精品解析：安徽安庆市第七中学等校2025-2026学年九年级上学期期末数学试题

九年级数学 （沪科版） 注意事项： 1．数学试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 以下四个特殊三角函数值中，最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算出各选项的三角函数值，再比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵，，，， ∴，即最大． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项图形分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A．选项图形能找到一条直线，使图形两部分沿对称轴折叠后可重合，是轴对称图形，能找到一点，使图形旋转后与原图重合，是中心对称图形，符合题意； B．选项图形不能找到一条直线，使图形两部分沿对称轴折叠后可重合，不是轴对称图形，能找到一点，使图形旋转后与原图重合，是中心对称图形，不符合题意； C．选项图形不能找到一条直线，使图形两部分沿对称轴折叠后可重合，不是轴对称图形，能找到一点，使图形旋转后与原图重合，是中心对称图形，不符合题意； D．选项图形能找到一条直线，使图形两部分沿对称轴折叠后可重合，是轴对称图形，不能找到一点，使图形旋转后与原图重合，不是中心对称图形，不符合题意． 3. 下列各点中，在反比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题利用反比例函数的性质，反比例函数图象上的点，横纵坐标的乘积恒等于k，据此计算乘积即可判断. 详解】解：∵ ∴在反比例函数图象上的是. 4. 下列结论正确的是（ ） A. 相等的圆周角所对的弦相等 B. 相等的弧所对的弦相等 C. 相等弦所对的弧相等 D. 相等的圆心角所对的弧相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆中弦、弧、圆心角、圆周角的关系逐一排除即可． 【详解】解：由于圆中弦、弧、角的等量结论大多需要“在同圆或等圆中”的前提才能成立， 、未指明同圆或等圆，相等的圆周角所对的弦不一定相等，故该选项错误，不符合题意； 、∵相等的弧是指能完全重合的弧，本身隐含同圆或等圆的条件， ∴相等的弧所对的弦一定相等，故该选项正确，符合题意； 、未指明同圆或等圆，且同圆中一条弦对应两条弧，相等的弦所对的弧不一定相等，故该选项错误，不符合题意； 、未指明同圆或等圆，半径不同时相等的圆心角所对的弧不相等，故该选项错误，不符合题意． 5. 如图，直线，直线和与，，分别相交于点A，B，C和点D，E，F，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故A正确，符合题意； ，故B错误，不符合题意； 故C错误，不符合题意； ，故D错误，不符合题意． 故选：A． 6. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 与y轴交于点 C. 对称轴是直线 D. 顶点坐标为 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，由解析式直接判断开口方向，对称轴，顶点坐标，再求出与y轴交点坐标，逐一判断选项即可. 【详解】解：∵二次函数解析式为，其中二次项系数 ∴抛物线开口向上，A错误； 令，得，因此抛物线与y轴交于点，B错误； 对于形如的二次函数，对称轴为直线，因此C正确； 的顶点坐标为，因此D错误. 7. 如图，中，，将绕点逆时针旋转（），得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的性质得出，，，根据等腰三角形的性质得出，根据角的和差关系得出，根据三角形外角性质即可得答案． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转（），得到，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 8. 抛物线和双曲线（）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象判断的取值，利用数形结合即可求解． 【详解】解：A、由反比例函数图象得，，由抛物线得，可得抛物线和双曲线（）的图象不可能在同一坐标系中，故选项A不符合题意； B、由反比例函数图象得，，由抛物线得，，则可得抛物线和双曲线（）的图象不可能在同一坐标系中，故选项B不符合题意； C、由反比例函数图象得，，由抛物线得，，则可得抛物线和双曲线（）的图象不可能在同一坐标系中，故选项C不符合题意； D、由反比例函数图象得，，由抛物线得，，则可得抛物线和双曲线（）的图象可能在同一坐标系中，故选项D符合题意． 9. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，与相交于点F，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用矩形的性质证得，由相似三角形对应边成比例结合已知条件得出，从而得到，最后由推出结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 10. 如图，在中，，，P是的中点，M是直线上的一动点，线段绕着点P逆时针旋转，得到线段，连接，．下列结论错误的是（ ） A. 线段的最小值是 B. 线段的最小值是3 C. 面积的最小值是 D. 线段的最小值是 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，解含有的直角三角形，勾股定理解三角形，全等三角形的判定与性质，利用角的余弦值求解边长，解决本题的关键是添加合适的辅助线，利用旋转的性质得到边长不变且证明全等． 根据，即与重合时，取最小值，再由含有的直角三角形，求解的长度，由此可判断AB选项；根据与取得的最小值，即可求解面积的最小值，由此可判断C选项；证明与全等可得，再根据N，F，G三点共线，可得点N在直线上运动．再求解的长度即可． 【详解】解：如图，过点P作于点E， 根据旋转的性质可知，， 则． ∵，P为的中点， ∴． 又∵，， ∴． ∵M是直线上的一动点， ∴当，即与重合时，取最小值， 此时取最小值，同时也取最小值， 即的最小值为3，的最小值为3，的最小值为，故选项A错误，选项B正确； ∵，且的最小值为3，的最小值为3， ∴面积的最小值是，故选项C正确； 如图，过点P作，且使，过点F作于点G，连接， 则， ∵， ∴四边形是正方形， ∴． ∵， ∴， 又∵，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴N，F，G三点共线，点N在直线上运动． 过点A作交的延长线于点，延长交于点H． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴，线段的最小值为，故选项D正确． 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若，则的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知的比例关系，可设参数用同一字母表示a和b，代入所求分式化简即可得到结果. 【详解】∵ . ∴ 设，， ∴. 12. 如图，四边形是的内接四边形，已知，则______． 【答案】125 【解析】 【分析】由圆内接四边形的性质，即圆内接四边形的对角互补，由此求解即可． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴． 13. 如图，在中，，，点D为外一点，连接，点E，F分别为的中点，若，则___． 【答案】 【解析】 【分析】因为E，F分别为的中点，且，由三角形中位线定理可知，利用勾股定理可求的值，再根据三角函数定义求出即可． 【详解】解：∵E，F分别为的中点，若， ∴， ∵，， ∴， ∴． 14. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（）． （1）抛物线的对称轴为直线______； （2）点，为该抛物线上的两点，当，时，均满足，则t的取值范围为______． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】（1）利用对称轴公式进行计算即可； （2）根据对称性得到和时的函数值相等，根据增减性结合题意，得到，进行求解即可． 【详解】解：（1）抛物线的对称轴为直线． （2）∵，抛物线的对称轴为直线， ∴时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大，和时的函数值相等． ∵当，时，均满足， ∴， ∴t的取值范围为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 在平面直角坐标系中，已知抛物线，求该抛物线与x轴的交点坐标． 【答案】， 【解析】 详解】解：当抛物线与x轴相交时，， ∴，即， ∴， 解得，， ∴该抛物线与x轴的交点坐标为，． 16. 如图，为的直径，弦于点．若，，求弦的长． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，连接，为的直径，得，，，然后由勾股定理即可求解，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为的直径，， ∴，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为，，． （1）以点O为位似中心，在y轴左侧画出的位似图形，使与的相似比为； （2）以点C为旋转中心，将逆时针旋转得到，画出． 【答案】（1）画图见解析 （2）画图见解析 【解析】 【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出的对应点，然后顺次连接即可； （2）直接利用旋转的性质得出对应点，然后顺次连接即可． 【小问1详解】 解：如图所示． 【小问2详解】 解：如图所示． 18. 如图是海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图所示的平面直角坐标系．其中，为水面，滑梯段可看成是反比例函数图象的一段，矩形为向上攀爬的梯子，梯子的高为6m，宽为1m，出口到的距离为4m． （1）求段所在的反比例函数的表达式；（不要求写出自变量的取值范围） （2）出口到轴的距离的长是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用， （1）先设出函数解析式，然后根据题意可知，点在该函数的图象上，代入函数解析式即可得到k的值，再写出函数解析式即可； （2）根据题意可以得到点C的横坐标，代入（1）中得解析式即可得到点C的纵坐标，从而可以写出出口C到x轴的距离的长． 【小问1详解】 解：设段所在的反比例函数的表达式为， ∵梯子的高为6米，宽为1米， ∴点在该函数图象上， ∴，得， ∴段所在的反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：由题意可得，点C的横坐标为， 将代入，得， 即出口C到x轴的距离的长时米 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在中，，，以为直径的与交于点D，过点D作，垂足为点E． （1）求证：为的切线； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）通过连接，证得，从而证切线； （2）连接，利用直径得直角，结合等腰三角形与直角三角形性质求． 【小问1详解】 证明：连接，则， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是的半径， 为的切线． 【小问2详解】 连接，如图． ∵是的直径， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 20. 综合与实践：学习解直角三角形的知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边缘点A处投射到底部点B处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，M，N在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求的长； （2）求B，D之间的距离（结果精确到）．（参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可证明，则，的长可求； （2）由题意可知，因为，根据，可求长度，由为法线，可证，则可证，则B，D之间的距离为可求． 【小问1详解】 解：根据题意，得，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵ E为的中点 ∴， 由题意， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． 答：B，D之间的距离为． 六、（本题满分12分） 21. 某水果超市销售一种苹果，这种苹果的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种苹果的销售价不高于20元/千克，市场调查发现，该种苹果每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示； （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）求每天的销售利润w（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式； （3）当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2） （3）销售价为20元/千克时，每天的销售利润最大，最大利润是200元 【解析】 【分析】（1）由图象得，y与x之间满足一次函数关系，再利用待定系数法即可求解； （2）根据销售利润销售量每一件的销售利润，即可得到w和x的函数关系式； （3）利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：由图象得，y与x之间满足一次函数关系， 设y与x之间的函数关系式为， 把，代入， 得， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：每天的销售利润w（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式为； 【小问3详解】 解：由（2）知， ∵， ∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w最大，． ∴当销售价为20元/千克时，每天销售利润最大，最大利润是200元． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，在矩形中，E是上一点，，把沿着折叠，点B的对应点F恰好落在线段上． （1）求的值； （2）如图2，延长交于点G，交于点H． ①求证：； ②求的值． 【答案】（1）1 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）首先，根据矩形的性质得，再根据，证得是等腰直角三角形，进而得，，最后，可得； （2）①首先，根据已知条件证得，进而得，，再证得，，然后，由，可证得； ②首先，根据折叠的性质易证得，再由①知，得，进而证得，故，得出，接着，证得，由，得，最后，得出，故． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 由折叠可知， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①证明：∵四边形是矩形， ∴． 由折叠可知， ∵， ∴． 由（1）可知，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． ②解：由折叠可知． ∵， ∴． 由①知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，抛物线交y轴于点A． （1）若抛物线的对称轴为直线，且点A的坐标为，求抛物线的表达式； （2）若抛物线的顶点在直线上． ①求最小值； ②若，点在抛物线上，点P与点Q关于原点对称．连接，求以为边，为对角线的平行四边形的面积． 【答案】（1） （2）①3；②42 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）①将抛物线的表达式化为顶点式，得到顶点坐标为，再代入，整理得，求出的最小值，即可解答； ②代入点到抛物线的表达式，整理得，根据非负数的性质得到，再结合，确定，，进而求出点A，P，Q的坐标，再利用平行四边形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 将代入，得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：①∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 将代入，得， ∴， ∴当时，c取得最小值，最小值为3， 当时，， ∴， ∵c的最小值为3， ∴的最小值为3； ②∵点在抛物线上， ∴， 代入，得， 整理，得． ∵， ∴，解得， 又∵， ∴， ∴， ∴点A的坐标为． 当时，，解得， ∴． ∵点P与点Q关于原点对称， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 （沪科版） 注意事项： 1．数学试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 以下四个特殊三角函数值中，最大的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各点中，在反比例函数图象上是（ ） A. B. C. D. 4. 下列结论正确的是（ ） A. 相等的圆周角所对的弦相等 B. 相等的弧所对的弦相等 C. 相等的弦所对的弧相等 D. 相等的圆心角所对的弧相等 5. 如图，直线，直线和与，，分别相交于点A，B，C和点D，E，F，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A 开口向下 B. 与y轴交于点 C. 对称轴是直线 D. 顶点坐标为 7. 如图，中，，将绕点逆时针旋转（），得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时等于（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线和双曲线（）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，与相交于点F，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，P是的中点，M是直线上的一动点，线段绕着点P逆时针旋转，得到线段，连接，．下列结论错误的是（ ） A. 线段的最小值是 B. 线段的最小值是3 C. 面积的最小值是 D. 线段的最小值是 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若，则的值等于______． 12. 如图，四边形是的内接四边形，已知，则______． 13. 如图，在中，，，点D为外一点，连接，点E，F分别为的中点，若，则___． 14. 平面直角坐标系中，已知抛物线（）． （1）抛物线的对称轴为直线______； （2）点，为该抛物线上的两点，当，时，均满足，则t的取值范围为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 在平面直角坐标系中，已知抛物线，求该抛物线与x轴的交点坐标． 16. 如图，为的直径，弦于点．若，，求弦的长． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为，，． （1）以点O为位似中心，在y轴左侧画出的位似图形，使与的相似比为； （2）以点C为旋转中心，将逆时针旋转得到，画出． 18. 如图是海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图所示的平面直角坐标系．其中，为水面，滑梯段可看成是反比例函数图象的一段，矩形为向上攀爬的梯子，梯子的高为6m，宽为1m，出口到的距离为4m． （1）求段所在的反比例函数的表达式；（不要求写出自变量的取值范围） （2）出口到轴的距离的长是多少？ 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在中，，，以为直径的与交于点D，过点D作，垂足为点E． （1）求证：为的切线； （2）连接，若，求的长． 20. 综合与实践：学习解直角三角形的知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边缘点A处投射到底部点B处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线） 测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，M，N在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求的长； （2）求B，D之间的距离（结果精确到）．（参考数据：，，） 六、（本题满分12分） 21. 某水果超市销售一种苹果，这种苹果的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种苹果的销售价不高于20元/千克，市场调查发现，该种苹果每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示； （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）求每天的销售利润w（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式； （3）当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 七、（本题满分12分） 22. 如图1，在矩形中，E是上一点，，把沿着折叠，点B的对应点F恰好落在线段上． （1）求值； （2）如图2，延长交于点G，交于点H． ①求证：； ②求的值． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，抛物线交y轴于点A． （1）若抛物线的对称轴为直线，且点A的坐标为，求抛物线的表达式； （2）若抛物线的顶点在直线上． ①求的最小值； ②若，点在抛物线上，点P与点Q关于原点对称．连接，求以为边，为对角线的平行四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $