精品解析：广东省中山市中港英文学校2025-2026学年 九年级上学期数学期中试卷

2025—2026年度广东省中山市中港英文学校初三上数学期中试卷 一、选择题（共10小题） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义分析判断即可． 【详解】解：A. ，该选项是分式方程，不符合题意； B. ，整理得，为一元一次方程，不符合题意； C. ，因为，故该方程是关于x的一元二次方程，符合题意； D. ，该选项未知数的最高次数是3，所以不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解并掌握一元二次方程的定义是解题关键． 2. 一元二次方程的解为（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，将方程整理为标准形式后，通过因式分解法求解即可． 【详解】解∶原方程变形为 ∴， ∴， 解得：， 故选∶C． 3. 将一元二次方程化成一般形式，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的概念，方程的解的概念以及配方法解一元二次方程的一般步骤对选项进行判断即可．一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解： ∴ 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 4. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是掌握配方法解一元二次方程． 先将常数项移到方程的右边，再在两边加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：， 移项，得， 两边同时加上9，得， 即， 故选：A． 5. 某公司2018年获利润1000万元，计划到2020年年利润达到1210万元设该公司的年利润平均增长率为x，下列方程正确的是（　　） A. 1000（1+x）2＝1210 B. 1210（1+x）2＝1000 C. 1000（1+2x）＝1210 D. 1000+10001+x）+1000（1+x）2＝1210 【答案】A 【解析】 【分析】等量关系为：2019年的利润是1000（1+增长率），2020年的利润是1000（1+x）（1+增长率），把相关数值代入即可 【详解】设年利润平均增长率为x，则2019年的利润是1000（1+x），2020年的利润是1000（1+x）（1+x）， 依题意得：1000（1+x）2＝1210． 故选A． 【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键在于列出方程 6. 的两边长分别为2和3，第三边的长是方程的根，的周长是（ ） A. 8 B. 10 C. 8或10 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形的三边关系；先解方程，进而根据三角形的三边关系取舍即可求解． 【详解】解： ∴ ∴或 解得：或， 的第三边为或， 但当第三边为时，，不满足三角形三边关系， 的第三边长为， 的周长为． 故选：A． 7. 已知a和b是方程的两个解，则的值为（　　） A. 2020 B. 2024 C. 2026 D. 2028 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意可得，，将所求式子变形为，整体代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k-2≠0且Δ=（-2）2-4（k-2）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得k-2≠0且Δ=（-2）2-4（k-2）＞0， 解得：k<3且k≠2． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的定义． 9. 若关于x的方程是关于x的一元二次方程，则m的取值是（ ） A. 任意实数 B. 1或 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程需满足条件，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此计算m的取值即可 【详解】解：∵关于x的方程是关于x的一元二次方程， ∴， 解得或， ∵ ∴， ∴． 10. 今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要给群内其他所有成员各发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包.设该微信群共有人，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意寻找等量关系是解题的关键． 设该群一共有x人，则每人收到个红包，根据群内所有人共收到90个红包，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设该群一共有x人，则每人收到个红包， 由题意可得：． 故选：B． 二、填空题（共5小题） 11. 若关于x的一元二次方程有一个根为 ，则m的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程中得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：∵一元二次方程有一个根为 ， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 已知a是方程的一个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程的解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的一个实数根， ， 即， ∴． 故答案为：． 13. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据单循环赛总比赛场数的公式和计划总比赛场数，建立方程，即可作答． 【详解】解：参赛队有 个，每两个队之间比赛一场，则总比赛场数为， ∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛， ∴总比赛场数为， ∴， 故答案为：． 14. 若，是一元二次方程的两根，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程两根之间的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得出，将代数式因式分解，再代入，即可求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴ ∴ 故答案为：． 15. 已知m，n，4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长的两个根，则k的值等于 ________． 【答案】7或6 【解析】 【分析】当或时，即，代入方程即可得到结论，当时，即，解方程即可得到结论． 【详解】解：∵、、分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长， ∴当或时，即， ∴方程为， 解得：， 此时该方程为， 解得：，， 此时三角形的三边为，符合题意； 当时，即， 解得：， 此时该方程为， 解得：， 此时三角形的三边为，符合题意， 综上所述，的值等于或． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的定义、三角形的三边关系，正确的理解题意是解本题的关键． 三、解答题（共5小题） 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）无解 （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ∴原方程无解； 【小问2详解】 解：， ， ∴或， ∴． 17. 计算 习题课上老师给了一道解方程的题目：．嘉嘉和琪琪的解法如下： 嘉嘉的解法 原方程可化为：……第一步 ……第二步 ，……第三步 琪琪的解法 原方程可化为：……第一步 两边都除以……第二步 ……第三步 （1）她们的解法都是错误的，嘉嘉从第________步开始错误，琪琪从第________步开始错误； （2）写出方程正确的解答过程． 【答案】（1）二；二 （2） 解：按嘉嘉的解法：原方程可化为：， ∴， ∴或, 解得：； 按琪琪的解法：原方程可化为：， 当时，， 当时，两边都除以，得， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）根据因式分解法和等式的基本性质求解即可； （2）利用十字相乘法将左边因式分解，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：嘉嘉从第二步开始错误，因为方程左边因式分解出现了错误； 琪琪从第二步开始错误，因为她方程两边同时除以时，没有分情况讨论． 【小问2详解】 略 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程有一个根为，求m的值． 【答案】（1） 证明：， 无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键，一元二次方程的根与有如下关系：当时， 方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根； （1）证明即可； （2）把代入原方程得到关于的方程，再解新方程即可求得的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：方程有一个根为， ， 解得：． 19. 新农村建设有效促进了乡村旅游业的发展．某镇2018年实现旅游收入1500万元，到2020年该项收入达到2160万元，且从2018年到2020年，每年旅游收入的年增长率相同． （1）该镇旅游收入的年增长率； （2）若该镇旅游收入的年增长率保持不变，预计2021年旅游收入达到多少万元？ 【答案】（1）20%；（2）预计2021年旅游收入达到2592万元． 【解析】 【分析】（1）设该镇旅游收入的年增长率为x，根据题意列出等量关系进行求解即可； （2）相等关系是：2021年盈利=2020年盈利×（1+年增长率）． 【详解】解：（1）设该镇旅游收入的年增长率为x， 根据题意得：1500（1+x）2=2160． 解得x1=0.2，x2=-2.2（不合题意，舍去）． 答：每年盈利的年增长率为20%； （2）2160（1+0.2）=2592， 答：预计2021年旅游收入达到2592万元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的关键． 20. 2025年5月10日江苏省城市足球联赛（被球迷称为“苏超”的足球联赛）开幕．某经销商销售以“苏超”为主题的T恤衫，平均每天可售出40件，每件盈利30元，为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件．设每件T恤衫降价x元． （1）降价后每件T恤衫的利润为_____（元），平均每天可售出______件（用含x的代数式表示）； （2）若该经销商每天获得的利润为1500元，则每件T恤衫应降价多少元？ 【答案】（1）， （2）每件T恤衫应降价15元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，降价后的每件T恤衫的利润为元，平均每天可售出件； 故答案为：， 【小问2详解】 由题意，得：， 解得：或， ∵为了尽快减少库存、增加盈利， ∴； 答：每件T恤衫应降价15元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026年度广东省中山市中港英文学校初三上数学期中试卷 一、选择题（共10小题） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（    ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的解为（ ） A. B. C. ， D. ， 3. 将一元二次方程化成一般形式，正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某公司2018年获利润1000万元，计划到2020年年利润达到1210万元设该公司的年利润平均增长率为x，下列方程正确的是（　　） A. 1000（1+x）2＝1210 B. 1210（1+x）2＝1000 C. 1000（1+2x）＝1210 D. 1000+10001+x）+1000（1+x）2＝1210 6. 的两边长分别为2和3，第三边的长是方程的根，的周长是（ ） A. 8 B. 10 C. 8或10 D. 7 7. 已知a和b是方程的两个解，则的值为（　　） A. 2020 B. 2024 C. 2026 D. 2028 8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 若关于x的方程是关于x的一元二次方程，则m的取值是（ ） A. 任意实数 B. 1或 C. 1 D. 10. 今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要给群内其他所有成员各发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包.设该微信群共有人，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题） 11. 若关于x的一元二次方程有一个根为 ，则m的值为_________． 12. 已知a是方程的一个实数根，则的值为______． 13. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为______． 14. 若，是一元二次方程的两根，则的值为______. 15. 已知m，n，4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长的两个根，则k的值等于 ________． 三、解答题（共5小题） 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 17. 计算 习题课上老师给了一道解方程的题目：．嘉嘉和琪琪的解法如下： 嘉嘉的解法 原方程可化为：……第一步 ……第二步 ，……第三步 琪琪的解法 原方程可化为：……第一步 两边都除以……第二步 ……第三步 （1）她们的解法都是错误的，嘉嘉从第________步开始错误，琪琪从第________步开始错误； （2）写出方程正确的解答过程． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程有一个根为，求m的值． 19. 新农村建设有效促进了乡村旅游业的发展．某镇2018年实现旅游收入1500万元，到2020年该项收入达到2160万元，且从2018年到2020年，每年旅游收入的年增长率相同． （1）该镇旅游收入的年增长率； （2）若该镇旅游收入的年增长率保持不变，预计2021年旅游收入达到多少万元？ 20. 2025年5月10日江苏省城市足球联赛（被球迷称为“苏超”的足球联赛）开幕．某经销商销售以“苏超”为主题的T恤衫，平均每天可售出40件，每件盈利30元，为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件．设每件T恤衫降价x元． （1）降价后每件T恤衫的利润为_____（元），平均每天可售出______件（用含x的代数式表示）； （2）若该经销商每天获得的利润为1500元，则每件T恤衫应降价多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $