专题11.1 余弦定理（高效培优讲义）数学苏教版高一必修第二册

专题11.1 余弦定理 教学目标 1.借助向量运算探索三角形边与角的关系，掌握余弦定理及证明余弦定理的方法． 2.能运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题． 3.运用余弦定理解决一些与测量及几何计算有关的实际问题． 4.通过向量的数量积将向量等式转化为数量等式，进而抽象出余弦定理，在此过程中发展学生的数学抽象素养；在用余弦定理处理解三角形问题的过程中，发展学生的数学运算素养． 教学重难点 1.重点 余弦定理的证明及应用． 2.难点 能够通过分析、转化，为应用余弦定理创造条件. 知识点01 余弦定理 1.余弦定理的公式表达及语言叙述 余 弦 定 理 公式表达 a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C 语言叙述 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 推论 cos A＝， cos B＝， cos C＝ 2.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题 (1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形． (2)若已知两边和一边的对角，可以用余弦定理解三角形． 【即学即练】 1．在中，角所对的边分别为，，，，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，，，则（　　） A．30° B．60° C．150° D．120° 知识点02 解三角形 1.解三角形的概念 一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 【即学即练】 1．在中，内角、、所对的边分别为，，，已知， ，，则（　　） A． B． C． D． 2．在中，内角所对的边分别是，已知，则（　　） A． B． C． D． 题型01 余弦定理的应用--求边（求值） 【典例1】在中，内角的对边分别为.若，，且则（　　） A． B． C． D． 【变式1】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】在中，内角的对边分别为，若，且，则（　　） A．1 B． C． D．2 【变式3】在中，已知，，，点在线段上，且满足，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【变式4】已知的内角，，的对边分别为，，，且，若，，则的值是 ． 题型02 余弦定理的应用--求角 【典例1】在中，若，则（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知中，，则角A等于（　　） A． B． C． D． 【变式2】在中，若，则（　　） A． B． C． D． 【变式3】（多选）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B的值为（　　） A． B． C． D． 题型03 余弦定理的应用--最值（范围） 【典例1】锐角中，，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．不确定 求三角形边长或角的最值（范围）： 结合余弦定理与基本不等式（如 ）或二次函数性质，确定边或角的取值范围。 【变式1】设是钝角三角形的三边长，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式3】已知△ABC是钝角三角形，角A，B，C的对边依次是a，b，c，且，，则边c的取值范围是 ． 【变式4】在中，设边所对的角为，若，则的最大值为 ． 题型04 余弦定理与平面图形结合 【典例1】如图，在平面四边形ABCD中，，则DB的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 【变式1】如图所示，点A是等边外一点，且，，，则的周长为 ．    【变式2】如图，在中，点是边上的一点，，，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【变式3】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则中线AD的长为 . 【变式4】如图，在中，． (1)求的长； (2)已知点D在平面内，且，求四边形的周长的最大值． 题型05 已知两边及一角解三角形 【典例1】在中，，，，则（　　） A． B． C．或 D．或 已知两边及一角，解三角形： 先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解； 【变式1】在中，内角，，所对的边分别是，，，若，，，则（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】在中，已知，，，b＝5，则c＝______． 【变式3】的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则 ． 【变式4】若中，，，，则______． 题型06 已知三边解三角形 【典例1】在中，内角、、所对的边分别为、、，若、、，则（　　） A． B． C． D． 已知三边，解三角形： 解法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一； 解法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解. 【变式1】在中，，则的值为（　　） A． B．－ C．－ D． 【变式2】已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 . 【变式3】已知，在钝角中，，，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型07 利用余弦定理判断三角形形状 【典例1】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则为（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 利用余弦定理判断三角形形状的方法： (1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线 ①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系. ②先化角为边，再进行代数恒等变换(因式分解、配方等)，求出三边之间的数量关系,统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解． (2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论 ①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2. ②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2. ③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2. ④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝ . 【变式1】在中，若，则该三角形一定是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 【变式2】已知的三边a､b､c满足：，则此三角形是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【变式3】三角形中，内角的对边分别为，若，则三角形的形状是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【变式4】若，且，那么是（　　） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式4】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则该三角形一定是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 题型08 利用余弦定理解决实际问题 【典例1】如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观察站C的北偏东的方向，灯塔B在观察站C的南偏东的方向，则灯塔A与灯塔B间的距离为（　　） A． B． C． D． 解决实际问题其实只比解三角形多一步，即把实际问题中涉及的量纳入到图形中．这一过程中要特别注意准确理解和翻译相关术语． 【变式1】一艘轮船南偏东方向上10海里处有一灯塔，该轮船以18海里/时的速度沿北偏东的方向直线航行，行驶20分钟后，轮船与灯塔的距离为（　　） A．17海里 B．16海里 C．15海里 D．14海里 【变式2】落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且AB＝BC＝75米，则滕王阁的高度OP＝ 米． 【变式3】如图，某住宅小区的平面呈扇形AOC，小区的两个出入口设置在点A和点C处，小区里有两条笔直的小路AD，DC，且拐弯处的转角为120°.已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径OA的长约为______米.（结果保留整数） 1．在中，内角，，所对的边分别是，，，若，则角的值为（　　） A． B． C． D． 2．中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（　　） A． B． C． D． 3．在△中，，边上的高等于，则（　　） A． B． C． D． 4．在中，内角的对边分别为.若，则的形状为（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 5．的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2，，则（　　） A． B． C． D．3 6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，，则b＋c的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．（多选）某人向正东方向走了后向右转了，然后沿新方向走了，结果离出发点恰好，那么x的值是（　　） A． B． C．3 D．6 8．（多选）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.若三角形有两解，则边c的取值可以是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 9.（多选）在中，由以下各条件分别能得出为等边三角形的有（　　） A．已知且 B．已知且 C．已知且 D．已知且 10．在中，角的对边分别为，若，则_________ 11．在中，内角A，B，C的对边分别为，且，，，符合条件的三角形有两个，则实数的取值范围是_____ 12．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则的取值范围是___________. 13．记的内角，，的对边分别为，，．已知，，． (1)求的值； (2)若点在边上，且，求． 14．在中，内角所对的边分别为，且. (1)证明：. (2)若是的中点，求的最大值. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.1 余弦定理 教学目标 1.借助向量运算探索三角形边与角的关系，掌握余弦定理及证明余弦定理的方法． 2.能运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题． 3.运用余弦定理解决一些与测量及几何计算有关的实际问题． 4.通过向量的数量积将向量等式转化为数量等式，进而抽象出余弦定理，在此过程中发展学生的数学抽象素养；在用余弦定理处理解三角形问题的过程中，发展学生的数学运算素养． 教学重难点 1.重点 余弦定理的证明及应用． 2.难点 能够通过分析、转化，为应用余弦定理创造条件. 知识点01 余弦定理 1.余弦定理的公式表达及语言叙述 余 弦 定 理 公式表达 a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C 语言叙述 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 推论 cos A＝， cos B＝， cos C＝ 2.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题 (1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形． (2)若已知两边和一边的对角，可以用余弦定理解三角形． 【即学即练】 1．在中，角所对的边分别为，，，，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由余弦定理计算求解即可. 【解析】在中，，，， 由余弦定理得， 所以. 故选：B. 2．已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，，，则（　　） A．30° B．60° C．150° D．120° 【答案】B 【分析】由余弦定理直接计算求解即可. 【解析】由题可得， 因为，所以. 故选：B. 知识点02 解三角形 1.解三角形的概念 一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 【即学即练】 1．在中，内角、、所对的边分别为，，，已知， ，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知利用正弦定理可得，利用，可得为锐角，然后求出，根据三角形内角和定理，求出的值． 【解析】解：，，， 由正弦定理， 可得，， ，为锐角，， ． 故选：C． 2．在中，内角所对的边分别是，已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题结合三角形内角和定理可得B=C,进而b＝c＝2a，利用余弦定理即可得解． 【解析】已知：π﹣A＝2B，A+B+C＝π 则：B＝C， 所以：b＝c＝2a． 则：． 故选C． 题型01 余弦定理的应用--求边（求值） 【典例1】在中，内角的对边分别为.若，，且则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理表示出，利用条件变换求解即可. 【解析】因为，，且 由余弦定理知， ， 解得， 故选：A 【变式1】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由余弦定理求出答案. 【解析】由得：， 解得： 故选：B 【变式2】在中，内角的对边分别为，若，且，则（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】给两边同时乘以，结合余弦定理求解即可. 【解析】因为，两边同时乘以得： ，由余弦定理可得， 则，所以有， 又，所以，又因为， 所以. 故选：A. 【变式3】在中，已知，，，点在线段上，且满足，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在中，利用余弦定理先求得，再在中利用余弦定理求得，再在中利用余弦定理求得的长． 【解析】在中，由余弦定理有， 所以， 在中，由余弦定理有， 又，所以， 在中，由余弦定理有 ， 所以． 故选：B 【变式4】已知的内角，，的对边分别为，，，且，若，，则的值是 ． 【答案】2 【分析】由余弦定理求得，结合，可求得，故结合可求得，再利用余弦定理即可求得答案. 【解析】由中，可得， 由于，则，且， 由可得， 故， 故答案为：2 题型02 余弦定理的应用--求角 【典例1】在中，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知，应用余弦边角关系求，即可得角的大小. 【解析】由题设，则， 所以，又，可得. 故选：C. 【变式1】已知中，，则角A等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦定理边化角，可得的值，即得答案. 【解析】由中，可得 , 由于 ,故 , 故选：A 【变式2】在中，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理即可得解. 【解析】因为，即，所以， 由余弦定理可得， 又，所以. 故选：B． 【变式3】（多选）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用余弦定理代入式子中能得到，结合的范围即能得到答案 【解析】解：根据余弦定理可知，代入，可得，即， 因为，所以或， 故选：BD. 题型03 余弦定理的应用--最值（范围） 【典例1】锐角中，，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】锐角三角形最大角为锐角，由于，所以的最大角是角或角，则且，利用余弦定理列式即可求得的取值范围 【解析】由于，所以的最大角是角或角， 则且 故. 故选：C. 求三角形边长或角的最值（范围）： 结合余弦定理与基本不等式（如 ）或二次函数性质，确定边或角的取值范围。 【变式1】设是钝角三角形的三边长，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理列不等式来求得的取值范围. 【解析】由于是钝角三角形的三边长， 所以，且，所以. 设最长边对的角为， 则， 解得. 故选：B 【变式2】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对原式化简得，再将其代入余弦定理结合基本不等式即可求出最值. 【解析】，化简得， ， 当且仅当时等号成立， 故选：D. 【变式3】已知△ABC是钝角三角形，角A，B，C的对边依次是a，b，c，且，，则边c的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据余弦定理，结合三角形两边和大于第三边求解即可. 【解析】当角C为最大角时，由题意，， 即，解得，又三角形两边和大于第三边，故， 故； 当角C不是最大角时，则角B为最大角，由题意，， 即，解得，又三角形两边差小于第三边，故， 故； 所以边c的取值范围是. 故答案为： 【变式4】在中，设边所对的角为，若，则的最大值为 ． 【答案】6 【分析】题目考察余弦定理和基本不等式的综合应用，根据余弦定理写出之间的关系式，应用基本不等式求最大值 【解析】根据题意，在中，若，，则，即，又由，则有，即的最大值为6． 故答案为：6 题型04 余弦定理与平面图形结合 【典例1】如图，在平面四边形ABCD中，，则DB的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由题意在直角中，可得BC的值，再在中，由余弦定理可得BD的大小． 【解析】在中，， 可得 ， 在中，， 由余弦定理可得， 即， 即，解得（负值已舍）． 即BD的长度为1． 故选：A． 【变式1】如图所示，点A是等边外一点，且，，，则的周长为 ．    【答案】/ 【分析】在中，由余弦定理求得，然后结合等腰三角形、直角三角形求得结论． 【解析】在中，由余弦定理可知， 整理可得，解得，所以， 又是等边三角形，所以，， 由勾股定理可得，，所以的周长为． 故答案为：. 【变式2】如图，在中，点是边上的一点，，，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，在中根据余弦定理，可求，再在中利用余弦定理，即可求. 【解析】中根据余弦定理， 即，整理为，解得， 在中利用余弦定理， ，所以. 故选：C. 【变式3】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则中线AD的长为 . 【答案】 【分析】在和中利用余弦定理建立方程求解即可. 【解析】如图，由余弦定理得， ，又， 两式相加得，即，化简得， 所以.    故答案为： 【变式4】如图，在中，． (1)求的长； (2)已知点D在平面内，且，求四边形的周长的最大值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由余弦定理解方程可得； （2）由已知，问题转化为求的最大值.先根据题意得四点共圆，借助对角互补求出， 再在中利用余弦定理得边角关系，利用基本不等式可求最值. 【解析】（1）在中，， 由余弦定理得，，即， 化简得，解得（舍），或， 故的长为； （2）已知点D在平面内，且， 则四点共圆，， 则， 在中，由余弦定理得，， 则， ，， 解得，当且仅当时等号成立. 即的最大值为， 又，故四边形周长的最大值为. 题型05 已知两边及一角解三角形 【典例1】在中，，，，则（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据条件，利用余弦定理得到，再由，得到，即可求出结果. 【解析】因为，，，由余弦定理， 得到，即，解得， 由，得到， 又，所以， 故选：B. 已知两边及一角，解三角形： 先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解； 【变式1】在中，内角，，所对的边分别是，，，若，，，则（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】利用余弦定理列方程求解. 【解析】由余弦定理得即， 解得（舍）， 故选：B. 【变式2】在中，已知，，，b＝5，则c＝______． 【答案】2 【分析】由，得，再结合，得到角为钝角，然后利用余弦定理求解. 【解析】解：在中， ，b＝5， 由，得， 因为， 所以角为钝角，则， 由余弦定理得， 即，解得或（舍去）， 故答案为：2 【变式3】的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则 ． 【答案】 【分析】根据余弦定理得，即可求出结果，再有余弦定理的推论求得. 【解析】由余弦定理可得， 解得， 所以， 故答案为：. 【变式4】若中，，，，则______． 【答案】或 【分析】由已知可求得.分与两种情况，根据余弦定理，即可求出结果. 【解析】因为，，所以. 当时，由余弦定理， 因为，，解得； 当时，由余弦定理， 因为，，解得. 故答案为：或. 题型06 已知三边解三角形 【典例1】在中，内角、、所对的边分别为、、，若、、，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理求解即可； 【解析】， 又因为， 则， 故选：C 已知三边，解三角形： 解法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一； 解法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解. 【变式1】在中，，则的值为（　　） A． B．－ C．－ D． 【答案】C 【分析】由题意可设，再根据余弦定理求解即可. 【解析】解：因为， 所以设， 由余弦定理可得. 故选：C. 【变式2】已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 . 【答案】 【分析】利用余弦定理求解即可. 【解析】在中，，由余弦定理， ， 因为，所以， 又在中，， 所以. 故答案为：. 【变式3】已知，在钝角中，，，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知，角最大，由余弦定理得出，再结合三角形三边关系可得出实数的取值范围. 【解析】因为，所以， 所以. 又， 所以最大，则由余弦定理得，得， 因为，解得， 因为， 所以， 所以的取值范围是. 故选：B. 题型07 利用余弦定理判断三角形形状 【典例1】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则为（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】利用余弦定理角化边，然后确定的形状即可. 【解析】因为， 根据余弦定理得， 整理得， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形， 故选：B. 利用余弦定理判断三角形形状的方法： (1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线 ①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系. ②先化角为边，再进行代数恒等变换(因式分解、配方等)，求出三边之间的数量关系,统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解． (2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论 ①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2. ②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2. ③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2. ④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝ . 【变式1】在中，若，则该三角形一定是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 【答案】A 【分析】利用余弦定理将角转化为边，然后化简可得结果. 【解析】因为， 所以由余弦定理得， 所以，所以， 因为，所以， 所以为等腰三角形， 故选：A 【变式2】已知的三边a､b､c满足：，则此三角形是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】将变成，然后根据取值范围分析即可 【解析】因为,所以 两边同除以,得 因为,所以.所以 即 所以为锐角,又为最大角,所以此三角形是锐角三角形 故选：A 【变式3】三角形中，内角的对边分别为，若，则三角形的形状是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【分析】根据余弦定理进行转化，判断三角形的形状. 【解析】由余弦定理，， 因为，所以. 故选：A 【变式4】若，且，那么是（　　） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围可得出角的值，再利用结合余弦定理可得出，即可得出结论. 【解析】因为，则，可得， 由余弦定理可得，因为，所以，， 因为，则，整理可得. 所以，为等边三角形. 故选：A. 【变式4】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则该三角形一定是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】由余弦定理得到，结合，得到，判断出三角形为直角三角形. 【解析】∵， ∴， 由余弦定理可得：， 整理可得：，① ∵， ∴，② 由①②得， ∴该三角形是直角三角形. 故选：A 题型08 利用余弦定理解决实际问题 【典例1】如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观察站C的北偏东的方向，灯塔B在观察站C的南偏东的方向，则灯塔A与灯塔B间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理即可求解. 【解析】由题意可知, 由余弦定理可得， 故选：D 解决实际问题其实只比解三角形多一步，即把实际问题中涉及的量纳入到图形中．这一过程中要特别注意准确理解和翻译相关术语． 【变式1】一艘轮船南偏东方向上10海里处有一灯塔，该轮船以18海里/时的速度沿北偏东的方向直线航行，行驶20分钟后，轮船与灯塔的距离为（　　） A．17海里 B．16海里 C．15海里 D．14海里 【答案】D 【分析】由题意画出图形，结合余弦定理求解即可. 【解析】记轮船初始位置为A，灯塔的位置为B，20分钟后轮船的位置为C，如图所示． 则，，所以在中，由余弦定理得，所以． 故20分钟后，轮船与灯塔的距离为14海里． 故选：D. 【变式2】落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且AB＝BC＝75米，则滕王阁的高度OP＝ 米． 【答案】 【分析】设，表示出，利用结合余弦定理列方程求解. 【解析】设， 则. 由得， 由余弦定理得， 解得，即OP为米． 故答案为：. 【变式3】如图，某住宅小区的平面呈扇形AOC，小区的两个出入口设置在点A和点C处，小区里有两条笔直的小路AD，DC，且拐弯处的转角为120°.已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径OA的长约为______米.（结果保留整数） 【答案】445 【分析】设出半径，直接余弦定理求解即可. 【解析】设该扇形的半径为r米，由题意，得米，米，. 在△CDO中，由余弦定理得，即，解得. 故扇形的半径OA的长约为445米. 故答案为：445. 1．在中，内角，，所对的边分别是，，，若，则角的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理的边角关系及三角形内角的性质，即可求角. 【解析】由已知及余弦定理知：，而， 所以. 故选：C 2．中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用二倍角余弦公式求解，再利用余弦定理转化求解即可. 【解析】因为，所以， 又，， 所以， 所以. 故选：D 3．在△中，，边上的高等于，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可求得，利用余弦定理可求得，由余弦定理可求得. 【解析】设，由，边上高，且，可得． 设，代入、， 由余弦定理可是得，即． 所以． 故选：A. 4．在中，内角的对边分别为.若，则的形状为（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】根据余弦定理把题中条件化为边的关系式，即可判定. 【解析】根据余弦定理知， ， 所以，则, 故三角形为直角三角形， 故选：B 5．的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2，，则（　　） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】利用余弦定理角化边可求出结果. 【解析】因为，又因为， 所以， 所以， 所以， 所以，所以. 故选：D 6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，，则b＋c的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理与基本不等式求出，再由三角形三边关系得到，从而求出b＋c的取值范围. 【解析】依题意得b2＋c2－bc＝3，即， 解得：，，当且仅当时取等号， 又，因此b＋c的取值范围是. 故选：B 7．（多选）某人向正东方向走了后向右转了，然后沿新方向走了，结果离出发点恰好，那么x的值是（　　） A． B． C．3 D．6 【答案】AB 【分析】设，由余弦定理代入即可得出答案. 【解析】 由题意设． 由余弦定理得， 解得或． 故选：AB. 8．（多选）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.若三角形有两解，则边c的取值可以是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】BC 【分析】由余弦定理以及方程有两个正根，，从而列出关于的不等式即可求解. 【解析】由余弦定理得，即. 因为三角形有两解， 所以方程有两个正根，， 由，，得， 故选：BC 9.（多选）在中，由以下各条件分别能得出为等边三角形的有（　　） A．已知且 B．已知且 C．已知且 D．已知且 【答案】AC 【分析】利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状. 【解析】对于A、因为，所以，由余弦定理得，， 又，所以，所以，所以，所以， 所以为等边三角形..故A正确； 对于B，因为，，所以或， 当时，，所以，所以为等边三角形； 当时，，所以为等腰三角形.故B错误； 对于C，因为且，所以；所以，所以， 又，所以，所以为等边三角形.故C正确； 对于D，因为；所以由余弦定理得或 当时，，所以，所以为等边三角形； 当时，，所以，，所以为直角三角形.故D错误. 故选：AC 10．在中，角的对边分别为，若，则_________ 【答案】4 【分析】利用余弦定理结合整体代入思想求解即可. 【解析】因为，所以，而， 在中，，所以，故， 由余弦定理得，代入得， ，故， 故，故B正确. 故答案为：4 11．在中，内角A，B，C的对边分别为，且，，，符合条件的三角形有两个，则实数的取值范围是_____ 【答案】 【分析】利用余弦定理，构造关于c的方程，利用根的分布求出x的范围. 【解析】在中， ，，， 由余弦定理得：，即. 因为符合条件的三角形有两个，所以关于c的方程由两个正根， 所以，解得：. 故实数的取值范围是. 故答案为： 12．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】根据条件得，结合余弦定理求得，根据同角三角函数值的平方关系可得答案. 【解析】由得： ， 故 ， 当且仅当 时取等号， 由于 ,故 ， 则 ，则 ， 故答案为： 13．记的内角，，的对边分别为，，．已知，，． (1)求的值； (2)若点在边上，且，求． 【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）根据余弦定理求解； （2）根据余弦定理先求，再求，或者应用向量关系平方计算即可. 【解析】（1）如图，在中，因为，，， 所以． （2）方法一   因为点在边上，且， 所以，， 又因为， 所以在中，由余弦定理得，可得． 方法二   ， ， ， ，即． 14．在中，内角所对的边分别为，且. (1)证明：. (2)若是的中点，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）利用倍角正余弦公式及差角正弦公式，将已知等式化为，即可证结论； （2）应用余弦定理得，再由基本不等式求最值，进而确定角的最大值. 【解析】（1）因为， 所以则， 整理得，即. 因为，所以，即. （2）由（1）及题设，有， 所以 ， 所以，当且仅当时，等号成立. 故的最大值为. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $