数列专题——逻辑推理素养水平测试-2026届高三数学二轮复习

高三数学二轮复习数列专题——逻辑推理素养水平测试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在等差数列中，是其前项和，且，，则正整数为（   ） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 2．等差数列的前项和为，满足，则（    ） A． B． C． D．均为的最大值 3．已知数列满足对任意的，都有．若，则（   ） A．8 B．18 C．20 D．27 4．已知数列满足，则（   ） A．1 B．5 C． D． 5．已知数列的首项为，对于任意的都有，则“为单调递增的数列”是“”的（　　） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知函数的定义域为，，若，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．函数是奇函数 D．函数是偶函数 7．任取一个正整数，若它是奇数，就将该数乘3再加1；若它是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”.如取正整数6时，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足：，若，则的所有可能取值的和为（    ） A．62 B．169 C．170 D．190 8．已知递增数列满足，且，则满足的关系式不可能为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，为数列的前n项和，则下列结论正确的有（    ） A．是等比数列 B． C．是递减数列 D．中存在连续三项成等差数列 10．已知数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（   ） A．若，则为等差数列 B．若为等差数列，则公差可能为1 C．若，则当且仅当时，取得最小值 D．若数列是递增数列，则的取值范围是 11．已知数列满足，，则下列结论正确的是（   ） A．是递增数列 B．当时， C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．将1到2026这2026个数中，能被3除余1且被5除余2的数从小到大排成一列构成数列，则________． 13．已知各项均不相同的等差数列的前n项和为，若、、成等比数列，且，则______． 14．若数列满足：，则称数列为有限稳定数列，记为数列前项和，下列结论正确的有__________ ①首项为1，公比为的等比数列是有限稳定数列 ②若各项均为正数的等比数列是有限稳定数列，其公比的取值范围为 ③若数列满足，则数列是有限稳定数列 ④若数列是有限稳定数列，则数列是有限稳定数列 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知数列的首项，且满足． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式及前10项的和． 16．已知数列 满足 . (1)数列 能否是常数列，若能，求出其通项公式；若不能，请说明理由； (2)证明: . 17．已知数列，满足，且． (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)在数列的前20项中，任取两项，求这两项至少有一项是数列中的项的概率． 18．已知数列满足． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)令，求数列的前n项和． 19．已知数列中，． (1)证明：为等差数列，并求的通项公式； (2)记，数列的前项和为，求； (3)数列满足：，求的最大项． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学二轮复习数列专题——逻辑推理素养水平测试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在等差数列中，是其前项和，且，，则正整数为（   ） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 【答案】D 【详解】因为等差数列的前项和是关于的二次函数， 所以由二次函数的对称性及， 可得，解得． 2．等差数列的前项和为，满足，则（    ） A． B． C． D．均为的最大值 【答案】C 【分析】根据条件可得，，根据等差数列的求和公式，分析即可得答案. 【详解】由题意， 所以．故C正确． 无法判断的正负，故A、B、D错误. 3．已知数列满足对任意的，都有．若，则（   ） A．8 B．18 C．20 D．27 【答案】C 【分析】根据题意，分别令和求得，，再求和即可. 【详解】因为数列满足对任意的，都有，， 所以，当时，，解得； 当时，，解得； 所以 4．已知数列满足，则（   ） A．1 B．5 C． D． 【答案】B 【详解】依题意得． 故数列的周期为3，所以． 5．已知数列的首项为，对于任意的都有，则“为单调递增的数列”是“”的（　　） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据题设易得数列的奇数项、偶数项分别构成等差数列，公差均为1，进而结合充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为， 所以数列的奇数项、偶数项分别构成等差数列，且公差均为1. 若数列为单调递增的数列，则； 所以“为单调递增的数列”是“”的充分条件， 若，要证明数列单调递增， 只需证明对任意恒成立， 当为奇数时，设， ，， 当为偶数时，设， ，， 综上，恒成立，故数列是单调递增数列， “为单调递增的数列”是“”的充要条件． 故选：C． 6．已知函数的定义域为，，若，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．函数是奇函数 D．函数是偶函数 【答案】C 【分析】令求出可判断A，令可得，利用等差数列的求和公式求和后可判断B，求出后令，结合B中分析可得，据此可判断CD的正误. 【详解】对于A，令，则，故，故A错误； 对于B，令，则， 所以，故为等差数列，首项为零，公差为， 故，故B错误； 对于C，因为，，故， 故，同理， 在中令， 则，由B的分析可得， 所以，所以， 所以，所以， 所以函数是奇函数，故C正确； 对于D，由C的分析可得即， 故函数是奇函数，故D错误. 7．任取一个正整数，若它是奇数，就将该数乘3再加1；若它是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”.如取正整数6时，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足：，若，则的所有可能取值的和为（    ） A．62 B．169 C．170 D．190 【答案】D 【分析】利用递推公式，依次令即可求出答案. 【详解】因为， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得或； 当时，，解得或； 当时，，解得或或； 当时，，解得或或或； 当时，，解得或或或或或； 所以的所有可能取值为， 它们的和为. 8．已知递增数列满足，且，则满足的关系式不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反证法验证D选项不成立，通过举反例验证A,B,C选项. 【详解】因为是递增数列，所以． 又，所以，则． 若，则，则． 由，得，即，矛盾， 故满足的关系式不可能为． 取，则， 满足是递增数列，此时， ．取，，则， 满足是递增数列，此时． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，为数列的前n项和，则下列结论正确的有（    ） A．是等比数列 B． C．是递减数列 D．中存在连续三项成等差数列 【答案】AC 【详解】对于A，由，得，是等比数列，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，，是递减数列，C正确； 对于D，假定中存在连续三项成等差数列，分别为， 则，即，整理得，矛盾， 因此中不存在连续三项成等差数列，D错误. 10．已知数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（   ） A．若，则为等差数列 B．若为等差数列，则公差可能为1 C．若，则当且仅当时，取得最小值 D．若数列是递增数列，则的取值范围是 【答案】AC 【详解】由，当时，， 当时，， 若，则，符合，故为等差数列，A正确； 因为当时，，所以若为等差数列，则的公差为2，故B错误； 若，则，当时，， 所以，，，又当时，，所以当且仅当时取得最小值，故C正确； 当时，， 故数列为递增数列等价于对任意的，恒成立， 即，可得，故D错误． 11．已知数列满足，，则下列结论正确的是（   ） A．是递增数列 B．当时， C． D． 【答案】ABD 【分析】利用作差法可判断数列的单调性，判断A的真假；利用数列的单调性，结合累加法和累乘法可判断BC的真假；利用裂项求和法可判断D的真假. 【详解】对于A，易知，由，得，所以，所以是递增数列，故A正确； 对于B，由对A的分析，知， 所以（仅当时取等号）， 由，得， 所以当时，， 所以当时，， 因此当时，，故B正确； 对于C，由，得， 由对B的分析知，当时，，所以， 故当时，， 所以，故C错误； 对于D，由，得， 即， 所以，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．将1到2026这2026个数中，能被3除余1且被5除余2的数从小到大排成一列构成数列，则________． 【答案】52 【分析】根据题意逐项列举求解. 【详解】根据题意可得，满足“被除余”的正整数为 满足“被除余”的数为, 故同时满足这两个条件的整数是， 所以. 13．已知各项均不相同的等差数列的前n项和为，若、、成等比数列，且，则______． 【答案】9 【详解】设各项均不相同的等差数列的公差为， 由，得，解得， 由、、成等比数列，得，则，， 所以. 14．若数列满足：，则称数列为有限稳定数列，记为数列前项和，下列结论正确的有__________ ①首项为1，公比为的等比数列是有限稳定数列 ②若各项均为正数的等比数列是有限稳定数列，其公比的取值范围为 ③若数列满足，则数列是有限稳定数列 ④若数列是有限稳定数列，则数列是有限稳定数列 【答案】①④ 【分析】对于①，列出该数列相邻两项差绝对值和式子观察即可；对于②，找出该等比数列公比为1时，也满足有限稳定数列条件，即可排除；对于③，不妨取，计算该数列不是有限稳定数列，即可排除；对于④，数列是有限稳定数列，则有界，然后证明有界即可. 【详解】对于①，设， 则相邻两项差的绝对值， 设， 则，故该数列是有限稳定数列，故①对； 对于②，若该等比数列公比为1，则相邻两项差为0， 即满足，则该数列必是有限稳定数列， 因此公比的取值范围不应为，故②错； 对于③，不妨取，满足，则， 但相邻两项差的绝对值和，该和会随n增大趋向于无穷大，即无界， 因此该数列不是有限稳定数列，故③错； 对于④， 若数列是有限稳定数列，则相邻两项之差的绝对值和有界， 而， 即有界，进而有界， 而， 所以有界，即数列是有限稳定数列，故④对. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知数列的首项，且满足． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式及前10项的和． 【答案】(1)证明见解析 (2)，2036 【分析】（1）利用递推证明等比数列即可； （2）利用等比数列通项公式和求和公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以，， 所以，即是首项为2，公比为2的等比数列． （2）由（1）得，即， 设数列的前项和为， 所以． 16．已知数列 满足 . (1)数列 能否是常数列，若能，求出其通项公式；若不能，请说明理由； (2)证明: . 【答案】(1)当时，此时为常数列且. (2)证明见解析 【分析】（1）根据可求的值，从而得到相应的常数列及对应的通项； （2）根据题设中的递推关系和分子有理化可证题设中的不等式. 【详解】（1）若为常数列，则，其中， 故，故（舍）或， 而当时，，此时为常数列且. （2）因为，所以， 又因为，故，而，故， 所以，所以， 又，所以. 17．已知数列，满足，且． (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)在数列的前20项中，任取两项，求这两项至少有一项是数列中的项的概率． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据递推关系得出是等差数列，结合通项公式可得答案，通过构造等比数列可求的通项公式； （2）利用分组求和的方法及错位相减法可求答案； （3）利用古典概率的求法可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以，所以， 是首项为0，公差为2的等差数列，所以， 由，得，所以，所以， 故，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以， 所以的通项公式为． （2），， 令， 则， 上两式相减，得， 所以，又， 所以． （3）因为，的前20项分别为， 由得， 又是偶数，所以在的前20项中有4项是中的项， 所以所求概率． 18．已知数列满足． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)令，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等比数列的定义，结合数列的递推公式即可证明. （2）利用（1）的结论，结合累加法可求数列的通项公式. （3）利用“裂项相消法”求和. 【详解】（1）因为. 又， 所以是以2为首项，以2为公比的等比数列. （2）由（1）得：， 所以，，，…，. 以上各式相加得：. 所以. （3）， 所以， 所以. 19．已知数列中，． (1)证明：为等差数列，并求的通项公式； (2)记，数列的前项和为，求； (3)数列满足：，求的最大项． 【答案】(1)证明见解析， (2) (3)1 【分析】（1）通过对递推式两边同除以，构造出等差数列，进而求出数列的通项公式； （2）根据的奇偶性，对进行分组求和，得到统一的表达式； （3）先求出数列的通项，再构造辅助数列，通过函数单调性分析其最大项. 【详解】（1）等式两边同除以，得， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列．由上知，即得． （2）由（1）知，． 当为偶数时， 当为奇数时，． 综上，． （3）当时，；当时， 有，可得． 所以，．记，则． 令，则， 可得在区间上单调递增，则，即得，即． 所以当时，，即，可知数列从第4项开始每一项均小于1． 因为，所以数列的最大项是第三项， 其值为1，即得数列的最大项为1． 【点睛】本题以递推数列为载体，通过构造等差、分组求和、函数单调性分析，综合考查了数列通项、求和及最大项问题，体现了 “化归转化” 与 “函数思想” 在数列中的核心应用. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $