2026年中考数学压轴几何模型 专题7 手拉手模型

专题7 手拉手模型 手拉手模型得名于图形拟人化特征：公共顶点为“头”，等线 段为“左右手”，连接对应顶点的线段为“拉手线”，整体形似 两人牵手。其核心为共顶点、等线段、等顶角，绕顶点旋转可生成 全等/相似三角形，是中考几何压轴题中处理旋转、全等、相似问题 的高频工具。 本专题从知识精讲、典例分析、课堂随练、巩固提高四个部分 展开，循序渐进，层层剖析手拉手模型的重难点，内容详实丰富， 供大家学习使用，欢迎下载。 知识精讲 条件：如图，OA=OB,OC=OD(四线共点，两两相等)，∠AOB=∠COD(夹角相等) 结论：△OAC≌△OBD(SAS) 证明无需赘述，关于条件中的OA=OB,OC=OD,有时候会直接以特殊几何图形的形式给 出，比如我们都很熟悉的等腰三角形、等边三角形和正方形. 第1页共232页 1.等边三角形手拉手 (I)如图，B、C、D三点共线，△ABC和△CDE是等边三角形，连接AD、BE,交于点 D P: 结论一：△ACD≌△BCE AC=BC ∠ACD=∠BCE 证明： CD=CE →△ACD≌△BCE(SAS) (2)记AC、BE交点为M,AD、CE交点为N: 结论二：△ACN≌△BCM;△MCE≌△NCD ∠MBC=∠NAC BC=AC 证明： ∠BCM=∠ACN→△ACN≌△BCM(SAS): 第2页共232页 ∠MCE=∠NCD CE=CD ∠CEM=∠CDN-△MCE≌△NCD(ASA) (3)连接MN: D 结论三：△MNC是等边三角形. CM=CN 证明： ∠MCN=60°一△MCN是等边三角形. (4)记AD、BE交点为P,连接PC: D 结论四：PC平分∠BPD 证明：△BCE≌△ACD→CG=CH→PC平分∠BPD. (5)结论五：∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPE-60° 060 弟5贝共5上火 (6)连接AE: D 结论六：P点是△ACE的费马点(PA+PC+PE值最小) 2.正方形手拉手 如图，四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，连接BE、DG: 结论一：△BCE≌△DCG CB=CD ∠BCE=∠DCG 证明： CE=CG →△BCE≌△DCG(SAS) 结论二：BE=DG,BE⊥DG 证明：△BCE≌△DCG→BE=DG; ∠CBE=∠CDG→∠DHB=∠BCD=90°（旋转角都相等） 典型例题 例一：如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△MBC的中心，∠FOG=120°，绕点 第4页共232页 O旋转∠FOG,分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE,给出下列四个结论：① 43 OD=OE;②SoDE=SARDE;③四边形ODBE的面积始终等于3：④△BDE周长的最小 值为6.上述结论中正确的个数是() D G A.1 B.2 C.3 D.4 【分析】等边三角形中的旋转型全等 连接OB、OC,易证△OBD≌△OCE,.OD-=OE,结论①正确： D 考虑∠FOG是可以旋转的，△ODE面积和△BDE面积并非始终相等，故结论②错误； :△OBD≌△OCE,.四边形ODBE的面积等于△OBC的面积， 425_4V3 -×4×1 33 ，故结论③正确： 考虑BD-CE,∴.BD+BE=CE+BE=4,只要DE最小，△BDE周长就最小，△ODE是 顶角为120°的等腰三角形，故OD最小，DE便最小， 2W5 3 当OD⊥AB时，OD取到最小值， 第5页共232页 此 DE=50D=2,÷周长最小值为6，故结论④正确. 综上，选C,正确的有①③④. 【小结】所谓全等，实际就是将△ODB绕点O旋转到△OEC的位置，等等，好像和某个 图有点神似，如下： O 当然这个图形还可以简化一下，毕竟和D点及F点并没有什么关系. 结论与证明不多赘述，题型可以换，但旋转是一样的旋转. 例二：如图，点P在等边AMBC的内部，且PC=6,PA=8,PB=10,将线段PC绕点 C顺时针旋转60°得到P'C,连接AP',则sin∠PAP'的值为. 【分析】连接PP,则△CPP'是等边三角形，故PP'=PC=6, 第6页共232页 易证△CPB≌△CP'A,:AP'=BP=I0, 又AP-8,∴，△APP是直角三角形， sin∠Pap'=3 例三：如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段 A0,连接B0.若PA=6,PB=8,PC=10,则四边形APBO的面积为， 【分析】分四边形为三角形. 连接PQ,易证△APQ是等边三角形，△BPQ是直角三角形， 5e-9×6=95,Sm= ×6×8=24 4 第7页共232页 ∴.四边形APBQ的面积为 24+95 课堂随练 练1：如图，等边三角形ABC内有一点P,分別连结AP、BP、CP,若AP=6, BP=8,CP=10.Sxor +Ssapc=. 【分析】构造旋转 如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA,连接EP, 可得△AEP是产色 田监法左 课堂随练 又m+8me5e+5m6x8: ×82=24+16W5 4 所以本题答案为24+163. PA2+PB2=PC2 搭配一：若 ,则可任意旋转，得等边+直角。 第8页共232页 且两条较短边夹角（∠APB)为150°， PA2+PB2=PC2 搭配二：若∠APB=150°，则有 练2：如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A,B,C的距离分别为 3,4,5,则△MBC的面积为() 9+25V5 9+25V5 4 2 18+25√5 18+25V5 2 A. B. C. D 【分析】(3,4,5)是一组勾股数，通过旋转构造直角三角形. SS2 S3 法一：如图，将三个小三角形面积分别 第9页共232页 S3 B 考虑到△ABC是等边三角形，可将△APB旋转到△ADC位置， 5 S+S3=S。ADp+SPCD= 3+x3x4=95 +6 4 4 可得： D S3 S2 9+5= x4+x3x4=4W5+6 4 同理可得： S+5= 25√5 4 ×52+×3×4-7 4+6 28+5,+3)=25+18,8+S,+3=255+9 2 4 故选A, 法二：如图，易证∠APB=150°，过点A作BP的垂线交BP延长线于点H, 第10页共232页