5.微专题五 圆中经典模型——隐圆问题-【教与学·广东中考夺冠】2026年中考数学课件PPT

数 学 第二部分 微专题拓展 微专题五　圆中经典模型——隐圆问题 基础知识解读 图示 结论解 读 圆外一点到圆上的距离：已知圆外一点P，直线PO与圆交于A，B两点，则PA为点P到圆上的最大距离，PB为点P到圆上的最小距离 圆上的点到弦的距离：已知圆上一动点C和弦AB，则当CH⊥AB且CH过圆心O时，点C到弦AB的距离CH是圆 上的点到弦AB的最大距离 圆内三角形的面积：已知弦AB固定，点C为圆上动点，当△ABC为等腰三角形时，△ABC的面积最大（分为在优弧上和在劣弧上两种情 况） “隐圆”破解策略 牢记口诀：定点定长走圆周，定线定角跑双弧． 直角必有外接圆，对角互补也共圆． 　　 模型一　定 弦 定 角 图 示 特征 点A，B为定点，连接AB，点C为平面内一动点，∠ACB为定值 条件 ∠ACB＜90° ∠ACB=90° ∠ACB＞90° 结论 点C在优弧上运 动 点C在半圆上运 动 点C在劣弧上运动 例1.如图W－5－1，已知△ABC为等边三角形，AB=3，若P为△ABC内一个动点，且满足∠PAB=∠ACP，求线段PB长度的最小值． 　　 　图W－5－1 解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠BAC=60°，AC=AB=3. ∵∠PAB=∠ACP， ∴∠PAC＋∠ACP=∠PAC＋∠PAB=∠BAC=60°． ∴∠APC=180°－（∠PAC＋∠ACP）=120°． ∴AD=CD= AC= ，∠PAC=∠ACP=30°，∠ABD= ∠ABC=30°． ∴PD=AD∙tan∠PAC= × = ，BD= = AD= ． ∴线段PB长度的最小值为BD－PD= － = ． 如答图W－5－1，作△APC的外接圆O， 连接OP交AC于点D， 则点P的运动轨迹是 ． ∴当点O，P，B共线时，线段PB长度最小，此时PA=PC，OB⊥AC． 　答图W－5－1 1. （2021∙广东改编）在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2， BC=3.D为平面上一个动点，且∠ADB=45°，求线段CD长度的 最小值． 解：如答图W－5－2，作△ABD的外接圆O （因求CD最小值，故圆心O在AB的右侧）， 连接OC． 则当O，D，C三点共线时， CD的值最小． 　答图W－5－2 ∵∠ADB=45°，∴∠AOB=2∠ADB=90°． ∴△AOB为等腰直角三角形．∴∠OBA=∠OAB=45°． ∴AO=BO=AB∙ sin ∠OAB=2× sin 45°= ， ∠OBC=∠ABC－∠OBA=90°－45°=45°． 过点O作OE⊥BC于点E． ∴△OBE为等腰直角三角形． ∴OE=BE=BO∙ sin ∠BOE= × sin 45°=1. ∴CE=BC－BE=3－1=2. 在Rt△OEC中，OC= = = ． ∴线段CD长度的最小值为OC－OD= － ． 　答图W－5－2 模型二　定（动）点定长 图示 特征 一定点，三定长 沿一定点和一动点的连线翻 折 条件 OA=OB=OC O为边CF上一定点，B为边CD上一动点，将△OCB沿OB翻折得到△OAB 结论 点A，B，C在以点O为圆心，OA为半径的⊙O上 当O，A，E三点共线时，AE的值最小 例2. 如图W－5－2，∠ABC=90°，M，N分别是射线BA，BC上 的动点，MN长度始终保持不变，MN=6，E为MN的中点，点D 到BA，BC的距离分别为6和4，求DE的最小值． 　　 　图W－5－2 解：如答图W－5－3，连接BE，BD． 由题意，得BD= =2 ． 在Rt△MBN中，E是MN的中点， ∴BE= MN=3. ∴点E的运动轨迹是以B为圆心，3为半径的弧． ∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小． ∴DE的最小值为BD－BE=2 －3. 　答图W－5－3　　　　　　　　　 2. 如图W－5－3，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是 BC边的中点，N为CD边上的动点，将△CMN沿MN所在直线翻 折到△C′MN，连接AC′，求AC′的最小值． 　图W－5－3 解：∵M是BC边的中点， ∴CM=BM= BC=1.由翻折可知 C′M=CM=1， ∴点C′在以点M为圆心，CM为半径的圆上，如答图W－5－4. 过点M作MH⊥AB，交AB的延长线于点H，连接AM，当点C′ 在线段AM上时，AC′的值最小． ∵在菱形ABCD中，AD∥BC，∴∠MBH=∠A=60°． 　答图W－5－4 在Rt△BMH中，MH=BM∙ sin 60°= ，BH=BM∙ cos 60°= ． ∴AH=AB＋BH= ． 在Rt△AMH中，AM= = ， ∴AC′的最小值为AM－C′M= －1. 　答图W－5－4 模型三　直角所对的弦是直径 图示 特征 定长线段所对角恒为90° 条件 AB定长，∠ACB=90° C是△ABD内一点， AC⊥BC，连接CD 结论 A，B，C三点共圆，AB 为直径 当O，C，D三点共线时， CD的值最小 例3.如图W－5－4，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＋∠PBA=90°，求线段CP长度的最小值． 解：∵∠PAB＋∠PBA=90°，∴∠APB=90°． ∴点P在以AB为直径的圆上（点P在△ABC内部）． 如答图W－5－5， 取AB的中点O为圆心作⊙O， 连接OC交⊙O 于点P，此时线段CP的值最小． ∵AB=6，∴OB=OP=3. 　　 　图W－5－4 　答图W－5－5 又∵BC=4，AB⊥BC， ∴在Rt△OBC中，OC= = =5. 　∴CP=OC－OP=5－3=2，即线段CP长度的最小值为2. 　答图W－5－5 3. 如图W－5－5，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=5，AD=4，AD＜BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF=∠BAE，求线段BF的最小值． 　图W－5－5 解：如答图W－5－6，设AD的中点为O，以点O为圆心，AD为 直径画圆，连接OB交⊙O于点F′． ∵∠ABC=∠BAD=90°，∴AD∥BC． ∴∠DAE=∠AEB． ∵∠ADF=∠BAE，∴∠DFA=∠ABE=90°． ∴点F在以点O为圆心，AD为直径的半圆上运动， 当点F运动到点F′时，线段BF有最小值． ∵AD=4，∴OF′=AO= AD=2. 在Rt△ABO中，BO= = = ． ∴BF′=BO－OF′= －2. ∴线段BF的最小值为 －2. 　答图W－5－6 模型四　四 点 共 圆 图示 特征 同侧等角 异则互补（对角互补） 条件 定长线段AB所对动角相等， ∠C=∠D 定长线段AC所对动角互 补，∠B＋∠D=180° 结论 A，B，C，D四点共圆 例4.如图W－5－6，PA，PB切⊙O于A，B两点，过点P作割线 交⊙O于点C，D，过点B作BE∥CD，连接AE交PD于点M． 求 证：M为DC的中点． 　　 　图W－5－6 证明：如答图W－5－7，连接OA，OB，OM，OP． ∵BE∥CD，∴∠AMP=∠AEB． ∵PA，PB都是⊙O的切线， ∴∠OAP=90°，∠AOP=∠BOP= ∠AOB． ∵∠AEB= ∠AOB， 　　 　答图W－5－7 ∴∠AOP=∠AEB=∠AMP． ∴A，M，O，P四点共圆，且直径为OP． ∴∠OMP=90°． ∴OM⊥DC． ∴M为DC的中点． 例5.如图W－5－7，在△ABC中，∠C=45°，∠B=60°，BC为 ＋1，P为边AB上一动点，过点P作PD⊥BC于点D，PE⊥AC 于点E，连接DE，求DE的最小值． 　　 　图W－5－7 解：如答图W－5－8，连接CP． ∵PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E， ∴∠PDC=∠PEC=90°．∴∠PDC＋∠PEC=180°． ∴C，D，P，E四点共圆，且直径为CP． 如答图W－5－8， 取CP的中点O为圆心作⊙O，连接OD，OE． ∵∠ACB=45°，∴∠DOE=2∠ACB=90°． ∴△ODE是等腰直角三角形．∴DE= OD= × CP= CP． 　　 　答图W－5－8 ∴直径CP最小时，DE最小，即CP⊥AB时，DE最小． ∵∠B=60°，CP⊥AB，BC= ＋1， ∴CP=BC∙ sin B=（ ＋1）× sin 60°= ． 　∴DE= CP= ， 即DE的最小值为 ． 　答图W－5－8 4. 如图W－5－8，在△ABC中，AB=5，∠ACB=90°， ∠CPB=∠A，tan∠CPB= ，过点C作CP的垂线，与PB的延长线 交于点Q，则CQ的最大值是 　 　． 　图W－5－8 5. 如图W－5－9，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8， O为AC的中点，过点O作OE⊥OF，OE，OF分别交AB，BC于 点E，F，求EF的最小值． 　图W－5－9 解：如答图W－5－9，连接OB． ∵OE⊥OF，∴∠EOF=90°． ∵∠ABC=90°，∴∠EOF＋∠ABC=180°． ∴E，B，F，O四点共圆， 且直径为EF． 如答图W－5－9，取EF 的中点M为圆心作⊙M． 答图W－5－9 在Rt△ABC中，AC= = =10. ∵O为AC的中点，∴OB= AC=5. ∵EF是⊙M的直径，点O，B均在⊙M上，且OB长度固定， ∴EF≥OB，即EF的最小值为5. 答图W－5－9 谢 谢 ! $