安徽省安庆市迎江区安庆市石化第一中学2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

安庆市石化第一中学2024-2025学年九年级上学期期末考试 数学试卷 一．选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） 2．已知，则代数式的值为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝2AB＝4，E是边BC上一点（不与端点重合），过点E作AC的垂线，垂足为D，交AB的延长线于点F，则sinF的值为（　　） A． B． C． D． 4．二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是（　　） A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3） 5．如图，BD是⊙O的直径，点A、C在圆上，∠C＝28°，则∠ADB等于（　　） A．28° B．52° C．56° D．62° 6．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A．＝ B．∠B＝∠D C．＝ D．∠C＝∠AED 7．若图中反比例函数的表达式均为y＝，则阴影面积为2的是（　　） A．图1 B．图2 C．图3 D．图4 8．如图，△ABC与△DEF是以O为位似中心的位似图形，且位似比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比为（　　） A．4：9 B．3：5 C．4：7 D．2：3 9．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝BD＝5，AB＝6，E为AB的中点，F为CD上一点，连接EF交BD于点G，若S△FDG：S△EDG＝2：3，则EF的长是（　　） A． B．2 C．2 D．5 10．如图，直线y＝kx+c与抛物线y＝ax2+bx+c的图象都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于AB两点，其对称轴为直线x＝1，且OA＝OD，直线y＝kx+c与x轴交于点C（点C在点B的右侧）．则下列命题中正确的个数是（　　） ①abc＞0；②3a+b＞0；③﹣1＜k＜0；④k＞a+b． A．0 B．1 C．2 D．3 二．填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．若关于x的方程x2+2x﹣m+3＝0有实数根，则实数m的取值范围是 　 　． 12．若点A（m，2）、B（n，4）均在反比例函数（k为常数）的图象上，则m、n的大小关系为m 　 　n．（填“＞”“＝”或“＜”） 13．如图，AB是⊙O半径OC的垂直平分线，点P是劣弧AB上的点，则∠APB的度数为　 　． 14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，F为DA上一点，连接BF，E为BF中点，CD＝6，sin∠ADB＝，若△AEF的周长为18，则S△BOE＝　 　． 三．解答题（本大题共2小题，每题8分，共16分） 15．计算：3tan30°+cos230°﹣2sin60° 16．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图． （1）在图①中，作△ABC关于点O对称的△A′B′C′，并写出点B′的坐标为 　 　； （2）在图②中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB′C′． 17．为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练．在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为3米时，达到最大高度米的B处．小丁此次投掷的成绩是多少米？ 18．某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得河流左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行10米至B处，测得河流右岸D处的俯角为30°，线段AM＝20米为无人机距地面的铅直高度，点M，C，D在同一条直线上，其中tanα＝2．求河流的宽度CD．（结果精确到1米，参考数据：≈1.7） 19．某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的60%．在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系．当销售单价为35元时，每天的销售量为350件；当销售单价为40元时，每天的销售量为300件． （1）求y与x之间的函数关系式． （2）当销售单价为多少时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 20．如图，一次函数y＝x+1与反比例函数的图象相交于A（m，2），B两点，分别连接OA，OB． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）求△AOB的面积； （3）请直接写出自变量x的取值范围． 六．（本题满分12分） 21．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点E，点F在边AB上，连接CF交线段BE于点G，CG2＝GE•GD． （1）求证：∠ACF＝∠ABD； （2）连接EF，求证：EF•CG＝EG•CB． 七．（本题满分12分） 22．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E． （1）求证：＝． （2）若BD＝2，BE＝3，求tan∠BAC的值． 八．（本题满分14分） 23．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P，与直线BC相交于点M，连接AC，PB． （1）求该抛物线的解析式； （2）设对称轴与x轴交于点N，在对称轴上是否存在点G，使以O、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案与试题解析 一．选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） 【解答】解：第1个图形是轴对称图形，是中心对称图形，故选项符合题意； 第2个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 第3个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； 第4个图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：A． 2．已知，则代数式的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵＝， ∴a＝b， ∴＝＝． 故选：B． 3．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝2AB＝4，E是边BC上一点（不与端点重合），过点E作AC的垂线，垂足为D，交AB的延长线于点F，则sinF的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵∠ABC＝90°，FD⊥AC， ∴∠F+∠BEF＝∠DEC+∠C＝90°， 又∵∠BEF＝∠DEC， ∴∠F＝∠C． 在Rt△ABC中， AC＝， ∴sinC＝， ∴sinF＝sinC＝． 故选：A． 4．二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是（　　） A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3） 【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+3， ∴顶点坐标为（1，3）， 故选：A． 5．如图，BD是⊙O的直径，点A、C在圆上，∠C＝28°，则∠ADB等于（　　） A．28° B．52° C．56° D．62° 【解答】解：连接OA， ∵∠ACD＝28°， ∴∠AOD＝2∠ACD＝2×28°＝56°， ∵OA＝OD， ∴＝＝． 故选：D． 6．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A．＝ B．∠B＝∠D C．＝ D．∠C＝∠AED 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE， ∴∠DAE＝∠BAC， ∴选项B、D根据两角对应相等判定△ABC∽△ADE， 选项A根据两边成比例夹角相等判定△ABC∽△ADE， 选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 7．若图中反比例函数的表达式均为y＝，则阴影面积为2的是（　　） A．图1 B．图2 C．图3 D．图4 【解答】解：图1中，阴影面积为4； 图2中，阴影面积为×4＝2； 图3中，阴影面积为2××4＝4； 图4中，阴影面积为4××4＝8； 则阴影面积为2的有1个． 故选：B． 8．如图，△ABC与△DEF是以O为位似中心的位似图形，且位似比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比为（　　） A．4：9 B．3：5 C．4：7 D．2：3 【解答】解：∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，位似比为2：3， ∴△ABC∽△DEF，相似比为2：3， ∴△ABC与△DEF的面积之比为22：32＝4：9． 故选：A． 9．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝BD＝5，AB＝6，E为AB的中点，F为CD上一点，连接EF交BD于点G，若S△FDG：S△EDG＝2：3，则EF的长是（　　） A． B．2 C．2 D．5 【解答】解：∵AD＝BD，E为AB的中点， ∴DE⊥AB，AE＝BE＝AB＝3， ∴DE＝＝＝4， ∵S△FDG：S△EDG＝2：3， ∴FG：EG＝2：3， ∵AB∥CD， ∴△DFG∽△BEG， ∴＝＝， ∴DF＝2， ∵AB∥CD，DE⊥AB， ∴DE⊥CD， ∴EF＝＝＝2． 故选：B． 10．如图，直线y＝kx+c与抛物线y＝ax2+bx+c的图象都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于AB两点，其对称轴为直线x＝1，且OA＝OD，直线y＝kx+c与x轴交于点C（点C在点B的右侧）．则下列命题中正确的个数是（　　） ①abc＞0；②3a+b＞0；③﹣1＜k＜0；④k＞a+b． A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0． ∵抛物线对称轴是直线x＝1，∴b＜0且b＝﹣2a． ∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0． ∴①abc＞0错误； ②3a+c＞0正确； ∵直线y＝kx+c经过一、二、四象限， ∴k＜0． ∵OA＝OD， ∴点A的坐标为（c，0）． 直线y＝kx+c当x＝c时，y＞0， ∴kc+c＞0可得k＞﹣1． ∴③﹣1＜k＜0正确； ∵直线y＝kx+c与抛物线y＝ax2+bx+c的图象有两个交点 ∴ax2+bx+c＝kx+c， 得x1＝0，x2＝ 由图象知x2＞1， ∴＞1 ∴k＞a+b ∴④正确； 故选：D． 二．填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．若关于x的方程x2+2x﹣m+3＝0有实数根，则实数m的取值范围是 　m≥2　． 【解答】解：∵关于x的方程x2+2x﹣m+3＝0有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣m+3）≥0， 解得m≥2． 故答案为：m≥2． 12．若点A（m，2）、B（n，4）均在反比例函数（k为常数）的图象上，则m、n的大小关系为m 　＜　n．（填“＞”“＝”或“＜”） 【解答】解：∵﹣k2﹣2＜0， ∴函数图象在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大， ∵点A（m，2）、B（n，4）均在反比例函数（k为常数）的图象上，且0＜2＜4， ∴m＜n， 故答案为：＜． 13．如图，AB是⊙O半径OC的垂直平分线，点P是劣弧AB上的点，则∠APB的度数为　120°　． 【解答】解：在优弧AB上取一点T，连接TA，TB，OA，OB，AC． ∵AB垂直平分OC， ∴AO＝AC，＝， ∵OA＝OC， ∴OA＝OC＝AC， ∴∠AOC＝∠BOC＝60°， ∴∠AOB＝120°， ∴∠T＝∠AOB＝60°， ∵∠T+∠APB＝180°， ∴∠APB＝120°， 故答案为120°． 14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，F为DA上一点，连接BF，E为BF中点，CD＝6，sin∠ADB＝，若△AEF的周长为18，则S△BOE＝　　． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝6，∠BAD＝90°，OB＝OD， ∵sin∠ADB＝， ∴， ∴BD＝6， ∴DA＝＝＝18， ∵E为BF中点， ∴AE＝BE＝EF， ∵△AEF的周长为18， ∴AE+EF+AF＝BE+EF+AF＝BF+AF＝18， 设AF＝a，则BF＝18﹣a， 在Rt△ABF中，AB2+AF2＝BF2， ∴62+a2＝（18﹣a）2， 解得：a＝8， ∴DF＝18﹣8＝10． ∵E为BF中点，O为BD的中点， ∴OE∥DF，OE＝DF， ∴△BOE∽△BDF， ∴， ∵S△BDF＝DF•AB＝×6×10＝30， ∴S△BOE＝． 故答案为：． 三．解答题（本大题共2小题，每题8分，共16分） 15．计算：3tan30°+cos230°﹣2sin60° 【解答】解：原式＝ ＝ ＝． 16．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图． （1）在图①中，作△ABC关于点O对称的△A′B′C′，并写出点B′的坐标为 　（1，﹣3）　； （2）在图②中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB′C′． 【解答】解：（1）根据中心对称图形的基本作图要领，作图如下： 则△A′B′C′即为所求，且点B′的坐标为B′（1，﹣3）， 故答案为：B′（1，﹣3）． （2）根据题意，作图如下： 则△AB′C′即为所求． 四．解答题（本大题共2小题，每题8分，共16分） 17．为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练．在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为3米时，达到最大高度米的B处．计算小丁此次投掷的成绩是多少米？ 【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示． 则点A的坐标为（0，），顶点为B（3，）． 设抛物线的表达式为y＝a（x﹣3）2+， ∵点A（0，）在抛物线上， ∴a（0﹣3）2+＝， 解得a＝﹣． ∴抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣3）2+ 令y＝0，则﹣（x﹣3）2+＝0， 解得x＝8或x＝﹣2（不合实际，舍去）． 即OC＝8． 答：小丁此次投掷的成绩是8米． 18．某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得河流左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行10米至B处，测得河流右岸D处的俯角为30°，线段AM＝20米为无人机距地面的铅直高度，点M，C，D在同一条直线上，其中tanα＝2．求河流的宽度CD．（结果精确到1米，参考数据：≈1.7） 【解答】解：过点B作BE⊥MD于点E．则四边形AMEB是矩形． ∴BE＝AM＝20，ME＝AB＝10米， ∵AF∥MD， ∴∠ACM＝α． 在Rt△AMC中，∠AMC＝90°， ∴tanα＝＝2， ∴＝2， ∴MC＝10米， 在Rt△BDE中，∠BED＝90°，∠DBE＝90°﹣30°＝60°， ∴tan∠DBE＝， ∴tan60°＝＝， ∴DE＝20×＝60（米）， CD＝DE﹣CE＝DE﹣（MC﹣ME）＝60﹣（10﹣10）＝70﹣10≈70﹣10×1.7＝53（米）． 答：河流的宽度CD约为53米． 五．解答题（本大题共2小题，每题10分，共20分） 19．某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的60%．在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系．当销售单价为35元时，每天的销售量为350件；当销售单价为40元时，每天的销售量为300件． （1）求y与x之间的函数关系式． （2）当销售单价为多少时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b， 根据题意得，， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+700； （2）设利润为w元， ∵x≤30×（1+60%）＝48， ∴x≤48， 根据题意得，w＝（﹣10x+700）（x﹣30）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000， ∵a＝﹣10＜0，对称轴x＝50， ∴当x＝48时，w最大＝﹣10×（48﹣50）2+4000＝3960， 答：当销售单价为48时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是3960元． 20．如图，一次函数y＝x+1与反比例函数的图象相交于A（m，2），B两点，分别连接OA，OB． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）求△AOB的面积； （3）请直接写出自变量x的取值范围． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+1 经过点A（m，2）， ∴m+1＝2， ∴m＝1， ∴A（1，2）， ∵反比例函数过点A（1，2）， ∴k＝2， ∴反比例函数的解析式为； （2）联立函数解析式得，， 解得或， ∴B（﹣2，﹣1）， ∵C（0，1）， ∴； （3）由图象可得，当x≤﹣2或0＜x≤1时，． 六．（本题满分12分） 21．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点E，点F在边AB上，连接CF交线段BE于点G，CG2＝GE•GD． （1）求证：∠ACF＝∠ABD； （2）连接EF，求证：EF•CG＝EG•CB． 【解答】证明：（1）∵CG2＝GE•GD， ∴＝， 又∵∠CGD＝∠EGC， ∴△GCD∽△GEC． ∴∠GDC＝∠GCE． ∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠BDC． ∴∠ACF＝∠ABD． （2）∵∠ABD＝∠ACF，∠BGF＝∠CGE， ∴△BGF∽△CGE． ∴＝． 又∵∠FGE＝∠BGC， ∴△FGE∽△BGC． ∴＝． ∴FE•CG＝EG•CB． 七．（本题满分12分） 22．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E． （1）求证：＝． （2）若BD＝2，BE＝3，求tan∠BAC的值． 【解答】（1）证明：连接AE，如图， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠AEC＝90°， ∴AE⊥BC， 而AB＝AC， ∴BE＝CE， ∴∠BAE＝∠CAE， ∴； （2）连接DE，CD，如图， ∵BE＝CE＝3， ∴BC＝6， ∵∠BED＝∠BAC， 而∠DBE＝∠CBA， ∴△BED∽△BAC， ∴，即， ∴BA＝9， ∴AC＝BA＝9． ∴AD＝AB﹣BD＝9﹣2＝7， ∴DC＝ ∴tan∠BAC＝ 八．（本题满分14分） 23．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P，与直线BC相交于点M，连接AC，PB． （1）求该抛物线的解析式； （2）设对称轴与x轴交于点N，在对称轴上是否存在点G，使以O、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y＝ax2+bx+c中， 得到，解得， ∴y＝﹣x2+2x+3； （2）函数对称轴为直线x＝1， 设G（1，m）， 由已知可得OA＝1，OC＝3， ∵NG⊥x轴，CO⊥x轴， ∴NG∥OC， ∵N（1，0）， ∴ON＝1， 当以O、N、G为顶点的三角形与△AOC相似时， ①△AOC∽△ONG时， NG＝OC＝3， ∴G（1，3）或G（1，﹣3）； ②当△AOC∽△GNO时， ，即GN＝， ∴G（1，）或G（1，﹣）； 综上所述：以O、N、G为顶点的三角形与△AOC相似时，满足条件的G点坐标为（1，3）或（1，﹣3）或（1，）或（1，﹣）； （3）当x＝1时，y＝4， ∴P（1，4）， 设直线BC的解析式为y＝kx+m， 将点B（3，0）、C（0，3）代入，可得， 解得， ∴y＝﹣x+3， 过P点作PH∥BC交y轴于点H， ∴直线PH的解析式为y＝﹣x+5， 联立，解得x＝1或x＝2， ∴Q（2，3）或Q（1，4）（舍）； 当x＝0时，y＝5， ∴H（0，5）， ∵H点关于C点对称的点为（0，1）， ∴过点（0，1）与直线BC平行的直线解析式为y＝﹣x+1， 联立， 解得x＝或x＝， ∴Q（，）或Q（，）； 综上所述：△QMB与△PMB的面积相等时，Q点坐标为（2，3）或（，）或（，）； ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$