数列的通项公式 题型训练-2025届高三数学二轮专题

数列的通项公式专题 1.利用等差等比公式来求解通项公式: 例1:等差数列中,若,,则通项 例2:在正项等比数列中,,,则通项公式_ 2.利用与的关系来求解通项公式: ①已知Sn求an的常用方法是利用an=. ②Sn与an关系问题的求解思路 方向1:利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式,再求解. 方向2:利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an,an-1的关系式,再求解. 例3:数列的前项和,则通项 例4:各项均为正数的数列的前项和为,且,则通项 例5:数列首项,满足,求数列通项 3.利用累加法来求解通项公式: 根据形如an+1=an+f(n)(f(n)是可以求和的函数)的递推关系式求通项公式时,常用累加法求出an-a1与n的关系式,进而得到an的通项公式. 例6 数列,,且,,数列的通项公式 例7 数列,,且,,数列的通项公式 例8 数列满足:,,数列的通项公式 例8变式 已知数列满足,且,则= 4.利用累乘法来求解通项公式: 根据形如an+1=an f(n)(f(n)是可以求积的函数)的递推关系式求通项公式时,常用累乘法求出与n的关系式,进而得到an的通项公式. 例9 已知数列满足,数列的通项公式是_ 例10 数列中,a1=1,当n∈N且n≥2时,(2n+1)an=(2n-3)an-1, 5.利用差商法来求解通项公式: 例题11 在数列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=(n∈N*)则an= . 例题12 已知数列{an}满足,则an= . 例题13 数列满足,,则an= . 6.利用构造法来求解通项公式: 观察递推关系的形式,构造出一个新的等差、等比数列,求出新的数列的通项,间接的求出an。 主要有以下几种形式: ①待定系数之型构造等比数列:求解 例14:已知a1=1,an+1=2an+1,则 ②待定系数之型构造等比数列: 求解 例15(1):已知数列满足:,且,则an= 例15(2):数列{an},a1=1,若an+1=3an+2n﹣3,则an= ③待定系数之: 方法1: 方法2: 方法3: 例16:已知数列{an}中,,则an= 例17:已知数列{an}中,,则an= 例18:各项均正的数列{an}满足a1=4,,则an= 7.分奇偶来求解通项公式: 构造隔项等差数列: 两式相减得; 构造隔项等比数列: 两式相除得 例19:在数列中,已知,则an= 例20:在数列中,a1=1,an+1+an=2n,则an= 8.常见的化简思路来求解通项公式: 常见的处理思路取倒数型,同除型,取对数,主要目的在于尽量将n+1和an以及an+1等因子和数列项数相同的部分划归成结构相同的形式,构造新数列: 例21:在已知数列满足,,则an= 例22:在已知数列满足,,则an= 例23:在已知数列满足,,则an= 例24:在已知数列满足,,则an= 例25:在已知数列满足,,则an= **难(选看,了解即可): 例题1:在已知数列满足,,则an= 解析: 例题2:在已知数列满足,,则an= 解析: 例题3:在已知数列满足,,则an= 解析: ( 第 1 页 共 5 页 ) 学科网(北京)股份有限公司 $$ 数列的通项公式专题----参考答案 1.利用等差等比公式来求解通项公式： 例1：： 例2： 2.利用与的关系来求解通项公式： 例3： 例4：【解析】当时，，即，解得或（舍）. 当时，，，相减得， 又数列的各项为正数，所以，所以数列是以1为首项， 1为公差的等差数列.所以. 例5：【解析】 当时，，∴， 即，∴是以1为首项，2为公差的等差数， ∴，即，所以当时，． 又当时，不满足上式，∴． 3.利用累加法来求解通项公式： 例6:an＝n2﹣1【解答】解：a1＝0，an+1＝an+（2n+1）（n∈N*）， ∴an+1﹣an＝（2n+1）（n∈N*），∴an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1 ＝（2n﹣1）+（2n﹣3）+…+3+0＝＝n2﹣1．故答案为：an＝n2﹣1． 例7:【解析】因为，所有， 当时，，，……，， 相加得，所以，当时，也符合上式，的通项公式 例8：【解析】因为设，，则， 当时， ， 又也满足，所以，由，则. 例8（变式）：【解析】因为，所以， ，…，所以．又， 所以，所以．又，也符合上式，所以． 4.利用累乘法来求解通项公式： 例9：【解析】∵∴，即， ∴，∴.n=1也适合 例10：【解析】当n≥2，∵(2n＋1)an＝(2n－3)an－1，∴＝， 当n＝1时符合上式，，n∈N* 5.利用差商法来求解通项公式： 例11：an＝【解答】解：（1）因为a1+2a2+3a3+…+nan＝； 所以a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）an﹣1＝（n≥2）；两式相减得nan＝， 所以＝3（n≥2）；所以nan＝2•3n﹣2（n≥2）；故an＝； 例12：【解析】无 例13：【解】，.时，① .②；①②，得. 因为不满足上式，所以故答案为： 6.利用构造法来求解通项公式： 例14：an＝2n－1【解析】 由an＋1＝2an＋1得an＋1＋1＝2(an＋1)，又a1＋1＝2≠0，可知{an＋1}为以2为首项，2为公比等比数列.即an＋1＝2n，∴an＝2n－1，∴所求通项公式为an＝2n－1. 例15（1）：【解析】，而， ∴是首项、公比均为2的等比数列，故，即. 例15（2）：【解析】构造可得 例16：【解析】由，得：，∴， 即数列是首项为1，公差为2的等差数列，∴，得． 例17：【解答】 例18：an＝（n+1）•2n【解答】解：由题意，可知：∵a1＝4，a，∴， 即：．∵，∴＝n+1．∴an＝（n+1）•2n． 7.分奇偶来求解通项公式： 例19：【解析】由（1）可知，且， 数列以为首项，公比的等比数列，数列以1为首项，公比的等比数列， 当为奇数时，；当为偶数时， 例20:an＝ 【解析】∵an＋1＋an＝2n，∴an＋2＋an＋1＝2n＋2，故an＋2－an＝2， 即数列{an}是奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列． 当n为偶数时，a2＝1，故an＝a2＋2＝n－1. 当n为奇数时，∵an＋1＋an＝2n，an＋1＝n(n ＋1为偶数)， 故an＝n.综上所述，an＝n≥1，n∈N*. 例21：【解析】数列满足，整理得：，所以，又，故是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以 例22：【解析】 例23：【解析】 例24：【解析】两边同除(n+1)(n+2)得 可得，令 例25：，得 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$