11.1&11.2 余弦定理、正弦定理（讲义）高一数学苏教版必修第二册

第十一章 解三角形 11.1&11.2 余弦定理、正弦定理 知识点一 余弦定理 1.定理与公式：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC 2.变形：在△ABC中，cosA＝，cosB＝，cosC＝ 3.解三角形：一般地，把三角形三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形 即学即练 （25-26高一下·全国·课堂例题）在中，已知，，，求，和． 知识点二 正弦定理 1.定理与公式：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝ 2.变形：＝＝＝＝2R.其中，R为△ABC外接圆的半径． 即学即练 （18-19高一下·江苏连云港·期中）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，，求c的值． 题型01 已知两边及一角解三角形 已知两边及一角解三角形的方法： (1)当已知两边及它们的夹角时，用余弦定理求解出第三边，再用正弦定理和三角形内角和定理求解另外两角，只有一解； (2)当已知两边及其一边的对角时，可用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边；也可用正弦定理求解，但都要注意解的情况的讨论．利用余弦定理求解相对简便． 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·全国·课堂例题）在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求的值； (2)若，，求． 变｜式｜巩｜固 1.（2026高一·全国·专题练习）中，，，，为中最大角，为上一点，，则（    ） A． B． C． D． 2．（20-21高一·全国·课后作业）△ABC中，a=2，b=1，A+B=60°，求边长c． 题型02 已知三边解三角形 已知三边解三角形的方法 (1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角． (2)利用余弦定理求三角的余弦，进而求得三个角． 易忽略三角形中，两边之和大于第三边而导致错误． 典｜例｜精｜析 在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求角A、B、C． 变｜式｜巩｜固 1.（2026·福建莆田·二模）记的内角，，的对边分别是，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 2.（20-21高一下·上海·课后作业）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则___________. 题型03 应用余弦定理判断三角形的形状 已知三角形的边或角的关系式解三角形或判断三角形的形状，可先观察条件式的特点，再依据此特点选取变形方法，当等式两端各项都含有边时常用正弦定理变形，当等式两边含有角的正弦的同次幂时，常用正弦定理变形，当含有边的积式及边的平方和与差的形式时，常考虑用余弦定理变形，可以化边为角，通过三角变换求解，也可以化角为边，通过因式分解、配方等方法得出边的关系等等． 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·全国·课后作业）在中，，判断的形状． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 2．（24-25高一下·江苏盐城·期中）在中，角A、B、C所对边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 题型04 已知两角和一边解三角形 已知任意两角和一边，解三角形的步骤： ①求角：根据三角形内角和定理求出第三个角； ②求边：根据正弦定理，求另外的两边． 已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解． 忽略大边对大角致错 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·全国·课堂例题）已知在中，，，，求、和． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，已知内角的对边分别为，，，且，，，求． 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知在中，，，，求a，b和B． 题型05 已知两边和其中一边的对角解三角形 已知三角形两边及一边对角解三角形时利用正弦定理求解，但要注意判定解的情况．基本步骤是：(1)求正弦：根据正弦定理求另外一边所对角的正弦值．判断解的情况．(2)求角：先根据正弦值求角，再根据内角和定理求第三角．(3)求边：根据正弦定理求第三条边的长度． 典｜例｜精｜析 （20-21高一下·黑龙江哈尔滨·月考）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则边长___________. 变｜式｜巩｜固 1．（多选）（20-21高一下·吉林长春·期中）已知的内角所对边的长分别为，，，，若满足条件的有两个，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 2.（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）已知中，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 题型06 运用正弦定理求三角形的面积 常用的三角形的面积公式有：(1)S△ABC＝×底×高；(2)S△ABC＝absinC＝acsinB＝bcsinA；要熟练掌握． 典｜例｜精｜析 （25-26高二上·湖南娄底·期末）在中，角所对的边分别为，且,,． (1)求； (2)求的面积． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课后作业）在中，，D为的中点，，，则的面积_____________． 2．（25-26高一下·全国·月考）在中，若，，，则__________，的面积__________． 题型07 利用正弦定理判断三角形形状 1.化边为角．将题目中的所有条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状． 2.化角为边．根据题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再利用代数恒等变换得到边的关系(如a＝b，a2＋b2＝c2)，进而确定三角形的形状． 3.在△ABC中，若sin2A＝sin2B，不一定只有A＝B，因为sin2A＝sin2B⇒2A＝2B，或2A＝π－2B⇒A＝B或A＋B＝． 判断出一个三角形是等腰三角形后，还要进一步讨论它是否可能是等边三角形或等腰直角三角形，不要匆忙下结论. 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·全国·课堂例题）在中，已知且，试判断该三角形的形状． 变｜式｜巩｜固 1．（14-15高二上·山东德州·期中）在中，已知，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 2．在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，试判断△ABC的形状． 题型08 判定三角形解的个数问题 1.应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数． 2.已知a、b、A，△ABC解的情况如下图示． (ⅰ)A为钝角或直角时解的情况如下： (ⅱ)A为锐角时，解的情况如下： 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·全国·课堂例题）已知一三角形中，，，判断三角形是否有解，若有解，解该三角形． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，符合上述条件的有________个． 2．（25-26高一上·上海宝山·期末）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，要使该三角形有唯一解，则的取值范围为________. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 解三角形 11.1&11.2 余弦定理、正弦定理 知识点一 余弦定理 1.定理与公式：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC 2.变形：在△ABC中，cosA＝，cosB＝，cosC＝ 3.解三角形：一般地，把三角形三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形 即学即练 （25-26高一下·全国·课堂例题）在中，已知，，，求，和． 【答案】，， 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据已知条件，利用余弦定理解三角形求出，再利用余弦定理求出，进而求出． 【详解】由余弦定理得：， ， ， ， 又， ，， ，，． 知识点二 正弦定理 1.定理与公式：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝ 2.变形：＝＝＝＝2R.其中，R为△ABC外接圆的半径． 即学即练 （18-19高一下·江苏连云港·期中）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，，求c的值． 【答案】(1) (2)或2 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用正弦定理进行边化角得到，将转化为，利用两角和的正弦公式计算得解； （2）利用正弦定理得到，从而求出，按照的值分类讨论求解. 【详解】（1）由，得． 因为， 所以转化为， 所以． 因为，所以．因为，所以． （2）由正弦定理，得． 所以或． ①当时，由，得，所以； ②当时，由，得， 所以． 综上可得或2． 题型01 已知两边及一角解三角形 已知两边及一角解三角形的方法： (1)当已知两边及它们的夹角时，用余弦定理求解出第三边，再用正弦定理和三角形内角和定理求解另外两角，只有一解； (2)当已知两边及其一边的对角时，可用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边；也可用正弦定理求解，但都要注意解的情况的讨论．利用余弦定理求解相对简便． 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·全国·课堂例题）在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求的值； (2)若，，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、余弦定理解三角形、已知正（余）弦求余（正）弦、诱导公式二、三、四 【分析】（1）应用诱导公式及两角和余弦公式计算得出，再结合角的范围及同角三角函数关系计算求解； （2）应用余弦定理计算求解边长. 【详解】（1）由， 得， 则， 即． 又， 则． （2）根据余弦定理，有， 解得或（负值舍去）． 变｜式｜巩｜固 1.（2026高一·全国·专题练习）中，，，，为中最大角，为上一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】先根据题意和余弦定理，在中求出AC的长，再求出AD的长，再由余弦定理在中求出BD的长． 【详解】设，由余弦定理得，， 即，整理得，解得或， ∵为中最大角，∴，又∵，∴， 在中，由余弦定理得，， 即，∴. 2．（20-21高一·全国·课后作业）△ABC中，a=2，b=1，A+B=60°，求边长c． 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、余弦定理及辨析 【分析】根据内角和定理和题意求出角C，再利用余弦定理即可求得答案． 【详解】解：由A+B=60°得，C=180°﹣（A+B）=120°， 由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=4+1﹣2×2×1×=7， 则c=． 题型02 已知三边解三角形 已知三边解三角形的方法 (1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角． (2)利用余弦定理求三角的余弦，进而求得三个角． 易忽略三角形中，两边之和大于第三边而导致错误． 典｜例｜精｜析 在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求角A、B、C． 【答案】30°，105°，45°. 【解析】在△ABC中，由余弦定理，得 cosC＝＝＝＝． ∴C＝45°，sinC＝.由正弦定理得，sinA＝＝＝． ∵a<c，∴A<C，∴A＝30°． ∴B＝180°－(A＋C)＝180°－(30°＋45°)＝105°． 变｜式｜巩｜固 1.（2026·福建莆田·二模）记的内角，，的对边分别是，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理求出的值，再结合角的取值范围确定角的大小. 【详解】 因为，所以. 故选：B. 2.（20-21高一下·上海·课后作业）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则___________. 【答案】 【知识点】余弦定理及辨析 【分析】运用余弦定理即可. 【详解】根据余弦定理知. 故答案为： 题型03 应用余弦定理判断三角形的形状 已知三角形的边或角的关系式解三角形或判断三角形的形状，可先观察条件式的特点，再依据此特点选取变形方法，当等式两端各项都含有边时常用正弦定理变形，当等式两边含有角的正弦的同次幂时，常用正弦定理变形，当含有边的积式及边的平方和与差的形式时，常考虑用余弦定理变形，可以化边为角，通过三角变换求解，也可以化角为边，通过因式分解、配方等方法得出边的关系等等． 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·全国·课后作业）在中，，判断的形状． 【答案】直角三角形 【知识点】余弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】先由化简题设条件，再由余弦定理角化边整理即可求解. 【详解】，∴原式可化为， 由余弦定理可得， 整理得，即， 或， 故一定为直角三角形． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、余弦定理边角互化的应用 【分析】由已知条件，利用余弦定理角化边即可得到关系式. 【详解】因为，由余弦定理知， 所以， 整理得， 即的形状是直角三角形. 故选：B. 2．（24-25高一下·江苏盐城·期中）在中，角A、B、C所对边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【知识点】二倍角的余弦公式、余弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】应用二倍角余弦公式及余弦边角关系得到，即可得. 【详解】由，则， 所以，可得，不能确定是否成立， 所以一定是直角三角形. 故选：B 题型04 已知两角和一边解三角形 已知任意两角和一边，解三角形的步骤： ①求角：根据三角形内角和定理求出第三个角； ②求边：根据正弦定理，求另外的两边． 已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解． 忽略大边对大角致错 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·全国·课堂例题）已知在中，，，，求、和． 【答案】，， 【知识点】正弦定理解三角形、求15°等特殊角的正弦 【分析】利用三角形的内角和可求出角的值，再利用正弦定理可求得、的值. 【详解】由正弦定理得，所以． ， 所以 ， 由正弦定理得， 所以． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，已知内角的对边分别为，，，且，，，求． 【答案】， 【知识点】正弦定理解三角形 【详解】在中，由，，得． 由正弦定理，得，． 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知在中，，，，求a，b和B． 【答案】，， 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求解即可. 【详解】在中，由，得， ， ， 由，得 ． 题型05 已知两边和其中一边的对角解三角形 已知三角形两边及一边对角解三角形时利用正弦定理求解，但要注意判定解的情况．基本步骤是：(1)求正弦：根据正弦定理求另外一边所对角的正弦值．判断解的情况．(2)求角：先根据正弦值求角，再根据内角和定理求第三角．(3)求边：根据正弦定理求第三条边的长度． 典｜例｜精｜析 （20-21高一下·黑龙江哈尔滨·月考）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则边长___________. 【答案】1或2 【知识点】余弦定理及辨析 【分析】利用余弦定理建立方程，解出b. 【详解】在中，由，，， 由余弦定理得： ， 解得：b=1或b=2 故答案为：1或2. 变｜式｜巩｜固 1．（多选）（20-21高一下·吉林长春·期中）已知的内角所对边的长分别为，，，，若满足条件的有两个，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】余弦定理及辨析 【分析】在中，由余弦定理建立起关于c的一元二次方程，利用这个方程有二不等的正根求出m的范围即可得解. 【详解】在中，由余弦定理得：， 即，依题意，关于c的一元二次方程有两个不等的正根， 所以，并且， 而m>0，则，取或，选项B，C符合条件. 故选：BC． 2.（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）已知中，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】根据已知条件利用正弦定理直接求解即可． 【详解】由正弦定理得，即， ，又， 或． 故选：BC． 题型06 运用正弦定理求三角形的面积 常用的三角形的面积公式有：(1)S△ABC＝×底×高；(2)S△ABC＝absinC＝acsinB＝bcsinA；要熟练掌握． 典｜例｜精｜析 （25-26高二上·湖南娄底·期末）在中，角所对的边分别为，且,,． (1)求； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由正弦定理边角互化可求得，结合条件求出的正弦值，利用正弦定理即可求出的值； （2）利用和角的正弦公式求出的值，再由三角形的面积公式计算即得. 【详解】（1）由， 得， 因为，所以， 所以，则， 因为，所以， 由正弦定理，，因为， 则； （2）因为， 所以 ， 则. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课后作业）在中，，D为的中点，，，则的面积_____________． 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、几何图形中的计算 【分析】由三角形面积公式得的面积，由的面积是的面积的2倍，求得的面积. 【详解】因为，，， 所以. 又D是的中点，所以． 故答案为：. 2．（25-26高一下·全国·月考）在中，若，，，则__________，的面积__________． 【答案】 / 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】利用正弦定理求出的值，结合大边对大角定理可求得角的值，利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】由正弦定理得， 又，， 则， ． 故答案为：，. 题型07 利用正弦定理判断三角形形状 1.化边为角．将题目中的所有条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状． 2.化角为边．根据题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再利用代数恒等变换得到边的关系(如a＝b，a2＋b2＝c2)，进而确定三角形的形状． 3.在△ABC中，若sin2A＝sin2B，不一定只有A＝B，因为sin2A＝sin2B⇒2A＝2B，或2A＝π－2B⇒A＝B或A＋B＝． 判断出一个三角形是等腰三角形后，还要进一步讨论它是否可能是等边三角形或等腰直角三角形，不要匆忙下结论. 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·全国·课堂例题）在中，已知且，试判断该三角形的形状． 【答案】该三角形是以为直角的直角三角形 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】由正弦定理角化边分别得到，，联立即可判断. 【详解】由正弦定理可得：． ，① 又，由正弦定理得．② 由①②，得． ∴该三角形是以为直角的直角三角形． 变｜式｜巩｜固 1．（14-15高二上·山东德州·期中）在中，已知，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【知识点】利用三角恒等变换判断三角形的形状、正弦定理边角互化的应用 【分析】由正弦定理边化角得到，再结合正弦二倍角公式即可判断. 【详解】在中，， ∴由正弦定理，得． 又，，． ，即，即， 因为， 或，即或， 为等腰三角形或直角三角形． 故选：D 2．在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，试判断△ABC的形状． 【答案】直角三角形 【详解】解法一：∵b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC， ∴利用正弦定理可得 sin2Bsin2C＋sin2Csin2B＝2sinB·sinC·cosB·cosC， ∵sinBsinC≠0，∴sinB·sinC＝cosBcosC，∴cos(B＋C)＝0，∴cosA＝0， ∵0<A<π，∴A＝，∴△ABC为直角三角形． 解法二：已知等式可化为b2－b2cos2C＋c2－c2·cos2B＝2bccosBcosC， 由余弦定理可得b2＋c2－b2·2－c2·()2 ＝2bc··∴b2＋c2＝a2，∴△ABC为直角三角形． 解法三：已知等式变形为b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccosB·cosC， ∴b2＋c2＝b2cos2C＋c2cos2B＋2bccosB·cosC， ∵b2cos2C＋c2cos2B＋2bccosBcosC＝(bcosC＋ccosB)2＝a2， ∴b2＋c2＝a2，∴△ABC为直角三角形． 题型08 判定三角形解的个数问题 1.应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数． 2.已知a、b、A，△ABC解的情况如下图示． (ⅰ)A为钝角或直角时解的情况如下： (ⅱ)A为锐角时，解的情况如下： 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·全国·课堂例题）已知一三角形中，，，判断三角形是否有解，若有解，解该三角形． 【答案】答案见解析 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理判定三角形解的个数、余弦定理解三角形 【分析】法一：直接由即可判断，法二：先由余弦定理求得，进而可求解. 【详解】（方法一）由，， 可得：，有两解． 或 （1）当时，， ， （2）当时，，，． （方法二）由得， ． ， ，即或． 当时，有，，． 当，，，． 即有两解． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，符合上述条件的有________个． 【答案】1 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据正弦定理及已知条件求出角，即可确定三角形个数. 【详解】由正弦定理，可得． 因为，所以，所以，故， 所以符合条件的只有一个． 故答案为：1． 2．（25-26高一上·上海宝山·期末）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，要使该三角形有唯一解，则的取值范围为________. 【答案】 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】利用正弦定理得出，分析可知或，可得出关于的不等式或等式，即可解得的取值范围. 【详解】因为，，由正弦定理 得，即， 因为，要使三角形有唯一解， 所以或，所以或， 即或，解得或， 所以的取值范围为 故答案为：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $