精品解析：甘肃陇南市宕昌第一中学、第二中学、两当第一中学2025-2026年高三下学期二诊摸底考试数学试卷

2025-2026年宕昌第一中学､第二中学､两当第一中学高三二诊 摸底考试数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合的交集和补集解题即可. 【详解】，则. 故选：C. 2. 如图，设，，线段与交于点F，且，则（ ） A. 4 B. 3 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先计算出，进而得到，利用共线定理的推论得到，得到答案. 【详解】，， 又，故，所以， 因为，，所以， 因为三点共线，所以， 故. 故选：D 3. 已知为等差数列的前n项和，d为其公差，且，给出以下命题：①；②；③使得取得最小值时的n为6；④满足成立的最小n值为13.其中正确命题有（ ）个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由条件，可得，，即可判断①正误；由条件得，根据等差数列求和公式及性质，可判断②正误；根据数列的单调性，可判断③、④的正误. 【详解】对于①：因为，所以，， 所以，故①正确； 对于②：因为，所以， 所以，故②正确； 对于③：因为，所以为单调递增数列， 所以等差数列中前6项均小于0，则使得取得最小值时的n为6，故③正确； 对于④：因为，且为单调递增数列，且， 所以，且满足成立的最小n值为13. 故④正确. 故选：D 4. 已知，q：直线与直线平行，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行求出的值，结合充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，即，解得或. 当时，，满足平行条件. 当时，，满足平行条件. 所以，两直线平行时或. 因此是的充分不必要条件. 5. 函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助复合函数单调性计算即可得. 【详解】由函数在上单调递减， 则函数在上单调递减， 且在上恒成立， 则有，解得， 故实数的取值范围为. 故选：D. 6. 已知一道解答题共有两小问，某班50个人中有30个人能够解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（ ） A. 0.46 B. 0.22 C. 0.18 D. 0.04 【答案】B 【解析】 【分析】设相应事件，由题意可得，根据对立事件求出所需事件的概率，依据全概率公式求解. 【详解】设“解出第一问”为事件，“解出第二问”为事件， 由题意可得：， 则， 所以. 故选：B. 7. 点到直线：的最大距离是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过整理含参的直线方程得出直线恒过的定点，将点到直线的最大距离转化为点到定点之间的距离即可求得. 【详解】把直线的方程重新整理得：， 因为该等式对任意都成立，所以，解得， 即直线恒过定点. 当直线绕点旋转时，点到直线的距离会发生变化， 而当时，距离达到最大值，即点到直线的最大距离，就是点到定点的距离， 此时. 8. 已知函数若关于的方程有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出函数图象，设，要使关于的方程恰有4个不相等的实数根，等价为方程有两个不同的根，且，列式求解即可. 【详解】∵， 当时， 在上为减函数，且， 当时，在上为增函数，且， 当时，在上为增函数，且， 作出函数的图象如图所示： 设， 当时，方程有1个解， 当时，方程有2个解， 当时，方程有3个解， 当时，方程有2个解， 当时，方程有1个解， 当时，方程有0个解， 方程等价为，解得， 要使关于的方程恰有4个不相等的实数根，方程有1个解， 所以时，方程有3个解，所以，即得. 故选：A． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若为复数，则下列选项一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】通过反例可说明BD错误；设，，根据复数和运算与共轭复数的定义可知A正确；根据复数乘法、共轭复数定义和模长运算可求得C正确. 【详解】对于A，设，， 则，； ，，A正确； 对于B，若，则，，则，B错误； 对于C，设，则， ，，C正确； 对于D，若，，则， ，，D错误. 故选：AC. 10. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，以为横坐标，为纵坐标，下列选项中正确的是（ ） A. 小球在开始振动（）时的位置离平衡位置的距离为 B. 当时小球达到最高点 C. 小球往复运动一次经过的时间为秒 D. 当时，小球向下运动 【答案】ACD 【解析】 【分析】分析函数的性质，可判断各选项的正确性. 【详解】对A：因为，所以小球在开始振动（）时的位置离平衡位置的距离为，故A正确； 对B：因为，所以当时小球位于平衡位置，故B错误； 对C：因为，所以小球往复运动一次经过的时间为秒，故C正确； 对D：因为，所以，因为正弦函数在上单调递减，所以当时，小球向下运动，故D正确. 故选：ACD 11. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1，点P是侧面内的动点不含边界，下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点P，使得平面 C. 若正方体棱长为2，P为侧面的中心，则四棱锥的外接球体积为 D. 若正方体棱长为2，O为线段A1D的中点，OP与平面所成角为，则点P的轨迹长度为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：根据面面平行的性质结合锥体的体积公式分析判断；对于B：根据正方体的性质可知⊥平面，进而可得结果；对于C：根据题意可证，结合直角三角形的性质分析求解；对于D：根据线面夹角可得，分析可知相应的轨迹，运算求解即可. 【详解】对于选项A：因为平面平面， 可知点P到平面的距离为正方体棱长，设为， 所以三棱锥的体积为，故A正确； 对于选项B：因为为正方形，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面，可得平面， 由平面可得， 同理可得：， 且，平面，可得⊥平面， 但点P是侧面内，即点P不与点C重合， 所以不存在点P，使得⊥平面，故B错误； 对于选项C：因为P为侧面的中心，，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面，可得平面， 由平面，可得， 取的中点，可得， 又因为，可得，即， 可知三棱锥的外接球的球心为，半径， 所以三棱锥的外接球体积为，故C正确； 对于选项D：取的中点，连接， 可知∥，且， 因为平面，则平面， 可知OP与平面所成角为，则， 可知点P在平面内的轨迹为圆（虚线所示）， 点P在侧面内的轨迹为四段圆弧（实线线所示）， 取的中点，则， 即，则， 结合对称性可知：点P的轨迹长度为，故D错误； 故选：AC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一批电阻的阻值X（单位：Ω）服从正态分布，现从甲､乙两箱成品中各随机抽取一只电阻，测得阻值分别为1011Ω和982Ω，可以认为___________.（填写①②③④中，正确结论的序号） ①甲､乙两箱电阻均可出厂； ②甲､乙两箱电阻均不可出厂； ③甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂； ④甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂. 【答案】③ 【解析】 【分析】根据原则确定正确答案. 【详解】依题意， ， ， ， 所以甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂. 故答案为：③ 13. 过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则线段的长度的范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，易知，利用垂径定理和三角形等面积可得，结合点到直线的距离公式可知当最小时取得最大值，进而求解. 【详解】由题意知，， 则圆心，半径， 如图，过点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B， 连接AB，CA，CB，CP，则，易知， 所以，有，， 所以，得， 当最小时，取得最大值，即点C到直线的距离为 ，此时，所以； 又三点不共线，AB为圆C的一条弦，所以， 所以，即线段AB的长度的取值范围为. 故答案为： 14. 已知数列，，将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知的前项中有项，有项，利用分组求和法即可求出答案. 【详解】由题意可得中间插入项，中间插入项， 中间插入项，中间插入项， 中间插入项，中间插入项， 所以的前项中有项，有项， 所以 . 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在平面四边形ABCD中，，，. （1）若△ABC的面积为，求AC； （2）若，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用三角形面积公式有，可求，由余弦定理即可求； （2）设，在中，在△中应用正弦定理有，即可求，得解. 【小问1详解】 在△中，，， ∴，可得， 在△中，由余弦定理得， . 【小问2详解】 设，则， 在中，，易知：， 在△中，由正弦定理得，即， ，可得，即. . 16. 在四棱锥中，底面是矩形且，侧面是正三角形且垂直于底面，是的中点，为的中点，求： （1）异面直线与所成角的余弦值； （2）点到平面的距离； （3）二面角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，然后列出的坐标，进而根据向量夹角的余弦公式计算即可. （2）先根据坐标求出平面的法向量坐标，然后根据向量的数量积求出点到平面的距离. （3）求出平面的法向量坐标，然后根据向量夹角的余弦公式计算即可. 【小问1详解】 以为原点，如图建立空间直角坐标系，因为， 则. 所以. 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【小问2详解】 因为，设平面的法向量为. 则，两式相减得. 令，则，所以. 因为，所以点到平面的距离为 . 【小问3详解】 因为平面，所以是平面的一个法向量， 由于平面的法向量为. 所以二面角的余弦值为. 17. 已知椭圆的离心率为，，分别是的上、下顶点，且. （1）求的方程． （2）已知，是上异于，的两个不同的点． （ⅰ）若，关于轴对称，证明：直线与的斜率之积为定值； （ⅱ）若直线经过点，证明：直线与的交点在定直线上. 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明：设，则，，即， 又，， 故直线与的斜率之积为定值； （ⅱ）证明：由题可知直线斜率存在， 设直线方程为，， ，， ， ，， 直线的方程为， 则直线的方程为， 由①②两式解得 ， 所以直线与的交点在定直线上． 【解析】 【分析】（1）由条件结合椭圆的性质列方程求可得结论； （2）（ⅰ）设点，利用等量代换求； （ⅱ）设直线方程，联立结合韦达定理得到，联立计算交点纵坐标，根据部分代换求解即可． 【小问1详解】 ，，解得， 离心率，解得， ； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）略 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调区间； （2）若曲线在处的切线垂直于直线，对任意恒成立，求实数b的最大值； （3）若为函数的极值点，求证：． 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减． （2） （3）证明如下： 函数， 因为为函数的极值点，所以，所以， 要证明不等式：成立，只需证， 令， 当时，单调递增；当时，，单调递减， 所以，即，所以， 当时，因为，所以． 当时，因为，所以，所以， 要证成立，只需证， 即证对成立． 令，因为， 当时，单调递增；当时，单调递减， 所以，即时，成立． 综上所述，原不等式成立． 【解析】 【分析】（1）求出，然后对分类讨论求解函数的单调区间； （2）由题意得即可求得，得到的解析式．对任意恒成立，即对任意恒成立，令，问题转化为求的最小值，利用导数求解即可； （3）因为为函数的极值点，所以．要证明不等式成立，只需证．令，证得，．分两种情况证明：当时，由即证得结论；当时，得，只需证，即证对成立，构造函数，结合函数的单调性证明即可． 【小问1详解】 ，定义域为， 所以， 当时，，故在上单调递增， 当时，由，得；由，得， 故在上单调递增，在上单调递减， 综上：当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 因为，曲线在处的切线垂直于直线， 则在处的切线的斜率为，即，解得：， 则. 对任意恒成立，即对任意， 即对任意恒成立， 令， ，令，得， 当时，，为减函数； 当时，，为增函数； ， ，则实数b的最大值． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式，常用的思路层次有三个，其一直接构造函数利用导数证明；其二直接做差构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，从而证得不等式；其三先利用放缩、等量代换等方法做适当的变换后再做差构造函数，利用导数证明. 19. 现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞的分裂相互独立. 设有一个初始的细胞，在第一个周期内开始分裂，记个周期结束后，细胞的数量为，其中. （1）若，求的分布列和数学期望； （2）求； （3）求证：. 【答案】（1） （2） （3）个周期结束后共有3个细胞，设细胞在第个周期时分裂为个新的细胞， 这两个细胞在剩下的个周期中，其中一个分裂为个细胞， 另一个一直保持分裂为个细胞，此事件的概率 ， 得， ， 其中，. 令，， 记，，令，得. 当，，单调递增； 当，，单调递减， 故， 即. 【解析】 【分析】（1）分别求出取所有可能的值时的概率，再列出分布列，求出数学期望即可； （2）设细胞在第个周期时分裂为个细胞，之后一直有个细胞，先求出这一事件的概率，再求出的所有情况的概率，再求和即可. （3）设细胞在第个周期时分裂为个新的细胞，这两个细胞在剩下的个周期中，其中一个分裂为个细胞，另一个一直保持分裂为个细胞，先求出这一事件的概率，再求出的所有情况的概率，再求和得到的解析式，再借助导数求出其最值即可得证. 【小问1详解】 的可能取值为， 其中， ， ， ， 所以分布列为 ； 【小问2详解】 个周期结束后共有个细胞，则必在某一个周期结束后分裂成个细胞. 不妨设细胞在第个周期时分裂为个细胞，之后一直有个细胞， 此事件概率， 所以 . 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年宕昌第一中学､第二中学､两当第一中学高三二诊 摸底考试数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，设，，线段与交于点F，且，则（ ） A. 4 B. 3 C. D. 5 3. 已知为等差数列的前n项和，d为其公差，且，给出以下命题：①；②；③使得取得最小值时的n为6；④满足成立的最小n值为13.其中正确命题有（ ）个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知，q：直线与直线平行，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知一道解答题共有两小问，某班50个人中有30个人能够解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（ ） A. 0.46 B. 0.22 C. 0.18 D. 0.04 7. 点到直线：的最大距离是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8. 已知函数若关于的方程有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若为复数，则下列选项一定正确的是（ ） A B. C. D. 10. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，以为横坐标，为纵坐标，下列选项中正确的是（ ） A. 小球在开始振动（）时的位置离平衡位置的距离为 B. 当时小球达到最高点 C. 小球往复运动一次经过的时间为秒 D. 当时，小球向下运动 11. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1，点P是侧面内的动点不含边界，下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点P，使得平面 C. 若正方体棱长为2，P为侧面的中心，则四棱锥的外接球体积为 D. 若正方体棱长为2，O为线段A1D的中点，OP与平面所成角为，则点P的轨迹长度为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一批电阻的阻值X（单位：Ω）服从正态分布，现从甲､乙两箱成品中各随机抽取一只电阻，测得阻值分别为1011Ω和982Ω，可以认为___________.（填写①②③④中，正确结论的序号） ①甲､乙两箱电阻均可出厂； ②甲､乙两箱电阻均不可出厂； ③甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂； ④甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂. 13. 过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则线段的长度的范围是______． 14. 已知数列，，将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，则_____. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在平面四边形ABCD中，，，. （1）若△ABC的面积为，求AC； （2）若，，求. 16. 在四棱锥中，底面是矩形且，侧面是正三角形且垂直于底面，是的中点，为的中点，求： （1）异面直线与所成角的余弦值； （2）点到平面距离； （3）二面角的余弦值． 17. 已知椭圆的离心率为，，分别是的上、下顶点，且. （1）求的方程． （2）已知，是上异于，的两个不同的点． （ⅰ）若，关于轴对称，证明：直线与的斜率之积为定值； （ⅱ）若直线经过点，证明：直线与的交点在定直线上. 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调区间； （2）若曲线在处切线垂直于直线，对任意恒成立，求实数b的最大值； （3）若为函数的极值点，求证：． 19. 现有一种不断分裂细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞的分裂相互独立. 设有一个初始的细胞，在第一个周期内开始分裂，记个周期结束后，细胞的数量为，其中. （1）若，求的分布列和数学期望； （2）求； （3）求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $