专题04立方根同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年湘教版七年级数学下册

专题04立方根同步讲义 · 懂概念：理解立方根定义，知道​的含义，根指数3不能省略。 · 会计算：利用立方与开立方互逆，求简单数的立方根；会用计算器求任意数立方根。 · 明性质：掌握正数、负数、0的立方根特征，区分平方根与立方根。 必备知识 点梳理 1.立方根的定义 2.立方根的性质(必考) 3.立方根的运算方法 4.立方根与平方根的区别 常考题型 精讲精炼 1.立方根的概念理解 2.立方根运算求解 3.立方根逆向求解 4.计算器求平方根与立方根 5.立方根规律探究 6.立方根实际应用 7.立方根和平方根的综合应用 强化巩固 题型通关 单选题(5题) 填空题(5题) 解答题(4题) 【知识点01.立方根的定义】 定义：如果 x3=a，那么 x 叫做 a 的立方根（三次方根）。 运算：求一个数的立方根的运算叫作开立方，开立方与立方互为逆运算。 符号：记作 ，读作 “三次根号 a”。重点：根指数 3 绝对不能省略。 【知识点02.立方根的性质】 唯一性：任何实数（正、负、0）都有且只有一个立方根。 符号法则： 正数的立方根是正数； 负数的立方根是负数； 0 的立方根是 0。 重要恒等式：()3=a =a 【知识点03.运算方法】 口算（完全立方数）：利用互逆关系直接计算（如=2，=−2）。 工具法（计算器）： 求任意数的立方根或其近似值（精确到指定小数位数）。 注意：不同计算器按键顺序不同，需规范操作。 【知识点04.立方根与平方根的相同点与不同点】 【知识点05.开立方】 1.求一个数的立方根的运算叫作开立方。 2.开平方与开立方的区别 维度 开平方 (平方根) 开立方 (立方根) 根指数 2 (通常省略不写) 3 (绝对不能省) 被开方数 必须是非负数 (≥0) 可以是任意实数 (正、负、0) 结果个数 正数有 2 个 (互为相反数) 任何数只有 1 个 结果符号 一正一负 / 0 与原数同号 (正得正，负得负) 【题型1.立方根的概念理解】 【典例】若的立方根是，则______． 【答案】 【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义即可求得答案．熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：若的立方根是，则， 故答案为：． 【跟踪专练1】一个数的立方根等于它的平方根，则这个数是（   ） A． B． C． D．， 【答案】A 【分析】根据负数没有平方根先排除错误选项，再验证剩余数是否满足条件即可得到答案． 【详解】解：∵负数没有平方根， ∴排除含的选项， ∵的平方根是，的立方根是，， ∴不满足条件，排除， ∵的平方根是，的立方根也是，满足立方根等于它的平方根， ∴这个数是，故选项符合题意． 【跟踪专练2】下列等式：①；②；③；④，不成立的是________．（请填写序号） 【答案】③ 【分析】本题主要考查了立方根的运算，解题的关键是掌握立方根的性质和运算法则． 利用立方根的性质和运算法则逐项进行判断即可． 【详解】解：①，成立； ②，成立； ③，不成立； ④，成立． 故答案为：③． 【跟踪专练3】对问题“已知，求的值”，甲、乙两人的说法如下： 甲：的值是；乙：甲考虑的不全面，还有另一个值． 下列对甲、乙说法的判断正确的是（    ） A．甲说得对，符合条件的x的值只有1 B．乙说得对，还有另一个值2 C．乙说得对，还有另一个值 D．两人说得都不对，应有个不同值 【答案】D 【分析】本题考查了立方根的定义．本题可通过换元法，利用立方根的定义求解方程，再判断甲、乙的说法是否正确． 【详解】解：设，则原方程变为． ∵一个数的立方根等于它本身的数是、、． ∴分三种情况讨论： ①当时，，解得． ②当时，，解得． ③当时，，解得． ∴的值为、、，共3个不同值． ∴甲、乙两人的说法都不对． 故选：D． 【题型2.立方根的运算求解】 【典例】如果，则________． 【答案】 【分析】本题考查立方根的定义，掌握乘方的计算是解题的关键． 根据立方根的定义，可直接得出结果． 【详解】解：∵， 由于， 即， 故答案为：． 【跟踪专练1】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数乘方、算术平方根、立方根的运算法则逐一计算选项即可判断． 【详解】解：选项A：∵ ，∴A错误． 选项B：∵ ，∴B错误． 选项C：∵ ，∴ ，∴C正确． 选项D：∵ 表示9的算术平方根，结果为，而表示的平方根，∴D错误． 【跟踪专练2】已知实数a，b满足，则立方根是____． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，求一个数的立方根，代数式求值，掌握绝对值和算术平方根的非负性是解题的关键． 先根据非负性求得，再代入求得，即可求解立方根． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， ∴立方根是1， 故答案为：1． 【跟踪专练3】我国著名数学家华罗庚有一次看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出．请你用有关立方根的知识，逐一确定的位数、各个数位上的数字，可知的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数的立方根，理解一个数的立方根的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解本题的关键．根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：，， 是两位数， 又只有个位上是的数的立方的个位上的数是， 的个位上的数是， 如果划去后面的三位得到， 而，， 十位上的数是， 的值是， 故选：D． 【题型3.立方根的逆向求解】 【典例】若一个数的立方根是3，则这个数是 _______ ． 【答案】27 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的意义是解答本题的关键．如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根． 根据立方根的定义，这个数是3的立方． 【详解】解：∵， ∴27的立方根是3， ∴这个数是27． 故答案为：27． 【跟踪专练1】若的值为4，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了立方根，根据立方根的定义，得出与被开方数，即可得答案． 【详解】解：∵， ∴，则． 故选：C． 【跟踪专练2】已知，则的值是________． 【答案】0或2/2或0 【分析】本题考查立方根的性质，根据立方根等于它本身的数是0或，即可求出x的值，然后代入代数式求值即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或或， 当时，； 当时，； 当时，； 综上，的值是0或2， 故答案为：0或2． 【跟踪专练3】若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义求出a、b、x、y的值，再找出关系即可． 【详解】解：∵a的算术平方根为17.25，b的立方根为-8.69， ∴a=297.5625，b=-656.234909． ∵x的平方根为±1.725，y的立方根为86.9， ∴x=2.975625，y=656234.909， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了对平方根、算术平方根和立方根的运用．解题的关键是掌握平方根、算术平方根和立方根的定义． 【题型4.计算器求平方根与立方根】 【典例】如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序为：则输出结果应为_________． 【答案】5 【分析】本题考查科学计算器的使用、求有理数的立方和立方根，要注意表示求64的立方根．根据科学计算器的使用计算． 【详解】解：依题意得：， 故答案为：5． 【跟踪专练1】若用我们数学课本上的科学计算器进行计算，按键顺序为，按键结果为m；按键顺序为，按键结果为n．则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查计算器-基础知识，解答本题的关键是明确平方根的副功能键是立方根． 根据题目中的运算程序，可以分别计算出、的值，然后比较大小即可． 【详解】解：由题意可得， ， ， ， ， 故选：B． 【跟踪专练2】运用科学计算器进行计算，按键顺序如下：   则计算器显示的结果是__________． 【答案】19 【分析】根据计算器的按键代表的运算可得答案． 【详解】解：根据题意可知计算式为， 解得， 故答案为：19． 【点睛】本题考查了用计算器计算的知识点，掌握计算器的各个按键所表示的意义是解决本题的关键． 【跟踪专练3】有一个计算器，计算时屏幕显示的结果为1.7320508，从左往右数只有九位（包括小数点），现在想知道第十位的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个式子的值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了数的规律，以及用计算器的计算开方，得出让第十位的数字出现，只有想办法减少计算器上数位的个数是解决问题的关键． 因为计算器只能显示9位（包括小数点），要想知道第十位的数字是什么，必须想办法让第十位的数字出现，即小数点前面应尽可能得去掉数据，使数位减少，从而让第十位的数据出现． 【详解】解：A、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意； B、，一共才8位，这样第十位的数字就会出现，故此选项符合题意； C、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意； D、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意； 故选：B． 【题型5.立方根规律探究】 【典例】如果，，那么______． 【答案】                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  【分析】本题主要考查立方根的性质，通过观察0.0237与23.7的关系，利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：由已知条件，，且，根据立方根的性质得： 故答案为：0.2872． 【跟踪专练1】若，，那么等于（ ） A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.552 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根，根据立方根的性质：立方根中，被开方数的小数点每向右移动三个单位，它的立方根的小数点向相同的方向移动一位，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】（1）已知，则，__________． （2）已知，，则____________________． 【答案】 26.46 6.69 14.42 【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根，掌握算术平方根、立方根的定义以及小数点的变化规律是正确解答的关键． （1）根据被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位进行求解； （2）将写成，写成，结合，，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵，则， 可以发现：当被开方数由变为时，其算术平方根由变为，即被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位， ∴当被开方数由变为时，其算术平方根由变为， ． 故答案为：． （2）∵， ； ， ； 故答案为：，． 【跟踪专练3】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根、立方根的性质等知识点，掌握立方根的性质成为解题的关键． 将21400分解为，再利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 【题型6.立方根的实际应用】 【典例】有一个正方体集装箱，体积为，现准备将其扩容以盛放更多的货物，若要使其体积达到，则它的棱长需要增加________． 【答案】2 【分析】先根据正方体的体积求出原棱长和扩容后的棱长，再计算棱长的差值即可得到结果． 【详解】解：设原正方体集装箱的棱长为． 原正方体体积为． ． 设扩容后正方体的棱长为，扩容后体积为． ． 棱长增加量为． 【跟踪专练1】某种植物细胞可以近似看作是棱长为1的正方体，当它的体积增大到原来的2倍时，这个正方体的棱长是（   ） A．2 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是立方根的性质，熟练掌握立方根的性质是解题的关键．先求得增大后的正方体的体积，然后依据立方根的性质求解即可． 【详解】解：小正方体的体积． 大正方体的体积． 所以大正方体的棱长． 故选：D． 【跟踪专练2】若用该正方形纸片制作一个体积为的无盖正方体，则该正方体所用纸片的面积为________． 【答案】 【分析】根据体积求得正方体的边长，然后求出所用面积即五个正方形的面积． 【详解】解：因为无盖正方体的体积是，所以边长为， 所用面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是正方体的边长与面积的关系，求一个数的立方根、面积的求法，解题的关键是要了解它们之间的关系． 【跟踪专练3】如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长介于（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】A 【分析】本题考查正方体的体积，立方根的应用，无理数的估算，掌握夹逼法是解题的关键．根据正方体的体积等于溢出的水的体积建立方程，求出方程的解后用夹逼法估算即可． 【详解】解：设该正方体铁块的棱长为， 由题意得：， 解得， ， ， 即该正方体铁块的棱长介于和之间， 故选A． 【题型7.立方根和平方根的综合应用】 【典例】已知的立方根为，则的算术平方根是(      ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据立方根的定义求出的值，再代入求出的值，最后由算术平方根的定义进行计算即可． 【详解】解：的立方根为， ， 解得， ， 的算术平方根为， 故选：C． 【点睛】本题考查平方根、算术平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提． 【跟踪专练1】正整数、分别满足、，则___________． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算、代数式求值，熟练掌握无理数的估算方法，正确得到值是解答的关键．根据立方根和算术平方根的概念进行估算，从而代入求解． 【详解】解：∵，，，， 又∵，是正整数， ∴，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用算术平方根和平方根，立方根的性质，可得到的值，由此可得到与和与的关系 【详解】解：∵的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，立方根的性质，得出与和与的关系是解题的关键． 【跟踪专练3】已知、、在数轴上的位置如图，化简：________． 【答案】 【分析】先根据数轴的性质可得，从而可得，再计算算术平方根与立方根、化简绝对值，然后计算整式的加减即可得． 【详解】解：由数轴可知，， ，，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴、算术平方根与立方根、化简绝对值、整式的加减，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 单选题 1．一般地，如果（为正整数，且），那么叫作的次方根.例如：∵，，∴16的四次方根是．则下列结论：①3是81的四次方根；②任何实数都有唯一的奇次方根；③若，则的三次方根是；④当时，整数的二次方根有4050个．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据a的n次方根的定义结合平方差公式和绝对值的意义逐一进行分析判断即可． 【详解】解：①∵， ∴3是81的四次方根，①正确； ②任何实数都有唯一的奇次方根，②正确； ③∵ ， 则S的三次方根是，③正确； ④由已知得：， 即数轴上数a到数和数2025的距离和为4048， 又由， 故整数， 则整数a的二次方根有，共4051个，④不正确； 故应选：C． 【点睛】本题主要考查对a的n次方根的定义的阅读理解能力，平方差公式与绝对值的几何意义是难点． 2．已知的平方根是，的立方根是3，则的算术平方根为（   ） A．5 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了平方根和立方根的定义，求算术平方根． 根据平方根和立方根的定义，先求出x和y的值，再计算的值，最后求其算术平方根． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴； ∵的立方根是3， ∴， 代入，得， 即， ∴； ∴， ∵144的算术平方根是12， ∴的算术平方根为12． 故选：C． 3．已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查立方根的规律探索，利用三次根号的运算性质，将被开方数分解为已知值的倍数与10的幂次相乘，从而简化计算 【详解】解：∵，而， ∴== 因此，的值约为， 故选B 4．小美和小丽分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小丽制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积大，则小丽制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体的表面积和体积、算术平方根和立方根运算、乘方运算等知识，正确求得两个正方体礼盒的棱长是解题关键． 先根据正方体的表面积公式求出小美制作的正方体礼盒的棱长和体积，进而求出小丽制作的正方体礼盒的体积和棱长，即可得解． 【详解】解：设小美正方体棱长为，， 得，， 小美制作的正方体礼盒的棱长为：， 其体积为：， 小丽制作的正方体礼盒的体积为：， 则小丽制作的正方体礼盒的棱长为：， 小丽制作的正方体礼盒的表面积为：； 故选：B． 5．若A=是m+n+3的算术平方根，B=是m+2n的立方根，则B-A的立方根是（ ） A．1 B．-1 C．0 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义可得m-n=2，根据立方根的定义可得m-2n+3=3，再解得m、n的值即可求得A与B的值，再求即可． 【详解】解：∵A=是m+n+3的算术平方根， ∴m-n=2， ∵B=是m-2n+3的立方根， ∴m-2n+3=3， ∴     解得 ∴A==3，B= ∴B-A=2-3=-1． 故选B． 【点睛】本题主要考查了算术平方根及立方根，属于基础题，解答本题的关键是熟记算术平方根、立方根概念． 填空题 6．当时，的值是__________________． 【答案】或或 【分析】设，将原方程转化为，通过解方程求出的值，再代回求出，最后计算的值． 【详解】解：设 ，则原方程化为 . 两边立方得 ，即 ， 因式分解得 ， 解得 或 或 . 当 时，，则 ; 当 时，，则 ; 当 时，，则 . 验证均满足原方程，故 的值为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了换元法解方程和立方根的性质，解题关键是通过换元将复杂方程转化为简单的一元三次方程，注意不要漏解． 7．若与互为相反数，则的值为______． 【答案】15 【分析】本题考查立方根的性质，根据立方根的性质，若两个立方根互为相反数，则被开方数互为相反数，由此建立方程，再通过代数变形求值． 【详解】解：因为与互为相反数， 所以 两边立方得， 整理得， 即， 所以 故答案为：15． 8．若将一个棱长为10的立方体的体积减小V，而保持立方体形状不变，则棱长应减少______． 【答案】（） 【分析】本题考查了立方根的应用，掌握立方根的定义是解题的关键． 先计算立方体的原体积，再得到体积减小后的新体积，进而求出新棱长，最后求棱长减少的量即可． 【详解】解：∵立方体的棱长为10， ∴原体积为． 由题意得，体积减小V后，新体积为， 由于保持立方体形状，新棱长为新体积的立方根，即． ∴棱长应减少． 故答案为：（）． 9．观察．推测：若，则_____． 【答案】0 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键．通过比较已知近似值中小数点的移动规律，推断出 x 和 y 的值与 6.137 相关，进而计算． 【详解】解：由已知和， 可得， 因此， 故， 同理，由和， 可得， 因此， 故， 于是， 所以， 故答案为 0． 10．如果两个数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数，即当时，．由此解决下列问题： （1）若，则______； （2）若和互为相反数，且的平方根是它本身，则的立方根为______． 【答案】 2.65 【分析】本题考查了相反数的定义、立方根、平方根、解一元一次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意可知与互为相反数，即可得出答案； （2）根据题意得出，解方程即可得出的值，根据平方根是它本身的数为，求出的值，从而得出的值，再根据立方根的定义计算即可． 【详解】解：（1）根据题意可知与互为相反数， 故， 故答案为：2.65； （2）根据题意，得， 解得． 的平方根是它本身， ， 解得． ， 故的立方根为， 故答案为：． 解答题 11．求下列各式中x的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方根定义解方程即可； （2）根据立方根定义解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项，合并同类项得：， 开平方得：； （2）解：， 移项得：， 开立方得：， 解得：． 12．（1）若，，求的值； （2）a是的立方根，b是的算术平方根，求的立方根． 【答案】（1）4或，（2） 【分析】本题考查了平方根、立方根及算术平方根的相关概念及运算． （1）先计算的值，再由得出n的值，确定m和n的可能取值，再枚举所有m和n的组合，分别计算的结果； （2）先根据立方根的定义求出a的值，再计算的值，求其算术平方根得到b的值，进而计算的值，最后求得的立方根． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， 当，时，； 当，时，， ∴的值为4或； （2）∵a是的立方根，b是的算术平方根， ∴，， ∴， ∴． 13．如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为． (1)求长方体水池的长、宽、高． (2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）． 【答案】(1)长、宽、高分别为，， (2) 【分析】此题主要考查了立方根的计算以及长方体体积公式，熟练掌握长方体体积公式是解题关键． （1）设长方体水池的长、宽、高分别为，，，根据题意体积为列出方程，然后利用立方根的定义求得的值后分别代入，中计算即可； （2）根据题意列式，利用立方根的定义求得的值并精确到即可． 【详解】（1）解：∵长方体水池的长、宽、高之比为2∶2∶4，其体积为， ∴设长方体水池的长、宽、高分别为，，， ， ， ， 解得， ，， 故长方体水池的长、宽、高分别为，，． （2）解：已知该小球的半径为， 则， ， ． 故该小球的半径约为． 14．观察如表，并解答下列问题． a 1 1000 1000000 ______ ______ 100 【规律总结】 （1）①请补全如表； ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位； 【规律应用】 （2）已知，，． ①______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（保留整数） 【答案】（1）①见解析；②1；（2）①；②1248平方米． 【分析】本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键． （1）根据立方根的定义求出1，1000的立方根即可，； （2）①根据规律得到即可；②根据规律求出的值，再根据正方体表面积的计算方法求出表面积即可． 【详解】解：（1）①，， 补全表格如下： a 1 1000 1000000 1 10 100 ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右或向左移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位， 故答案为：1； （2）①， 故答案为：； ②正方体的体积为3000立方米， 正方体的棱长为：米 需要铁皮的面积为平方米 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题04立方根同步讲义 学习目标 懂概念：理解立方根定义，知道的含义，根指数3不能省略。 ·会计算：利用立方与开立方互逆，求简单数的立方根；会用计算器求任意数 立方根。 ·明性质：掌握正数、负数、0的立方根特征，区分平方根与立方根。 学习内容概览 必备知识 1.立方根的定义 2.立方根的性质（必考） 点梳理 3.立方根的运算方法 4.立方根与平方根的区别 1.立方根的概念理解 2.立方根运算求解 常考题型 3.立方根逆向求解 4.计算器求平方根与立方根 精讲精炼 5.立方根规律探究 6.立方根实际应用 7.立方根和平方根的综合应用 强化巩固 单选题(5题) 填空题(5题) 题型通关 解答题(4题) 3 知识点梳理 【知识点01.立方根的定义】 定义：如果x3=a,那么x叫做a的立方根（三次方根）。 运算：求一个数的立方根的运算叫作开立方，开立方与立方互为逆运算。 符号：记作a,读作三次根号a”。重点：根指数3绝对不能省略。 【知识点02.立方根的性质】 唯一性：任何实数（正、负、0）都有且只有一个立方根。 试卷第1页，共3页 符号法则： 正数的立方根是正数； 负数的立方根是负数；0的立方根是0。 重要恒等式：()P-a Va3-a 【知识点03.运算方法】 口算（完全立方数）：利用互逆关系直接计算（如82,3一82）。 工具法（计算器）： 求任意数的立方根或其近似值（精确到指定小数位数）。 注意：不同计算器按键顺序不同，需规范操作。 【知识点04.立方根与平方根的相同点与不同点】 立方根 平方根 一般地，如果一个数x的立方 一般地，如果一个数x的平方 等于a,即x2=a,那么这个数x就 定义 等于a,即x3a,那么这个正数 x就叫做a的立方根（也叫做三 叫做a的平方根（也叫做二次 次方根) 方根) 每一个数a有且只有一个立方 区别 个正数有两个平方根，它们 个数 根，正数的立方根是正数，负 互为相反数；负数没有平方根 数的立方根是负数 表示方法 项 tva a取值范围 任意数 a20 相同点 关于0 0的平方根是0,0的立方根是0 【知识点05.开立方】 1.求一个数的立方根的运算叫作开立方。 2.开平方与开立方的区别 维度 开平方（平方根） 开立方（立方根） 根指数 2(通常省略不写) 3(绝对不能省) 被开方数 必须是非负数（≥0） 可以是任意实数（正、负、0） 结果个数 正数有2个（互为相反数） 任何数只有1个 试卷第1页，共3页 维度 开平方（平方根） 开立方（立方根） 结果符号 一正一负/0 与原数同号（正得正，负得负） 常考题型精讲精练 【题型1.立方根的概念理解】 【奥例】若的立方银是}则x= 【跟踪专练1】一个数的立方根等于它的平方根，则这个数是() A.0 B.1 C.-1 D.±1,0 【跟踪专练2】下列等式：①5F=5:②5=-5；③(-5=5；④(5)=5，不成立 的是 ·(请填写序号) 【跟踪专练3】对问题“已知x-1=x-1,求x的值”，甲、乙两人的说法如下： 甲：x的值是1；乙：甲考虑的不全面，x还有另一个值. 下列对甲、乙说法的判断正确的是() A.甲说得对，符合条件的x的值只有1B.乙说得对，x还有另一个值2 C.乙说得对，x还有另一个值-1 D.两人说得都不对，x应有3个不同值 【题型2.立方根的运算求解】 【典例】如果ad=-27,则a= 【跟踪专练1】下列运算正确的是() A.（-3)2=9B.-5=-5 C.-64=-4 D.V9=±3 【跟踪专练2】已知实数a,b满足2b+6+VQ+b+5=0,则(a-b)25立方根是 【跟踪专练3】我国著名数学家华罗庚有一次看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一 个数是59319，求它的立方根.华罗庚脱口而出39.请你用有关立方根的知识，逐一确定 21952的位数、各个数位上的数字，可知21952的值是() A.22 B.24 C.26 D.28 【题型3.立方根的逆向求解】 【典例】若一个数的立方根是3，则这个数是 【跟踪专练1】若61+a的值为4，则a的值为() 试卷第1页，共3页 A.1 B.2 C.3 D.4 【跟踪专练2】已知x-1=x-1,则x2-x的值是 【跟踪专练3】若a的算术平方根为17.25，b的立方根为-8.69；x的平方根为±1.725，y 的立方根为86.9，则() 1 1 A.x= 元a,y=-1000b B.x= a,y=100b 100 100 C.x=100a,y= 1 1 D.x= a,y=-100b 100 1000 【题型4.计算器求平方根与立方根】 【典例】如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序为：则输出结 果应为 W□81☐-☐2mdw□64=☐ 【跟踪专练1】若用我们数学课本上的科学计算器进行计算，按键顺序为2x可3日回 同日，按键结果为m:按键顺序为SHFT√了同4日2园日，按键结果为n.则下列 判断正确的是() A.m=n B.m>n C.m<n D.m+n=0 【跟踪专练2】运用科学计算器进行计算，按键顺序如下： ☑3☒G回2)门3+6)÷(6ae 5)]+ 2ndF 64 则计算器显示的结果是 【跟踪专练3】有一个计算器，计算√5时屏幕显示的结果为1.7320508，从左往右数只有九 位（包括小数点），现在想知道第十位的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个 式子的值() A.105 B.103-1 C.1003 D.5-1 【题型5.立方根规律探究】 【典例】如果2.37=1.333,23.7=2.872，那么0.0237= 【跟踪专练1】若5=1.442,0.3=0.6694，那么300×64等于() 试卷第1页，共3页 A.57.68 B.115.36 C.26.776 D.53.552 【跟踪专练2】(1)已知√7≈2.646，则√0.07≈0.2646，√700≈ (2)已知0.3≈0.669,5≈1.442，则300≈ 3000≈ 【跟踪专练3】已知0.214≈0.5981,2.14≈1.289,21.4≈2.776，则21400≈() A.27.76 B.12.89 C.59.81 D.5.98 【题型6.立方根的实际应用】 【典例】有一个正方体集装箱，体积为64m3,现准备将其扩容以盛放更多的货物，若要使 其体积达到216m3,则它的棱长需要增加 m. 【跟踪专练1】某种植物细胞可以近似看作是棱长为1的正方体，当它的体积增大到原来的 2倍时，这个正方体的棱长是（) A.2 B.8 C.2 D.2 【跟踪专练2】若用该正方形纸片制作一个体积为125cm3的无盖正方体，则该正方体所用 纸片的面积为 【跟踪专练3】如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入 盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的体积为24cm3,由此可估计该正方体铁块 的棱长介于() A.2cm和3cm之间 B.3cm和4cm之间 C.4cm和5cm之间 D.5cm和6cm之间 【题型7.立方根和平方根的综合应用】 试卷第1页，共3页 【典例】已知27的立方根为a+3,则a+4的算术平方根是() A.0 B.3 C.2 D.4 【跟踪专练1】正整数a、b分别满足55<a<97、√万<b<√5，则ab= 【跟踪专练2】已知a的算术平方根是12.3，b的立方根是-45.6，x的平方根是±1.23，y的 立方根是456，则x和y分别是() a b A.x=1000y=1006 B.x=1000a,y= 1000 C.x=60y=-1006 D.x=00:y=1000b 【跟踪专练3】己知a、b、c在数轴上的位置如图，化简： Va--la+bl+y(c-a+b)-1b-cl+Vb= b 0 5 分层强化巩固 单选题 1.一般地，如果x"=a（n为正整数，且n>1),那么x叫作a的n次方根.例如： 24=16,（-2)=16,16的四次方根是±2.则下列结论：①3是81的四次方根；②任何 实数都有唯一的奇次方根；③若S=(3+)(32+(3+1(38+1…3+1,则s的三次方根是 3三1，④当、V2023+a+a-2025=4048时，整数a的二次方根有4050个.其中正 确的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知x+4的平方根是3,3x+y-1的立方根是3，则y2-x2的算术平方根为() A.5 B.10 C.12 D.13 3.己知0.1234≈0.4979,12.34≈2.311，则2340的值约是() A.4.979 B.23.11 C.49.79 D.231.1 4.小美和小丽分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，己知小美制作的正方体礼盒的表面 积为96cm?,而小丽制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积大61cm3,则 小丽制作的正方体礼盒的表面积为() 试卷第1页，共3页 A.64cm2 B.150cm2 C.157cm2 D.216cm2 5.若A=m-m+n+3是m+n+3的算术平方根，B=m-2m+m+2n是m+2n的立方根，则B-A的 立方根是() A.1 B.-1 C.0 D.无法确定 填空题 6.当2x+5=2x+5时，2x-5的值是 7.若a+1与a2-5互为相反数，则a3+5a2-1的值为 8.若将一个棱长为10的立方体的体积减小V,而保持立方体形状不变，则棱长应减少 9.观察613.7≈24.77,6.137≈2.477,6.137≈1.8308,6137≈18.308.推测：若 F≈0.18308，Vy≈0.2477，则10x-y= 10.如果两个数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数，即当a3+b3=0时， a+b=0.由此解决下列问题： (1)若(-2.65)°+y3=0,则y= (2)若7+4m和4-3m互为相反数，且n-3的平方根是它本身，则m+n的立方根为 解答题 11.求下列各式中x的值： (1)x2-5=4 (2)(x-1)+125=0 12.(1)若m2=(-72,n3=(-3)3,求m+n的值； (2)a是-27的立方根，b是√16的算术平方根，求a+b的立方根 试卷第1页，共3页 13.如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为16000cm3. (1)求长方体水池的长、宽、高. (2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为℃m的球放入水池中时（球全部没入水中）， 溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：V=,其中，为 60 3 球的半径，元取3，结果精确到0.01cm)· 14.观察如表，并解答下列问题.。 a 0.000001 0.001 1 1000 1000000 a 0.01 0.1 100 【规律总结】 (1)①请补全如表； ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点 向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动位； 【规律应用】 (2)已知0.3≈0.6694,3≈1.442,30≈3.107. ①300≈ ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（保 留整数) a 0.000001 0.001 1 1000 1000000 a 0.01 0.1 1 10 100 试卷第1页，共3页