6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 导学案（详解版） 【1】教材知识提炼 1. 若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy). 2. 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则向量a，b(b≠0)共线的充要条件是 x1y2－x2y1＝0 3.设P1(x1，y1)，P2(x2，y2).若点P是线段P1P2的中点，则点P的坐标为；若点P是直线P1P2上的一点，且＝λ，则点P的坐标为.　 【2】基于教材的训练 一、单选题 1．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据坐标运算求解即可. 【详解】因为，所以， 故选：C 2．已知，，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】线段的定比分点 【分析】由题意可得是线段的中点，根据中点坐标公式求解即可. 【详解】因为，所以是线段的中点， 所以点C的坐标为，即， 故点的坐标为. 故选:A. 3.已知向量在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量线性运算结果求参数、用基底表示向量 【分析】采用坐标法，首先建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，再表示为基底形式，利用待定系数法，即可求解. 【详解】如图建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1， 则，，，， 所以，，， 设向量 则 则，解得 所以. 4．已知为实数，，则“”是“向量共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由向量共线（平行）求参数 【分析】根据充分、必要条件的定义及向量共线判断求解. 【详解】若，则，，即向量共线， 所以“”是“向量共线”的充分条件； 若“共线”，则，解得或， 所以“”不是“向量共线”的必要条件. 所以“”是“向量共线”的充分不必要条件. 故选：A. 5．已知，，点在线段的延长线上，且，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线段的定比分点、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】由题可得，可得，即求． 【详解】点在线段的延长线上，且， ，即, 所以． 所以点P的坐标为. 故选：D. 6．已知向量，，且与方向相反，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、利用平面向量基本定理求参数、由坐标判断向量是否共线 【分析】分析可知向量、不共线，根据题意可知，所以存在实数使，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，结合可解得的值. 【详解】因为，，且， 所以向量、不共线，且向量，方向相反， 所以存在实数使， 即， 所以，整理得，解得或， 又，所以. 故选：B. 7．已知，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数t不能取的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由坐标解决三点共线问题 【分析】若点能构成三角形，则三点不共线，即向量与不共线，计算两个向量的坐标，根据向量共线的坐标表示可得实数t不能取的值. 【详解】由题可知，，. 若点能构成三角形，则三点不共线，即向量与不共线， 所以，即，所以. 故选：C. 8.直线经过两个定点（其中），则直线的参数方程为（为参数，）.其中点为直线上任意一点，下列说法中不正确的是（    ） A．参数的几何意义是动点分有向线段的数量比 B．可以用表示直线上的任意一点 C．当且时，为外分点 D．当时，点与点重合 【答案】B 【知识点】线段的定比分点 【分析】A选项，由已知只需证明即可； B选项，由进行判断； CD选项，根据的范围可以确定和的关系进行判断. 【详解】A选项，由，可知， ，， 时，， 此时，A选项正确； B选项，由于，，不能表示横坐标为的点，B选项错误； C选项，由于，当且时，， 不妨设，故，，为外分点，C选项正确； D选项，当时，，此时会与重合，D选项正确. 故选：B 二、多选题 9．点，向量，，点是线段的三等分点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量线性运算结果求参数 【分析】结合向量的坐标运算，并分类讨论，即可求解. 【详解】设点坐标为，因为向量，，则，， 当点为靠近点的三等分点时，则，故，解得：，，故点坐标为， 当点为靠近点的三等分点时，则，故，解得：，，故点坐标为， 故选：AD 10．（多选）已知向量，，若向量，则可使成立的可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】相等向量、由向量线性运算结果求参数 【分析】由向量坐标运算公式求的坐标表示，根据向量相等逐项求，由此作出判断. 【详解】因为，，， 所以， 若，则，解得，，满足题意，A正确； 若，则，解得，，不满足题意，B错误； 若，则，解得，，满足题意，C正确； 若，则，解得，，不满足题意，D错误； 故选：AC. 11．如图，正方形中，是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，利用向量线性运算的坐标形式可求，，故可得正确的选项. 【详解】 以为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为1， 则，则. 故，，，故， 解得，故，，， 故选： AB. 三、填空题 12．已知向量，，，若与共线，则实数的值为______． 【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】根据平面向量共线的坐标表示公式，结合平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为向量，，， 所以，， 因为与共线， 所以，解得． 故答案为： 13.已知，，若点分所成的比为，则___________，___________. 【答案】 【知识点】线段的定比分点 【分析】依题意可得，再表示出、的坐标，即可得到方程组，解得即可； 【详解】解：因为点分所成的比为，所以，因为，，，所以，，所以 所以解得 故答案为：； 14．向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（，），则________． 【答案】4 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、平面向量基本定理的应用 【分析】结合图象建立直角坐标系，得出向量，，坐标，利用向量关系列方程组求出，进而求解． 【详解】设图中方格单位为1，建立下图所示直角坐标系， 则，， ， ， ，解得， ． 故答案为：4． 四、解答题 15．已知，，求： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】（1）（2）由向量线性运算的坐标运算，即可得到结果.. 【详解】（1）因为，， 所以. （2）因为，， 所以. 16．已知平面上A、B两点的坐标分别是、，P为直线AB上一点，且．求点的坐标． 【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】设，借助向量的坐标运算求解即可得. 【详解】设，则，， 由，则有，解得， 故的坐标为. 17．已知向量，，，求、，使得． 【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】由代入向量坐标运算可得答案. 【详解】若，则， 所以，解得. 即. 18．如图，已知． (1)求线段的中点的坐标； (2)若点是线段的一个四等分点，点靠近端，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】（1）由向量的分解式的坐标运算即可求解； （2）由向量的分解式的坐标运算即可求解. 【详解】（1） ， 因为的坐标是，所以线段的中点的坐标是； （2）若点是线段的一个四等分点，点靠近端， 则点是的中点， 类比第一问解析可得， 即点的坐标是. 19．平面内给定三个向量，，． (1)求满足的实数，； (2)若，求实数． 【答案】(1)； (2). 【知识点】由向量共线（平行）求参数、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示列方程组求解即可； （2）利用向量共线的充要条件列方程求解. 【详解】（1），即， ，解得． （2），， ， ，即，解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 导学案（学生版） 【1】教材知识提炼 1. 若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy). 2. 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则向量a，b(b≠0)共线的充要条件是 x1y2－x2y1＝0 3.设P1(x1，y1)，P2(x2，y2).若点P是线段P1P2的中点，则点P的坐标为；若点P是直线P1P2上的一点，且＝λ，则点P的坐标为.　 【2】基于教材的训练 一、单选题 1．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3.已知向量在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（    ） A． B． C． D． 4．已知为实数，，则“”是“向量共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知，，点在线段的延长线上，且，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．已知向量，，且与方向相反，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D．或 7．已知，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数t不能取的值为（   ） A． B． C． D． 8.直线经过两个定点（其中），则直线的参数方程为（为参数，）.其中点为直线上任意一点，下列说法中不正确的是（    ） A．参数的几何意义是动点分有向线段的数量比 B．可以用表示直线上的任意一点 C．当且时，为外分点 D．当时，点与点重合 二、多选题 9．点，向量，，点是线段的三等分点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 10．（多选）已知向量，，若向量，则可使成立的可能是（   ） A． B． C． D． 11．如图，正方形中，是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知向量，，，若与共线，则实数的值为______． 13.已知，，若点分所成的比为，则___________，___________. 14．向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（，），则________． 四、解答题 15．已知，，求： (1)； (2). 16．已知平面上A、B两点的坐标分别是、，P为直线AB上一点，且．求点的坐标． 17．已知向量，，，求、，使得． 18．如图，已知． (1)求线段的中点的坐标； (2)若点是线段的一个四等分点，点靠近端，求点的坐标． 19．平面内给定三个向量，，． (1)求满足的实数，； (2)若，求实数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $