6.3.2-6.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

班级： 姓名： 日期： 6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 【学习目标】 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示. 2.掌握两个向量的和、差的坐标运算法则． 【学习重点】掌握两个向量的和、差的坐标运算法则. 【学习难点】理解平面向量的正交分解. 【学习过程】 1． 复习回顾 平面向量基本定理： 2． 探究新知 1. 平面向量的正交分解及坐标表示 （1）把一个向量分解为互相垂直的向量，叫做把向量作__________. (2)思考：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数对（即它的坐标）表示，那么，如何表示坐标平面内的一个向量呢？ 结论形成： (1)在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个_________分别为i，j，取{i，j}作为基底，对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有______实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作___________． (2)在平面直角坐标系中，i＝______，j＝______＝______. 2.平面向量加、减运算的坐标表示 思考：已知 a=(x1，y1)，b=(x2，y2)， 你能得出a+b，a－b的坐标吗？ 探究：如图，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，你能得出的坐标吗？ 结论形成： 文字 符号 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的____. 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a＋b＝________________. 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的____. 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a－b＝________________. 重要结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 的坐标减去 的坐标. 已知A＝(x1，y1)，B＝(x2，y2)， 则＝ . 三．例题解析 例1 如图，与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j，取{i，j}作为基底，分别用i，j表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标． 练1 如图，与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j，取{i，j}作为基底， 分别用i，j表示，，，并求出它们的坐标． 例2　已知a=(2,1), b=(－3,4),求a+b，a－b的坐标. 练2 例3 如图，已知平行四边形ABCD 的三个顶点A，B，C的坐标分别是（-2，1），（-1，3），（3，4），试求顶点D的坐标. 练3 已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝，则顶点D的坐标为(　　) A.（2，）　　　 B．（2，） C．(4,5) D．(1,3) 四．课堂小结 这节课，你学会了什么？自己梳理一下吧！ 五．布置作业 1．已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1,7)，C(1,2)，则顶点D的坐标为(　　) A．(－7,0) B．(7,6) C．(6,7) D．(7，－6) 4.设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若＝4i＋2j，＝3i＋4j，则2＋的坐标是(　　) A．(1，－2)　　　　　　　 B．(7,6) C．(5,0) D．(11,8) 5．已知两点A(4,1)，B(7，－3)，若＋＝0，则点C的坐标是(　　) A．(1,5) B．(－3,4) C．(－1，－5) D．(4，－3) 6．已知平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，则＋的坐标是________． 六．课后反思 本次教学注重从几何直观过渡到代数表示，通过网格坐标系帮助学生理解向量正交分解的本质。但在坐标运算规则推导环节，部分学生对“向量坐标等于终点坐标减起点坐标”的理解不够透彻，应增加起点非原点的实例对比。课堂练习中发现学生符号运算易出错，需强化坐标运算与图形变化的对应关系。后续教学可引入动态几何软件，实时演示向量运算过程，加深学生对“数”与“形”结合的认识，提升应用坐标解决问题的能力。 1 学科网（北京）股份有限公司 $