专题8 与圆有关的综合题-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学几何与二次函数压轴题突破练配套课件（福建专用）

该初中数学中考复习课件聚焦几何压轴题核心考点，紧密对接福建中考要求，系统梳理与圆有关的综合题考查重点，涵盖圆的性质、圆周角定理、相似三角形等高频考点，结合2024、2025福建中考真题，按“方法突破—综合应用”分层归纳常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“变式训练+真题解析”模式，通过圆内接四边形中角度推导、全等相似证明等典型题，培养学生推理能力与几何直观，如利用等腰三角形性质和圆周角定理突破角度计算，助力学生掌握解题技巧，为教师提供系统复习方案，提升中考冲刺效率。

数 学 福建 几何与二次函数压轴题突破练 1 一、几何压轴题突破练 专题八　与圆有关的综合题 一阶　方法突破 二阶　综合应用 1. 如图，四边形ABCD内接于☉O，AB＝AC，AC⊥BD，垂足为E. 若 ∠DAC＝α，则∠DBC＝ ，∠ACB＝ ，∠ABE ＝ ，∠BAC＝ .(用含α的代数式表示) α　 90°－α　 90°－2α　 2α　 返回目录 【变式1】如图，四边形ABCD内接于☉O，AB＝AC，AC⊥BD，垂足 为E， 点F在BD的延长线上，连接AF，CF. 若∠DAC＝α，则∠CDA ＝ ，∠FDA＝ .(用含α的代数式表示) 【解析】由1题知∠BAC＝2α，∴∠CDB＝∠BAC＝2α，∵AC⊥BD， ∴∠ADE＝90°－α， ∴∠CDA＝∠CDB＋∠ADE＝90°＋α，∠FDA ＝∠DAE＋∠ADE＝90°＋α. 90°＋α　 90°＋α　 返回目录 【变式2】如图，四边形ABCD内接于☉O，AB＝AC＝3，AC⊥BD，垂 足为E， 点F在BD的延长线上，且DF＝DC，连接AF，CF，则AF ＝ ⁠. 【解析】由变式1题知∠FDA＝∠CDA，∵DF＝DC，AD＝AD， ∴△ADF≌△ADC，∴AF＝AC＝3. 3　 返回目录 【变式3】如图，四边形ABCD内接于☉O，AB＝AC，AC⊥BD，垂足 为E， 点F在BD的延长线上，且DF＝DC，连接AF，CF. 若AF＝ 10，BC＝4 ，则△ABF是 三角形，△FCB是 ⁠三角 形，FC＝ ，EF＝ ，DE＝ ⁠. 等腰　 等腰　 4 　 8　 3　 返回目录 【解析】由变式2题可得，△ADF≌△ADC，∴AF＝AC，∵AB＝AC，∴AF＝AB，∴△ABF为等腰三角形.∵AC⊥BD，∴AC平分∠FAB，E为BF的中点，∴AC垂直平分BF，∴BC＝FC，∴△FCB为等腰三角形.∵BC＝4 ，∴FC＝4 .设CE＝x，则AE＝10－x，在Rt△CBE和Rt△ABE中，由勾股定理可得BC2－CE2＝BE2＝AB2－AE2，即(4 )2－x2＝102－(10－x)2，解得x＝4，∴CE＝4，AE＝6，BE＝ ＝8，∴EF＝BE＝8.∵△ADF≌△ADC，∴DF＝DC，设DE＝m，则CD＝DF＝8－m，在Rt△CDE中，CE2＋DE2＝CD2，即42＋m2＝(8－m)2，解得m＝3，∴DE＝3. 返回目录 2. 如图，BC是☉O的弦，点A是优弧 上一点，连接AO并延长交☉O 于点F，连接AC，AB.若∠C＝64°，则∠BAF＝ ⁠. 【解析】如解图，连接BF，∵AF为☉O的直径， ∴∠ABF＝90°，∵ ＝ ，∴∠F＝∠C＝64°， ∴∠BAF＝90°－64°＝26°. 26°　 返回目录 【变式1】如图，BC是☉O的弦，点A是优弧 上一点，连接AO并延长 交BC于点D，交☉O于点F，连接AC，AB，BF，过点D作DE⊥AC于 点E. 若∠DAB＝30°，则∠CDE＝ ⁠. 【解析】∵AF是☉O的直径，∴∠ABF＝90°，∵DE⊥AC， ∴∠DEC＝∠ABF＝90°，∵∠AFB＝∠ACB，∴180°－∠ABF－ ∠AFB＝180°－∠DEC－∠ACB，即∠CDE＝∠DAB＝30°. 30°　 返回目录 【变式2】如图，BC是☉O的弦，点A是优弧 上一点，连接AO并延长 交BC于点D，交☉O于点F，连接AC，AB，BF，过点D作DE⊥AC于 点E. 若AE＝AB＝BD，求证：BF＝AD＋DE. 返回目录 证明：如解图，过点D作DM⊥BC，交BF于点M，连 接FC， ∴∠MDC＝90°，∴∠MDF＝90°－∠FDC， ∵BA＝BD，∴∠BAF＝∠ADB， ∵∠ADB＝∠FDC，∴∠FDC＝∠BAF， ∵AF是☉O的直径， ∴∠ABF＝90°，∴∠MFD＝90°－∠BAF， ∴∠MFD＝∠MDF，∴MD＝MF， 在△ADE和△BMD中， ∴△ADE≌△BMD(ASA)， ∴AD＝BM，DM＝DE＝MF，∴BF＝BM＋MF＝ AD＋DE. 返回目录 【思路探寻】 (1)利用等腰三角形的性质和圆周角定理推导； (2)利用等腰三角形的性质导角，通过圆周角定理和等腰三角形的判定定理得到AH＝HD，借助等角构造相似三角形，得到HD2＝HC·HF，利用等量代换的性质推导； 返回目录 (3)连接AO并延长交CB于点M，利用垂径定理得到AM⊥BC，CM＝BM，解直角三角形得tan∠ABC＝① ，设BM＝k，则AM＝② ，BC＝③ ，利用勾股定理求得AB，再由 ④ 得到 ＝ ，求得k＝a，则DE＝⑤ ⁠， AE＝⑥ ，同理，由⑦ 求得CE＝k，再由 ⑧ 求得AB＝⑨ ，最后利用等量代换求△AGH的周长. ＝ 　 k　 2k　 △BAD∽△EAB　 k　 3k　 △EDC∽△EBA　 △EDC∽△EBA　 3 　 返回目录 3. (2025福建)如图，四边形ABCD内接于☉O，AD，BC的延长线相交于 点E，AC，BD相交于点F. G是AB上一点，GD交AC于点H，且AB＝ AC，BG＝DG. (1)求证：∠ABC＝∠DBE＋∠E； 证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ABC＝∠ADB. ∵∠ADB＝∠DBE＋∠E， ∴∠ABC＝∠DBE＋∠E. 返回目录 (2)求证：AH2＝HF·HC； 证明：∵BG＝DG，∴∠ABD＝∠GDB， 由(1)知∠ABC＝∠ADB， ∵∠ABC＝∠ABD＋∠DBC，∠ADB＝∠GDB＋∠GDA， ∴∠DBE＝∠GDA， ∵∠DBE＝∠CAD， ∴∠CAD＝∠GDA，∴AH＝HD. ∵∠ACD＝∠ABD，∴∠ACD＝∠GDB. ∵∠CHD＝∠DHF， ∴△CHD∽△DHF，∴ ＝ ， ∴HD2＝HC·HF，∴AH2＝HF·HC. 返回目录 (3)若tan∠ABC＝ ，AD＝2DE，CD＝ ，求△AGH的周长. 解：如图，连接AO并延长交CB于点M， ∵AB＝AC，∴ ＝ ，∴AM⊥BC，CM＝BM， ∴tan∠ABC＝ ＝ ， 设BM＝k，则AM＝ k，BC＝2k， ∴AB＝ ＝ k， ∵AD＝2DE，∴可设DE＝a，则AD＝2a， ∴AE＝AD＋DE＝3A. ∵∠ADB＝∠ACB，∠ACB＝∠ABC， ∴∠ADB＝∠ABC， 返回目录 ∵∠BAD＝∠EAB，∴△BAD∽△EAB， ∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴k＝a，∴DE＝k，AE＝3k， ∵四边形ABCD为☉O的内接四边形，∴∠EDC＝∠ABC， ∵∠E＝∠E，∴△EDC∽△EBA， ∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴CE2＋2k·CE－3k2＝0， ∵CE＞0，∴CE＝k， ∵△EDC∽△EBA，∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴AB＝3 . 由(2)知AH＝HD，BG＝DG， ∴C△AGH＝AG＋GH＋AH＝AG＋GH＋HD＝ AG＋GD＝AG＋GB＝AB＝3 . 返回目录 【思路探寻】 (1)由锐角三角函数可得tan∠AOC＝ ＝2＝ ，即得 的值； (2)作辅助线证明△AOE≌△BOM(AAS)，得到AE＝BM，OE＝OM，进一步推导出∠AEB＝∠BEC，∠BAE＝∠CBE，进而得证； (3)作辅助线构造相似三角形，得出△AOE∽△BDE，得到∠BED＝∠AEO＝90°，∠DEF＝90°，∠AFB＝∠DEF，AF∥DE，进一步推导出AE∥FD，进而得证. 返回目录 解：∵AB＝AC，且AB是☉O的直径，∴AC＝2AO. ∵∠BAC＝90°， ∴在Rt△AOC中，tan∠AOC＝ ＝2. ∵AE⊥OC，∴在Rt△AOE中，tan∠AOC＝ ＝2， ∴ ＝ . 4. (2024福建)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，以AB为直径的☉O交BC于点D，AE⊥OC， 垂足为E，BE的延长线交 于点F. (1)求 的值； 返回目录 (2)求证：△AEB∽△BEC； 证明：如解图，过点B作BM∥AE，交EO的延长线 于点M. ∴∠BAE＝∠ABM，∠AEO＝∠BMO＝90°. ∵AO＝BO，∴△AOE≌△BOM(AAS)， ∴AE＝BM，OE＝OM. ∵ ＝ ，∴BM＝2OE＝EM， ∴∠MEB＝∠MBE＝45°， ∴∠AEB＝∠AEO＋∠MEB＝135°， ∠BEC＝180°－∠MEB＝135°， 返回目录 ∴∠AEB＝∠BEC. ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝45°， ∴∠ABM＋∠ABE＝∠CBE＋∠ABE＝45°， ∴∠ABM＝∠CBE，∴∠BAE＝∠CBE， ∴△AEB∽△BEC. 返回目录 (3)求证：AD与EF互相平分. 证明：如解图，连接DE，DF. ∵AB是☉O的直径， ∴∠ADB＝∠AFB＝90°，AB＝2AO. ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴BC＝2BD，∠DAB＝45°. 由(2)知△AEB∽△BEC， ∴ ＝ ＝ ＝ ，∠EAO＝∠EBD， ∴△AOE∽△BDE， ∴∠BED＝∠AEO＝90°.∴∠DEF＝90°. 返回目录 ∴∠AFB＝∠DEF，∴AF∥DE. 由(2)知∠AEB＝135°，∴∠AEF＝180°－∠AEB＝45°. ∵ ＝ ，∴∠DFB＝∠DAB＝45°， ∴∠DFB＝∠AEF，∴AE∥FD， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∴AD与EF互相平分. 返回目录 25 $