第二单元：因数和倍数（期中知识清单）数学人教版五年级下册

人教版五年级数学下册 第二单元：因数和倍数（期中复习讲义） 知识点01：认识因数和倍数 1、因数和倍数的概念 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 又如整数a能被b整除（a÷b=c），那么a就是b的倍数，b就是a的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。 【易错点】 （1）相互依存性：因数和倍数是相互依存的关系，不能单独说某个数是因数或倍数。 （2）取值范围：研究因数和倍数时，不包括0，仅限非0自然数。 （3）除法限定：必须是整数除法且没有余数，才能谈因数和倍数。 2、找一个数的因数 （1）找一个数的因数方法 ①列乘法算式找：根据因数的意义，有序地写出两个整数相乘得此数的所有乘法算式，算式中的两个因数都是此数的因数。 ②列除法算式找：用此数除以大于等于1而小于等于它本身的整数，所得的商是整数而无余数，这些除数和商都是此数的因数。 （2）一个数的因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 （3）表示一个数的因数的方法：列举法、集合表示法。 【易错点】 （1）找因数时要按顺序成对找，避免遗漏或重复。 （2）特殊数提醒：1的因数只有1这一个数。 3、找一个数的倍数 （1）找一个数的倍数的方法 ①列乘法算式找：用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 ②列除法算式找：看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 （2）一个数的倍数的特征 一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 （3）表示一个数的倍数的方法：列举法、集合表示法。 【易错点】一个数的最小倍数和最大因数都是它本身。 知识点02：2、5、3的倍数的特征 1、2的倍数特征：个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。 （1）偶数：是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数）； （2）奇数：不是2的倍数的数叫做奇数。 2、5的倍数特征：个位上是0或5的数都是5的倍数。 3、3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4、既是2又是5的倍数特征：个位上是0。 5、既是2又是3的倍数特征：个位上是0， 2， 4， 6， 8并且各数位的数之和又是3的倍数。 6、既是5又是3的倍数特征：个位上是0或5，并且各数位的数之和又是3的倍数。 7、既是2和3的倍数，又是5的倍数特征：个位上是0，并且各数位的数之和是3的倍数。 【易错点】 （1）2、5的倍数的特征的判断依据：只看个位数字，与其他数位无关。 （2）3的倍数特征是看各位数字之和，不是看个位。 知识点03：质数和合数 1、质数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 2、合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 3、100以内的质数表（共25个）：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 【易错点】 （1）1不是质数，也不是合数。 （2）最小的质数是2，最小的合数是4。 （3）质数的特殊值：2是唯一的偶质数，其余质数都是奇数；但是奇数不一定是质数。 （4）合数的特殊值：合数不一定是偶数，例如9、15是奇数但也是合数。 （5）分类依据：按因数的个数分类，非0自然数分为1、质数、合数三类，不能遗漏“1”。 （6）质数×质数＝合数 知识点04：探究和的奇偶性 奇数＋奇数＝偶数 奇数＋偶数＝奇数 偶数＋偶数＝偶数 【规律】同奇偶加减必得偶数，异奇偶加减必得奇数。 考点1：因数和倍数的概念 【典型例题】下列说法正确的是（     ）。 A．10÷2＝5，10是倍数，2是因数 B．42既是6的倍数，也是7的倍数 C．因为4÷0.5＝8，所以4是0.5的倍数，0.5是4的因数 【答案】B 【分析】根据倍数和因数的定义：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，那么被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数，倍数和因数是相互依存的关系，不能单独说某个数是倍数或因数。据此对比选项，做出选择。 【详解】A.仅说“10是倍数，2是因数”，未明确10是谁的倍数，2是谁的因数，不符合倍数和因数相互依存的关系，选项错误； B.，商是整数且没有余数，所以42是6的倍数；，商是整数且没有余数，所以42是7的倍数。因此42既是6的倍数，也是7的倍数，选项正确； C.倍数和因数的研究范围是整数，除数和被除数都必须是整数，不能是小数，题目中0.5为小数，选项错误。 故答案为：B 【练习】48÷6＝8，（ ）和（ ）是48的因数，48是（ ）和（ ）的倍数。 【答案】 6 8 6 8 【分析】因数：一整数被另一整数整除，后者即是前者的因数，如1，2，4都是8的因数； 倍数：一个数能够被另一数整除，这个数就是另一数的倍数。如15能够被3或5整除，因此15是3的倍数，也是5的倍数。 【详解】所以48÷6＝8，6和8是48的因数，48是6和8的倍数。 考点2：找一个数的因数 【典型例题】6的因数有1、2、3、6，这几个因数的关系是：1＋2＋3＝6。像6这样的数，叫做完全数（也叫完美数）。8则不是完全数，因为8的因数有1、2、4、8，1＋2＋4≠8（≠：不等于）。下面四个数中，（     ）是完全数。 A．9 B．20 C．28 D．36 【答案】C 【分析】将各选项的因数求出，并将除了这个数本身的因数相加验证是否等于这个数本身，如果等于，这个数就是完全数。 【详解】A．9的因数有1、3、9，1＋3≠9，9不是完全数。 B．20的因数有1、2、4、5、10、20，1＋2＋4＋5＋10≠20，20不是完全数。 C．28的因数有1、2、4、7、14、28，1＋2＋4＋7＋14＝28，28是完全数。 D．36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36，1＋2＋3＋4＋6＋9＋12＋18≠36，所以36不是完全数。 所以28是完全数。 故答案为：C 【练习】下面各数中，因数最多的是（     ）。 A．18 B．27 C．24 【答案】C 【分析】先列举出各选项中数的所有因数，再比较因数的个数，找出因数最多的数即可。 找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【详解】A．18的因数：1，2，3，6，9，18；有6个因数； B．27的因数：1，3，9，27；有4个因数； C．24的因数：1，2，3，4，6，8，12，24；有8个因数。 8＞6＞4，因数最多的是24。 故答案为：C 考点3：根据因数的特征解决问题 【典型例题】pin是奥运会期间的纪念品，2024巴黎奥运会上，中国设计生产的熊猫pin憨态可掬、广受喜爱。乐乐收集了24枚熊猫pin，将它们分别放在多个相同的盒子中，每盒中熊猫pin的个数相同，且不少于2枚，可以分成几盒，每盒多少枚？有几种分法？请列出算式说明。 【答案】可以分成2盒，每盒12枚；可以分成3盒，每盒8枚；可以分成4盒，每盒6枚；可以分成6盒，每盒4枚。可以分成8盒，每盒3枚；可以分成12盒，每盒2枚； 一共有6种分法。 【分析】由题意知：把24枚熊猫pin分别放在多个相同的盒子中，每盒中熊猫pin的个数相同，根据24枚÷盒子的数量＝每个盒子熊猫pin的数量，24枚一定能盒子数量整除，也就是盒子的数量一定是24的因数，再据此分析并列式解答即可。 【详解】24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24 又知：每个盒子熊猫pin的数量不少于2枚，且要多个盒子：则符合条件的有2盒、3盒、4盒、6盒、8盒、12盒。 24÷2＝12（枚） 24÷3＝8（枚） 24÷4＝6（枚） 24÷6＝4（枚） 24÷8＝3（枚） 24÷12＝2（枚） 答：可以分成2盒，每盒12枚；可以分成3盒，每盒8枚；可以分成4盒，每盒6枚；可以分成6盒，每盒4枚。可以分成8盒，每盒3枚；可以分成12盒，每盒2枚；一共有6种分法。 【练习】想要把90瓶饮料正好装完，选择哪种包装盒不合适？（     ） A． B． C．D． 【答案】A 【分析】要使饮料正好装完，每箱装的瓶数必须是90的因数，找出各选项中哪个是90的因数，再找哪个选项不是90的因数，该选项即为不合适。 【详解】A．一箱装8瓶，90÷8＝11（箱）……2（瓶），8不是90的因数，选择A种包装盒不合适； B．一箱装5瓶，90÷5＝18（箱），5是90的因数，选择B种包装盒合适； C．一箱装3瓶，90÷3＝30（箱），3是90的因数，选择C种包装盒合适； D．一箱装6瓶，90÷6＝15（箱），6是90的因数，选择D种包装盒合适。 只有A种包装盒不合适。 故答案为：A 考点4：找一个数的倍数 【典型例题】一个数既是72的因数，又是18的倍数，这样的数有（     ）个。 A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据求一个数的因数和求一个数的倍数问题，应该先找出一个数的因数，然后再从中找出这个数以内（包括这个数）的所有要求的数的倍数，先找出72的因数，然后找出72以内（包括72）的18的倍数，进而结合题意，得出结论。 【详解】72的因数有：1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72； 72以内（包括72）的18的倍数有：18、36、54、72； 所以既是72的因数，又是18的倍数的有：18、36、72，共3个。 故答案为：B 【练习】一个数的最大因数和最小倍数的和是16，这个数是（ ）。 【答案】8 【分析】一个数的最小因数是1，最大因数是它本身；一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数。则这个数的最大因数和最小倍数相等，两个相等的数相加是16，则这个数就是8。 【详解】16÷2＝8 这个数是8。 考点5：根据倍数的特征解决问题 【典型例题】小明的妈妈从批发市场买来90千克大枣，如果每15千克装一包，能正好装完吗？还可以怎么装？能装多少包？ 【答案】能正好装完；还可以10千克一包，装9包 【分析】如果90能被15整除，则能正好装完，只要每包的千克数是90合适的因数即可正好分装完，据此解答。 【详解】90÷15＝6（包） 90的因数有1、2、3、5、6、9、10、15、18、30、45、90。 每包选择合适的千克数即可，可以10千克一包。 90÷10＝9（包） 答：如果每15千克装一包，能正好装完；还可以10千克一包，装9包。 【练习】五（1）班6名同学去给小树苗浇水。小树苗不到40棵，他们发现每人浇水棵数相同。这批小树苗最多有（     ）棵。 A．30 B．36 C．39 【答案】B 【分析】根据求一个数的倍数，求出6的倍数，又因为小树苗的棵数不到40棵，结合题意即可求出这批小树苗最多有多少棵。 【详解】6的倍数有6、12、18、24、30、36、42⋯ 其中小于40的最大数是36。 即这批小树苗最多有36棵。 故答案为：B 考点6：倍数和因数的综合应用 【典型例题】阿呆在文具店看到了一个特别喜欢的文具盒，文具盒的钱数既是48的因数，又是6的倍数，价格在15元到25元之间，这个文具盒的价格是多少元？ 【答案】24元 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 据此求出48的所有因数和48以内6的倍数，找到15到25之间的即可。 【详解】48＝1×18＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8 48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。 6×1＝6、6×2＝12、6×3＝18、6×4＝24、6×5＝30、6×6＝36、6×7＝42、6×8＝48 48以内6的倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48。 既是48的因数，又是6的倍数有：6、12、24、48。 在15到25之间的是24。 答：这个文具盒的价格是24元。 【练习】实践乐园。猜号码。ABCDEFG。 已知：A－5的最小倍数；B－最小的自然数； C－5的最大因数；D－既是4的倍数，又是4的因数； E－所有因数是1、2、3、6； F－所有因数是1，3；G－只有一个因数。 这个号码是（ ）。 【答案】5054631 【分析】根据因数和倍数的意义，如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，最小的自然数是0，1只有1个因数，就是它本身。 【详解】根据分析可知，5的最小倍数是5； 最小的自然数是0； 5的最大因数是5； 既是4的倍数，又是4的因数的数是4； 所有因数是1、2、3、6的数是6； 所有因数是1，3的数是3； 只有一个因数的数是1； 所以这个号码是：5054631。 考点7：2、5的倍数特征 【典型例题】虎头帽，是以老虎为形象的，中国民间儿童服饰中比较典型的一种童帽样式，王奶奶做了42顶虎头帽，如果每2顶装一袋，能正好装完吗？如果每5顶装一袋，能正好装完吗？为什么？ 【答案】每2顶装一袋能正好装完；每5顶装一袋不能正好装完；理由见详解 【分析】根据2、5的倍数特征进行判断，如果虎头帽的总数是2、5的倍数，就能正好装完；如果不是2、5的倍数，就不能正好装完 。 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 【详解】42的个位是2，则42是2的倍数，不是5的倍数。 答：如果每2顶装一袋，能正好装完，因为42是2的倍数；如果每5顶装一袋，不能正好装完，因为42不是5的倍数。 【练习】小兔子过河。（按要求圈一圈） 【答案】30；25；75；10 【分析】5的倍数特征：个位上是0或5的数。根据5的倍数圈一圈，找出小兔子过河的路径。 【详解】如图： 考点8：奇数与偶数 【典型例题】两个相邻偶数的和是98，这两个数分别是（     ）。 A．48；46 B．54；52 C．48；50 D．46；52 【答案】C 【分析】是2的倍数的数是偶数。已知两个相邻偶数的和是98，且相邻两个偶数差为2。据此逐一分析。 【详解】A．48＋46＝94，这两个偶数的和不是98，不符合； B．54＋52＝106，这两个偶数的和不是98，不符合； C．48＋50＝98，且50－48＝2，符合； D．52－46＝6，这两个偶数的差不是2，即不是相邻的偶数，不符合。 所以这两个偶数分别是48和50。 故答案为：C 【练习】一个三位数，既是5的倍数，又是奇数，这个数最小是（     ）。 A．100 B．105 C．115 D．150 【答案】B 【分析】5的倍数的特征是个位上的数字为0或5；奇数是指不能被2整除的数，其个位上的数字为 1、3、5、7、9。要同时满足既是5的倍数又是奇数，个位上的数字只能是5；三位数的范围是从100到999，要找到最小的三位数，百位上的数字应取最小的非零数字 1，十位上的数字取最小的数字0，个位数字已确定为5，所以这个数是105。据此解答。 【详解】根据分析得： 一个三位数，既是5的倍数，又是奇数，这个数最小是105。 故答案为：B 考点9：3的倍数特征 【典型例题】某天一部电影在全国影院的播放场次既是2的倍数，又是3的倍数。下面（     ）可能是这部影片当天的播放场次。 A．2057 B．2914 C．3364 D．5796 【答案】D 【分析】因为播放场次既是2的倍数又是3的倍数，所以该数需同时满足2和3的倍数特征，可先利用2的倍数特征筛选选项，再用3的倍数特征进一步验证。如果一个数是2的倍数，那么它的个位数字是0、2、4、6、8，据此先排除不符合的选项。如果一个数是3的倍数，那么它的各位数字之和是3的倍数，再对剩余选项进行验证。 【详解】A．2057不是2的倍数，不符合题意； B．2914是2的倍数，但不是3的倍数，不符合题意； C．3364是2的倍数，但不是3的倍数，不符合题意； D．5796是2的倍数，也是3的倍数，符合题意； 故答案为：D 【练习】李叔叔买了3套同样的手工工具，每套工具的价格都是整数，且没有任何折扣，李叔叔可能花了（     ）元。 A．460 B．365 C．268 D．264 【答案】D 【分析】根据题意，李叔叔买了3套同样的手工工具，每套工具的价格都是整数，根据“单价×数量＝总价”可知，李叔叔花的钱数是3的倍数；从四个选项中找出哪个数是3的倍数，即可得解。3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【详解】A．4＋6＋0＝10，10不是3的倍数，则460不是3的倍数； B．3＋6＋5＝14，14不是3的倍数，则365不是3的倍数； C．2＋6＋8＝16，16不是3的倍数，则268不是3的倍数； D．2＋6＋4＝12，12是3的倍数，则264是3的倍数。 考点10：2、3、5的倍数特征 【典型例题】重阳节这天，五年级的学生制作创意手工作品153件送给社区的老人，把这些作品分装在纸箱里，每箱装的作品同样多。用哪种纸箱正好装完？ 【答案】3件装 【分析】2的倍数特征：个位数字是0、2、4、6、或8。 3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数。 5的倍数特征：个位数字是0或5。 【详解】根据题意分析：153不是2和5的倍数。 1＋5＋3＝9，9是3的倍数，153是3的倍数。 答：用3件装的纸箱正好装完。 【练习】在献爱心活动中，503班向希望小学捐款62□□，这个数既是2、3、5的倍数，又是最大的一个，503班捐款（ ）元。 【答案】6270 【分析】2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【详解】既是2的倍数，又是5的倍数，所以个位数字一定是 0。6＋2＝8、十位数最小是9－8＝1，十位数是1、4、7都是3的倍数，最大是7，503班捐款6270元。 考点11：质数与合数的认识 【典型例题】发展航天事业，建设航天强国。北京时间2025年10月31日8时43分，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射。飞船入轨后，于当天中午12时15分左右成功对接于空间站天和核心舱前向端口。 （1）上文画横线的数中：奇数有（ ），偶数有（ ）；质数有（ ），合数有（ ）。 （2）画横线的数中，有一个数既是2的倍数又是3的倍数，这个数是（ ）。 【答案】（1） 2025、31、43、15 10、8、12 31、43 2025、15、10、8、12 （2）12 【分析】（1）根据奇数、偶数、质数、合数的基本性质求解即可。 （2）一个数既是2的倍数又是3的倍数，则它一定也是2×3＝6的倍数，据此解答。 【详解】（1）奇数：不能被2整除的整数； 偶数：能被2整除的整数； 质数：只有1和它本身两个因数的大于1的整数； 合数：除了1和它本身还有其他因数的大于1的整数。 因此上文画横线的数中：奇数有2025、31、43、15，偶数有10、8、12；质数有31、43，合数有2025、15、10、8、12。 （2）一个数既有因数2又有因数3，则它一定可以被2×3＝6整除； 故这个数是12。 【练习】哥德巴赫猜想一直被看作数学皇冠上的明珠，对于哥德巴赫猜想的偶数情形，目前最好的结果是我国数学家陈景润证明的结果：任何充分大的偶数都可以写成一个质数加上两个质数的乘积的形式，通常称“1＋2”。下列情形中符合这一结果的是（     ）。 A．3＝1＋2 B．20＝13＋7×1 C．18＝3＋3×5 D．15＝5＋2×5 【答案】C 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 【详解】A．3＝1＋2，3是奇数，1既不是质数也不是合数，也没有两个质数的乘积的形式，排除； B．20＝13＋7×1，1既不是质数也不是合数，排除； C．18＝3＋3×5，18是偶数，3和5都是质数，符合； D．15＝5＋2×5，15是奇数，排除。 符合这一结果的是18＝3＋3×5。 考点12：质数与合数的综合应用 【典型例题】张老师画了一幅长方形的水墨画，长和宽都是整分米数，而且都是质数，并且已知水墨画周长是36分米，这幅水墨画的面积最大是多少平方分米？ 【答案】77平方分米 【分析】根据长方形周长＝（长＋宽）×2，长＋宽＝周长÷2，代入数据，求出长和宽的和；一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；再将长与宽和拆成两个质数相加的形式，确定长和宽，根据长方形面积＝长×宽，求出面积即可。 【详解】36÷2＝18（分米） 18＝11＋7＝13＋5 11×7＝77（平方分米） 13×5＝65（平方分米） 77＞65，最大面积是77平方分米。 答：这幅水墨画的面积最大是77平方分米。 【练习】一个运算程序的运算规则如下图所示。如果输入48，那么结果是（ ）；如果输入了一个数，结果是53，那么这个数是（ ）。 【答案】 100 7 【分析】一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。先判断输入的数M是质数还是合数，如果M是质数，代入进行计算；如果M是合数，代入进行计算即可。已知结果是53，不知道输入的数是质数还是合数，则分、两种情况分别计算出两种情况下M的值，判断是否符合题意。据此解答。 【详解】如果输入48，48是合数，那么结果是 当结果是53时，，则，那么，7是质数，符合题意； 当结果是53时，，则，那么，24.5不是自然数，也不是合数，不符合题意； 所以这个数是7。 考点13：探究和的奇偶性 【典型例题】和为奇数。 77＋5☐，☐里可填（ ）。    48☐＋160，☐里可填（ ）。 【答案】 0，2，4，6，8 1，3，5，7，9 【分析】和为奇数，则加数应为一个偶数一个奇数；末尾数字为1、3、5、7、9，这样的数就是奇数，末尾数字为0、2、4、6、8，这样的数为偶数。据此进行分析。 【详解】要使为奇数，77是奇数那么应为偶数，所以☐里可填0、2、4、6、8； 要使为奇数，160是偶数那么应为奇数，所以☐里可填1、3、5、7、9。 和为奇数77＋5☐，☐里可填0、2、4、6、8。48☐＋160，☐里可填1、3、5、7、9。 【练习】一个正方形边长的厘米数无论是奇数还是偶数，它的周长一定是（     ）。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．无法确定 【答案】B 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。正方形周长＝边长×4，偶数×偶数＝偶数，奇数×偶数＝偶数，据此分析。 【详解】正方形周长＝边长×4，一个正方形边长的厘米数无论是奇数还是偶数，因为4是偶数，偶数×偶数＝偶数，奇数×偶数＝偶数，它的周长一定是偶数。 故答案为：B 一、选择题 1．涛涛在计数器上拨出了一个数，如图。在这个数的基础上，个位至少再拨（     ）颗珠子，得到的数是3的倍数。 A．2 B．3 C．1 【答案】C 【分析】一个数是3的倍数，那么这个数的各个数位上的数字之和是3的倍数。据此先求出计数器上已有的数位上的数字之和，再根据3的倍数特征，用大于且最接近这个数字之和的3的倍数减去已有的数位上的数字之和，确定个位上至少再拨几颗珠子。 【详解】从计数器上可以看出，百位上有1颗珠子，表示1个百，即100；十位上有0颗珠子，0；个位上有1颗珠子，表示1个一，即1，计数器上的数为100＋0＋1＝101，那么计数器上已有的数位上的数字之和为：1＋0＋1＝2。 3－2＝1 即101＋1＝102，102÷3＝34。 因此在这个数的基础上，个位至少再拨1颗珠子，得到的数是3的倍数。 故答案为：C 2．一个数既是24的因数，又是24的倍数，这个数是（     ）。 A．3 B．12 C．24 【答案】C 【分析】一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。 【详解】24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24 24的倍数有：24、48、72…… 既是24的因数又是24的倍数的数只有24。 3．有60盒果汁饮料，选择（     ）的包装箱不能正好包装完。 A．18盒一箱 B．15盒一箱 C．12盒一箱 【答案】A 【分析】要将60盒果汁饮料正好在包装箱中装完，即每个包装箱装的盒数能整除60，据此可得出答案。 【详解】A．60÷18＝3……6，不能整除60，则不能正好包装完； B．60÷15＝4，能整除60，则正好包装完； C．60÷12＝5，能整除60，则正好包装完。 故答案为：A 4．要使5□0同时是2，3，5的倍数，□里可以填（     ）。 A．5 B．6 C．7 【答案】C 【分析】2的倍数：个位是2，4，6，8，0的数；5的倍数：个位是0或5的数；3的倍数：所有数位上的数字之和能被3整除的数；给出的数5□0个位是0，所以这个数一定是2和5的倍数，所以只需要确定这个数是3的倍数即可；据此把选项中的数字代入计算并判断即可。 【详解】A．5＋5＋0＝10，10÷3＝3……1，因为10不能被3整除，所以□里不可以填5； B．5＋6＋0＝11，11÷3＝3……2，因为11不能被3整除，所以□里不可以填6； C．5＋7＋0＝12，12÷3＝4，因为12能被3整除，所以□里可以填7； 要使5□0同时是2，3，5的倍数，□里可以填7。 故答案为：C 5．唐代诗人刘禹锡《浪淘沙》诗中提到“九曲黄河万里沙，浪淘风簸自天涯”，关于横线上的数，下列说法错误的是（     ）。 A．它是合数 B．它可以写成两个质数相加 C．它有4个因数 【答案】C 【分析】合数是除了1和本身外还有其他因数的数。质数是只有1和本身两个因数的数。据此判断。 【详解】A．9的因数有1、3、9，满足合数的定义，说法正确； B．9可以写成2＋7（2和7均为质数），说法正确； C．9的因数为1、3、9，共3个，而非4个，说法错误。 说法错误的是选项C中的说法。 故答案为：C 二、填空题 6．在12，30，35，51，57，72，90这些数中，偶数有（ ），含有因数3的数有（ ）。既含有因数2，又能被3和5整除的数有（ ）。 【答案】 12、30、72、90 12、30、51、57、72、90 30、90 【分析】自然数中是2的倍数的数，叫做偶数，由此进行判断即可； 3的倍数的特征，各个数位的数字之和能够被3整除，由此进行判断即可； 同时含有因数2、3和5的数，说明这个数同时是2、3、5的倍数，个位上只能是0，再根据3的倍数的特征进一步判断即可。 【详解】由分析可得：在12，30，35，51，57，72，90这些数中，偶数有12、30、72、90，含有因数3的数有12、30、51、57、72、90。既含有因数2，又能被3和5整除的数有30、90。 7．一个数，亿位上是最大的一位数，千万位上是6，万位上是最小的合数，千位上是最小的质数，其余数位上都是0，这个数是（ ），四舍五入到亿位约是（ ）亿。 【答案】 960042000 10 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。 省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字。 【详解】960042000≈10亿 一个数，亿位上是最大的一位数，千万位上是6，万位上是最小的合数即4，千位上是最小的质数即2，其余数位上都是0，这个数是960042000，四舍五入到亿位约是10亿。 8．李阿姨收到一条带有取件码的短信息，根据描述（取件码ABCD中，A是一位数中最大的奇数：B比最小的质数大1；C是最小的合数；D同时是2和3的倍数（非零））请你想一想，李阿姨的取件码是（ ）。 【答案】9346 【分析】根据取件码的描述，分别确定A、B、C、D的值：A是一位数中最大的奇数，即9；B比最小的质数大1，最小的质数是2，所以B是3；C是最小的合数，即4；D同时是2和3的倍数，在一位数中符合条件的是6（因为倍数通常指非零自然数，0虽也是倍数但一般不考虑），据此填空即可。 【详解】李阿姨的取件码是9346。 9．根据56÷7＝8，我们可以说56是7和8的（ ），7和8是56的（ ）。（在括号里填入“因数”或“倍数”） 【答案】 倍数 因数 【分析】如果整数a除以整数b（b≠0）得到整数c，即a÷b＝c，那么a是b和c的倍数，b和c是a的因数。 【详解】由56÷7＝8可知，56能被7和8整除，因此56是7和8的倍数，7和8是56的因数。 10．将写着“1，4，6，7，9”的5张大小一样的数字卡片反扣在桌面上，任意摸出1张，摸到偶数的可能性（ ）摸到奇数的可能性；任意摸出2张，积是偶数的可能性（ ）积是奇数的可能性。（填写“大于”“小于”或“等于”） 【答案】 小于 大于 【分析】比较偶数和奇数的个数，哪种数字卡片多，摸到哪种数字卡片的可能性就大； 根据搭配问题的解题方法，先确定一张数字卡片，用其余数字卡片去搭配，列出所有可能的情况，求积，比较积是偶数和奇数的数量，数量多的可能性大，数量一样多，可能性相等。 【详解】在“1，4，6，7，9”中，偶数有4、6，共2个，奇数有1、7、9，共3个，2＜3，所以摸到偶数的可能性小于摸到奇数的可能性； 任意摸出2张求积：1×4＝4、1×6＝6、1×7＝7、1×9＝9，4×1＝4、4×6＝24、4×7＝28、4×9＝36，6×1＝6、6×4＝24、6×7＝42、6×9＝54，7×1＝7、7×4＝28、7×6＝42、7×9＝63，9×1＝9、9×4＝36、9×6＝54、9×7＝63 偶数有4、6、24、28、36、42、54，共7个； 奇数有7、9、63，共3个。 7＞3，所以任意摸出2张，积是偶数的可能性大于积是奇数的可能性。 11．口袋里有0、1、2、5四张数字卡片，从中任意摸出两张来组成两位数，组成的两位数有（ ）种情况，是奇数的可能性有（ ）种。 【答案】 9 4 【分析】①要组成两位数，十位上不能是0，列举出十位上的数字是1、2、5时组成的两位数，统计所有可能的情况； ②个位数字是1、5的数是奇数。 【详解】十位上的数字是1时，组成的两位数有：10、12、15共3种情况； 十位上的数字是2时，组成的两位数有：20、21、25共3种情况； 十位上的数字是5时，组成的两位数有：50、51、52共3种情况； 组成的两位数有： 3＋3＋3 ＝6＋3 ＝9（种） 组成的9种情况中，是奇数的可能性有15、21、25、51共4种情况。 12．一个运算程序的运算规则如图所示。如果输入23，那么结果是（ ）；如果输入一个数得到的结果是66，那么这个数是（ ）。 【答案】 531 32 【分析】先判断23是质数还是合数，因为23是质数，所以选择对应的运算公式来计算结果。 分两种情况讨论结果是66的可能，分别代入两个公式求解，再验证解的合理性。 【详解】23×23＋2 ＝529＋2 ＝531 66－2＝64，因为8×8＝64，而8是合数，不符合； 66－2＝64，64÷2＝32，32是合适，符合。 综上，如果输入23，那么结果是531；如果输入一个数得到的结果是66，那么这个数是32。 13．从下面四张数字卡中取出合适的卡片，按要求组数。 （1）组成两位数的质数（ ）。 （2）组成3的倍数且是最小的三位数（ ）。 （3）组成同时是2、3、5的倍数且是最大的数（ ）。 【答案】（1）23、31、13 （2）102 （3）3210 【分析】（1）一个数如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；在四张数字卡所能组成的两位数中找出是质数的。 （2）3的倍数的特征，各个数位的数字之和是3的倍数。因为，，6和3都是3的倍数，因为要找最小的，所以由0、2、1组成的三位数较小且都是3的倍数，都找出来再比较大小。 （3）根据2的倍数的特征，一个数的个位如果是偶数，这个数就是2的倍数；根据5的倍数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数；根据3的倍数的特征，各个数位的数字之和是3的倍数。因为要找最大的数，所组成的四位数最大，且，6是3的倍数，一个数同时是2和5的倍数，则这个数的末尾应是0，要找最大的，就把大的数依次从高位排向低位。 【详解】（1）四张数字卡所能组成的两位数有：20、23、21、30、32、31、10、12、13 其中是质数的是：23、31、13 （2）由0、2、1组成的三位数有：201、210、102、120 （3）据分析可知，组成同时是2、3、5的倍数且是最大的数3210。 14．《西游记》全书共100回，主要角色是唐僧和他的3个徒弟。第1个徒弟是神通广大、会72变的孙悟空；第2个徒弟是憨态可掬、会36变的猪悟能，第3个徒弟是诚实厚道、忠心耿耿的沙悟净。唐僧师徒一路降妖伏魔，历经81难取回真经。 上面一段话中，出现了一些自然数，请认真阅读，完成下面问题： （1）这些自然数中（ ）是奇数，（ ）是偶数；（ ）是质数，（ ）是合数。 （2）这些自然数中（ ）既是2的倍数也是3的倍数，（ ）既是2的倍数也是5的倍数，（ ）既不是质数也不是合数。 （3）6是这些自然数中（ ）的因数，同时又是这些自然数中（ ）的倍数。 【答案】（1） 1、3、81 100、2、36、72 2、3 36、72、81、100 （2） 36、72 100 1 （3） 36、72 1、2、3 【分析】（1）表示物体个数的1，2，3，4，5，6，7，…都是自然数。一个物体也没有，用0表示，0也是自然数。所有的自然数都是整数。最小的自然数是0，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。整数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），其他不是2的倍数的数叫做奇数，偶数又叫做双数，奇数又叫做单数。只有1和它本身两个因数的数叫做质数（也叫做素数）；合数：除了1和它本身外，还有其他因数的数叫合数。 （2）个位是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数既是2的倍数也是3的倍数。个位上是0的数既是2的倍数又是5的倍数。1既不是质数也不是合数。 （3）一个整数能够被另一个整数整除，这个整数就是另一个整数的倍数，另一个整数就是这个整数的因数。 【详解】（1）这些自然数中1、3、81是奇数，100、2、36、72是偶数；2、3是质数，36、72、81、100是合数。 （2）这些自然数中36、72既是2的倍数也是3的倍数，100既是2的倍数也是5的倍数，1既不是质数也不是合数。 （3）6是这些自然数中36、72的因数，同时又是这些自然数中1、2、3的倍数。 15．4□□□是有两个相同数字的四位数，并且同时是2，3和5的倍数，这个数最大是（ ），最小是（ ）。 【答案】 4800 4020 【分析】的倍数个位为：、、、、，的倍数个位为：或。所以一个数是和的倍数：个位必须是；要是的倍数：各位数字之和是的倍数。据此分析即可。 【详解】因为这个数是和的倍数，所以个位是。因此这个数已确定的数字加起来和是。 是的倍数，又要最大，先尝试百位是，此时和为，题目说这个数有两个相同数字，十位尝试，数字和为，不符合；十位尝试，数字和为，也不行；十位尝试，数字和是还是不行。那么百位尝试为，数字和为。那么十位尝试，数字和为不符合；十位尝试，数字和为，也不行，十位尝试，数字和为，是的倍数，所以这个数最大是。 是的倍数，又要最小，那么尝试百位为，此时和为。十位尝试是，数字和仍为，不符合；十位尝试，数字和为，不是的倍数，不符合；十位尝试为，数字和为，是的倍数。所以最小是。 16．从0，2，3，4，8中挑选三个数字组成一个三位数，使它同时是2，3，5的倍数，这个三位数最小是（ ），最大是（ ）。 【答案】 240 840 【分析】要同时是2，3，5的倍数，这个数必须满足：个位是0和各位数字之和是3的倍数两个条件。 我们先确定个位必须是0，然后从剩下的数字2，3，4，8中挑选两个，使其与0的和是3的倍数组成一个三位数。 ①找最小三位数的方法：要使数最小，百位和十位都要优先选用较小的数，所以百位优先考虑2，接下来考虑十位，十位也确保是剩下的最小的数，同时要保证所有数位之和是3的倍数，再剩下的数3，4，8中只有从只有4满足条件，这样三个数字就可以组成最小的三位数。 ②找最大三位数的方法：要使数最大，百位和十位都要优先选用较大的数，所以百位优先考虑8，接下来考虑十位，十位也确保是剩下的最大的数，同时要保证所有数位之和是3的倍数，再剩下的数2，3，4中只有从只有4满足条件，这样三个数字就可以组成最大的三位数。 【详解】确定个位：0 ①找最小三位数 最小数的百位：从2，3，4，8选最小的，只能是2 最小数的十位：从3，4，8选最小的，同时所有数位之和是3的倍数，只能是4 这个最小的三位数是：240 ②找最大三位数 最大数的百位：从2，3，4，8选最大的，只能是8 最大数的十位：从2，3，4选最大的，同时所有数位之和是3的倍数，只能是4 这个最大的三位数是：840 所以，这个三位数最小是240，最大是840。 17．541至少加上（ ）就是3的倍数；至少减去（ ）就是5的倍数；至少加上或减去（ ）是2的倍数。 【答案】 2 1 1 【分析】3的倍数的特征：各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数； 5的倍数的特征：个位是0或5的数是5的倍数； 2的倍数的特征：个数上是0、2、4、6、8的数是2的倍数；据此解答。 【详解】由分析得：5＋4＋1＝10，10＋2＝12，所以541至少加上2就是3的倍数； 541－1＝540，所以541至少减去1就是5的倍数； 541－1＝540，541＋1＝542，所以541至少加上或减去1就是2的倍数。 三、解答题 18．有28个桃，每3个装一盘，至少再买多少个桃才能正好装完？至少要拿走多少个也能正好装完？ 【答案】2个；1个 【分析】根据3的倍数的特征进行分析，一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【详解】2＋8＝10 12－10＝2（个） 10－9＝1（个） 答：至少再买2个桃才能正好装完，至少要拿走1个也能正好装完。 19．一个长方形的周长是20厘米，它的长和宽是两个不同的质数。这个长方形的面积是多少平方厘米？ 【答案】21平方厘米 【分析】已知一个长方形的周长是20厘米，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，可得长方形的长、宽之和＝周长÷2，据此求出长、宽之和；已知长方形的长和宽是两个不同的质数，根据质数的意义，找出哪两个质数之和等于长、宽之和，即可确定长方形的长、宽；最后根据长方形的面积＝长×宽，求出长方形的面积。 【详解】20÷2＝10（厘米） 小于10的质数有：2，3，5，7。 10＝3＋7 3×7＝21（平方厘米） 答：这个长方形的面积是21平方厘米。 20．涛涛从0~6七张数字卡片中选择三张组成一个三位数，使它既是2的倍数，又是5的倍数，这个三位数最大是多少？请说明理由。 【答案】650；理由见详解 【分析】既是2的倍数又是5的倍数的数，其个位数字必须是0。因此，这个三位数的个位确定为0。涛涛的数字卡片为0、1、2、3、4、5、6，个位使用0后，剩余卡片为1、2、3、4、5、6，百位不能为0，从1、2、3、4、5、6中选择，要组成最大的三位数，百位应选最大的数字6；十位从剩余数字1、2、3、4、5中选择最大的数字5。因此，这个三位数是650。 【详解】这个三位数最大是650。 理由：同时是2和5的倍数的数，个位一定是0；要使三位数最大，百位数字选剩余数字中最大的（6），十位数字再选剩下数字中最大的（5），所以这个三位数最大是650。 21．少年宫是12路和17路公共汽车的始发站，12路公共汽车每10分钟发一次车，17路公共汽车每12分钟发一次车。这两路公共汽车在6：00同时发车后，下一次同时发车是什么时候？ 【答案】7：00 【分析】用枚举法，不重复不遗漏有序列举出12路车与17路车每一次发车时间后，比较得出下一次同时发车时间。 【详解】10分钟发一次车，12路车发车时间：6：00、6：10、6：20、6：30、6：40、6：50、7：00、7：10…… 12分钟发一次车，17路车发车时间：6：00、6：12、6：24、6：36、6：48、7：00、7：12、7：24…… 12路车与17路车下次同时发车时间是：7：00。 答：这两路公共汽车在6：00同时发车后，下一次同时发车是7：00。 22．周六，妈妈准备去文具店给小亮买文具，作文本每本2元，中性笔每支4元，钢笔每支12元，妈妈买了作文本、中性笔、钢笔若干，付给收银员100元，收银员找给妈妈35元，找的钱数对吗？请说明理由。 【答案】不对，理由见详解 【分析】偶数×奇数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，偶数－偶数＝偶数，据此解答。 【详解】答：不对。理由：各种商品的单价都是偶数。根据偶数×奇数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，所以不管每种文具买多少，它们各自的花费都是偶数，那么商品的总价就是这些偶数的和，根据偶数＋偶数＝偶数，可知商品总价一定是偶数。100是偶数，那么找零应该是偶数减偶数，结果也一定是偶数， 而35是奇数，所以找的钱数不对。 23．丽丽买来一袋苹果，苹果的个数既是30的因数，又是5的倍数。丽丽可能买了多少个苹果？ 【答案】丽丽可能买了5个、10个、15个或30个苹果。 【分析】根据找一个因数的方法先找出30的因数，接着从30的因数中找出5的倍数，即找出个位是0或5的数，据此解答。 【详解】 30的因数有1、2、3、5、6、10、15、30。 30的因数中是5的倍数的数有5、10、15、30。 答：丽丽可能买了5个、10个、15个或30个苹果。 24．五（1）班的学生参加植树活动，一共要种54棵树。要求每行种树的棵数相等，你有几种不同的种法？（每行多于1棵少于54棵） 【答案】6种 【分析】找到所有54的因数，即可求出要求每行种树的棵数相等，有几种不同的种法。 【详解】54的因数有1、2、3、6、9、18、27、54，因为每行多于1棵少于54棵，所以排除1和54； 54＝2×27，可种2行，每行27棵；可种27行，每行2棵； 54＝3×18，可种3行，每行18棵；可种18行，每行3棵； 54＝6×9，可种6行，每行9棵；可种9行，每行6棵； 答：有6种不同的种法。 25．萱萱的QQ号是一个九位数，从左往右依次是：①2的最大因数；②最小的奇数的6倍；③10以内有因数3的偶数；④最大的一位数；⑤既不是质数，也不是合数的数；⑥最小的自然数；⑦10以内最大的质数；⑧既是质数，又是偶数的数；⑨最小的合数。请分析萱萱的QQ号是多少。 【答案】266910724 【分析】要得出萱萱的QQ号，我们按顺序分析每一位的数字：首先，2的最大因数是它本身，所以第1位是2；最小的奇数是1，它的6倍是6，第2位是6；10以内有因数3的偶数是6，第3位是6；最大的一位数是9，第4位是9；既不是质数也不是合数的数是1，第5位是1；最小的自然数是0，第6位是0；10以内最大的质数是7，第7位是7；既是质数又是偶数的数是2，第8位是2；最小的合数是4，第9位是4。把这些数字依次排列，萱萱的QQ号就是266910724。 【详解】2的最大因数是2；最小的奇数是1，它的6倍是6；10以内有因数3的偶数是6；最大的一位数是9；既不是质数，也不是合数的数是1；最小的自然数是0；10以内最大的质数是7；既是质数，又是偶数的数是2；最小的合数是4。 答：萱萱的QQ号是266910724。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版五年级数学下册 第二单元：因数和倍数（期中复习讲义） 知识点01：认识因数和倍数 1、因数和倍数的概念 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 又如整数a能被b整除（a÷b=c），那么a就是b的倍数，b就是a的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。 【易错点】 （1）相互依存性：因数和倍数是相互依存的关系，不能单独说某个数是因数或倍数。 （2）取值范围：研究因数和倍数时，不包括0，仅限非0自然数。 （3）除法限定：必须是整数除法且没有余数，才能谈因数和倍数。 2、找一个数的因数 （1）找一个数的因数方法 ①列乘法算式找：根据因数的意义，有序地写出两个整数相乘得此数的所有乘法算式，算式中的两个因数都是此数的因数。 ②列除法算式找：用此数除以大于等于1而小于等于它本身的整数，所得的商是整数而无余数，这些除数和商都是此数的因数。 （2）一个数的因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 （3）表示一个数的因数的方法：列举法、集合表示法。 【易错点】 （1）找因数时要按顺序成对找，避免遗漏或重复。 （2）特殊数提醒：1的因数只有1这一个数。 3、找一个数的倍数 （1）找一个数的倍数的方法 ①列乘法算式找：用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 ②列除法算式找：看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 （2）一个数的倍数的特征 一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 （3）表示一个数的倍数的方法：列举法、集合表示法。 【易错点】一个数的最小倍数和最大因数都是它本身。 知识点02：2、5、3的倍数的特征 1、2的倍数特征：个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。 （1）偶数：是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数）； （2）奇数：不是2的倍数的数叫做奇数。 2、5的倍数特征：个位上是0或5的数都是5的倍数。 3、3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4、既是2又是5的倍数特征：个位上是0。 5、既是2又是3的倍数特征：个位上是0， 2， 4， 6， 8并且各数位的数之和又是3的倍数。 6、既是5又是3的倍数特征：个位上是0或5，并且各数位的数之和又是3的倍数。 7、既是2和3的倍数，又是5的倍数特征：个位上是0，并且各数位的数之和是3的倍数。 【易错点】 （1）2、5的倍数的特征的判断依据：只看个位数字，与其他数位无关。 （2）3的倍数特征是看各位数字之和，不是看个位。 知识点03：质数和合数 1、质数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 2、合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 3、100以内的质数表（共25个）：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 【易错点】 （1）1不是质数，也不是合数。 （2）最小的质数是2，最小的合数是4。 （3）质数的特殊值：2是唯一的偶质数，其余质数都是奇数；但是奇数不一定是质数。 （4）合数的特殊值：合数不一定是偶数，例如9、15是奇数但也是合数。 （5）分类依据：按因数的个数分类，非0自然数分为1、质数、合数三类，不能遗漏“1”。 （6）质数×质数＝合数 知识点04：探究和的奇偶性 奇数＋奇数＝偶数 奇数＋偶数＝奇数 偶数＋偶数＝偶数 【规律】同奇偶加减必得偶数，异奇偶加减必得奇数。 考点1：因数和倍数的概念 【典型例题】下列说法正确的是（     ）。 A．10÷2＝5，10是倍数，2是因数 B．42既是6的倍数，也是7的倍数 C．因为4÷0.5＝8，所以4是0.5的倍数，0.5是4的因数 【练习】48÷6＝8，（ ）和（ ）是48的因数，48是（ ）和（ ）的倍数。 考点2：找一个数的因数 【典型例题】6的因数有1、2、3、6，这几个因数的关系是：1＋2＋3＝6。像6这样的数，叫做完全数（也叫完美数）。8则不是完全数，因为8的因数有1、2、4、8，1＋2＋4≠8（≠：不等于）。下面四个数中，（     ）是完全数。 A．9 B．20 C．28 D．36 【练习】下面各数中，因数最多的是（     ）。 A．18 B．27 C．24 考点3：根据因数的特征解决问题 【典型例题】pin是奥运会期间的纪念品，2024巴黎奥运会上，中国设计生产的熊猫pin憨态可掬、广受喜爱。乐乐收集了24枚熊猫pin，将它们分别放在多个相同的盒子中，每盒中熊猫pin的个数相同，且不少于2枚，可以分成几盒，每盒多少枚？有几种分法？请列出算式说明。 【练习】想要把90瓶饮料正好装完，选择哪种包装盒不合适？（     ） A． B． C．D． 考点4：找一个数的倍数 【典型例题】一个数既是72的因数，又是18的倍数，这样的数有（     ）个。 A．2 B．3 C．4 D．6 【练习】一个数的最大因数和最小倍数的和是16，这个数是（ ）。 考点5：根据倍数的特征解决问题 【典型例题】小明的妈妈从批发市场买来90千克大枣，如果每15千克装一包，能正好装完吗？还可以怎么装？能装多少包？ 【练习】五（1）班6名同学去给小树苗浇水。小树苗不到40棵，他们发现每人浇水棵数相同。这批小树苗最多有（     ）棵。 A．30 B．36 C．39 考点6：倍数和因数的综合应用 【典型例题】阿呆在文具店看到了一个特别喜欢的文具盒，文具盒的钱数既是48的因数，又是6的倍数，价格在15元到25元之间，这个文具盒的价格是多少元？ 【练习】实践乐园。猜号码。ABCDEFG。 已知：A－5的最小倍数；B－最小的自然数； C－5的最大因数；D－既是4的倍数，又是4的因数； E－所有因数是1、2、3、6； F－所有因数是1，3；G－只有一个因数。 这个号码是（ ）。 考点7：2、5的倍数特征 【典型例题】虎头帽，是以老虎为形象的，中国民间儿童服饰中比较典型的一种童帽样式，王奶奶做了42顶虎头帽，如果每2顶装一袋，能正好装完吗？如果每5顶装一袋，能正好装完吗？为什么？ 【练习】小兔子过河。（按要求圈一圈） 考点8：奇数与偶数 【典型例题】两个相邻偶数的和是98，这两个数分别是（     ）。 A．48；46 B．54；52 C．48；50 D．46；52 【练习】一个三位数，既是5的倍数，又是奇数，这个数最小是（     ）。 A．100 B．105 C．115 D．150 考点9：3的倍数特征 【典型例题】某天一部电影在全国影院的播放场次既是2的倍数，又是3的倍数。下面（     ）可能是这部影片当天的播放场次。 A．2057 B．2914 C．3364 D．5796 【练习】李叔叔买了3套同样的手工工具，每套工具的价格都是整数，且没有任何折扣，李叔叔可能花了（     ）元。 A．460 B．365 C．268 D．264 考点10：2、3、5的倍数特征 【典型例题】重阳节这天，五年级的学生制作创意手工作品153件送给社区的老人，把这些作品分装在纸箱里，每箱装的作品同样多。用哪种纸箱正好装完？ 【练习】在献爱心活动中，503班向希望小学捐款62□□，这个数既是2、3、5的倍数，又是最大的一个，503班捐款（ ）元。 考点11：质数与合数的认识 【典型例题】发展航天事业，建设航天强国。北京时间2025年10月31日8时43分，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射。飞船入轨后，于当天中午12时15分左右成功对接于空间站天和核心舱前向端口。 （1）上文画横线的数中：奇数有（ ），偶数有（ ）；质数有（ ），合数有（ ）。 （2）画横线的数中，有一个数既是2的倍数又是3的倍数，这个数是（ ）。 【练习】哥德巴赫猜想一直被看作数学皇冠上的明珠，对于哥德巴赫猜想的偶数情形，目前最好的结果是我国数学家陈景润证明的结果：任何充分大的偶数都可以写成一个质数加上两个质数的乘积的形式，通常称“1＋2”。下列情形中符合这一结果的是（     ）。 A．3＝1＋2 B．20＝13＋7×1 C．18＝3＋3×5 D．15＝5＋2×5 考点12：质数与合数的综合应用 【典型例题】张老师画了一幅长方形的水墨画，长和宽都是整分米数，而且都是质数，并且已知水墨画周长是36分米，这幅水墨画的面积最大是多少平方分米？ 【练习】一个运算程序的运算规则如下图所示。如果输入48，那么结果是（ ）；如果输入了一个数，结果是53，那么这个数是（ ）。 考点13：探究和的奇偶性 【典型例题】和为奇数。 77＋5☐，☐里可填（ ）。    48☐＋160，☐里可填（ ）。 【练习】一个正方形边长的厘米数无论是奇数还是偶数，它的周长一定是（     ）。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．无法确定 一、选择题 1．涛涛在计数器上拨出了一个数，如图。在这个数的基础上，个位至少再拨（     ）颗珠子，得到的数是3的倍数。 A．2 B．3 C．1 2．一个数既是24的因数，又是24的倍数，这个数是（     ）。 A．3 B．12 C．24 3．有60盒果汁饮料，选择（     ）的包装箱不能正好包装完。 A．18盒一箱 B．15盒一箱 C．12盒一箱 4．要使5□0同时是2，3，5的倍数，□里可以填（     ）。 A．5 B．6 C．7 5．唐代诗人刘禹锡《浪淘沙》诗中提到“九曲黄河万里沙，浪淘风簸自天涯”，关于横线上的数，下列说法错误的是（     ）。 A．它是合数 B．它可以写成两个质数相加 C．它有4个因数 二、填空题 6．在12，30，35，51，57，72，90这些数中，偶数有（ ），含有因数3的数有（ ）。既含有因数2，又能被3和5整除的数有（ ）。 7．一个数，亿位上是最大的一位数，千万位上是6，万位上是最小的合数，千位上是最小的质数，其余数位上都是0，这个数是（ ），四舍五入到亿位约是（ ）亿。 8．李阿姨收到一条带有取件码的短信息，根据描述（取件码ABCD中，A是一位数中最大的奇数：B比最小的质数大1；C是最小的合数；D同时是2和3的倍数（非零））请你想一想，李阿姨的取件码是（ ）。 9．根据56÷7＝8，我们可以说56是7和8的（ ），7和8是56的（ ）。（在括号里填入“因数”或“倍数”） 10．将写着“1，4，6，7，9”的5张大小一样的数字卡片反扣在桌面上，任意摸出1张，摸到偶数的可能性（ ）摸到奇数的可能性；任意摸出2张，积是偶数的可能性（ ）积是奇数的可能性。（填写“大于”“小于”或“等于”） 11．口袋里有0、1、2、5四张数字卡片，从中任意摸出两张来组成两位数，组成的两位数有（ ）种情况，是奇数的可能性有（ ）种。 12．一个运算程序的运算规则如图所示。如果输入23，那么结果是（ ）；如果输入一个数得到的结果是66，那么这个数是（ ）。 13．从下面四张数字卡中取出合适的卡片，按要求组数。 （1）组成两位数的质数（ ）。 （2）组成3的倍数且是最小的三位数（ ）。 （3）组成同时是2、3、5的倍数且是最大的数（ ）。 14．《西游记》全书共100回，主要角色是唐僧和他的3个徒弟。第1个徒弟是神通广大、会72变的孙悟空；第2个徒弟是憨态可掬、会36变的猪悟能，第3个徒弟是诚实厚道、忠心耿耿的沙悟净。唐僧师徒一路降妖伏魔，历经81难取回真经。 上面一段话中，出现了一些自然数，请认真阅读，完成下面问题： （1）这些自然数中（ ）是奇数，（ ）是偶数；（ ）是质数，（ ）是合数。 （2）这些自然数中（ ）既是2的倍数也是3的倍数，（ ）既是2的倍数也是5的倍数，（ ）既不是质数也不是合数。 （3）6是这些自然数中（ ）的因数，同时又是这些自然数中（ ）的倍数。 15．4□□□是有两个相同数字的四位数，并且同时是2，3和5的倍数，这个数最大是（ ），最小是（ ）。 16．从0，2，3，4，8中挑选三个数字组成一个三位数，使它同时是2，3，5的倍数，这个三位数最小是（ ），最大是（ ）。 17．541至少加上（ ）就是3的倍数；至少减去（ ）就是5的倍数；至少加上或减去（ ）是2的倍数。 三、解答题 18．有28个桃，每3个装一盘，至少再买多少个桃才能正好装完？至少要拿走多少个也能正好装完？ 19．一个长方形的周长是20厘米，它的长和宽是两个不同的质数。这个长方形的面积是多少平方厘米？ 20．涛涛从0~6七张数字卡片中选择三张组成一个三位数，使它既是2的倍数，又是5的倍数，这个三位数最大是多少？请说明理由。 21．少年宫是12路和17路公共汽车的始发站，12路公共汽车每10分钟发一次车，17路公共汽车每12分钟发一次车。这两路公共汽车在6：00同时发车后，下一次同时发车是什么时候？ 22．周六，妈妈准备去文具店给小亮买文具，作文本每本2元，中性笔每支4元，钢笔每支12元，妈妈买了作文本、中性笔、钢笔若干，付给收银员100元，收银员找给妈妈35元，找的钱数对吗？请说明理由。 23．丽丽买来一袋苹果，苹果的个数既是30的因数，又是5的倍数。丽丽可能买了多少个苹果？ 24．五（1）班的学生参加植树活动，一共要种54棵树。要求每行种树的棵数相等，你有几种不同的种法？（每行多于1棵少于54棵） 25．萱萱的QQ号是一个九位数，从左往右依次是：①2的最大因数；②最小的奇数的6倍；③10以内有因数3的偶数；④最大的一位数；⑤既不是质数，也不是合数的数；⑥最小的自然数；⑦10以内最大的质数；⑧既是质数，又是偶数的数；⑨最小的合数。请分析萱萱的QQ号是多少。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $