2026年中考数学压轴几何模型 专题6 隐圆、四点共圆

专题6 隐圆、四点共圆 隐圆与四点共圆模型是初中几何中极具综合性的核心模型，更是中考几何压轴题的“提分关键”，其重要性体现在能快速转化复杂几何条件、破解常规方法难以解决的角度、线段关系问题，是衔接几何基础与综合压轴的核心桥梁。中考中，该模型考查频率逐年提升，常以填空压轴、几何解答题、代几综合压轴题形式出现，常见背景涵盖三角形、四边形、圆的综合，以及平面直角坐标系、折叠、旋转、最值问题等。 核心考查四点共圆的判定（对角互补、同弧所对的角相等）、隐圆的构造（定弦定角、定点定长），以及结合圆周角定理、全等、相似、勾股定理的综合应用。掌握隐圆与四点共圆模型，能有效突破角度转化、线段最值、定值证明等难点，轻松应对多模型融合题型，是初中几何满分必备的核心能力，更是拉开中考几何得分差距、提升综合解题思维的重要基石。 本专题从知识精讲、典例分析、课堂随练、巩固提高四个部分展开，循序渐进，层层剖析隐圆与四点共圆模型的重难点，内容详实丰富，供大家学习使用，欢迎下载。 ( 知识精讲 ) 圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合． 1、 常见隐圆模型 模型一、动点定长模型 若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径 【拓展】折叠问题构造出隐圆 从圆的定义构造圆，构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧． 模型二、定边对直角 固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆，AB为直径 模型三、定边对定角 在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．定边必不可少，而直角则可一般为定角．例如，AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆． 2、 常见四点共圆模型 若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D在以AD中点E为圆心、EA长为半径的圆上（可证）． 若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D在以AC中点E为圆心、EA为半径的圆上（可证）． 若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆． 证明条件：线段同侧张角相等． 若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆． 证明条件：1．四边形对角互补； 2．四边形外角等于内对角． 两条线段被一点分成（内分或外分）两段长的乘积相等，则这两条线段的四个端点共圆． 四边形ABCD的对角线AC、BD交于H， 若，则四点共圆. 提示：通过证明∽，从而得出,转化为定长对定角模型。 四边形ABCD的对边BA、CD的延长线交于P， 若，则四点共圆. 提示：通过证明∽,从而得出，进而得出，对角互补的四边形，四个顶点共圆。 ( 典型例题 ) 例1. （动点定长模型）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A`MN，连接A`C，则A`C长度的最小值是__________． 【答案】． 【解析】考虑△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，可得MA’=MA=1，所以A’轨迹是以M点为圆心，MA为半径的圆弧．连接CM，与圆的交点即为所求的A’，此时A’C的值最小． 构造直角△MHC，勾股定理求CM，再减去A’M即可，答案为． 例2.（直角圆周角模型）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=8，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值是_________． 【答案】 【解析】∵∠PBC+∠PBA=90°，∠PBC=∠PAB，∴∠PAB+∠PBA=90°，∴∠APB=90°， ∴P点轨迹是以AB为直径的圆弧． 当O、P、C共线时，CP取到最小值，勾股定理先求OC，再减去OP即可． 例3.（四点共圆模型）如图，∽，，，，是的中点，若点是直线上的动点，连接，则的最小值是（ ）　 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵△ABC∽△ADE，ADE＝∠ABE，∴点A，D，B，E四点共圆， ∵∠DAE＝90°，∴∠DBE＝90°，∵F是DE的中点，∴BF＝DE， ∴当DE最小时，BF的值最小， ∵若点E是直线BC上的动点，∴当AE⊥BC时，AE最小，此时，DE最小， ∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，∴BC＝5，∴AE＝， ∵△ABC∽△ADE，∴，∴， ∴DE＝4，∴BF＝2，故选B． ( 课堂随练 ) 练1 如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC与点D，过点D分别作AB，AC的垂线，垂足分别为E，F．求证：B，E，F，C四点共圆． ( A B C D E F ) ( A B C D E F ) 证明 因为DE⊥AB，DF⊥AC， 所以∠AED＋∠AFD＝180°，即A，E，D，F四点共圆． 连结EF，则∠AEF＝∠ADF． 因为AD⊥BC，DF⊥AC， 所以∠FCD＝∠ADF＝∠AEF， 所以B，E，F，C四点共圆． 练2 在锐角△ABC中，AB＝AC，AD为边上的高，E为AC的中点．若M为线段BD上的动点（点M与点D不重合），过点C作CN⊥AM与点N，射线EN与AB相交于点P，证明：∠APE＝2∠MAD． ( A B C D E P N M ) ( A B C D E P N M ) 证明 如图，连结DE． 因为AD⊥BC，CN⊥AM，E为AC的中点，所以DE＝AE＝CE＝NE， 从而A，N，D，C在以点E为圆心、AC为直径的圆上，所以∠DEN＝2∠DAN． 由题意可得D为BC的中点，所以ED∥AB， 所以∠APE＝∠DEP ＝2∠MAD． ( 巩固提高 ) 一、单选题 1．矩形中，，，点为矩形内一点，使得．将绕点顺时针旋转，得到，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，矩形中，，，点E是边上一点，且，点F是边上任一点，把沿翻折，点B的对应点为，连接、，则以下结论正确的是（   ） ①当与相似时，；②的最小值是；③点到距离的最小值是；④取的中点P，连接，则的最大值是． A．①③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 3．如图，是半径为3半圆O的直径．是圆中可移动的弦，且，连接相交于点P，弦从C与A重合的位置开始，绕着点O顺时针旋转，则交点P运动的路径长是（   ） A． B． C． D． 4．如图，的半径为4，弦的长为，点P为优弧上一动点，交直线于点C，则的面积的最大值是（   ）    A． B． C． D． 5．如图，在菱形中，，点E在边上，且，F是边上一动点，将沿直线折叠，点D落在点N处，当点N在四边形内部（含边界）时，的长度的最大值是（   ） A． B．        B．       D． 6．如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 7．如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连结，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．如图，的半径是，P是上一动点，A是内部一点，且，则下列说法正确的是（    ） ①PA的最小值为；②PA的最大值为；③当时，△PAO是等腰直角三角形；④△PAO面积最大为． A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④ 10．如图，在Rt和Rt中，，，AB=AE=5．连接BD，CE，将△绕点A旋转一周，在旋转的过程中当最大时，△ACE的面积为（    ）． A．6 B． C．9 D． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，点E、F分别是正方形OACD的边OD、AC上的动点，且，过原点O作，垂足为H，连接HA、HB，则面积的最大值为（    ） A． B．12 C． D． 12．正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别是CD、BC边上的动点，且始终满足DE=CF，DF、AE相交于点G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角△AHG使得∠AHG=90°，连接BH．则BH的最小值为（    ） A． B． C． D． 13．如图，中，，，，P是内部的一个动点，满足，则线段CP长的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 14．如图，在中，，cm，cm．是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为（    ） A．2 B．π C．2π D．π 16．如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（    ） A．π B．π C．π D．2π 17．如图，是等腰直角三角形，正方形绕点A逆时针旋转，再延长交于G，以下结论中：①；②；③当，时，，正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．都不对 18．如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是（  ） A．2 B．+1 C．2﹣2 D．3 19．如图，在等腰Rt∆ABC中，，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（     ） A． B．2 C． D．4 20．如图，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，P是AB上一点，BP=3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′．当CA′的长度最小时，CQ的长为（　　） A．5 B．7 C．8 D． 二、填空题 21．如图，在边长为2的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上，连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①；②；③当时，；④点与点之间的距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 22．如图，中，，，点在射线上，且，则的最小值为 ． 23．如图，在中，，，将射线绕点顺时针旋转到，在射线上取一点，连接，使得面积为9，连结，则的最大值是 ． 24．如图，在矩形中，是边的中点，F是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是 ． 25．如图，在中，，，将边长为1的正方形绕点B旋转一周，连结，点M为的中点，连结，则线段的最大值为 ． 26．如图，正方形的边长为2，在平面内有一点P，始终保证，连接，设的中点为E，连接，则线段的最小值为 ，最大值为 ． 27．如图，在菱形中，，，点分别在边和上，且．当的面积最大时，的面积为 ． 28．已知正方形边长为2，点是正方形边上的动点，点在边上，且，线段、相交于点，连接，则点从点运动到点的过程中，线段扫过的面积是 ． 29．已知的直角顶点与原点重合，点，都落在抛物线上，则与轴的交点为 ；若于点，则点到点的最大距离为 ． 30．如图，矩形，，，E为中点，F为直线上动点，B、G关于对称，连接，点P为平面上的动点，满足，则的最小值 ． 《巩固提高》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A C A D A D C A 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 D C D A D A B C B B 1．A 【知识点】根据旋转的性质求解、圆周角定理、根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，矩形的性质，旋转的性质．取的中点，连接，先判断出点在上运动，当共线时，有最小值，据此求解即可． 【详解】解：取的中点，连接， 由旋转的性质知：， ∴点在上运动， ∴当共线时，有最小值， 由旋转的性质知：，， ∴,， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 2．B 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、点与圆上一点的最值问题 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、三角形的中位线性质、勾股定理、圆的基本性质，熟练掌握隐形圆上的点到定点和定直线的距离问题是解答的关键．利用相似三角形的性质可判断①；②由折叠性质得，则点在以点E为圆心，1为半径的圆上运动，如图，连接，当C、、E共线时，有最小值，最小值为，利用勾股定理求解即可判断②；过E作于G，当、、共线时，最小，即点到距离的最小，最小值为的长度，利用三角形的面积公式求得，进而求得可判断③；取的中点，连接、，利用三角形的中位线求得，则点P在以点O为圆心，为半径的圆上运动，当点P在的延长线上时，最大，最大值为，利用相似三角形的判定与性质和勾股定理求得即可判断④，进而可得答案． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， ∵， ∴， ①当时，则，即， 解得； 当时，则，即， 解得， 综上，当与相似时，或，故①错误； ②由折叠性质得，则点在以点E为圆心，1为半径的圆上运动，如图，连接，当C、、E共线时，有最小值，最小值为， 在中，， ∴的最小值为，故②正确； ③过E作于G，当、、共线时，最小，即点到距离的最小，最小值为的长度， 由得， ∴， ∴点到距离的最小值为，故③正确； ④取的中点，连接、， ∵点P是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点P在以点O为圆心，为半径的圆上运动，当点P在的延长线上时，最大，最大值为， 过O作于H，则，又， ∴， ∴， ∴，， ∴在中，， ∴的最大值是，故④正确， 综上，结论正确的是②③④， 故选：B． 3．A 【知识点】等边三角形的判定和性质、圆周角定理、求某点的弧形运动路径长度、解直角三角形的相关计算 【分析】连接，先导角得到，作的外接圆，记为，连接，那么点P的轨迹为劣弧，即路径长劣弧的长度，则，连接，解直角三角形得到，路径长为． 【详解】解：连接， 由题意得，， ∴为等边三角形， ∴， 当弦从C与A重合的位置开始，绕着点O顺时针旋转时， 即， ∴此时点D与点B，P重合， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 作的外接圆，记为，连接， ∴点P的轨迹为劣弧，即路径长劣弧的长度， ∴， 连接，∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴路径长为：， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理，弧长公式，解直角三角形，等边三角形的判定与性质等知识点，难度较大，解题的关键在确定点P的运动轨迹． 4．C 【知识点】含30度角的直角三角形、利用垂径定理求值、解直角三角形的相关计算、点与圆上一点的最值问题 【分析】如图，选取圆心，连接，，过点O作于点D．证明，判断出点C在以为圆心，为半径的圆上运动可得结论． 【详解】解：如图，选取圆心，连接，，过点O作于点D．    ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C在以为圆心，为半径的圆上运动， 当点在的垂直平分线上时，的面积最大， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴面积的最大值． 故选：C． 【点睛】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，垂径定理，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是判断出点C的运动轨迹． 5．A 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、折叠问题、解直角三角形的相关计算 【分析】根据题意可知，点在以为圆心，长为半径的圆上运动．由此可找出临界点，当点落在上时，最短，当点落在边上时，最长．根据轴对称的性质分别求解，可得出的取值，进而得最大值． 【详解】解：根据题意可知，点在以为圆心，长为半径的圆上运动， 如图所示： 当点正好落在边上时， ， 是等边三角形， ， 最短， 此时； 当点落在边上时，最长， 过点作于点，分别过点作的垂线，交的延长线于点． 四边形是矩形， 在菱形中，，， 点在边上，且， ，，，， ， ， ，，， 在中，，， ， ， ， 设，则，， 在中， 由勾股定理可知，， 即， 解得， ， 故答案为：A． 【点睛】本题在折叠的背景下考查菱形的性质，矩形的性质，含角的直角三角形，勾股定理等知识，得出点N的运动轨迹并找到临界点是解题关键． 6．D 【知识点】坐标与图形、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、点与圆上一点的最值问题 【分析】由题意可得点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，先证，得，从而当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，然后分别证，，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵点为平面内一动点，， ∴点在以点为圆心，为半径的上， 在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴轴，， ∴， ∵， ∴， ∴即， 解得， 同理可得，， ∴即， 解得， ∴， ∴当线段取最大值时，点的坐标是， 故选D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 7．A 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、线段问题(轴对称综合题)、点与圆上一点的最值问题 【分析】先证明，即可得点E在以为直径的半圆上移动，设的中点为O，作正方形关于直线对称的正方形，则点D的对应点是F，连接交于P，交半圆O于E，根据对称性有：，则有：，则线段的长即为的长度最小值，问题随之得解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点E在以为直径的半圆上移动， 如图，设的中点为O， 作正方形关于直线对称的正方形， 则点D的对应点是F， 连接交于P，交半圆O于E， 根据对称性有：， 则有：， 则线段的长即为的长度最小值，E ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故的长度最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线，得出点E的运动路线是解题的关键． 8．D 【知识点】用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角、点与圆上一点的最值问题 【分析】证明，得出点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上，从而计算出答案． 【详解】设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆 ∵四边形为矩形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上 连接OB交圆O与点N ∵点B为圆O外一点 ∴当直线BM过圆心O时，BM最短 ∵， ∴ ∴ ∵ 故选：D． 【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识． 9．C 【知识点】用勾股定理解三角形、点与圆上一点的最值问题 【分析】分析知当A在线段PO上时，PA取最小值，A在PO延长线上时，PA取最大值，可以判断①②是否正确；当∠OAP=90°时，根据勾股定理求出AP的长度，可以判断③是否正确；作出A点的轨迹圆，知当OA⊥PO时，三角形PAO面积取最大值，通过计算判断④是否正确即可． 【详解】解：由题意知，当A在线段PO上时，PA取最小值，A在PO延长线上时，PA取最大值， ∴PA的最小值为，PA的最大值为， 故①②正确； 当∠OAP=90°时，根据勾股定理得：AP=， 即AP=OA，三角形PAO为等腰直角三角形， 故③正确； 作出A点轨迹圆如下： 知当OA⊥PO时，三角形PAO面积取最大值，最大值为：， 故④错误， 综上所述，正确的序号为：①②③， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的性质、勾股定理、线段最值等知识点，借助圆的性质判断出线段的最值是解决本题的关键． 10．A 【知识点】用勾股定理解三角形、利用同角三角函数关系求值、角度问题(旋转综合题) 【分析】先分析出D的轨迹为以A为圆心AD的长为半径的圆，当BD与该圆相切时，∠DBA最大，过C作CF⊥AE于F，由勾股定理及三角函数计算出BD、CF的长，代入面积公式求解即可． 【详解】解：由题意知，D点轨迹为以A为圆心AD的长为半径的圆， 当BD与D点的轨迹圆相切时，∠DBA取最大值，此时∠BDA=90°，如图所示， 过C作CF⊥AE于F， ∵∠DAE=90°，∠BAC=90°， ∴∠CAF=∠BAD， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=， ∴由sin∠CAF=sin∠BAD得： ， 即， 解得：CF=， ∴此时三角形ACE的面积==6， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识点．此题综合性较强，解题关键是利用D的轨迹圆确定出∠DBA取最大值时的位置． 11．D 【来源】2022年福建省厦门集美中学九年级下学期4月适应性练习数学试题（一模） 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】先证明ON=CN，再证点H在以ON直径的圆上运动，则当点H在QM的延长线上时，点H到AB的距离最大，由相似三角形的性质可求MK，KQ的长，由三角形的面积公式可求解． 【详解】解：如下图，连接AD，交EF于N，连接OC，取ON的中点M，连接MH，过点M作MQ⊥AB于Q，交AO于点K，作MP⊥OA与点P， ∵直线y=x−3分别与x轴、y轴相交于点A、B， ∴点A（4，0），点B（0，-3）， ∴OB=3，OA=4， ∴， ∵四边形ACDO是正方形， ∴OD//AC，AO=AC=OD=4，OC=4，∠COA=45°， ∴∠EDN=∠NAF，∠DEN=∠AFN， 又∵DE=AF， ∴△DEN≌△AFN（ASA）， ∴DN=AN，EN=NF， ∴点N是AD的中点，即点N是OC的中点， ∴ON=NC=2， ∵OH⊥EF， ∴∠OHN=90°， ∴点H在以ON直径的圆上运动， ∴当点H在QM的延长线上时，点H到AB的距离最大， ∵点M是ON的中点， ∴OM=MN=， ∵MP⊥OP，∠COA=45°， ∴OP=MP=1， ∴AP=3， ∵∠OAB+∠OBA=90°=∠OAB+∠AKQ， ∴∠AKQ=∠ABO=∠MKP， 又∵∠AOB=∠MPK=90°， ∴△MPK∽△AOB， ∴， ∴， ∴MK=，PK=， ∴AK=， ∵∠AKQ=∠ABO，∠OAB=∠KAQ， ∴△AKQ∽△ABO， ∴， ∴， ∴KQ=， ∴QM=KQ+MK=+=， ∴点H到AB的最大距离为+， ∴△HAB面积的最大值=×5×(+)=， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的应用，圆等知识，解题的关键是求出MQ的长． 12．C 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质证明、圆的基本概念辨析、相似三角形的判定与性质综合 【分析】首先证明，从而，再根据，可求，可知点H的运动轨迹为以点M 为圆心，MH为半径的圆，从而可求BH最小值． 【详解】解：如图，取AD中点O，连接OG，以AO为斜边作等腰直角三角形AOM， 则， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴， ∵， ∴， ∴， 是直角三角形， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点H的运动轨迹为以点M 为圆心，MH为半径的圆， 如图，连接BM，交圆M于，过点M作于点P， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴AP=MP==1， ∴BP=4-1=3， 在中，， ∴． ∴BH的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了最短路径问题，解题的关键是准确构造辅助线，利用三角形相似以及点和圆的知识解决． 13．D 【知识点】两点之间线段最短、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、圆的基本概念辨析 【分析】结合题意推导得，取AB的中点O，以点O为圆心，为直径作圆，连接OP；根据直角三角形斜边中线的性质，得；根据圆的对称性，得点P在以AB为直径的上，根据两点之间直线段最短的性质，得当点O、点P、点C三点共线时，PC最小；根据勾股定理的性质计算得，通过线段和差计算即可得到答案． 【详解】， ， ， ， ， 取AB的中点O，以点O为圆心，为直径作圆，连接OP， 点P在以AB为直径的上，连接OC交于点P， 当点O、点P、点C三点共线时，PC最小 在中， ，，， ， 最小值为 故选：D． 【点睛】本题考查了两点之间直线段最短、圆、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、两点之间直线段最短、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解． 14．A 【知识点】三角形三边关系的应用、用勾股定理解三角形、圆周角定理 【分析】由∠AEC＝90°知，点E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C、可含点N），从而得BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），BE长度的最小值BE′＝BM−ME′． 【详解】如图， 由题意知，， 在以为直径的的上（不含点、可含点， 最短时，即为连接与的交点（图中点点）， 在中，，，则． ， 长度的最小值， 故选：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，三角形的三边关系等知识点，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法． 15．D 【知识点】求弧长、四点共圆 【详解】解：如图， ∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB， ∴CD⊥AB， ∴∠ADE＝∠CDF＝90°，CD＝AD＝DB， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（SAS）， ∴∠DAE＝∠DCF， ∵∠AED＝∠CEG， ∴∠ADE＝∠CGE＝90°， ∴A、C、G、D四点共圆， ∴点G的运动轨迹为弧CD， ∵AB＝4，ABAC， ∴AC＝2， ∴OA＝OC， ∵DA＝DC，OA＝OC， ∴DO⊥AC， ∴∠DOC＝90°， ∴点G的运动轨迹的长为π． 故选：D． 16．A 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【详解】解：设AB的中点为Q，连接NQ，如图所示： ∵N为BM的中点，Q为AB的中点， ∴NQ为△BAM的中位线， ∵AM⊥BP， ∴QN⊥BN， ∴∠QNB＝90°， ∴点N的路径是以QB的中点O为圆心，AB长为半径的圆交CB于D的， ∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°， ∴ABCA＝4，∠QBD＝45°， ∴∠DOQ＝90°， ∴为⊙O的周长， ∴线段BM的中点N运动的路径长为：π， 故选：A． 17．B 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、正方形性质理解、圆的基本概念辨析 【分析】根据等腰直角三角形的性质及正方形的性质易得△BAD≌△CAF，从而易得①②正确；取BC的中点O，连接OG、OA，则由直角三角形斜边上中线的性质可得OG是BC的一半，即为定值，故可得点G的运动路径是以O为圆心OG长为半径一段圆弧上运动，从而BG的长度不是固定的，因此可对③作出判定． 【详解】（1）∵四边形ADEF是正方形 ∴AD=AF，∠DAF=∠DAC+∠CAF=90゜ ∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90゜ ∴AB=AC ∴∠BAD+DAC=90゜ ∴∠BAD=∠CAF 在△BAD和△CAF中 ∴△BAD≌△CAF(SAS) ∴BD=CF，∠DBA=∠FCA 设BG与AC交于点M，则∠BMA=∠CMG ∴∠FCA+∠CMG=∠DBA+∠BMA=90゜ ∴∠CGM=90゜ ∴BD⊥CF 故①②均正确； 如图，取BC的中点O，连接OG、OA ∵BG⊥CF，AB⊥AC ∴OG、OA分别是Rt△GBC、Rt△ABC斜边上的中线 ∴ 在Rt△ABC中，由勾股定理得 ∴ 则点G在以O为圆心为半径的一段圆弧上运动，其中点A为此弧的一个端点 所以BG的长变化的，不可能是定值 故③不正确 故选：B． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质等知识，对③的判断是比较难，判断出点G的运动路径后问题则迎刃而解． 18．C 【来源】四川省广安友谊中学实验学校2019-2020学年九年级下学期期中数学试题 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、四边形中的线段最值问题 【分析】根据题意，在折叠过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，过点M作MH⊥DC于点H，再利用含30°的直角三角形的性质以及勾股定理求出MC的长，进而求出A′C的长即可． 【详解】解：如图所示，∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上． 过点M作MH⊥DC于点H， ∵在边长为4的菱形ABCD中，∠MAN=60°，M为AD的中点， ∴2MD=AD=CD=4，∠HDM=∠MAN=60°， ∴MD=2，∠HMD=30°， ∴HD=MD=1， ∴HM==，CH=CD+DH=5， ∴， ∴A′C=MC-MA′=2-2； 故选：C． 【点睛】本题考查翻折变换、菱形的性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，突破点是正确寻找点A′的位置． 19．B 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【详解】分析：取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，利用等腰直角三角形的性质得到AB=BC=8，则OC=AB=4，OP=AB=4，再根据等腰三角形的性质得OM⊥PC，则∠CMO=90°，于是根据圆周角定理得到点M在以OC为直径的圆上，由于点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，则利用四边形CEOF为正方得到EF=OC=4，所以M点的路径为以EF为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算点M运动的路径长． 详解：取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=4，∴AB=BC=8，∴OC=AB=4，OP=AB=4．     ∵M为PC的中点，∴OM⊥PC，∴∠CMO=90°，∴点M在以OC为直径的圆上，点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEOF为正方形，EF=OC=4，∴M点运动的路径为以EF为直径的半圆，∴点M运动的路径长=•4π=2π．    故选B．      点睛：本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹．解决此题的关键是利用等腰三角形的性质和圆周角定理确定M点的轨迹为以EF为直径的半圆． 20．B 【知识点】利用菱形的性质求线段长、折叠问题、点与圆上一点的最值问题 【详解】作CH⊥AB于H，如图． ∵菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴CH=AB=，AH=BH=4． ∵PB=3，∴HP=1． 在Rt△CHP中，CP==7． ∵梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′， ∴点A′在以P点为圆心，PA为半径的弧上， ∴当点A′在PC上时，CA′的值最小， ∴∠APQ=∠CPQ，而CD∥AB， ∴∠APQ=∠CQP， ∴∠CQP=∠CPQ， ∴CQ=CP=7． 故选B． 【点睛】本题考查了菱形的性质．解答本题的关键是确定A′在PC上时CA′的长度最小． 21．①②④ 【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】根据正方形的性质可得，结合，可得，故①符合题意；证明，可得，故②符合题意；当时，，可得，，可得，故③不符合题意；如图，取的中点，连接，可得在以为圆心，为直径的圆上，当共线时，最小，再进一步可判断④. 【详解】解：∵正方形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故①符合题意； ∵，， ∴， ∴，故②符合题意； 当时，， ∴，， ∴，故③不符合题意； 如图，取的中点，连接， ∵， ∴在以为圆心，为直径的圆上， 当共线时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点与点之间的距离的最小值为．故④符合题意； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，点到圆上各点距离的最小值的含义，本题难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 22．3 【知识点】点与圆上一点的最值问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了“相似三角形的判定与性质”，根据比例关系构造出相似三角形，找到点的运动轨迹是解题关键．在上方，以为边，构造与相似的三角形，利用相似三角形的性质可以得出，所构造相似三角形中的点A的对应点为定点，从而确定点P的运动轨迹为圆弧，根据点圆最值的确定方法，即可求出的最小值． 【详解】解：如图，在上方，以为边，构造． ∴，，． ∴，． ∴点在以为直径的上运动，点为中点． ∴． 连接，与的交点即为取得最小值时，点的位置． ∴． ∴此时，即的最小值为3． 故答案为： 3． 23． 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过点D作，根据面积为9可取定长为6即可构造，从而得出，这样即确定了点D的轨迹圆心位置，再根据勾股定理求出长度，结合点D轨迹，在三点共线时有最大值即可求得答案． 【详解】解：如图，过点D作连接使得，取中点为点F，连接、，以点F为圆心，半径为3作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由题意得， ， 即点D轨迹为以线段为直径的圆， ， 当且仅当点B、F、D三点共线时取等， 在中， ， 解得， ， ， 最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，三角形的面积公式，圆直径所对圆周角为，根据面积为定值得出乘积式为定值，再结合条件将乘积式转换比例式构造出相似，利用相似结论导角得出轨迹是解题的关键． 24．/ 【知识点】矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，涉及了动点的轨迹问题，由题意可推出点在以E为圆心为半径的圆上运动，可得当D、、E共线时，的值最小，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴点在以E为圆心为半径的圆上运动，如图所示： 故：当D、、E共线时，的值最小， ∵， ∴， 故答案为：． 25． 【知识点】根据旋转的性质求解、根据正方形的性质求线段长、与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形三边关系，三角形中位线定理等知识，延长到，使，连接，根据三角形的三边关系确定的取值范围，再根据是的中位线得出，得出的取值范围即可，根据三角形三边关系得出的取值范围是解题的关键． 【详解】解：延长到，使，连接，如图： ∴点为为的中点， 在中，， ， ∵正方形的边长为， ∴，， ∴， 为等腰直角三角形， ， ，即， ， ∵为的中点，为的中点， ∴是的中位线， ， ， ∴线段的最大值是， 故答案为：． 26． / / 【知识点】点与圆上一点的最值问题、根据正方形的性质求线段长、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查圆的定义、三角形的中位线性质、正方形的性质，解答的关键是构造三角形的中位线和得到点P的运动轨迹，属于中考填空题的常考压轴题． 延长至T，使得，连接，根据三角形的中位线性质得到，即只需求的最大值和最小值；根据圆的定义可得点P在以A为圆心，为半径的圆上运动，如图，连接并延长，交该圆于，，利用正方形的性质和勾股定理求得，进而求得的最小值和最大值即可求解． 【详解】解：延长至T，使得，连接， ∵的中点为E， ∴是的中位线， ∴，即只需求的最大值和最小值； ∵始终保证， ∴点P在以A为圆心，为半径的圆上运动，如图，连接并延长，交该圆于，， ∵，， ∴， ∴，， ∴的最小值为，的最大值为， ∴的最小值为，的最大值为， 故答案为：，． 27． 【知识点】利用菱形的性质求线段长、利用垂径定理求值、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查菱形的性质、垂径定理、锐角三角函数、隐形圆求最值问题等知识，利用圆的相关知识得到的面积最大是解答的关键．作的外接圆，设圆心为O，过O作于H，过A作于P，由，当A、O、H共线时取等号，此时最大，点P、H重合，，则的面积最大；设、相交于，由菱形的性质和锐角三角函数分别求得，再由垂径定理和等腰三角形的性质证得点A、O、P、、C共线，进而求得，则，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴作的外接圆，设圆心为O，过O作于H，过A作于P，如图，则， ∴，当A、O、H共线时取等号，此时最大，点P、H重合，， ∵， ∴最大时，的面积最大； 如图1，设、相交于， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， 又∵，， ∴，， ∴点A、O、P、、C共线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 28． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质求线段长、圆周角定理 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、点的运动轨迹问题的求解等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线，得到点M的运动轨迹是解题的关键．先证明得到，进而证得，利用圆周角定理得到点M在以为直径的圆上运动，如图，设圆心为，连接、相交于O，连接，利用正方形的性质和圆周角定理得到点O在圆N上，根据图形结合已知得到在点从点A运动到点B的过程中，点M在劣弧上运动，点F在上运动，由线段扫过的面积求解即可． 【详解】解：如图，四边形是边长为2的正方形， ，， 在和中， ， ， ∴， ，即， ∴点M在以为直径的圆上运动，如图，设圆心为，连接、相交于O，连接， 则，，， ∴，即点O在圆N上， ∴，， ∵，， ∴当点E在点A处时，点F在点B处，这时点M在点A处，当点E在点B处时，点F在点C处，这时点M在点O处， ∴在点从点A运动到点B的过程中，点M在劣弧上运动，点F在上运动， ∴线段扫过的面积是， 故答案为：． 29． 【知识点】求一次函数解析式、y=ax²的图象和性质、斜边的中线等于斜边的一半、利用相似求坐标 【分析】设点坐标，点坐标，由求出的值，将、代入直线解析式，当时，即可求解，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得出点运动轨迹，即可求出点到点的最大距离，本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用相似求坐标，直角三角形斜边中线等于斜边一半，解题的关键是：熟练掌握字型相似，隐圆模型． 【详解】解：设直线解析式：，点坐标：，点坐标：， 过点作轴于点，过点作轴于点，如图， 则，，，， ，， ， ， ，即：， ， 设直线解析式，将、坐标代入， ，解得：， 则直线解析式：， 当时，，将代入，得：， 与轴的交点为， 设与轴的交点为点，中点为，点为点， ，，为中点， 在中，， 在中，， 点轨迹为，以为圆心，长为半径的圆， 的最大值为：， 故答案为：，． 30． 【知识点】三角形三边关系的应用、根据矩形的性质求线段长、圆周角定理、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】由题意可知，，可得，可知点在以为弦，圆周角的圆上，（要使最小，则点要靠近蒂点，即点在的右侧），设圆心为，连接，，，，，过点作，可知为等腰直角三角形，求得，，，，再由三角形三边关系可得：，当点在线段上时去等号，即可求得的最小值． 【详解】解：∵B、G关于对称， ∴，且 ∵E为中点，则为的中位线， ∴， ∴， ∵，即， ∴点在以为弦，圆周角的圆上，（要使最小，则点要靠近蒂点，即点在的右侧） 设圆心为，连接，，，，，过点作， 则， ∵， ∴，则为等腰直角三角形， ∴， 又∵为中点， ∴，， 又∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， 由三角形三边关系可得：，当点在线段上时去等号， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，隐形圆，三角形三边关系，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，根据得知点在以为弦，圆周角的圆上是解决问题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $