2026年中考数学压轴几何模型 专题8 梯子模型（斜边中点模型）

专题8 梯子模型（斜边中点模型） 梯子模型，指有一条线段的两个端点在坐标轴上滑动的最值模型。因为像在墙壁上搭了一台梯子，所以被称为梯子模型。 梯子模型是初中几何中处理动态最值、定值问题的标志性模型，更是中考几何综合压轴题中考察转化思想、函数思想的核心载体。它以 “滑动的梯子” 为生动情境，本质上是对直角三角形斜边中线性质、勾股定理及轨迹圆的深度应用。 本专题从知识精讲、典例分析、课堂随练、巩固提高四个部分展开，循序渐进，层层剖析梯子模型的重难点，内容详实丰富，供大家学习使用，欢迎下载。 知识精讲 如图所示，线段的两端在坐标轴上滑动，，AB的中点为Q，连接，【结论】当O，Q，C三点共线时，取得最大值． 【证明】在中，， ∴． 在中，由勾股定理得． ∵， ∴当O，Q，C三点共线，取得最大值，，即； 【小结】梯子模型的题，关键是取两个图形的公共边的中点作为桥梁。 典型例题 例1．如图，在中，，，，点在轴上，点在轴上，则点在移动过程中，的最大值是 ． 答案： 【分析】取的中点，连接，，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，解得，在中，由勾股定理解得BM的值，再由三角形三边关系解得，据此解题． 【详解】解：如图，取的中点，连接，， ∵，，， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质、勾股定理、三角形三边关系等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 例2．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD在∠MON的内部，顶点A，B分别在射线OM，ON上，AB＝4，BC＝2，则点D到点O的最大距离是 ①2－2；②2＋2；③2－2；④＋2 答案：② 【分析】取AB中点E，连接OE、DE、OD，求出OE和DE值，利用三角形三边关系分析出当O、E、D三点共线时，OD最大为OE+DE． 【详解】取AB中点E，连接OE、DE、OD， ∵∠MON=90°， ∴OE=AB=2． 在Rt△DAE中，利用勾股定理可得DE=2． 在△ODE中，根据三角形三边关系可知DE+OE＞OD， ∴当O、E、D三点共线时，OD最大为OE+DE=2+2． 故答案为：②． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理以及三角形三边关系，解决动态问题的最值问题一般转化为两点间线段最短或三角形三边关系问题． 课堂随练 练1．如图，一架米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足到墙底端的距离为米，如果梯子的顶端沿墙下滑米，，那么梯足将向外移多少米？ 练2．如图，一个长为15m的梯子AB斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的距离为12m，若梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端向后滑动的距离相等，求梯子顶端下滑的距离是多少m？ 练3．生活经验表明：靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙约为梯子长度的，则梯子比较稳定．现有一长度为6m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能到达5.5m高的墙头吗？ 【课堂随练】参考答案 练1．梯足向外移动了 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，本题中求的长度是解题的关键．在直角三角形中，已知,，，根据勾股定理即可求的长度，根据即可求得的长度，在直角三角形中，已知，即可求得的长度，根据即可求得的长度． 【详解】解：在直角中，已知,，， 则， ， 在直角中，，且为斜边， ， 梯足向外移动了． 练2.梯子顶端下滑的距离是3米． 【分析】利用勾股定理求得OB的长，设这个距离是x，则OA'=12x，OB'=9+x，然后根据勾股定理即可列方程求解； 【详解】解：在直角△AOB中，OB=（m）． 设这个距离是x，则OA'=12x，OB'=9+x， 在Rt∠A'OB'中，根据勾股定理得，（12x）2+（9+x）2=225； 解得：x=0（舍）或x=3． 答：当梯子的顶端从A处沿墙AO下滑的距离是3m时，与点B向外移动的距离有可能相等； 【点睛】本题考查了勾股定理应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，正确的求出下滑的距离． 练3.梯子的顶端能到达5.5米高的墙头． 【分析】根据梯子的长度得到梯子距离墙面的距离，然后用勾股定理求出梯子的顶端距离地面的高度后与5.5比较即可作出判断． 【详解】解：由题意知：AB＝6m，BC＝m； ∵， ∴m ， ∴梯子的顶端距离地面的高度为m， ∵ ∴>5.5， ∴梯子的顶端能到达5.5米高的墙头． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据习惯和告诉的梯子的长度求出梯子的底端距离墙面的距离． 巩固提高 1．如图，一架长为5米的梯子AB，顶端B靠在墙上，梯子底端A到墙的距离AC=3米． （1）求BC的长； （2）如果梯子的顶端B沿墙向下滑动2米，问梯子的底端A向外移动了多少米？ 2．一架梯子AB长25m，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7m． （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向也滑动了4m吗？如果不是，梯子的底端在水平方向上滑动了多长的距离呢？ 3．如图所示，线段的两端在坐标轴上滑动，，AB的中点为Q，连接，求证：O，Q，C三点共线时，取得最大值． 4．如图，一个梯子AB长25米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为15米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为5米，请回答： （1）梯子滑动后，梯子的高度CE是多少米？ （2）梯子顶端A下落的长度AE有多少米？ 5．如图，一架云梯AB长25m，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端A距地面24m． （1）这个梯子底端B离墙有多少米？ （2）如果梯子的顶端下滑的距离AD＝4m，求梯子的底部B在水平方向滑动的距离BE的长． 6．如图，一架25米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，梯子底端离墙有7米． （1）求梯子靠墙的顶端距地面有多少米？ （2）小燕说“如果梯子的顶端沿墙下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向就滑动了4米．”她的说法正确吗？若不正确，请说明理由． 7．如图，一个梯子斜靠在一面墙上，梯子底端为，梯子的顶端距地面的垂直距离为的长． （1）若梯子的长度是，梯子的顶端距地面的垂直距离为．如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端向外滑动多少米? （2）设，，，且，请思考，梯子在滑动的过程中，是否一定存在顶端下滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况?若存在，请求出这个距离；若不存在，说明理由． 8．如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O）的墙上．当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO＝60°，当梯子底端向右滑动0.5m（即BD＝0.5m）到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO＝51°18′，求梯子的长．（参考数据：sin51°18′＝0.780，cos51°18′＝0.625，tan51°18′＝1.248） 9．在一次消防演习中，消防员架起一架25米长的云梯，斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙20米，如图． （1）求这个梯子的顶端A距地面有多高？ （2）如果消防员接到命令，要求梯子的顶端上升5米（云梯长度不变），那么云梯底部在水平方向应滑动多少米？ 10．如图，小锋将一-架4米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，使梯子与地面所成的锐角为60°． （1）求梯子的顶端与地面的距离AC（结果保留根号） （2）为使梯子顶端靠墙的高度更高，小锋调整了梯子的位置使其与地面所成的锐角为70°，则需将梯子底端点B向内移动多少米（结果精确到0.1米）？参考数据：，，． 11．如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C落在第二象限．其斜边两端点A、B分别落在x轴、y轴上且AB＝12cm （1）若OB＝6cm． ①求点C的坐标； ②若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离； （2）点C与点O的距离的最大值是多少cm． 第 2 页 共 19 页 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 巩固提高参考答案 1．（1）的长为4米；（2）梯子的底端A向外移动了米 【分析】（1）直接利用勾股定理得出的长； （2）根据及（1）中的答案求得的长，进而利用勾股定理得出答案即可． 【详解】解：（1）一架长5米的梯子，顶端靠在墙上，梯子底端到墙的距离米， ， 答：的长为4米； （2）∵，， ∴， ， ∴， 答：梯子的底端A向外移动了米． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键． 2．（1）这个梯子的顶端距地面有24米高；（2）梯子底部在水平方向不是滑动了4米，而是8米． 【分析】（1）应用勾股定理求出的高度； （2）利用勾股定理求出的距离即可解答． 【详解】解：（1）由题意，得， 所以：（米)． （2）由，得 （米)． （米)． 答：梯子底部在水平方向不是滑动了4米，而是8米． 【点睛】本题考查了正确运用勾股定理，解题的关键是善于观察题目的信息． 3．见解析 【分析】根据三角形三边关系和勾股定理判定即可； 【详解】如图． 在中，， ∴． 在中，由勾股定理得． ∵， ∴当O，Q，C三点共线，取得最大值，，即； 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系和勾股定理的应用，准确计算是解题的关键． 4（1）CE是15米；（2）AE有5米． 【分析】（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AC的长，由于梯子长度不变，在Rt△CDE中，根据勾股定理，求出CE的长，从而得出答案； （2）由AE＝AC﹣EC即可求得结果． 【详解】解：（1）∵在Rt△ABC中， AB＝25米，BC＝15米， ∴AC＝＝20（米）， 在Rt△CDE中， ∵DE＝AB＝25米，CD＝BC+BD＝15+5＝20（米）， ∴EC＝＝15（米）， 答：梯子滑动后，梯子的高度CE是15米； （2）由（1）知，AC＝20米，EC＝15米， 则AE＝AC﹣EC＝20﹣15＝5（米）． 答：梯子顶端A下落的长度AE有5米． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，先根据勾股定理求出AC及EC的长是解题关键． 5．（1）7米；（2）8m 【分析】（1）由题意得米，米，根据勾股定理AC2+BC2=AB2，可求出梯子底端离墙有多远． （2）由题意得此时CD=20米，DE=25米，由勾股定理可得出此时的CE，继而可求BE． 【详解】（1）由题意知米，米，米，     在直角△ABC中，∠C＝90° ∴ ∴米， ∴这个梯子底端离墙有7米 （2）∵米， ∴（米）， 在直角△CDE中，∠C＝90° ∴ ∴（米）， 米米米． 答：梯子的底部在水平方向滑动了8m． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，有一定难度，注意两问线段的变化． 6．（1）24米；（2）不正确，理由见解析． 【分析】（1）利用勾股定理，即可求出答案； （2）由题意，先求出，，，然后利用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：（1）如图， 由题意得，， ∴ ∴ 即顶端距地面有24米 （2）她的说法不正确； 由题意得，，， ∴， ∴， ∴， ∴梯子水平滑动了8米， ∴她的说法不正确． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合思想的应用． 7．（1）梯子的底端向外滑动米；（2）存在，梯子的底端向外滑动的距离是米． 【分析】（1）已知AB、BC，在直角中即可计算AC的长度，设梯子的底端向外滑动米，由题意得，，求解即可； （2）设存在顶端下滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况，此时梯子的底端向外滑动米，由题意得，，求解即可． 【详解】（1）在中，，， . 设梯子的底端向外滑动米，由题意得， ， 解得，（舍去） 即梯子的底端向外滑动米. （2）设存在顶端下滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况，此时梯子的底端向外滑动米，由题意得， ， 解得，（舍去）， ，即梯子的底端向外滑动的距离是米． 【点睛】本题主要考查勾股定理在实际中生活中的应用，本题中根据梯子长度不会变的等量关系求解是解题关键． 8．4米 【分析】设梯子的长为xm，在Rt△ABO中，根据三角函数得到OD，在Rt△CDOR中，用含x的式子表示出OD，再根据BD＝OD﹣OB，得到关于x的方程，解方程即可． 【详解】解：设梯子的长为xm， 在Rt△ABO中，cos∠ABO＝， ∴OB＝AB⋅cos∠ABO＝x⋅cos60°＝x， 在Rt△CDO中， cos∠CDO＝， ∴OD＝CD⋅cos∠CDO＝x⋅cos51°18′≈0.625x． ∵BD＝OD﹣OB，BD＝0.5m， ∴0.625x﹣x=0.5， 解得x=4． 故梯子的长是4米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，数形结合、根据题意正确列式，是解题的关键． 9．（1）15米；（2）5米． 【分析】（1）利用勾股定理可得，再代入数计算即可； （2）根据题意表示出EA长，再在直角△EDB中利用勾股定理计算出BD长，进而可得CD长． 【详解】解：（1）由题意得：米，米， 则（米）， 即这个梯子的顶端距离地面15米，                  （2）由题意得：米，米， 则（米），             因为米， 所以米， 即云梯的底部在水平方向应滑动5米． 【点睛】此题主要考查了勾股定理得应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 10．（1）；（2）0.6m 【分析】（1）直接解直角三角形求出AC的长即可； （2）通过两次解直角三角形求出BC，DC的长即可得出结论． 【详解】解：（1）竖直的墙与梯子形成直角三角形， 在中，∠ ∴(m) （2）如图所示，将梯子向内移动后，移动的距离为BD， DE=AB=4m 在中，（m） 在中，（m） ∴（m） 故向内移动0.6m 【点睛】本题考查了解直角三角形在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键． 11．（1）①点C的坐标为（－3，9）；②滑动的距离为6（﹣1）cm；（2）OC最大值12cm． 【分析】（1）①过点C作y轴的垂线，垂足为D，根据30°的直角三角形的性质解答即可； ②设点A向右滑动的距离为x，根据题意得点B向上滑动的距离也为x，根据锐角三角函数和勾股定理解答即可； （2）设点C的坐标为（x，y），过C作CE⊥x轴，CD⊥y轴，垂足分别为E，D，证得△ACE∽△BCD，利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：（1）①过点C作y轴的垂线，垂足为D，如图1： 在Rt△AOB中，AB=12，OB=6，则sin∠BAO= ∴∠BAO=30°，∠ABO=60°， 又∵在Rt△ACB中，∠CBA=60°， ∴∠CBD=60°，∠BCD=30°，BC=AB·sin30°=6 ∴BD=BC·sin30°=3，CD=BC·cos30°=3， ∴OD=OB+BD=9 ∴点C的坐标为（﹣3，9）； ②设点A向右滑动的距离为x，根据题意得点B向上滑动的距离也为x，如图2： AO=12×cos∠BAO=12×cos30°=6． ∴A'O=6﹣x，B'O=6+x，A'B'=AB=12 在△A'O B'中，由勾股定理得， （6﹣x）2+（6+x）2=122，解得：x=6（﹣1）， ∴滑动的距离为6（﹣1）； （2）设点C的坐标为（x，y），过C作CE⊥x轴，CD⊥y轴，垂足分别为E，D，如图3： 则OE=﹣x，OD=y， ∵∠ACE+∠BCE=90°，∠DCB+∠BCE=90°， ∴∠ACE=∠DCB， 又∵∠AEC=∠BDC=90°， ∴△ACE∽△BCD， ∴，即， ∴y=﹣x， OC2=x2+y2=x2+（﹣x）2=4x2， ∴当|x|取最大值时，即C到y轴距离最大时，OC2有最大值，即OC取最大值， 如图，即当C'B'旋转到与y轴垂直时．此时|x|=6，OC=， 故点C与点O的距离的最大值是12cm． 考点：相似三角形综合题． 第 2 页 共 19 页 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $