第07讲 复数的概念（八大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高一数学春季讲义（人教A版必修第二册）

本讲义聚焦复数的概念及应用，系统梳理数系扩充的必要性、复数的代数形式（实部、虚部、分类）、相等条件，延伸至几何意义（复平面、点与向量对应）及模与共轭复数的性质，构建从代数定义到几何表征的完整知识链。 通过8类题型（概念辨析、参数求解等）及例题变式，强化抽象能力与推理意识，结合复平面将复数与向量、图形关联，培养数学眼光与数形结合思维。课中辅助教师分层教学，课后练习题覆盖不同难度，助力学生巩固知识、查漏补缺。

第07讲 复数的概念 【人教A版】 模块一 数系的扩充和复数的概念 1．数系的扩充与复数的相关概念 (1)复数的引入 为了解决x2+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定： ①i2=-1，即i是方程x2+1=0的根； ②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立. 在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果 记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. (2)复数的概念 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫 做复数集.这样，方程x2+1=0在复数集C中就有解x=i了. (3)复数的表示 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部. (4)复数的分类 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R是复数集C的真子集，即. 复数z=a+bi可以分类如下： 复数， 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示. 2．复数相等 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当 a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 【注意】 1．虚部指的是虚数单位i前面的系数，不包含i. 2．了解虚数、纯虚数、实数三者的限制条件以及三者之间的关系. 3．实数可以比较大小，但是虚数不能比较大小. 【题型1 复数的基本概念】 【例1】（2025高一·全国·专题练习）下列命题正确的个数是（    ） ①；②若，且，则；③若，则；④两个虚数不能比较大小. A．1 B．2 C．0 D．3 【答案】B 【解题思路】根据虚数单位的性质判断①，根据虚数不能比较大小判断②④，举反例判断③. 【解答过程】对于①，因为，所以，故①正确； 对于②，两个虚数不能比较大小，故②错误； 对于③，当，时，成立，故③错误；④正确. 故选：B. 【变式1.1】（2025高一·全国·专题练习）给出下列命题： ①若R，则是纯虚数； ②若R且，则； ③若C，则复数的实部为a，虚部为b； ④i的平方等于. 其中正确命题的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【解题思路】利用复数的概念逐一判断各个命题即得. 【解答过程】对于复数（R），当且时为纯虚数， 在①中，若，则不是纯虚数，①错误； 在②中，两个虚数不能比较大小，②错误； 在③中，只有当R时，复数的实部才为a，虚部为b，③错误； 在④中，i的平方等于，④正确. 故选：D. 【变式1.2】（2025高一下·江苏·专题练习）下列命题： ①若，则是纯虚数； ②若，，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【解题思路】对于①，当时，即可判断；对于②，两个虚数不能比较大小；对于③，当时，即可判断；对于④，由复数集与实数集的关系即可判断. 【解答过程】对于①，若，则不是纯虚数，则①错误； 对于②，两个虚数不能比较大小，则②错误； 对于③，若，则，，此时不是纯虚数，则③错误； 对于④，由复数集与实数集的关系可知，实数集是复数集的真子集，则④正确. 故选：. 【变式1.3】（24-25高一下·全国·课后作业）下列四种说法正确的是（    ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 【答案】B 【解题思路】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可看求解. 【解答过程】对于A中，若，那么，所以A错误； 对于B中，由复数的概念，可得实数是复数，所以B正确； 对于C中，若且时，复数，所以C不正确； 对于D中，由虚数单位，可得D错误. 故选：B. 【题型2 求复数的实部与虚部】 【例2】（24-25高一下·贵州毕节·期中）设（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【解题思路】根据复数虚部的概念得解. 【解答过程】因为， 所以复数的虚部为. 故选：A. 【变式2.1】（24-25高一下·重庆万州·月考）若复数的实部与虚部之和为0，则b的值为（   ） A．2 B． C． D．-2 【答案】A 【解题思路】利用复数的实部和虚部求解即可. 【解答过程】由复数的实部与虚部之和为0， 得，即. 故选：A. 【变式2.2】（24-25高一·上海·课堂例题）在下列复数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？各数的实部和虚部分别是什么？ 、、、i、0、． 【答案】见解析 【解题思路】直接利用复数的基本概念逐一分析得答案． 【解答过程】、0是实数，的实部为，虚部为0；0的实部与虚部均为0． 、、、是虚数；i为纯虚数. 的实部为，虚部为6；的实部与虚部均为；的实部为，虚部为；的实部为0，虚部为1． 【变式2.3】（24-25高一·全国·课堂例题）写出复数4，，0，，，6i的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数． 【答案】答案见解析 【解题思路】根据复数的概念，即可得出答案. 【解答过程】4，，0，，，6i的实部分别是4，2，0，，5，0，虚部分别是0，，0，，，6． 4，0是实数； ，，，6i是虚数，其中6i是纯虚数． 【题型3 已知复数的类型求参数】 【例3】（24-25高一下·辽宁·期末）若复数为纯虚数，则a的值为（   ） A． B． C．或 D．且 【答案】B 【解题思路】根据纯虚数的概念列方程，求解即得答案. 【解答过程】复数为纯虚数， 则，解得， 故选：B. 【变式3.1】（24-25高一下·天津静海·期中）已知，，则“”是“复数是实数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】根据复数的概念，即可得出答案. 【解答过程】若，则复数是实数； 若复数是实数，则. 所以“”是“复数是实数”的充要条件. 故选：C. 【变式3.2】（24-25高一下·江苏盐城·期中）实数取何值时，复数是： (1)实数？ (2)虚数？ (3)0? 【答案】(1)或 (2)且 (3) 【解题思路】（1）根据复数为实数的充要条件列式求解即可； （2）根据复数为虚数的充要条件列式求解即可； （3）根据复数相等列式求解即可. 【解答过程】（1）当，即或时，复数是实数； （2）当，即且时，复数是虚数； （3）当即时，复数是0. 【变式3.3】（24-25高一下·全国·课后作业）当实数为何值时，复数满足下列条件？ (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数． 【答案】(1) (2)且 (3) 【解题思路】（1）根据复数是实数列式计算求参； （2）根据复数是虚数列式计算求参； （3）根据复数是纯虚数列式计算求参. 【解答过程】（1）当即时，复数是实数． （2）当，且，即且时，复数是虚数． （3）当即时，复数是纯虚数． 【题型4 复数的相等】 【例4】（24-25高一下·河南郑州·期中）若实数x，y满足，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】由条件结合复数相等的定义求，再求即可. 【解答过程】因为，所以，，故，故C正确. 故选：C. 【变式4.1】（24-25高一下·湖南郴州·期末）已知，为实数，（为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解题思路】由复数相等的条件即可求解. 【解答过程】因为， 所以，. 故选：B. 【变式4.2】（24-25高一下·吉林·期中）已知为实数，（为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解题思路】利用复数相等的定义即可求得. 【解答过程】因，则由复数相等的定义可得：. 故选：B. 【变式4.3】（24-25高一下·陕西·期中）已知复数，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据复数相等可得，结合三角函数及二次函数的性质即可求解. 【解答过程】因为，所以 则． 令， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，当时，， 所以． 故选：. 模块二 复数的几何意义 1．复数的几何意义 (1)复平面 根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面 直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来 表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)复数的几何意义——与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一 的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义. (3)复数的几何意义——与向量对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一 对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义. 【题型5 判断复数对应的点所在的象限】 【例5】（24-25高一下·福建福州·期末）已知（i是虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解题思路】由共轭复数的定义及复数的坐标表示判断即可. 【解答过程】由题设，对应点为，该点位于第四象限. 故选：D. 【变式5.1】（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）当时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解题思路】利用复数的几何意义可得出结论. 【解答过程】当时，， 所以，复数在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 【变式5.2】（24-25高一下·上海·期末）设复数和在复平面上所对应的点分别为和，其中为虚数单位，则向量所对应的复数在复平面上所对应的点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【解题思路】由复数的几何意义及平面向量的坐标运算求解． 【解答过程】依题意得，， 则， 得向量所对应的复数在复平面上所对应的点为：， 则点位于第一象限， 故选：A. 【变式5.3】（2025·宁夏陕西·模拟预测）“”是“复数在复平面内对应的点在第一象限”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据复数的在复平面内对应的点在第一象限确定的范围，再根据充分必要条件进行判断即可. 【解答过程】若复数在复平面内对应的点在第一象限， 则，所以， 故“”是“复数在复平面内对应的点在第一象限”的充分不必要条件. 故选：A. 【题型6 根据复数对应坐标的特点求参数】 【例6】（24-25高一下·河北雄安·期末）已知i为虚数单位，若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据复数对应的点位于第二象限，得出实部小于0，虚部大于0，列出不等式组，求出解集即可. 【解答过程】易得在复平面内对应的点为， 由题意可得，解得． 故选：B． 【变式6.1】（2025·甘肃·一模）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据复数的几何意义，结合题意，列出不等式，求解即可. 【解答过程】复数在复平面内对应的点为，若其在第二象限， 则，解得. 故选：C. 【变式6.2】（24-25高一下·河南南阳·期末）设复数和复平面内的点对应，若点的位置满足下列要求，分别求实数的取值范围. (1)在虚轴上； (2)在第三象限． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意结合复数的几何意义，建立方程，求解参数即可. （2）根据题意，结合对应点所在的位置，建立不等式求解参数范围即可. 【解答过程】（1）因为复数和复平面内的点Z对应， 且复数在虚轴上，则满足，所以解得. （2）因为复数和复平面内的点Z对应， 且复数在第三象限，则满足， 所以解得. 【变式6.3】（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内，若复数对应的点，满足下列条件时，分别求实数m的取值范围． (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在第二、四象限； (4)在直线上. 【答案】(1)或 (2) (3)或 (4) 【解题思路】（1）由实部为0，列式即可解出答案； （2）由实部小于0，虚部大于0，列式即可解出答案； （3）由实部、虚部异号，列出不等式求解即可； （4）由实部等于虚部，列式即可解出答案. 【解答过程】（1）复数的实部为，虚部为． 由题意得， 解得或． （2）由题意，， ． （3）由题意，， 或． （4）由已知得， 故． 模块三 复数的模及模的几何意义 1．复数的模 向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它 的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，. 2．共轭复数 (1)定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则=a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身. (2)几何意义 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复 平面内所对应的点重合，且在实轴上. (3)性质 ①. ②实数的共轭复数是它本身，即z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数. 3．复数的模的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数 的模的几何意义. (2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以 原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部. 【题型7 求复数的模或由复数模求参】 【例7】（24-25高一下·山东济宁·月考）若复数，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．96 【答案】C 【解题思路】根据模长公式，计算出模长再相减即可. 【解答过程】因为复数，所以， 故. 故选：C. 【变式7.1】（2025高一下·江苏·专题练习）若复数的实部与虚部互为相反数，则的值为（    ） A．0 B．2 C．8 D． 【答案】D 【解题思路】根据复数实部和虚部的定义求出，再根据复数的模的计算公式即可得解. 【解答过程】因为复数的实部为2，虚部为， 由题意可得，解得， 所以. 故选：D. 【变式7.2】（24-25高一下·重庆万州·期中）已知复数. (1)若是实数，求的值； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围； (3)若，求的值. 【答案】(1). (2). (3)或. 【解题思路】（1）先算出表达式，实数虚部是，让虚部对应式子为求. （2）已知形式，按条件列不等式组，分别解不等式，取交集得范围. （3）由模的值列等式，两边平方去掉根号，展开合并得方程，因式分解求解. 【解答过程】（1）， 因为是实数，所以，解得. （2）因为，所以 解得，即的取值范围为. （3）因为，所以， 化简得， 解得或. 【变式7.3】（24-25高一下·上海·期中）已知复数，其中为虚数单位. (1)若复数为纯虚数，求的值； (2)求的最小值. 【答案】(1)0 (2). 【解题思路】（1）根据纯虚数的概念解方程组可得结果； （2）由复数的模长公式以及二次函数性质计算可得其最小值. 【解答过程】（1）由复数为纯虚数可得， 所以； （2）易知， 则可知时，的最小值为. 【题型8 与复数模相关的轨迹（图形）问题】 【例8】（24-25高一下·广东湛江·期中）已知复数z在复平面内对应的点为Z，则满足的点的集合组成的图形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由复数的几何意义，结合圆的面积公式求解即可. 【解答过程】由题意可得，满足的点的集合组成的图形是以原点O为圆心，以2及3为半径的两个圆所夹的圆环， 则其面积为. 故选：B. 【变式8.1】（24-25高一下·江苏苏州·期中）已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【解题思路】根据复数模长的几何意义即可求得结果. 【解答过程】设，则由， 所以复数在复平面内对应的点坐标在为圆心，1为半径的圆上，如下图所示： 而， 即求复平面内点到距离的最小值， 由圆的几何性质可知当点位于与圆心点连线交点时，取到最小值， 即 故选：B. 【变式8.2】（24-25高一·全国·课堂例题）设：，点对应复数，在复平面内满足下列条件的点的集合是什么图形？ (1)； (2)． 【答案】(1)满足条件点的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆 (2)以原点为圆心，以2和3为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界 【解题思路】（1）根据复数模长的几何意义求解即可. （2）根据复数模长的几何意义求解即可. 【解答过程】（1）复数的模等于2，这表明，复数对应的向量之的长度等于2， 即点到原点的距离等于2， 因此满足条件点的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆． （2）不等式可以化为不等式组 不等式的解集是圆和该圆内部所有的点构成的集合， 不等式的解集是圆和该圆外部所有的点构成的集合， 这两个集合的交集，即上述不等式组的解集，也就是满足条件的点的集合． 所求的集合是以原点为圆心，以2和3为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界.      【变式8.3】（24-25高一·全国·单元测试）已知复数满足，且复数在复平面内的对应点为． (1)确定点的集合构成图形的形状； (2)求的最大值和最小值． 【答案】(1)点的集合是以点为圆心，2为半径的圆 (2)最大值为7，最小值为3 【解题思路】（1）根据复数模的几何意义确定点的集合构成图形的形状. （2）根据复数模的几何意义，结合圆的几何性质求得正确答案. 【解答过程】（1）设复数在复平面内的对应点为， 则， 故点的集合是以点为圆心，2为半径的圆，如下图所示． （2）设复数在复平面内的对应点为，则,如下图所示， ， 则的最大值即的最大值是； 的最小值即的最小值是． 一、单选题 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列命题正确的是（    ） A．复数不是纯虚数 B．若，则复数是纯虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若复数，则当且仅当时，为虚数 【答案】B 【解题思路】根据复数的基本概念判断. 【解答过程】对于A，当，，时，复数是纯虚数，A错误； 对于B，当时，复数是纯虚数，B正确； 对于C，是纯虚数，则即，C错误； 对于D，复数，，未注明为实数，D错误. 故选：B. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）若，则实数x，y的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解题思路】根据复数相等进行求解即可. 【解答过程】. 故选：D. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）若，，则（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【解题思路】根据复数的模长公式即可求解. 【解答过程】，． ，． 故选：B. 4．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）若复数（其中为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【解题思路】根据纯虚数的概念列式求解即可. 【解答过程】若复数(是虚数单位)是纯虚数，则，解得. 故选：A. 5．（2026高三·全国·专题练习）四边形是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别是，则点 对应的复数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设对应点的坐标为，根据为平行四边形，得到，列出方程组，即可求解. 【解答过程】由在复平面内，点对应的复数分别为， 可得点在复平面内对应的点的坐标为， 设在复平面内对应点的坐标为， 因为为平行四边形，所以， 又因为，，所以，解得， 所以点对应的复数为. 故选：C. 6．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设，在复平面内对应的点为，则满足的点的集合形成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据复数减法的几何意义可知图形为圆环，求圆环面积即可. 【解答过程】表示复平面内点到的距离，又，所以点的集合形成的图形为圆环，面积为，    故选：C. 7．（24-25高一下·福建南平·期末）若复数，其共轭复数为，是虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点在第二象限 C． D． 【答案】C 【解题思路】对于A，由虚部定义可得答案；对于B，由复数坐标表示可得答案；对于C，由共轭复数定义可得答案；对于D，由复数模计算公式可得答案. 【解答过程】对于A，复数的虚部为，故A错误； 对于B，对应的点为，在第三象限，故B错误； 对于C，因，则，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 8．（24-25高一下·河南·期中）已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先确定所表示的图形，再分析的几何意义，最后结合图形求出的最大值． 【解答过程】设（），则． 已知，根据复数的模的计算公式可得． 等式两边同时平方可得， 这表示复平面上以点为圆心，半径的圆． 因为，所以，则， 它表示复平面上复数所对应的点与点之间的距离． 根据两点间距离公式，可得圆心与点之间的距离为： ． 因为表示点与点之间的距离，而点在以为圆心，半径为的圆上， 所以的最大值为圆心到点的距离加上圆的半径，即． 的最大值为． 故选：A． 二、多选题 9．（24-25高一下·安徽安庆·月考）下列命题不正确的是（    ） A．复数不可能是纯虚数 B．若复数，则当且仅当时，为虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若，则复数为纯虚数 【答案】ABC 【解题思路】根据复数的分类条件，逐项判断即可. 【解答过程】对于A，当，时，复数为纯虚数，故A错误； 对于B，当 ，时，，为虚数，故B错误； 对于C，当时，为实数，故C错误； 对于D，当时，，为纯虚数，故D正确. 故选：ABC. 10．（24-25高一下·广西来宾·月考）复数，则下列结论正确的是（   ） A．若z是纯虚数，则 B．若z是实数，则 C．若，则z在复平面内所对应的点位于第四象限 D．若，则或 【答案】ACD 【解题思路】对于AB：根据复数的定义运算求解；对于C：根据复数的几何意义分析判断；对于D：分析可知z是实数，结合选项B分析判断. 【解答过程】因为， 对于选项A：若z是纯虚数，则，解得，故A正确； 对于选项B：若z是实数，则，解得或，故B错误； 对于选项C：若，则， 所以复数z在复平面内所对应的点为，位于第四象限，故C正确； 对于选项D：若，可知z是实数， 由选项B可知或，故D正确； 故选：ACD. 11．（25-26高三上·云南昆明·期中）设复数在复平面内对应的点为为坐标原点，为虚数单位，则下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则或 C．若点的坐标为，则对应的点在第三象限 D．若，则点的集合所构成的图形的面积为 【答案】ACD 【解题思路】利用复数模的运算即可判断AB，利用复数的几何意义即可判断CD. 【解答过程】对于A，，故A正确； 对于B，因为当时，满足，故B错误； 对于C，因点的坐标为，则，，则对应的点在第三象限，故C正确； 对于D，由，可知点的集合所构成的图形为圆环,其面积为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（25-26高一下·全国·课后作业）复数是实数，则实数的值为________． 【答案】 【解题思路】由复数的概念可得，若复数是实数，则其虚部为0，由此即可求解. 【解答过程】由题意得，解得或， 且，即，故的值为， 故答案为：． 13．（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为，，，若，则点D表示的复数是___________． 【答案】 【解题思路】根据给定条件，利用复数的几何意义，结合相等向量的意义求解. 【解答过程】由点A，B，C对应的复数分别为，，，得，则， 设，则，由， 得，则，解得， 所以点D表示的复数为. 故答案为：. 14．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）已知复数（i是虚数单位），若z所对应的点在复平面的第二象限内，则实数m的取值范围为________. 【答案】/ 【解题思路】根据复数的几何意义列出不等式组，求解即可得到答案. 【解答过程】由题意，复数对应的点在第二象限，需满足： 解得且，故的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一下·全国·课后作业）写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)0． 【答案】(1)实部为2，虚部为3，是虚数 (2)实部为，虚部为，是虚数 (3)实部为，虚部为1，是虚数 (4)实部为，虚部为0，是实数 (5)实部为0，虚部为，是纯虚数 (6)实部为0，虚部为0，是实数 【解题思路】根据复数得出实部及虚部，进而根据复数类型定义判断复数是实数还是虚数或纯虚数即可. 【解答过程】（1）实部为2，虚部为3，是虚数； （2）实部为，虚部为，是虚数； （3）实部为，虚部为1，是虚数； （4）实部为，虚部为0，是实数； （5）实部为0，虚部为，是纯虚数； （6）实部为0，虚部为0，是实数. 16．（25-26高一下·全国·课堂例题）当m为何值时，复数,是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数． 【答案】(1)或 (2)且 (3) 【解题思路】（1）根据实数的定义进行求解即可； （2）根据虚数的定义进行求解即可； （3）根据纯虚数的定义进行求解即可. 【解答过程】（1）， 当m满足，即或时，z为实数． （2）当m满足，即且时，z为虚数． （3）当m满足即时，z为纯虚数． 17．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知复数（，为虚数单位）. (1)若是纯虚数，求； (2)若在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据纯虚数定义求参数，进而求复数的模长； （2）由第一象限得，即可求范围. 【解答过程】（1）复数是纯虚数， ，解得，则，故. （2）若在复平面内对应的点位于第一象限， 则，解得，则的取值范围为. 18．（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内，若复数对应的点： (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在第二、四象限； (4)在直线上，分别求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3)或 (4) 【解题思路】（1）当复数在虚轴上时，其实部为0，列式即可解出答案； （2）当复数在第二象限时，其实部小于0，虚部大于0，列式即可解出答案； （3）当复数在第二、四象限时，实部与虚部异号，列式即可解出答案； （4）当复数在上时，其实部等于虚部，列式即可解出答案. 【解答过程】（1）复数的实部为，虚部为, 由题意可得，解得或； （2）由题意可得，解得； （3）由题意可得， 或； （4）由题意可得，解得． 19．（24-25高一下·山东菏泽·期中）设复数在复平面内对应的向量为，复数在复平面内对应的向量为，复数在复平面内对应的向量为，且A，E，C三点共线. (1)求实数的值； (2)求的坐标； (3)已知点，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由题意可得，根据A，E，C三点共线，存在实数k，使得求解即可； （2）结合（1）的结论，利用向量的坐标运算即可求解； （3）由A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，得，设，则，再利用（2）的结论即可求解. 【解答过程】（1）复数在复平面内对应的向量， 复数在复平面内对应的向量， 复数在复平面内对应的向量， ， 因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得， 所以，解得，； （2）； （3）因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以， 设，则， 因为，所以，解得， 即点A的坐标为. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 复数的概念 【人教A版】 模块一 数系的扩充和复数的概念 1．数系的扩充与复数的相关概念 (1)复数的引入 为了解决x2+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定： ①i2=-1，即i是方程x2+1=0的根； ②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立. 在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果 记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. (2)复数的概念 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫 做复数集.这样，方程x2+1=0在复数集C中就有解x=i了. (3)复数的表示 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部. (4)复数的分类 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R是复数集C的真子集，即. 复数z=a+bi可以分类如下： 复数， 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示. 2．复数相等 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当 a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 【注意】 1．虚部指的是虚数单位i前面的系数，不包含i. 2．了解虚数、纯虚数、实数三者的限制条件以及三者之间的关系. 3．实数可以比较大小，但是虚数不能比较大小. 【题型1 复数的基本概念】 【例1】（2025高一·全国·专题练习）下列命题正确的个数是（    ） ①；②若，且，则；③若，则；④两个虚数不能比较大小. A．1 B．2 C．0 D．3 【变式1.1】（2025高一·全国·专题练习）给出下列命题： ①若R，则是纯虚数； ②若R且，则； ③若C，则复数的实部为a，虚部为b； ④i的平方等于. 其中正确命题的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【变式1.2】（2025高一下·江苏·专题练习）下列命题： ①若，则是纯虚数； ②若，，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式1.3】（24-25高一下·全国·课后作业）下列四种说法正确的是（    ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 【题型2 求复数的实部与虚部】 【例2】（24-25高一下·贵州毕节·期中）设（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A． B．4 C． D． 【变式2.1】（24-25高一下·重庆万州·月考）若复数的实部与虚部之和为0，则b的值为（   ） A．2 B． C． D．-2 【变式2.2】（24-25高一·上海·课堂例题）在下列复数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？各数的实部和虚部分别是什么？ 、、、i、0、． 【变式2.3】（24-25高一·全国·课堂例题）写出复数4，，0，，，6i的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数． 【题型3 已知复数的类型求参数】 【例3】（24-25高一下·辽宁·期末）若复数为纯虚数，则a的值为（   ） A． B． C．或 D．且 【变式3.1】（24-25高一下·天津静海·期中）已知，，则“”是“复数是实数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3.2】（24-25高一下·江苏盐城·期中）实数取何值时，复数是： (1)实数？ (2)虚数？ (3)0? 【变式3.3】（24-25高一下·全国·课后作业）当实数为何值时，复数满足下列条件？ (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数． 【题型4 复数的相等】 【例4】（24-25高一下·河南郑州·期中）若实数x，y满足，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【变式4.1】（24-25高一下·湖南郴州·期末）已知，为实数，（为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式4.2】（24-25高一下·吉林·期中）已知为实数，（为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式4.3】（24-25高一下·陕西·期中）已知复数，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 模块二 复数的几何意义 1．复数的几何意义 (1)复平面 根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面 直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来 表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)复数的几何意义——与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一 的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义. (3)复数的几何意义——与向量对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一 对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义. 【题型5 判断复数对应的点所在的象限】 【例5】（24-25高一下·福建福州·期末）已知（i是虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式5.1】（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）当时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式5.2】（24-25高一下·上海·期末）设复数和在复平面上所对应的点分别为和，其中为虚数单位，则向量所对应的复数在复平面上所对应的点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【变式5.3】（2025·宁夏陕西·模拟预测）“”是“复数在复平面内对应的点在第一象限”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型6 根据复数对应坐标的特点求参数】 【例6】（24-25高一下·河北雄安·期末）已知i为虚数单位，若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式6.1】（2025·甘肃·一模）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【变式6.2】（24-25高一下·河南南阳·期末）设复数和复平面内的点对应，若点的位置满足下列要求，分别求实数的取值范围. (1)在虚轴上； (2)在第三象限． 【变式6.3】（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内，若复数对应的点，满足下列条件时，分别求实数m的取值范围． (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在第二、四象限； (4)在直线上. 模块三 复数的模及模的几何意义 1．复数的模 向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它 的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，. 2．共轭复数 (1)定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则=a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身. (2)几何意义 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复 平面内所对应的点重合，且在实轴上. (3)性质 ①. ②实数的共轭复数是它本身，即z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数. 3．复数的模的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数 的模的几何意义. (2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以 原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部. 【题型7 求复数的模或由复数模求参】 【例7】（24-25高一下·山东济宁·月考）若复数，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．96 【变式7.1】（2025高一下·江苏·专题练习）若复数的实部与虚部互为相反数，则的值为（    ） A．0 B．2 C．8 D． 【变式7.2】（24-25高一下·重庆万州·期中）已知复数. (1)若是实数，求的值； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围； (3)若，求的值. 【变式7.3】（24-25高一下·上海·期中）已知复数，其中为虚数单位. (1)若复数为纯虚数，求的值； (2)求的最小值. 【题型8 与复数模相关的轨迹（图形）问题】 【例8】（24-25高一下·广东湛江·期中）已知复数z在复平面内对应的点为Z，则满足的点的集合组成的图形的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式8.1】（24-25高一下·江苏苏州·期中）已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 【变式8.2】（24-25高一·全国·课堂例题）设：，点对应复数，在复平面内满足下列条件的点的集合是什么图形？ (1)； (2)． 【变式8.3】（24-25高一·全国·单元测试）已知复数满足，且复数在复平面内的对应点为． (1)确定点的集合构成图形的形状； (2)求的最大值和最小值． 一、单选题 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列命题正确的是（    ） A．复数不是纯虚数 B．若，则复数是纯虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若复数，则当且仅当时，为虚数 2．（25-26高一下·全国·课后作业）若，则实数x，y的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）若，，则（   ） A． B． C． D．不能确定 4．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）若复数（其中为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．0 5．（2026高三·全国·专题练习）四边形是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别是，则点 对应的复数为（　　） A． B． C． D． 6．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设，在复平面内对应的点为，则满足的点的集合形成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·福建南平·期末）若复数，其共轭复数为，是虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点在第二象限 C． D． 8．（24-25高一下·河南·期中）已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·安徽安庆·月考）下列命题不正确的是（    ） A．复数不可能是纯虚数 B．若复数，则当且仅当时，为虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若，则复数为纯虚数 10．（24-25高一下·广西来宾·月考）复数，则下列结论正确的是（   ） A．若z是纯虚数，则 B．若z是实数，则 C．若，则z在复平面内所对应的点位于第四象限 D．若，则或 11．（25-26高三上·云南昆明·期中）设复数在复平面内对应的点为为坐标原点，为虚数单位，则下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则或 C．若点的坐标为，则对应的点在第三象限 D．若，则点的集合所构成的图形的面积为 三、填空题 12．（25-26高一下·全国·课后作业）复数是实数，则实数的值为________． 13．（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为，，，若，则点D表示的复数是___________． 14．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）已知复数（i是虚数单位），若z所对应的点在复平面的第二象限内，则实数m的取值范围为________. 四、解答题 15．（24-25高一下·全国·课后作业）写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)0． 16．（25-26高一下·全国·课堂例题）当m为何值时，复数,是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数． 17．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知复数（，为虚数单位）. (1)若是纯虚数，求； (2)若在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围. 18．（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内，若复数对应的点： (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在第二、四象限； (4)在直线上，分别求实数的取值范围． 19．（24-25高一下·山东菏泽·期中）设复数在复平面内对应的向量为，复数在复平面内对应的向量为，复数在复平面内对应的向量为，且A，E，C三点共线. (1)求实数的值； (2)求的坐标； (3)已知点，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $