线和直线重合的理由是：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：． 【变式1-3】（24-25七年级下·上海青浦·期中）已知直线a、b、c在同一平面内，如果，，那么直线a、b的位置关系是______． 【答案】（或垂直）． 【分析】本题考查了平行线的性质以及垂线的性质，解题的关键是根据平行和垂直的传递性判断直线、的位置关系． 利用平行线的性质和垂线的定义，通过分析直线、与直线的关系，得出直线、的位置关系． 【详解】，， ，即直线、的位置关系是垂直． 故答案为：（或垂直）． 【变式1-4】（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，的同位角是______；的内错角是______；的同旁内角是______．（每空各填一个符合要求的角） 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】本题涉及到三线八角的知识，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是关键． 根据同位角、内错角、同旁内角的定义求解即可，“两直线被第三条直线所截，同位角位于两直线同侧，第三条直线的同旁；内错角位于两直线之间，第三条直线的两侧；同旁内角位于两直线之间，第三条直线的同侧．” 【详解】解：的同位角是；的内错角是或；的同旁内角是或或或， 故答案为：；（答案不唯一）；（答案不唯一）． 【变式1-5】（24-25七年级下·上海松江·月考）用反证法证明：已知，，是平面内3条不同的直线，如果，，那么． 证明：假设 ，那么它们相交于一点． 因为，，过点的两条直线、都与直线垂直．这与基本事实“ ”矛盾，故假设不成立．所以． 【答案】与不平行；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题主要考查了反证法，同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，先假设结论不成立，即假设与不平行，那么它们相交于一点，则可推出过点的两条直线、都与直线垂直，这与“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾，故假设不成立，据此求解即可． 【详解】证明：假设与不平行，那么它们相交于一点． ，，过点的两条直线、都与直线垂直． 这与基本事实“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾， 故假设不成立． 所以． 故答案为：与不平行；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 题型二 相交线角度计算（填空/解答，高频） 【例2-1】（25-26七年级下·上海·月考）如图，，与的度数之比为，则____． 【答案】15 【分析】由垂直的定义得，结合与的度数比，即可求解． 【详解】解：， ， 与的度数之比为，， ． 【例2-2】（24-25七年级下·上海·月考）如图，直线、相交于点，平分，且，那么______ 【答案】36 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，先利用对顶角相等可得，然后利用角平分线的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， 平分， ， 故答案为：． 【例2-3】（22-23七年级下·上海宝山·月考）如图，直线与相交于点，平分，．已知，求的度数．    【答案】 【分析】先利用对顶角的性质得到，再根据角平分线定义得到，接着利用垂直定义得到，则利用互余得到即可求解． 【详解】解：直线与相交于一点， ， 平分， ， ， ， ． 【变式3-1】（24-25七年级下·上海普陀·期中）已知与是对顶角，且与互余，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，余角和补角，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 根据对顶角相等得出，再根据互为余角的定义得出，即可求出的度数． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了垂直的意义，角的和差计算，熟练掌握计算是解题的关键．根据题意，得，，故，，解答即可． 【详解】解：根据题意，得，， 故， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】（23-24七年级下·上海·月考）如图，直线相交于点，，平分，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，对顶角相等，明确题意，准确得到角与角之间的数量关系是解题的关键． （1）根据对顶角相等和垂线定义得出，，然后求出结果； （2）设，则，得出，根据角平分线的定义得出，，列出方程，求出x的值，然后再求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ， ∵， ∴， 解得：， ∴ ． 题型三 平行线角度计算（含拐点）（填空/解答，高频） 【例3-1】（25-26七年级下·上海·月考）如图，平分，，且，则____°． 【答案】35 【分析】由得到，再根据平分得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴. 【例3-2】（24-25七年级下·上海·月考）如图，直线，点、、分别在直线、、上，若，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 根据两直线平行，同位角相等可得，内错角相等可得，然后根据计算即可得解． 【详解】解：如图， ，， ，， ． 故答案为：． 【例3-3】（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知，，，那么__________． 【答案】138 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的判定和性质，易得，则，得到，再根据对顶角相等，得到结果． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【例3-4】（24-25七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知，与交于点，，，则的度数为多少？ 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定及性质．过点P作，可得，根据平行线的性质求出，，进而根据角的和差即可求解． 【详解】解：过点P作， ∵，， ∴， ∴， ， ∴． 【变式3-1】（24-25七年级下·上海·期末）如图，将长方形纸条折叠，．按如图折叠，，则_____． 【答案】/115度 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质得到，由折叠的性质得到，即可通过平行线的性质求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，，，用和表示，_______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，作，，则，由平行线的性质可得，，，再结合几何图形分析即可得解，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，作，， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】（24-25七年级下·上海青浦·期末）如图，已知，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据得出，结合已知可得，即可证明，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴． 【变式3-4】（24-25七年级下·上海·期末）如图，在四边形中，，平分，E是上一点，交于点F．    (1)求的大小； (2)若，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键． （1）根据平行线的性质可得，即可算出的度数，根据角平分线的定义可得的度数，根据平行线的性质即可得出答案； （2）根据平行线的性质可得，由已知和三角形的内角和可得，即可算出的度数，根据平行线的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型四 平行线的判定与证明（解答，核心） 【例4-1】（25-26七年级下·上海·月考）如图，已知，平分，平分，求证：． 【分析】先证明，再证明即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 【例4-2】（24-25七年级下·上海浦东新·期末）完成下列证明： 已知：，，求证：． 证明：①　　， 又， ∴， ②　　③　　． ∴④　　⑤　　． （已知）， ∴． ⑥　　． 【答案】①对顶角相等②③同位角相等，两直线平行④⑤两直线平行，同旁内角互补⑥内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．根据平行线的判定和性质，补齐各步骤的结论和推理依据即可． 【详解】证明：对顶角相等）， 又， ， （同位角相等，两直线平行）， 两直线平行，同旁内角互补）， （已知）， ， 内错角相等，两直线平行）． 故答案为：①对顶角相等；②；③同位角相等，两直线平行；④；⑤两直线平行，同旁内角互补；⑥内错角相等，两直线平行． 【例4-3】（24-25七年级下·上海闵行·期末）如图，直线与直线分别相交于点． 请你从①；②；③中选择其中两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，并进行证明． 你选择作为已知条件的是：_______，作为结论的是_______．（填序号） 证明： 【答案】①②，③，证明见解析 【分析】本题考查平行线的判定，选择①②作为条件，③作为结论，由垂直定义得到，再由平行线的判定即可得证，熟记同位角相等，两直线平行是解决问题的关键． 【详解】解：你选择作为已知条件的是：①②，作为结论的是：③． 证明：，， ， （同位角相等，两直线平行）， 故答案为：①②，③． 【变式4-1】（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，点P在上，已知，，请说明的理由． 【答案】见详解 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据两直线平行，内错角相等得，则，即，运用内错角相等，两直线平行得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 【变式4-2】（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，垂足为点，，，求证：． 证明：， __________（ ）， ， ， （______）， （______）， ， ． ____________（______） （______） 【答案】 ， 垂直的定义， 同位角相等，两直线平行； 两直线平行，同旁内角互补； ； ， 内错角相等，两直线平行； 两直线平行，同位角相等 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定定理与性质定理求解即可． 【详解】证明：， （垂直的定义）， ， ， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， ， ． （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． 故答案为：；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 【变式4-3】（24-25七年级下·上海·月考）如图，直线和直线被直线所截，，求证：． 证明：， ______ ， ____________． 即______． ______ 【答案】两直线平行，内错角相等 内错角相等，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理与性质定理求证即可． 【详解】证明：， 两直线平行，内错角相等． ， ． 即． （内错角相等，两直线平行． 故答案为：两直线平行，内错角相等；；；；内错角相等，两直线平行． 【变式4-4】（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，已知，直线交线段的延长线于点M，按下列步骤完成证明：． 步骤一、 假设，则______（______） ∵， ∴________ ∴________________ 这与________矛盾， 即不等于． 步骤二、（请自己写出后面的证明过程） 【答案】见解析 【分析】本题考查反证法，平行线的判定与性质，假设，得出，再证明得出，这与直线交的延长线于点M矛盾，即不等于．假设，则，得出，与矛盾，即不小于． 【详解】步骤一、假设，则（等边对等角） ∵， ∴ ∴， 这与直线交的延长线于点M矛盾， 即不等于． 步骤二、 假设，则， ∵， ∴ ∵， ∴ 与矛盾 即不小于． 综上所述，． 题型五 综合探究题（压轴） 【例5-1】（24-25七年级下·上海·月考）如图1，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，，如图2，固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角． (1)当为______度时，，并在图3中画出相应的图形； (2)如图4，在旋转过程中，当时，试探究与之间的数量关系； (3)若旋转速度为/秒，当它的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出时间的所有值． 【答案】(1)15；见解析 (2) (3)3秒或9秒或21秒或27秒或30秒 【分析】本题考查了图形的旋转、平行线的性质、三角尺中角的和差的计算，解答此题的关键是通过画图，确定旋转后的位置，． （1）先根据平行线的性质可求出，再根据角的和差即可得出的度数，然后画图即可； （2）根据角的和差关系可得，据此可得结论； （3）分，，，，五种情况，分别利用平行线的性质、角的和差求出旋转角的度数，从而可求出时间t的值． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ∵， ∴， ； （2）解：由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴； （3）解：依题意，分以下五种情况： ①当时 由（1）知，， 则（秒）， ②当时，此时，与重合 则 ∴（秒）； ③当时，此时，， 则， ∴（秒）； ④当时，此时，与重合 则， ∴（秒）； ⑤当时 则， ∴（秒）； 综上，所有符合要求的t的值为3秒或9秒或21秒或27秒或30秒． 【例5-2】（24-25七年级下·上海金山·期中）【问题背景】 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为、之间一点，连接、，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【实际运用】 （2）消防云梯的示意图如图（2）所示，其由救援台、延展臂（在的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成，在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图（3）．使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，这时展角______°． 【深入探索】 （3）今年元宵节小美江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转．如图（4），射线从开始，绕点以10°每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以25°每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为45°，请求出运动时间秒（）的值． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）3秒或9秒 【分析】本题主要考查了旋转的定义、平行线的性质、三角形外角的性质、垂直的定义等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． （1）如图，过E点作，根据平行线的性质、角的和差以及等量代换即可解答； （2）如图：延长相交于点P，过P作，易得则、，由垂直的定义可得，然后根据角的和差以及平行线的性质即可解答； （3）将直线的点M平移与直线的N点重合，然后根据题意分情况画出图形，根据旋转的性质列出关于t的方程求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： 如图，过E点作， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）如图：延长相交于点P，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）将直线的点M平移与直线的N点重合， 根据题意得，， ∴， 由题意可得：， ∴，解得：； 根据题意得，， 由题意可得：， ∴， ∴，解得：； 根据题意得，， 由题意可得：， ∴， ∴，解得：（不符合题意）； 综上所述，运动时间秒为3或9． 【变式5-1】（24-25七年级下·上海浦东新·期中）根据表格中的素材，探索并在表格中完成任务． 项目主题 设计躺椅 设计背景 如图①，某家居制品工作室新设计了一款智能躺椅，可以根据人的坐姿自动调节椅背与腿托，使舒适感得到最大化，且该椅子的椅面始终与地面保持平行． 素材 如图②，已知在初始状态下，椅面平行于地面，腿托垂直于椅面，椅面与椅背所构成的此椅子可以通过开关分别调整椅背与腿托的角度，以达到舒适程度．已知在调整过程中，椅背以每秒顺时针转动，腿托以每秒顺时针转动． 任务一 如图③，在初始状态下仅调整腿托，使得腿托与椅背平行，请你在图③中画出此时拨托所在的直线，并求出腿托与椅面所形成的的度数； 任务二 如图④，在初始状态下仅调整椅背，将椅背转动，连接，此时测得，求的度数； 任务三 如图⑤，在初始状态下同时调整腿托与椅背，根据人体工学原理，当腿托与椅背平行时，舒适度更佳，求将椅子调整到该状态下，需要多长时间？ 【答案】任务一：图见解析，；任务二：；任务三：需要秒 【分析】本题考查平行线的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键： 任务一：根据题意画出平行线，根据平行线的性质求出，即可； 任务二：过点作，得到，根据平行线的性质求出角的度数即可； 任务三：根据，得到，据此列出方程进行求解即可． 【详解】任务一：画图如下： ∵， ∴； 任务二：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意，得：， ∵， ∴； 任务三：设需要； 当时，， ∴， 解得：； 答：需要秒． 【变式5-2】（24-25七年级下·上海闵行·月考）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为，之间一点，连接，，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． （2）如图（2），若在之间，，平分，，求与的数量关系； （3）如图（3），射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间秒的值． 【答案】（1），理由见解析（2）（3）或或 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、一元一次方程的应用，解题的关键是利用已知的结论和使用动态的思想求解． （1）过点作，根据平行线定理及性质得出，，再根据角的和差即可得出答案； （2）设，则，设，则， 由（1）知，，，可列出，再代入化简即可得出答案； （3）将直线将直线的点M平移与直线的N点重合，根据运动的角度为，结合题意将角度转化为、、角度差，结合题意列出对应的角度和差关系求解即可得出答案． 【详解】解：（1）过点作， ， ， ，， ， 即； （2）如图， 设，则，设，则， 由（1）知，， 同理可得， ， ， ， 由，得， 由，得， 将，代入， 可得； （3）将直线的点M平移与直线的N点重合，如图， 根据题意得，，， 则， 直线与直线相交所夹的锐角为， ， ， ， ； 根据题意得，，， 直线与直线相交所夹的锐角为， ， ， 即， ； 根据题意得，，， 直线与直线相交所夹的锐角为， ， ， 即， ； 综上所述，或或． 【变式5-3】（22-23七年级下·上海·期中）自“中欧铁路——上海号”发车以来，中欧班列逐渐开辟了一条以上海为起点，连接欧洲及“一带一路”沿线地区的商贸流通的全新通道．“中欧铁路”为了安全起见需要在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即且． (1)填空： °； (2)如图2，若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动．在转动过程中，灯B射线与交于点．在灯B射线到达之前，设灯A转动t秒． ①当时，则 °， （用含t的式子表示）． ②当灯A转动 秒时，两灯的光束可以互相平行？ (3)如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前，过C作交于点D，且，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【答案】(1)60 (2)①；；②30 (3)不发生变化， 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）根据，，即可得到的度数； （2）①根据路程速度时间即可求出； ②若，则，又，所以，所以，进而求解； （3）设灯射线转动时间为秒，根据，，即可得出，据此可得和关系不会变化． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：60． （2）解：①设灯转动秒， 则，， 故答案为：；． ②若，则， 又， ， ， ， ， ， 故答案为：30． （3）解：不发生变化，，理由如下： 设灯射线转动时间为秒， ， ， 又， ， 而， ， ， 即． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）下列命题中，假命题的是（   ） A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．平行于同一直线的两直线平行 D．过两点有且只有一条直线 【答案】B 【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理．利用平行线的性质及判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题，不符合题意； B、同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题错误，是假命题，符合题意； C、平行于同一直线的两条直线平行，正确，是真命题，不符合题意； D、过两点有且只有一条直线，正确，是真命题，不符合题意． 故选：B． 2．（23-24七年级下·上海闵行·期中）如图，，与互余，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查余角和补角．利用对顶角的定义及邻补角的定义即可求得的度数． 【详解】解：如图，， ∵与互余， ∴与互余， ∵， ∴． 故选：B． 二、填空题 3．（24-25七年级下·上海·月考）如图，中，，，垂足分别是、，那么点到的距离是线段______的长度． 【答案】 【知识点】点到直线的距离 【分析】本题考查 点到直线的距离，利用点到直线的距离是垂线段的长度是解题的关键．根据点到直线的距离的定义，即可得到答案． 【详解】解：因为，垂足是， 所以点到线段的距离是线段的长度． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，如果________，那么（请添加一个适当的条件，使该命题为真命题）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要查了平行线的判定．根据平行线的判定定理解答即可． 【详解】解：如果，那么，是真命题． 故答案为：（答案不唯一） 5．（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，已知，且，则________度． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是通过作辅助线，利用平行线的内错角相等性质来求解． 过点作平行于、的直线，将分成与、相等的角，进而得出与的关系． 【详解】如图： 过点作， ， ， ， ， 。 故答案为：130． 6．（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，平分，且．如果，那么______． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，根据角平分线的定义和平行线的性质得到，即可解题． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·上海·期末）如图，直线，将三角板的直角顶点放在直线上，如果，那么的度数是______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，由，则，然后通过即可求解，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·上海闵行·月考）如图，与是直线_____与直线_____被直线_____所截得到的内错角． 【答案】 【分析】本题考查了内错角的定义，两直线被第三条直线所截，在截线的两侧，被截线的内部的两个角是内错角，结合图形即可得出答案． 【详解】如图，与是直线与直线被直线所截得到的内错角． 故答案为：，，． 9．（22-23七年级下·上海闵行·期中）如图，，直线平分，则________． 【答案】 【分析】根据垂直，角的平分线的定义，对顶角即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∵直线平分， ∴，且， ∴， ∵（对顶角相等）， ∴， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）光从空气斜射入水中时会发生折射现象，在空气中平行的光线，因同种介质折射率相同，在水中仍保持平行．如图，如果，，那么______°． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质．由得到，则，由得到． 【详解】解：如图，由题意得，， 由题意得，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知：，求证：． 【答案】证明见解答过程． 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键． 根据平行线的判定与性质求证即可． 【详解】证明：， ， ， ， ． 12．（24-25七年级下·上海·月考）如图，平面上有两条直线、，点在直线上，按要求画图（不写结论）并填空： (1)过点画直线的垂线，垂足为点； (2)过点画直线交直线于点； (3)过点画直线．由图可知：点到直线距离为线段______的长度． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析， 【分析】本题考查作图-复杂作图，垂线，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据垂线段的定义画出即可； （2）根据垂线的定义画出即可； （3）根据平行线的定义画出即可，根据点到直线间的距离求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：直线即为所求； （3）解：直线即为所求，由图可知：点到直线距离为线段的长度． 故答案为：． 13．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，，求证：． 证明： ____________（______） ____________（______） （______） 【答案】 内错角相等，两直线平行 平行于同一直线的两条直线互相平行 两直线平行，内错角相等 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定定理与性质定理求证即可． 【详解】证明：， （内错角相等，两直线平行）， ， （平行于同一直线的两条直线互相平行）， （两直线平行，内错角相等）， 故答案为：；；内错角相等，两直线平行；；；平行于同一直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25七年级下·上海崇明·月考）下列命题中，是真命题的是（   ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．两个锐角的和是钝角 C．任何数的平方都大于0 D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】本题主要考查定理，熟练掌握定理是解题的关键．根据定理进行判断即可． 【详解】解：两直线平行，同旁内角互补，故选项A不符合题意； 两个锐角的和可能是锐角，直角或者钝角，故选项B不符合题意； 任何数的平方都大于等于0，故选项C不符合题意； 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故选项D符合题意； 故选D． 2．（24-25七年级下·上海静安·月考）如图已知，，则下列结论（1）；（2）；（3）；（4）．正确的有（    ） A．1个； B．2个； C．3个； D．4个． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，①根据内错角相等，判定两直线平行；②根据两直线平行，同旁内角互补与同旁内角互补，两直线平行进行判定；③根据两直线平行，同旁内角互补与同角的补角相等判定；④根据两直线平行，内错角相等判定． 【详解】解：∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， 所以①正确； ∵（已证）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 故②正确； ∵，（已证）， ∴，， ∴（同角的补角相等）， 所以③正确； ∵（已证）， ∴（两直线平行，内错角相等）， 所以④正确． 综上，正确的有①②③④，一共4个． 故选：D． 二、填空题 3．（24-25七年级下·上海静安·月考）如果一个角，它的两边与另一个角的两边分别平行，另一个角的大小为______． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的性质．分类讨论；分两种情况分别画出图形，利用平行线的性质即可求解． 【详解】①如图1，由题意得，，，, ∵， ∴； ∵， ∴； ②如图2，由题意得，，，， ∵， ∴； ∵， ∴； ∴； 综上，另一个角的度数为或． 故答案为：或． 4．（25-26七年级下·上海·月考）如图，点E、F分别在线段上，线段交于点G，，找出图中与所有相等的角：_____． 【答案】，， 【分析】根据平行线的性质和对顶角相等进行求解即可． 【详解】解：∵，（已知） ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴ （等量代换）， 又∵与是对顶角， ∴（对顶角相等）， ∴图中与所有相等的角有，，． 5．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，直线、相交于点．已知，把分成两个角，且，将射线绕点逆时针旋转角到，若时，的度数是___________． 【答案】或 【分析】本题考查的是对顶角的性质，角的和差运算，分两种情况讨论：当在之间时，当在之间时，先求解，，再分别进一步求解即可． 【详解】解：①当在之间时，如图． ∵直线、相交于点，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即； ②当在之间时，如图． ∵直线、相交于点，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：或 6．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知长方形纸带，，，将纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，，再沿折叠，______． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质，由折叠的性质可得，，再由平行的性质得，再利用平角的性质得，则求得，再根据可得答案． 【详解】解：由折叠可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·上海青浦·期末）将一副三角尺如图1所示摆放，分别在直线上，，直线．现将三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设时间为秒，当时，如果边与三角尺的一条直角边平行（旋转过程中三角尺任意两边所在的直线不重合），那么所有满足条件的的值为___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，先根据题意画出旋转后的图形，由已知条件，利用平行线的旋转，求出旋转角之间的关系，列出方程解答即可．解题关键是根据题意，画出旋转后的图形． 【详解】解：由题意得：，， （1）当时， 如图所示：延长交于点， ①在上方， ，，， ， ， ， ， ， 即， 解得：； ②在下方时，， ，，， ， ， ， ， ， 即， 解得：（舍去）； 如图：当时，延长交于点， ①在上方，度， ，， ， ， ， ， ， 即，解得：； ②在下方，度， ，，， ， ， ， ， ， 即，解得：（舍去）， 综上可知：所有满足条件的的值为：或， 故答案为：或． 三、解答题 8．（24-25七年级下·上海·月考）一大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于点，平行于地面，若，求的度数； 解：过点作 ， _________________（______） （余下的说理过程请写在下方） 【答案】，过程见解析． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，结合垂直的定义，根据平行线的判定定理与性质定理求解即可． 【详解】解：过点作， ， （平行于同一直线的两直线互相平行）， ，， ， ， 又， ，， ． 9．（24-25七年级下·上海虹口·期末）已知：如图，中，于点D，于点G，线段，点E、A、C在同一直线上，求证：平分．请把以下证明过程补充完整． 证明：∵于点D，于点G， ∴ ∴（_______） ∴______（_________）， _________（________） ∵， ∴______（________） ∴，即平分． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的判定和性质，等腰三角形性质，角的平分线定义证明即可． 本题考查了平行线的判定和性质，等腰三角形性质，角的平分线定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵于点D，于点G， ∴ ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等）， （两直线平行，内错角相等） ∵， ∴（等边对等角） ∴，即平分． 故答案为：同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；；等边对等角． 10．（24-25七年级下·上海宝山·月考）在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点画直线的平行线的方法，折纸过程如下：． (1)通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是______；如图④，______，则与的位置关系为______． (2)张华在（1）的条件下继续探究，他在两点处安装了绚丽的小射灯，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，若灯射线转动20秒后，灯射线开始转动，在灯射线第一次到达之前，当灯转动秒时，灯射线转动到如图⑤的位置． ①用含的式子表示_________；②当时，两条射线的夹角为_________． (3)在（2）的条件下，在灯射线第一次到达之前． 灯转动______秒，两灯的光束互相平行： 灯转动______秒，两灯的光束互相垂直． 【答案】(1)垂直；；平行 (2)①；② (3)10或85或130；55或或145 【分析】（1）根据折叠性质及平行线判定即可得到本题答案； （2）①先求出灯转动20秒后度数为，继而得出本题答案； ②算出当时，，，再根据，得出，即可求出两条射线的夹角． （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别画出图形，根据平行线的性质和垂直的定义，列出方程，解题方程即可． 【详解】（1）解：如图， ∵折叠， ∴直线折叠重合为两个角，平角为， ∴，即， ∴与直线的位置关系是：垂直， 如图： ∵， ， 由折叠可知：， ， （内错角相等，两直线平行）； 故答案为：垂直；；平行； （2）解：①∵灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，灯射线转动20秒后，灯射线开始转动， ∴灯转动20秒后度数为， 又∵当灯转动秒时，灯射线转动到如图（5）的位置， ∴此时灯再次转动了， ， 故答案为：； ②当时，，， ∵， ∴， ∴两条射线的夹角为． （3）解：①当时，如图， ， ， ， ， ∴， 解得：； 当时，如图， ， ， ， ， ∴， ∴， 解得：； 当时，如图， ， ， ， ， ∴， ∴ ∴， 解得：， 综上所述：当为10或85或130时，两灯的光束互相平行． ②当时，如图， ， ， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当时，如图， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 当时，如图， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 综上所述：当为55或或145时，两灯的光束互相垂直． 【点睛】本题考查垂直判定，平行线判定及性质，折叠性质等知识点，解题的关键是掌握相关知识点． 11．（24-25七年级下·上海静安·期中）如图1，数学课上老师将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，． (1)求此时的度数； (2)如图2，若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数； (3)在（2）的前提下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当三角板第一次回到图的位置时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)秒或秒或秒或秒或 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用，全面分类、熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． （1）过作，由平行线的性质得出，，再由计算即可得出答案； （2）过F作．由平行线的性质得出，，再由计算即可得出答案； （3）分五种情况，分别画出图形，利用平行线的性质建立方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：如图1，过作． ∴，， ∴． ∴，， ∴． （2）解：如图2，过F作． ∵，， ∴． ∴，， ∴． （3）解：如图3，当时， ∵，， ∴， ∴． ∴， 解得：． 如图4，当时， ∵，， ∴． ∴， 解得：． 如图5，当时，过作． ∵，， ∴． ∴，． ∴， 解得：． 如图6，当时， ∵，， ∴， ∴ ∴， 解得：． 如图7，当时， ∵，， ∴． ∴， 解得：． 综上，值为秒或秒或秒或秒或秒时，存在三角板的某一条边与平行的情况． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $