精品解析：安徽省淮南市东部地区2024-—2025学年上学期期末考试九年级数学试题

2024－2025学年度第一学期九年级数学学科期末测试 考试范围：第21~26章；考试时间：120分钟 注意事项： 1．在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. A(-3，2)关于原点的对称点是B，B关于x轴的对称点是C，则点C的坐标是（ ） A. (3，2) B. (-3，2) C. (3，-2) D. (-2，3) 3. 如图，有一圆弧形桥拱，已知圆弧所在圆的半径，桥拱的跨度，则拱高为（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 5. 如图，绕点逆时针旋转到的位置，已知，则等于（　　） A. B. C. D. 6. 如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 7. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 如图，是的直径，是上一点．若，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，抛物线对称轴为直线，与轴交于点，则另一交点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形内接于，弦，若，则的大小为（　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知是关于的方程的一个根，则______． 12. 将二次函数 的图象向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度，平移后的二次函数解析式为_____________． 13. 某药品原来每盒售价96元，由于两次降价，现在每盒售价54元，平均每次降价的百分率是________． 14. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点，则的面积为______． 三、解答题（本大题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 解下列方程： （1） （2） 16. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为． （1）画出关于原点对称图形，并写出点的坐标； （2）画出绕点O逆时针旋转后的，并写山点的坐标； （3）在（2）的条件下，求点B经过的路径长度（结果保留） 17. 如图，在正方形中，点E在上，，，将绕点A旋转一定角度后得到． （1）求的长度； （2）求证：． 18. 通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学课上，学生用酚酞溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性．已知四瓶溶液分别是：盐酸（呈酸性），：硝酸钾溶液（呈中性），：氢氧化钠溶液（呈碱性），：氢氧化钾溶液（呈碱性）． （1）小周将酚酞溶液随机滴入一种溶液，结果变红色的概率是______；（直接填写答案） （2）小周同时将任选的两瓶溶液滴入酚酞溶液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求两瓶溶液恰好都变红色的概率是多少？ 19. 已知关于的二次函数（，为常数）的图象的顶点为． （1）若此二次函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值． （2）已知以坐标原点O为圆心，r为半径的圆是以5，12，13为边长的三角形的内切圆． ①的半径________． ②我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”，若M是“完美点”，试判断点M与的位置关系． 20. “文明互鉴，共筑茶缘——让茶香飘满一带一路”，11月24日至27日，2023中国(广州)国际茶业博览会、第24届广州国际茶文化节在广交会展馆举行．某茶庄经销一种绿茶，每千克成本为50元，经市场调查发现：在茶博会这段时间内，销售量y(千克)随销售单价x(元/千克)的变化而变化，具体解析式为．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为w(元)． （1）求w关于x的函数解析式； （2）当绿茶的销售单价是多少时，这种绿茶在这段时间内的销售利润最大？最大利润是多少？ 21. 如图，中，，以为直径的交于点，切于，交于，连接． （1）求证：； （2）若，求图中阴影部分的面积． 22. 已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点， （1）求的值及点的坐标； （2）写出时的取值范围； （3）是轴上一点，且满足的面积等于．求点坐标． 23. 抛物线与x轴交和点B，交y轴于点C，对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，若点D为线段BC下方抛物线上一点，过点D作轴于点E，再过点E作于点F，请求出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第一学期九年级数学学科期末测试 考试范围：第21~26章；考试时间：120分钟 注意事项： 1．在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察四个选项中的图形，根据轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合；找出既是轴对称图形又是中心对称图形的那个即可得出结论． 【详解】解：A是轴对称图形不是中心对称图形； B既是轴对称图形又是中心对称图形； C既不是轴对称图形又不是中心对称图形； D是轴对称图形但不是中心对称图形． 2. A(-3，2)关于原点的对称点是B，B关于x轴的对称点是C，则点C的坐标是（ ） A. (3，2) B. (-3，2) C. (3，-2) D. (-2，3) 【答案】A 【解析】 【分析】根据两个点关于原点对称时,它们的对应的横纵坐标互为相反数可得B点坐标，再根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得点C的坐标． 【详解】∵关于原点的对称点是B， ， 关于x轴的对称点是C， 点C的坐标是， 故选A． 【点睛】此题主要考查了两个点关于原点对称和关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 3. 如图，有一圆弧形桥拱，已知圆弧所在圆的半径，桥拱的跨度，则拱高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂径定理和勾股定理得出求解即可． 【详解】解：根据垂径定理可知， 在直角中，根据勾股定理得： 则 解得：或4， 根据题中，可知不合题意，故舍去， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，得出关于的等式是解题关键． 4. 若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键． 5. 如图，绕点逆时针旋转到的位置，已知，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题旋转中心为点O，旋转方向为逆时针，观察对应点与旋转中心的连线的夹角∠BOD即为旋转角，利用角的和差关系求解． 【详解】解：根据旋转的性质可知，D和B为对应点，∠DOB为旋转角， 即∠DOB=80°， 所以∠AOD=∠DOB-∠AOB=80°-45°=35°． 故选：D． 【点睛】本题考查旋转两相等的性质：即对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等． 6. 如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】D 【解析】 【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解． 【详解】解：依题意，；；；；，加上点可以画出一个圆， ∴共有6个， 故选：D． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键． 7. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】先求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，然后直接利用图象法求解即可． 【详解】解：∵在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴， 由题意得关于x的不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围， ∴关于x的不等式的解集为或， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，解题的关键是正确求出点B的坐标． 8. 如图，是的直径，是上一点．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 9. 如图，抛物线对称轴为直线，与轴交于点，则另一交点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象关于对称轴对称．根据抛物线对称性及对称轴为直线求解． 【详解】解：抛物线对称轴为直线，与轴交于点， 由抛物线的对称性可得图象与x轴另一交点坐标为， 故选：A． 10. 如图，四边形内接于，弦，若，则的大小为（　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、圆的内接四边形等知识点，掌握圆的内接四边形对角互补是解答本题的关键．由垂径定理，即；由等腰三角形的性质可得，即，最后根据圆的内接四边形对角互补即可解答． 【详解】解：∵弦， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴． 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知是关于的方程的一个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据是关于的方程的一个根，通过变形可以得到值，本题得以解决． 【详解】解：是关于的方程的一个根， ， ， ， 故答案为：． 12. 将二次函数 的图象向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度，平移后的二次函数解析式为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：平移后的二次函数解析式为：， 即：， 故答案为： 13. 某药品原来每盒售价96元，由于两次降价，现在每盒售价54元，平均每次降价的百分率是________． 【答案】25%． 【解析】 【分析】如果设平均每次降价的百分率为x，那么这种药品经过一次降价后的价格为96（1-x）元，经过两次降价后的价格为96（1-x）2元，而此时药品价格是54元，根据这个等量关系可以列出方程． 【详解】解：设平均每次降价的百分率是x， 根据题意，可得96（1-x）2=54， 解得x1=0.25，x2=1.75（不合题意，舍去）． 答：平均每次降价的百分率是25%． 14. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式算出，，则，，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：联立， 解得：，， ∴，， ∵轴，轴， ∴，， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 移项，得， 配方，得， 即， 得或， 解得； 【小问2详解】 解： ， 移项，得， 因式分解，得， 即， ∴或 ∴解得． 16. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为． （1）画出关于原点对称图形，并写出点的坐标； （2）画出绕点O逆时针旋转后的，并写山点的坐标； （3）在（2）的条件下，求点B经过的路径长度（结果保留） 【答案】（1） 如图所示为所求作，坐标为 （2） 如图所示为所求作，坐标为． （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意画出即可；关于原点对称点的坐标横坐标，互为相反数； （2）根据网格结构找出点、、以点为旋转中心逆时针旋转后的对应点，然后顺次连接即可； （3）利用旋转时B经过的路径长度利用弧长公式即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， ∴B经过的路径长度：． 【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，轴对称和扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 17. 如图，在正方形中，点E在上，，，将绕点A旋转一定角度后得到． （1）求的长度； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：延长交于点G， 由旋转得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴即． 【解析】 【分析】此题考查的是旋转的性质和垂直的判定，找到由旋转得到的各个相等的线段和利用垂直定义证垂直是解决此题的关键． （1）由旋转可得：，即可求出； （2）延长交于点，由旋转得：，证出即可. 【小问1详解】 ∵旋转一定角度后得到，， ∴，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 18. 通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学课上，学生用酚酞溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性．已知四瓶溶液分别是：盐酸（呈酸性），：硝酸钾溶液（呈中性），：氢氧化钠溶液（呈碱性），：氢氧化钾溶液（呈碱性）． （1）小周将酚酞溶液随机滴入一种溶液，结果变红色的概率是______；（直接填写答案） （2）小周同时将任选的两瓶溶液滴入酚酞溶液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求两瓶溶液恰好都变红色的概率是多少？ 【答案】（1）结果变红色的概率是； （2）两瓶溶液恰好都变红色的概率为． 【解析】 【分析】（）直接根据概率公式求解即可； （）画树状图得出所有可能的结果，再根据概率公式求解即可； 本题考查了用列表或画树状图的方法求概率，熟记用列表或画树状图的方法及概率公式是解题的关键． 【小问1详解】 解：小周将酚酞溶液随机滴入一种溶液，结果变红色的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图， 共有种可能出现的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色,，共种结果， ∴两瓶溶液恰好都变红色的概率为． 19. 已知关于的二次函数（，为常数）的图象的顶点为． （1）若此二次函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值． （2）已知以坐标原点O为圆心，r为半径的圆是以5，12，13为边长的三角形的内切圆． ①的半径________． ②我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”，若M是“完美点”，试判断点M与的位置关系． 【答案】（1） （2）2；点在外 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质． （1）根据题意可得，求出的值即可； （2）①由所给的三角形三边为勾股数，可知三角形是直角三角形，再由等积法求半径即可； ②先求顶点为，再由“完美点”定义可得，可确定点，由①知，的半径为2，则点在外． 【小问1详解】 解：二次函数的图象与轴只有一个交点， ， ； 【小问2详解】 解：①以5，12，13为边长的三角形是直角三角形， ， 解得； 故答案为：2． ②， 顶点为， 点是“完美点”， ， 解得， 点， 由①知，的半径为2，则点在外． 20. “文明互鉴，共筑茶缘——让茶香飘满一带一路”，11月24日至27日，2023中国(广州)国际茶业博览会、第24届广州国际茶文化节在广交会展馆举行．某茶庄经销一种绿茶，每千克成本为50元，经市场调查发现：在茶博会这段时间内，销售量y(千克)随销售单价x(元/千克)的变化而变化，具体解析式为．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为w(元)． （1）求w关于x的函数解析式； （2）当绿茶的销售单价是多少时，这种绿茶在这段时间内的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当绿茶的销售单价是85元/千克时，这种绿茶在这段时间内的销售利润最大，最大利润是2450元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，找出等量关系并列出解析式是解题的关键． （1）根据一千克的利润乘以销售量等于总利润列出函数关系式即可； （2）将函数解析式化为顶点式即可得解． 【小问1详解】 解：． 所以w关于x的函数解析式为． 【小问2详解】 ． 因为，所以w有最大值．当时，w的值最大，为2450． 答：当绿茶的销售单价是85元/千克时，这种绿茶在这段时间内的销售利润最大，最大利润是2450元． 21. 如图，中，，以为直径的交于点，切于，交于，连接． （1）求证：； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接， 切于， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，等边三角形的性质； （1）根据直径所对的圆周角是直角，得出，证明，可得，根据圆周角定理可得得出，根据同位角相等两直线平行，即可得证； （2）连接，根据平行线分线段成比例可得，进而证明是等边三角形，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ∵切于，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵ ∴, ∴， ∵， ∴， ∴ ∴是等边三角形， ， 图中阴影部分的面积． 22. 已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点， （1）求的值及点的坐标； （2）写出时的取值范围； （3）是轴上一点，且满足的面积等于．求点坐标． 【答案】（1）a=6，m=3，B（-3，-2）；（2）x≤-3或0＜x≤2；（3）（-3，0）或（1，0） 【解析】 【分析】（1）把点代入即可求得的值，然后根据待定系数法即可求得，解析式联立，解方程组即可求得的坐标； （2）观察图象即可求得； （3）设点的坐标为，根据的面积是5，列出的方程解答便可． 【详解】解：（1）一次函数经过点， ， ， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数为， 解得或， 的坐标为； （2）观察图象可知：时的取值范围是或； （3）设点的坐标为， 在中，令，得， 点的坐标为， ， ， 或， 点的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数图象的交点问题，主要考查了待定系数法，求一次函数图象与反比例函数图象的交点，第（3）关键是根据面积列出方程，利用了数形结合思想． 23. 抛物线与x轴交和点B，交y轴于点C，对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，若点D为线段BC下方抛物线上一点，过点D作轴于点E，再过点E作于点F，请求出的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的对称轴及过一点，建立等式进行求解； （2）先证明出是等腰三角形，再利用二次函数的性质结合配方法求解即可． 【小问1详解】 解：对称轴为， 把代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设点D的坐标为， 点D在BC的下方， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 轴， E的坐标为， ， ， ， 当时，的最大值是． 【点睛】本题考查了求解二次函数的解析式、二次函数的性质，等腰三角形的判定及性质，解题的关键是求解出解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $