三角恒等变换讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第一册

将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 必修第一册第5章、三角函数 (五)三角恒等变换 知识梳理 知识点1：两角和与差的余弦公式 两角和的余弦公式：Ca+B):cos(a+B=cos a cos B-sin a sin B 两角差的余弦公式：Ca-B):cosa-B)=cos a cos阝+sin a sin B 知识点2：两角和与差的正弦公式 两角和的正弦公式：Sa+:sin(a+B)=sin a cos B+cos sir血B 两角差的正弦公式：Sa-B:sin(a-B)=sin a cos B-cos a sin B 知识点3：两角和与差的正切公式 两角和的正切公式：Ta+®)： tan( 两角差的正切公式：Ta-:tan(a-B)=+tanc tan tana-tan B 知识点4：二倍角公式及其应用 二倍角的正弦(S2a):sin2a=2 sina cosa;变形：sina cosa=sin2a 二倍角的余弦(C2a):cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a. 二倍角的正切(Ta):tan2a=,2tang 1-tan2a 第1页共12页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 知识点5：公式变形 (1)升幂公式：1+cos2a=2cos2a,1-cos2a=2sin2a, 降幂公式：cos2a=1+cos2a2, sin2a.=1-cos 2 a 2; (2)tan otan阝=tan(c±p)(l年tan ctan): (3)1+sin 2a=(sin a++cos a)2,1-sin 2a=(sin a-cos a)2,sin atcos a=2sin(a) 知识点6：辅助角公式及其应用 (1)公式形式：asinx+bcosx-=a2+b2sinc十p),其中p满足：①p与点(a,b)同象限；②tanp=ba(或sinp =b\r(a2++b2),cos o=a\r(a2+b2)). (2)应用：将形如asinx十bcos x(a,b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式. ◆三角恒等变换包括： 角的变换--异角化同角；名的变换--异名化同名；式的变换-幂的升降。 考点突破 考点一两角和与差公式 7ππ 【例1】sin 5π -COS-+COS 的值为 sin- 6 12 6 【答】9 【解析】sim7r。 12 6 12 6 12 6 7π π sin 12 Cos+cos- 加公m怀an故答笑为： 12+6 42 【变式1-1】计算sin21°cos39°+sin69°sin39°的结果等于() 第2页共12页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ A.2 B.3 2 C. D.3 2 2 【答案】B【解析sin21°cos39°+sin69°sin39°=sin21°cos39°+cos21°sin39° =sim(21+39=sin60°=5 【变式1-2】sin25sin35°-cos25°cos35°=() A.3 C.3 2 B月 2 D. 【答案】B【解析】sin25sin350-c0s259c0s35°=-c0s(250+359)=-c0s600=-】故选：B 2 【变式1-3】tan200°+tan40°+√3tan20°.tan40°=() A.V3 B.-5 C.1 D.-1 【答案】A 【解析】tan200°=tan(180+20）=tan20°，tan60°=tan(20+40）= tan 20+tan 40=3, 1-tan20°.tan40° 所以tan20°+tan40°=V3-√3tan20°tan40°，所以tan200°+tan40°+√3tan20°.tan40°=√5.故选：A 【变式1-4】已知cos(&+F)=克，cosacosB=青，则tanatanB=() A.-2 B.2 C.- D. 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用和角的余弦公式求出sinasinB即可得解 【详解】由cos(&+B)=麦，得cosacos3-sinasinB-=,而cosacos3=青， 因此sinasinB=-音，所以tanatanB= sinasing cosacosB 故选：C 第3页共12页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 考点二二倍角公式 〔例2】已知an83,则in20 2sin0 cos0 2tan0 2x2 【解折】因为如0-号所以如20=2如8os9=。 【答案】13 3 12 sin20+cos20 tan20+1 2)2 13 3 +1 【变式21】若动a=}则x-2a 1 】【解析】因为sina3所以cos-2acos2a=2sin2a 【变式2-2】（多选题）下列计算正确的是() A.sin75'cos15-cos75'sin15 tan22.5° B. =1 2 1-tan222.5° C.cos22.5°-sin2.5- 2 D.sin215+sin275°+sinl5°sin75°=3 【答案】AC 【解析】sin75cosl5-cos75sinl5°=sim(75°-15）=sin60-5,故A正确： tan22.5°1、2tan22.5°1 an45=】,故B错误； 1-tan222.5°21-tan222.5°2 2 cos*2.5-sim*2.5=(c0s22.5+sim22.5'jcos22.5-sin22.5）=c0s45= ,故C正确； 2 sin215+sin275°+sinl5sin75°=sin215°+cos215°+sinl5cos15°=1+sin30°= 故D错误， 故选：AC. 考点三给值求值问题 【例3】已知eos名+a-号，则simg+2a 第4页共12页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 【答案】- 25 【解析】sin 【变式3-1】若tana-2B)=-2,tan2a-B）=3,则tana+B)=() B.-1 c. D. tan(2a-B)-tan(a-2p)=3-(-2)=-l 【答案】B【解折1amla+p)=m[2a--a-2p]-1am2aA-ma-23x 【变式32】（多选圈）已如a,B=0引，osa+)=音sma-)=则() A.sima+B1三3 Bosa-1-号 C.sin2a= 3 65 Dma+刷-号 【答案】BCD 【解折a月0}osa+)-言sma-)-}则a+B0}a-B0经》 02 12 a+助=oe+角-吕ma+-08-号-号放A错，D正霜 13 13 cos(a-B)=√-sin2a-B)=4,故B选项正确； 5 124.5363 sin 2a sin (a+B)+(a-B)=sin(a +B)cos(a-B)+cos(a +B)sin(a-B)=- -X- 13513565' 故C选项正确；故选：BCD 考点四 给值求角问题 【例4】若cosa-B)=5 10 ,并且a,B均为锐角，且a<B,则Q+B的值为() 第5页共12页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ A. B. 4 C. 3π 4 D.Sr 6 【答案】C【解析】cosa-B)=5 )”cos2a310。并且a,B均为锐角，且a<B,则看 10 a-Be（20小，2a0》得ma-)=--sa-f=25 sin 2a =v1-cos22a =3v10 10 cos(a+B)=cos[2a-(a-B)]=cos2a cos(a-B)+sin2asin(a-B) -ox5+3i0x25--2 105105 又因为a+Be0,,所以a+B=子放选：C 【变式41】已知a,Be0,}cosa-)=}aa:aB=5,则a+B=（) B. C.z D.3 π 4 6 【答案】D 【解析】由tana.tan邛=5，得 sina sin=5,所以sinasin=5 o,又 cosa cos B 1 eosa-B)=cosacoB+sina sin=所以cosas=-.sina sin=’ 8 8 所以osa+B=-smas血B-=专：又aA0引所以a+fe小，所以a+B=晋 3 【变式421已知如-号amB=方芙中0<a经积<B<a (1)求sina+ 的值； 4 (2)求B-2a的值. 【答案】(1)25 3π 4 【详解】(1)因为cos2a=2coa-1=1-2sina=5,可得cosa 10'sin'a= 9 1 0, 又因为0<a<? 4，则cosa>0,sina>0，可得cosa=0,sina、V/0 10 第6页共12页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 所以sina+4 -sina cos+cosa sin25 4102102 5 (2)因为0<a<至则0<2a<号且oa专可得m2a=-w亚-号 所以aa部8-子可得m信-2如刘8m品 =-1 又因为<B<x,可得胥<B-2a<,所以B-2a- 6 4 考点五辅助角公式 【例5】若函数f8)=V5cosx-simx,则f(x)可以化简为() A.2cos(+)B.2cos(x) C.2cos(x+晋)D.2cos(x-晋) 【答案】C 【样辨1f内=5cox5i血x=2(停co3xnx)=2cos(x+号)，c正 【变式51】函数=smre0sx+Scos2x的最小正周期是() A.元 B.π 2 C.2π D.3z 2 【情案】A【饼】由升闲=血c号s2x-2+ cos2x=sm2x+写 2 第7页共12页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 故函数的最小正周期为27=元.故选：A 【变式52】已知函数f()=co2x-3 π +2c0s2x. (1)求f 的值： (2)求函数f(x)的单调递增区间. 【答案】① 2+1 径++如e 【详解】(1)由题意可得 6 4 2 即八4)2 +1 2》由=co2r-引2osi可， f=os2s号rsm2rs号os2r+1-5sm2x+os2r+1=5sm2x+看引1， 3 令-受+2≤2x+骨s+2版keZ,解得-钙+mS≤+akeZ 32 12 12 即函数∫(x)的单调递增区间为 +红+ake 12 课后巩固 一一 1.已知sin(a+B)=,cosasin6=子，则器=() A.青 B.3 C. D.4 第8页共12页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 【答案】A 【详解】因为sin(c+F)=青，cosasinB=寺，所以sinacos,B+cosasinB=青， 所以ic=专子=克，所以器器-亨-专，即tana~高-专，即器=青故选：A 2已知cosa=号则o2a-() A.3 B.-3 2 2 C. D月 【答案】D【解析】cos2a=2cos'a-1=-, ’故选：D A.-5 8 B.5 C. 8 D. 【答案】C 【解1cmg+20ca经+c2倍+ -2ow径-（倍-aj}1-2sn侣-a小-1名 故选：C 男：m后如小1-2n倍1-6 所以cos +-g如小m居- 故选：C 4已知oma+君)号则sm2a君=（) 第9页共12页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ A.-49 25 C. D.3 【答案】D 【详样】na引-o[（2a君引月引-os2a+}1-2aoa+君 =1-2× 97 2525 故选：D 「3 5.若sin2a= 则a+B=() 5 10 7π B. 9咖 c.3 π D. 【答案】A 【详解】：sin2a=2 sina cosa>0,·sina,cosa符号相同， 汉a[,ae引2a昏 由sin2a= 5可得cos2a=2y5 又[B-u--酒0， 10 所以B-a∈ .cos(B-a)-_310 10 ..cos(a+B)=cos 2a+(B-a)=cos2a cos(B-a)-sin 2a sin(B-a) =25x3i而5i0V2 5105102 故选：A. 6.函数f(x=cos2x+sin xcosx的单调减区间为 第10页共12页将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 必修第一册第5章、三角函数 (五)三角恒等变换 知识梳理 知识点1：两角和与差的余弦公式 两角和的余弦公式：Ca+B):cos(a+B=cos a cos B-sin a sin B 两角差的余弦公式：Ca-B):cosa-B)=cos a cos阝+sin a sin B 知识点2：两角和与差的正弦公式 两角和的正弦公式：Sa+:sin(a+B)=sin a cos B+cos sir血B 两角差的正弦公式：Sa-B:sin(a-B)=sin a cos B-cos a sin B 知识点3：两角和与差的正切公式 两角和的正切公式：Ta+®)： tan( 两角差的正切公式：Ta-:tan(a-B)=+tanc tan tana-tan B 知识点4：二倍角公式及其应用 二倍角的正弦(S2a):sin2a=2 sina cosa;变形：sina cosa=sin2a 二倍角的余弦(C2a):cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a. 二倍角的正切(Ta):tan2a=,2tang 1-tan2 a 第1页共7页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 知识点5：公式变形 (1)升幂公式：1+cos2a=2cos2a,1-cos2a=2sin2a, 降幂公式：cos2=1+cos2a2, sin2a.=1-cos 2 a 2; (2)tan otan阝=tan(cp)(1年tan ctan); (3)1+sin 2a=(sin a++cos a)2,1-sin 2a=(sin a-cos a)2,sin atcos a=2sin(a) 知识点6：辅助角公式及其应用 (I)公式形式：asinx-+bcosx-=a2+b2sin(x十p),其中o满足：①o与点(a,b)同象限；②tano=ba(或sinp =b\r(a2+b2),cos o=a\r(a2+b2)). (2)应用：将形如asinx-十bcos x(a,b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式. ◆ 三角恒等变换包括： 角的变换--异角化同角；名的变换-异名化同名；式的变换-幂的升降。 考点突破 考点一两角和与差公式 【例1】sin7Tcos交+cos5sin7匹的值为. 12 6 °12 6 【变式1-1】计算sin21°cos39°+sin69°sin39°的结果等于() A. B.3 D._ 3 2 C. 2 2 第2页共7页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 【变式1-2】sin25sin35°-c0s25cos350=() A,-3 c.3 2 2 D. 【变式1-3】tan200°+tan40°+√3tan20°.tan40°=() A.5 B.-3 C.1 D.-1 【变式1-4】已知cos(a+B)=克，cosacos3=青，则tanatanB=() A.-2 B.2 c.- D. 考点二二倍角公式 【例2】己知tan0= 3,则sin20= 【变式21】若a=弓则m-2刘- 【变式2-2】（多选题）下列计算正确的是() A.sin75 cos15-cos75'sin15 B. tan22.5 =1 2 1-tan222.5° C.cos2.5°-sin2.5=5 D.sin215°+sin275°+sinl5°sin75°= 2 -2 第3页共7页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 考点三给值求值问题 【例3】已知o(名+a-号则sm（g+2a一 【变式3-1】若tana-2B)=-2,tan(2a-β）=3，则tana+B)=() A B.-1 c.8 D. 【变式32】（多达题）已知a,B0 wa+-音ma-阴=子则《) A.sin(a+B)=-12 13 B.asa-l-号 63 C.sin 2a= 65 D.tan(a+B)=12 考点四 给值求角问题 【例4】若cos(a-B)= 5 ，cos2a= V10 并且a,B均为锐角，且o<B,则a+B的值为() 10 B. C.3x 4 D. 6 【变式41已知a,Be0cosa-)-=5,则+:（) A B c.君 D,3 第4页共7页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 【变式42】已知e2a-手mB=行其中0<a<径，名<B<x. 4’6 ,+的值： (①)求sina+4 (2)求B-2a的值. 考点五辅助角公式 【例5】若函数f8)=V3cosx-sinx,则fx)可以化简为() A.2cos(x+晋)B.2cos(x-号)C.2cos(x+若) D.2cos(x-若)】 【变式5-1】函数f(x)=sinxcosx+- 2cos2x的最小正周期是() 2 A.元 B.π C.2元 D. 2 【变式52】已知函数f(x)=cos2x-+2c0sx. 3 (2)求函数f(x的单调递增区间. 弟占贝买（贝 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 课后巩固 1.已知sin(a+B)=高，cosasin6=,则器=（) A.青 B.3 C. D.4 2已知cosa-分则o2a（) A.3 2 B.、3 2 C. D月 A.5 8 B.5 8 8 D.日 C. 5若sin2a=5, 则a+B=() 5 10 A C. 4π 3 D 6.函数fx)=cos2x+sin xcosx的单调减区间为 第6页共7页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 7已知a∈r元）】 2v5 2,sina= 5 (1)求sin +a的值 4 (2)求cos 5-20 的值。 6 8.已知函数fx)=2W3 sinxcosx-+sin2x-cos2x. (1)求f(x的最小正周期： (2)求函数∫(x)取最大值时x的取值集合： (3)设函数f(x)在区间 区m上单调递诚，求实数m的最大位。 第7页共7页