山东省泰安市新泰一中老校区（新泰中学）2024-2025学年高二下学期第二次大单元考试数学试题

第 1页/共 7页 学科网（北京）股份有限公司 新泰中学 2023级高二下学期第二次大单元考试 数学试题答案 一、选择题：1. D. 2. B 3. A. 4. B 5.A. 6. D 7. C 8.A 9. BC 10. AB 11.ABD 三、填空题：12. 6305 13. 11 18 14. 20, e       8.【解】不等式  1 ln ln 0y x y ax    恒成立， 整理为    1 ln ln lnxy x y xy xy a     恒成立， 设 0xy t  ，   lng t t t ，   ln 1g t t   ，令   0g t  ，得 1t e  ， 当 10 e t  ，   0g t  ，当 1 e t  ，   0g t  ， 所以函数的单调递减区间是 10, e       ，单调递增区间是 1 , e      ， 函数的最小值 1 1 e e g        ， 所以 1 1 ea   ，得 e 0a   . 故选：A 11.因为 sin( ) xf x x a   为偶函数，所以 ( ) ( )f x f x  ，所以 0a  ； 对于选项A， 因为 sin( ) ,xf x x  所以 2 cos sin( ) ,x x xf x x   所以 2 3π 4 , 2 9π f       所以函数 ( )f x 在 3π 2 x  处的切线斜率为 2 4 , 9π 故选项A正确； 对于选项B， 令 ( ) sin ,g x x x  则 ( ) cos 1,g x x   当 0x  时， ( ) 0,g x  所以 ( )g x 单调递减，所以 ( ) (0) 0,g x g  即 sin ,x x 所以 sin( ) 1.xf x x   因为 ( )f x 为偶函数，所以函数 ( ) 1f x  恒成立. 故选项B正确； 对于选项C， 2 cos sin( ) ,x x xf x x   令 ( ) cos sin ,g x x x x  则 ( ) cos sin cos sin ,g x x x x x x x      当  0, πx 时， ( ) 0,g x  第 2页/共 7页 学科网（北京）股份有限公司 所以 ( )g x 在  0, π 上单调递减，所以 ( ) (0) 0,g x g  即 2 cos sin( ) 0x x xf x x    在  0, π 上恒成立， 因此函数 sin( ) xf x x  在  0, π 上单调递减. 又 1 20 π,x x   所以 1 2( ) ( ),f x f x 故选项C错误； 对于选项D，因为函数 sin( ) xf x x  在  0, π 上单调递减， 所以函数 sin( ) xf x x  在 π0, 2       上也单调递减， 所以   sin π 2 2 π xf x f x        在 π0, 2       上恒成立， 即 2 sin π x x  在 π0, 2       上恒成立， 即m的最大值为 2 , π 故选项D正确； 故选：ABD . 14.【解】易知  0 0g  ，所以 0x  是函数  g x 的一个零点． （1）当 1x  时，由     0g x f x ax   可得 ln 1a x x   ， 令   ln 1h x x x   ， 1x  ，则   1 11 0xh x x x      ，所以ℎ � 单调递增． 又ℎ 1 = 0， ∴当 0a  时，方程 ln 1a x x   有且只有一解；当 0a  时，方程 ln 1a x x   无解. （2）当 1x  且 0x  时，由     0g x f x ax   可得 1 ex xa  ， 令   1 ex xm x  （ 1x  且 0x  ），则      2 e 1 e ee x x xx x xm x      ， 当  ,0x   时，   0m x  ，  m x 单调递增， 当  0,1x 时，   0m x  ，  m x 单调递减． 且   21 e m  ，  0 1m  所以，函数 ln 1, 1 0,0 1, 1 0 ex x x x y x x x              且 的大致图象如下， 第 3页/共 7页 学科网（北京）股份有限公司 作直线 y a 如图所示，数形结合可得若函数� � = � � − ��有三个不同的零点，须有 20 e a  . 故实数 a的取值范围是 20, e       ． 四、解答题： 15. 【1】因为 (1 3 )nx 的展开式的所有项的二项式系数和为 512 所以 2 512n  ，得 9n  ………………3分 所以 9 2 9 0 1 2 9(1 3 )x a a x a x a x        令 0x  ，得 0 1a  ……………………5分 令 = 1x  ， 0 1 2 3 8 9 512a a a a a a        所以 1 2 3 8 9 513a a a a a        ……………………8分 【2】因为 9(1 3 )x 展开式的通项公式为 1 9C (3 ) r r rT x  所以 9( 1)(1 3 )x x  中的 2x 项为  21 2 29 9C 3 1 C 3 297x x x x       ………………13分 16. 【1】由  1,4x   ，使得不等式 2 4 0x x m   成立 所以  2 max4m x x  ………………2分 因为二次函数 2 4y x x  在 1, 2 上单调递减，在 2,4 上单调递增 且  21 1 4 5xy      ， 2 4 4 4 4 0 x y      ……………………5分 所以，当  1,4x  时， max 5y  所以，  5A m m  . ……………………7分 【2】由  2 ln ln 0x a a x a a    可得    ln 0x a x a   . 设   lnf x x x  ，令   1 11 0 1xf x x x x         0,1x ，   0f x  ，  f x 单调递递减，  1,x  ，   0f x  ，  f x 单调递增 ………10分    1 1f x f  ，所以 lnx x ，所以 lna a 从而 { lnB x x a ∣ 或 }x a 第 4页/共 7页 学科网（北京）股份有限公司 因为 x A 是 x B 的充分条件，则 A B ………………13分 则 ln 5a  ，即 5ea  实数 a的取值范围是 5e ,  ………………15分 17. 【1】由表中的数据知， 1 2 3 4 5 3 5 x      ， 120 105 100 95 80 100 5 y      ……2分 5 1 1 120 2 105 3 100 4 95 5 80 1410i i i x y             5 2 1 55i i x   ， 5 1 5 2 2 1 5 1410 5 3 100ˆ 9 55 455 i i i i i x y x y b x x              ， ˆ 100 ( 9) 3 127a      ……5分 不满意人数 y与月份 x之间的经验回归方程为 ˆ 9 127  y x ……………………6分 当 x＝8时， ˆ 9 8 127 55y      所以预测 2024年 8月对该大型服装店服务不满意的客户人数为 55 ………………8分 【2】零假设 0H ：服务满意度与性别无关， 由表中的数据得 2 2 100 (48 18 22 12) 50 7.143 6.635 60 40 70 30 7            ………………13分 依据小概率值 0.01  的独立性检验，我们推断 0H 不成立，即认为疗法与疗效有关联 此推断犯错误的概率不大于 0.01 ………………15分 18. 【1】（i）由题可得甲回答了 4道题进入决赛的概率为 41 1 2 16       甲回答了 5道题进入决赛的概率为 3 3 4 1 1 1 1C 2 2 2 8         所以甲至多回答了 5道题就进入决赛的概率为 1 1 3 16 8 16   ………………4分 （ii）由题可知 X的可能取值为 4，5，6，7 则 41 1( 4) 2 2 8 P X         第 5页/共 7页 学科网（北京）股份有限公司 3 3 4 1 1 1 1( 5) 2 C 2 2 2 4 P X            3 2 3 5 1 1 1 5( 6) 2 C 2 2 2 16 P X                  3 3 3 6 1 1 5( 7) C 2 2 16 P X                ……………………8分（算对一个得 1分） 所以 X的分布列为 X 4 5 6 7 P 1 8 1 4 5 16 5 16 …………………………9分 则 1 1 5 5 93( ) 4 5 6 7 8 4 16 16 16 E X          . ………………11分 【2】设乙答对第 3道题的概率为 y，则 2 1 8 x y  所以 2 2 1 2( ) (1 ) C (1 )f x x y x y x x y     2 2 2 1 12 2 4 4 x y x xy x x        ，0 1x  ………………13分 则 3 2 2 1 8 1( ) 2 4 4 xf x x x x      2 2 (2 1) 4 2 1 4 x x x x     所以当 10 2 x  时，   0f x  ；当 1 1 2 x  时，   0f x  所以  f x 在 10, 2       上单调递减，在 1 ,1 2       上单调递增………………16分 所以 min 1 1 1 1 1( ) 2 4 2 4 2 f x f          . ………………17分 19. 【1】由题意知，   e 2xf x ax  ，令     e 2xg x f x ax   故   e 2xg x a  ，当 0a  时，   0g x  ，故�′ � 在R 上单增 第 6页/共 7页 学科网（北京）股份有限公司 又 1 0f a        ，  0 1 0f    ，故  1 0 0f f a         故�′ � 在R 上存在唯一变号零点，即  f x 存在唯一的极值点，符合题意； 当 0a  时，   e 1xf x   在R 上单调递增，即  f x 无极值点，不合题意；………………3分 当 0a  时，由   0g x  得  ln 2x a  ，又  g x 是增函数 所以�′ � 在   , ln 2a  上单调递减，在   ln 2 ,a   上单调递增 又      ln 2 2 1 ln 2f a a a     ①当 e 0 2 a ≤ 时，  ln 2 1a  ，所以，   ln 2 0f a  所以�′ � ≥ 0，所以  f x 在R 上单调递增，即  f x 无极值点，不合题意；………………6分 ②当 e 2 a   时，  ln 2 1a  ，所以   ln 2 0f a  ，又  0 1 0f        2 22 e 4 e 2 e 2a a af a a a a                e 2 e 2 e 2 e 2 0a aa a a a a          所以�′ � 在R 上存在两个变号零点，即  f x 在R 上存在两个极值点，不合题意. 综上， 0a  ，即 (0, )a  .………………9分 【2】因为  f x 存在两个极值点 1 2,x x ，由（1）知， e2a   且 1 2,x x 均为正数，所以 2 e 0a  ， 22 2 1 2 1 2 2 2 x x x x       ，即  21 22 2 1 2 2 x x x x    所以欲证  2 21 2 2 1 ex x a    ，只需证   2 1 2 2 2 x x  ，只需证 1 2 2x x  …………11分 又由题意，   11 1e 2 0xf x ax   ，   22 2e 2 0xf x ax   ，所以 1 2 1 2 e ex x x x  所以， 1 2 1 2 e eln ln x x x x  ，即 1 1 2 2ln lnx x x x   ，所以 1 2 1 2 1 ln ln x x x x    ………………13分 下面先证明 1 2 1 2 1 22 ln ln x x x x x x     ，不妨设 1 2x x 第 7页/共 7页 学科网（北京）股份有限公司 记 2 1 xt x  ，则 1t  ，  1 2 1 2 1 2 2 11 1 ln 2 ln ln 2 ln 1 tx x x x t t t x x t t             令     2 1 ln 1 t g t t t     ， 1t  ，         2 2 2 11 4 0 1 1 t g t t t t t         所以  g t 在 1, + ∞ 上单调递增，所以，由 1t  得，    1 0g t g  ………………15分 所以  2 1ln 1 t t t    ， 1t  ，即 1 2 1 2 1 22 ln ln x x x x x x     得证 所以， 1 2 1 2 1 2 1 2 ln ln x x x x x x      ，即 1 2 2x x  所以  2 21 2 2 1 ex x a    ，证毕.………………17分 第 1页/共 4页 学科网（北京）股份有限公司 新泰中学 2023级高二下学期第二次大单元考试 数学试题 2025.06 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. 若集合  2log 1M x x   ， 13 3 xN x     ，则M N  （ ） A. 11 2 x x       B. 11 2 x x       C. 10 2 x x      D. 10 2 x x      2. 若正实数 a，b满足 a+b＝1，则下列说法正确的是（ ） A．ab有最小值 1 4 B． � + �有最大值 2 C． 1 � + 1 � 有最小值 2 D．a2+b2有最大值 1 2 3. 已知集合  0A x x a  ∣ ，集合  2 23 4B x m x m    ∣ ，如果命题“ m R，A B   ”为假 命题，则实数 a的取值范围为（ ） A. { 3}a a ∣ B. { 4}a a ∣ C. { 1 5}a a ∣ D. { 0 4}a a ∣ 4. 将 5名核酸检测工作志愿者分配到防疫测温､信息登记､维持秩序､现场指引 4个岗位，每名志愿者只分配 1 个岗位，每个岗位至少分配 1名志愿者，则不同分配方案共有（ ） A. 120种 B. 240种 C. 360种 D. 480种 5. 已知函数 ( ) (ln 1) ( )f x a x x a   R 在区间 (e, ) 内有最值，则实数 a的取值范围是（ ） A. (e, ) B. e , 2      C. ( ,e] D. ( , e)  6. 函数 e (2 1)( ) 2 2 x xf x x    的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数  y f x 是奇函数，对于任意的 0, 2 x     满足    sin cos 0f x x f x x   （其中  f x 是 第 2页/共 4页 学科网（北京）股份有限公司 函数  f x 的导函数），则下列不等式成立的是（ ） A. 3 6 3               f f B. 3 3 6             f f C. 24 6               f f D. 2 4 2               f f 8.设函数 aaxxxxf  )1ln2()( ，其中 0a ，若仅存在两个正整数 0x 使得 0)( 0 xf ，则 a的取值范 围是（ ） A. 34ln2 2 3ln3 2    a B. 34ln2 2 3ln3 2    a C. 4 ln 2 2 a D. 3ln3 2 a 二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的四个选项中，选出符 合题目要求的选项. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量 X 和Y 满足 2 1Y X  ，且   3D X  ，则   7D Y  B. 若随机变量  2~ 3,X N  ，  5 0.7P X   ，则  1 0.3P X   C. 若随机变量 2~ 8, 3 X B      ，则   16 3 E X  D. 在含有 4件次品的10件产品中任取3件，取到的次品数为 X ，则   12 2 P X   10. 下列叙述中不正确的是（ ） A. 若 Ra b c, , ，则“不等式 2 0ax bx c   恒成立”的充要条件是“ 2 4 0b ac  ”； B. 若 Ra b c, , ，则“ 2 2ab cb ”的充要条件是“ a c ”； C. “ 1a  ”是“方程 2 0x x a   有一个正根和一个负根”的必要不充分条件； D. “ 1a  ”是“ 1 1 a  ”的充分不必要条件. 11. 对于偶函数 sin( ) xf x x a   ，下列结论中正确的是（ ） A．函数 ( )f x 在 3π 2 x  处的切线斜率为 2 4 9π B．函数 ( ) 1f x  恒成立 C．若 1 20 π,x x   则 1 2( ) ( )f x f x D．若 ( )m f x 对于 π0, 2 x       恒成立，则m的最大值为 2 π 三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分. 12. 已知  8 2 80 1 2 82 x a a x a x a x      ，则 1 2 8a a a    ______. 第 3页/共 4页 学科网（北京）股份有限公司 13. 甲和乙两个箱子里各装有 6个球，其中甲箱中有 3个红球、3个白球，乙箱中有 4个红球、2个白球．掷 一枚质地均匀的骰子，如果点数不超过 2，从甲箱子中摸出 1个球；如果点数超过 2，从乙箱子中摸出 1个 球，则摸到红球的概率为______________． 14. 已知函数 2 2 ln , 1 ( ) , 1 ex x x x x x f x x x x         ，若函数    g x f x ax  有三个不同的零点，则实数 a的取值 范围是______． 四、解答题：本题共 6小题，共 70分. 15. （本题 13分）已知 (1 3 )nx 的展开式的所有项的二项式系数和为 512. （1）若 20 1 2(1 3 ) n n nx a a x a x a x        ，求 1 2 3 4 ( 1) n na a a a a        （2）求 ( 1)(1 3 ) nx x  中的 2x 项. 16. （本题 15分）已知命题：“  1,4x   ，使得不等式 2 4 0x x m   成立”是真命题. （1）求实数 m的取值集合 A； （2）设不等式  2 ln ln 0x a a x a a    的解集为 B，若 x A 是 x B 的充分条件，求实数 a的取值范围. 17.（本题 15分）某地区大型服装店对在该店购买衣服的客户进行满意度调研以便能更好地服务客户，统计 了 2024年 1月至 5月对该家服装店不满意的客户人数如下： 月份 x 1 2 3 4 5 不满意的人数 y 120 105 100 95 80 （1）通过散点图可知对该服装店服务不满意的客户人数 y与月份 x之间存在线性相关关系，求 y关于 x的经 验回归方程，并预测 2024年 8月对该大型服装店服务不满意的客户人数； （2）工作人员从这 5个月内的调查表所记录的客户中随机抽查 100人，调查满意度与性别的关系，得到下 表，能否有 99%的把握认为满意度与性别有关? 满意 不满意 合计 女客户 48 12 男客户 22 18 合计 第 4页/共 4页 学科网（北京）股份有限公司 附：经验回归方程为 ˆˆ ˆy bx a  ，其中 1 1 2 2 2 1 1 ( )( ) ( ) ˆ ˆˆ n n i i i i i i n n i i i i x y nx y x x y y b x nx x x a y bx                        ． 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bc a b c d a c b d       ，其中 n a b c d    ． 2( )P   0.1 0.05 0.01 0.005 0.001  2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18.（本题 17 分）第十四届全国冬季运动会（简称冬运会）于 2024年 2月 17日至 2月 27日在内蒙古自治 区举办，这是历届全国冬运会中规模最大、项目最多、标准最高的一届，也是内蒙古自治区首次承办全国综 合性运动会.为迎接这一体育盛会，内蒙古某大学组织大学生举办了一次主题为“喜迎冬运会，当好东道主”的 冬运会知识竞赛，该大学的一学院为此举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决 赛，决赛通过后将代表该学院参加该大学的冬运会知识竞赛. （1）初赛采用选一题答一题的方式，每位参赛大学生最多有 7次答题机会，累计答对 4道题或答错 4道题 即终止比赛，答对 4道题则进入决赛，答错 4道题则被淘汰.已知大学生甲答对每道题的概率均为 1 2 ，且回答 各题的结果相互独立； （i）求甲至多回答了 5道题就进入决赛的概率； （ii）设甲在初赛中答题的道数为 X ，求 X 的分布列和数学期望. （2）决赛共答 3道题，若答对题目数量不少于 2道，则胜出，代表学院参加学校比赛；否则被淘汰已知大 学生乙进入了决赛，他在决赛中前 2道题答对的概率相等，均为  0 1x x  ，3道题全答对的概率为 1 8 ， 且回答各题的结果相互独立，设他能参加学校比赛的概率为  f x ，求  f x 的最小值. 19. （本题 17分）已知函数   2e 1xf x ax   其中 Ra . （1）若  f x 存在唯一的极值点，求 a的取值范围； （2）若  f x 存在两个极值点 1 2,x x ，求证：  2 21 2 2 1 ex x a    . 数 学 第 1 页（共 6 页） 数 学 第 2 页（共 6 页） 数 学 第 3 页（共 6 页） 学科网（北京）股份有限公司 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学· 新泰中学2023级高二下学期第二次大单元考试 答题卡 姓名： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、单项选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、多项选择题（每小题 6 分，共 18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 贴条形码区 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准 择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选 体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 破。 5．正确填涂 缺考标记 班级：__________ 数 学 第 4 页（共 6 页） 数 学 第 5 页（共 6 页） 数 学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！