专项01 解三角形4大题型（大题专练）（天津专用）2026年高考数学终极冲刺讲练测

专项01 解三角形 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 根据近五年天津卷考情，解三角形为解答题必考主干，分值14分。 命题趋势： 稳定出现在第16题，以正余弦定理、面积公式为核心，考查边角互化、求值与范围综合问题，难度基础。 2026年预测：仍为第16题常规基础题，题型稳定无大变化。 备考核心：熟练边角互化，牢记公式与常见模型。 题型01 解三角形与三角恒等变换 析典例·建模型 1．（25-26高三上·天津滨海新·月考）在中，角所对的边分别为.已知. (1)求边的大小； (2)求的值. 【思路分析】 （1）利用正弦定理，将角的正弦关系转化为边的关系，逐步推导边的大小. （2）先由求出，再利用二倍角公式求和，最后利用两角差的余弦公式计算. 【规范答题】 （1）由已知及，即， 所以，则， 又，， 所以，故的大小为. （2）在中，， ， ， ， 故的值为. 2．（25-26高三上·天津·月考）在中，角A、B、C所对的边分别为.已知，，，且. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【思路分析】 （1）由余弦定理可得； （2）由正弦定理及平方关系可得； （3）由二倍角公式及两角和与差的公式可得. 【规范答题】 （1）因为，即， 解得或，因为，所以. （2）因为，由（1）得，且， 因为，所以. 由正弦定理，所以， 因为，所以，，. （3）由（2）得，， 故. 研考点·通技法 第一步：边角互化，统一形式——优先用正弦定理（、、），将混合等式转化为只含角的式子（齐次式必用此方法）；若等式含平方项，可结合余弦定理转化为边的关系；已知三边、两角一边等基本量，直接确定用正弦或余弦定理。 第二步：三角恒等变换化简——利用和差公式、二倍角公式、诱导公式，化简角的等式或已知条件，得到、、特殊角三角函数值，或直接化简出边、角的明确关系。 第三步：求解与验证——结合三角形内角范围（），排除增解；已知基本量的，直接用定理求边、求角，优先求小角或最大角，简化计算；最后验证大边对大角、内角和为π，确保无错解。 破类题·提能力 1．（25-26高三上·天津·月考）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，． (1)求的值； (2)求值； 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为， 由正弦定理可得， 又因为，所以， 所以； （2）因为，所以， ， 所以，， 所以. 2．（25-26高三上·天津滨海新·月考）在中，角所对的边分别是．已知 (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）由已知，由余弦定理可得，， 得． 又， . （2）由（1）及， 可得，解得：. （3）由正弦定理可得，， 即解得：， 而，所以都为锐角， 因此， 由（2）知， 则， 所以. 3．（25-26高三上·天津滨海新·月考）已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，，求，； (3)若，求. 【答案】(1)；(2)，；(3) 【解析】（1）由, 根据正弦定理，得， 则， 在中，，则， 又，故. （2）由， 根据余弦定理可得，整理可得， 又，解得，或，（舍去）. （3）由，根据正弦定理，得， 则， 又，则，故为锐角， 所以， 则， ， 所以. 题型02 三角形面积与周长问题 析典例·建模型 1．（25-26高三上·天津·月考）在中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若的面积为，求的周长. 【思路分析】 （1）由正弦定理的边角互化并化简得，结合角的范围即可求解； （2）由三角形的面积公式可得的值，再由余弦定理可得的值，从而可得，即可得到结果. 【规范答题】 （1），由正弦定理可得， 因为，所以，则，即， 因为，所以. （2）因为，所以，所以. 由余弦定理可得， 即，所以. 所以. 则的周长为. 研考点·通技法 解决三角形面积与周长问题的解题步骤 第一步：核心用面积公式——优先用，建立边与角的等式。 第二步：结合周长条件（=定值），转化为边的和或积关系；若无周长，直接联立正弦定理、余弦定理，将面积条件转化为边的关系，解出未知量。 第三步：简化运算——涉及多个未知量时，用整体代换（如设），避免单独求解，提升效率。 破类题·提能力 1．（25-26高三上·天津红桥·开学考试）在中， 内角，，所对的边分别是，，， 已知. (1)求的值； (2)求； (3)若，的周长为， 求的面积． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）， 则，故； （2）由，则，则， ； （3）由余弦定理可得， 又，则， 即，则. 2．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）在中，． (1)求； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由，可得， 整理得． 则， 即， 所以．由，故， 又，所以． （2）设的内角所对的边分别为， 由（1）知，则的面积，得到， 因为，由余弦定理， 得，得到，所以， 所以的周长为． 3．（24-25高三下·天津·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求； (2)为边上一点，若，且，求的面积. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）方法一：因为， 所以由正弦定理可得，， 又因为， 所以， 由于，所以， 所以，因为，所以； 方法二：因为， 所以由余弦定理可得， 整理可得， 所以， 因为，所以； （2）方法一：由（1）及题设知，，，. 在中，由正弦定理得，. 在中，由正弦定理得，. 两式相除可得，即， 在中，由余弦定理可得，即 所以的面积； 方法二：如图所示，过作，垂足为. 在中，，所以. 由于，所以， 所以，即， 得，后同方法一； 方法三：由（1）及题设知，，. 因为两个三角形的高相同，所以与的面积之比等于， 又因为与的面积之比还等于， 所以，，后同方法一. 题型03 三角形的中线、角平分线与高线 析典例·建模型 1．（25-26高三下·天津·统练）已知的内角的对边分别为的面积为． (1)求； (2)若，且的周长为5，设为边BC中点，求AD. 【思路分析】 （1）根据三角形的面积公式结合正弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解； （2）根据三角形的周长，结合余弦定理求出，再向量化即可得解. 【规范答题】 （1）依题意，， 所以， 由正弦定理可得，， 由余弦定理，，解得， 因为，所以； （2）依题意，， 因为，解得， 因为， 所以， 所以． 2．（25-26高三上·河南·月考）在中，角的对边分别为，且，． (1)求； (2)若边上的高为，求的周长． 【思路分析】 （1）利用正弦定理及两角和的余弦公式可得出，进而求出，再利用正弦定理即可求出； （2）根据三角形面积公式求出，再利用余弦定理即可求出答案. 【规范答题】 （1）因为， 由正弦定理得：， 因为， 所以， 即， 又因为，所以，即， 因为，所以，即，所以，． 由正弦定理得：， 又因为，所以，即， 所以. （2）因为边上的高为，所以有， 所以，即， 再由余弦定理得：， 所以，化简得：， 又因为，解得，所以， 则的周长为：． 研考点·通技法 1、角平分线问题：利用角平分线定义（平分内角），结合正弦定理，在两个小三角形中列等式，得到边的比例关系；或用角平分线定理（AB/AC=BD/DC），直接转化边的关系，再联立正、余弦定理求解。 2、中线问题：将中线延长一倍，构造平行四边形，利用平行四边形性质转化边、角关系；或直接用余弦定理，分别在中线两侧的三角形中表示同一角（或互补角），利用互补角余弦值互为相反数联立方程。 3、高线问题：利用高线的垂直关系（夹角为90°），在两个直角三角形中，结合正弦、余弦定理，用公共高建立边与角的联系，联立求解；也可结合面积公式（S=1/2·底·高），快速转化未知量。 破类题·提能力 1．（25-26高三上·河北保定·月考）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)记的中点为，若，且，求的周长． 【答案】(1)证明见解析；(2)16. 【解析】（1）由正弦定理，得， ， ， ， ，即， ，即； （2）由（1）及题设有，又， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 显然有，则， 整理得，即，又， 所以，从而， 的周长为. 2．（25-26高三上·河北唐山·期中）在中，内角所对的边分别为，已知向量，满足，且． (1)求的值； (2)若，的面积是，的角平分线交于点． ①求； ②求的值． 【答案】(1)；(2)①；②． 【解析】（1）， 由正弦定理得， ，则， 因为，所以，又，所以 （2）①由得， 由余弦定理得， 所以． ②由得 ， 所以 3．（25-26高三上·天津武清·月考）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小： (2)若，，，求的值； (3)设是边上一点，为角平分线且，求的值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）由题意及正弦定理可得：， 可得，即， 在中，，所以， 因为，所以； （2）因为，，， 由余弦定理得， 所以，即， 所以，，由正弦定理可得：， 可得， 因为，则，则， 可得，且， 所以 ； （3）因为，是角平分线，即， 因为， 所以，由正弦定理可知， 所以，所以， 整理可得， 又因为，且， 即，解得. 题型04 三角形中的最值与范围问题 析典例·建模型 1．（25-26高三上·天津·月考）已知． (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)已知锐角的内角的对边分别为，且，求面积的最大值． 【思路分析】 （1）利用诱导公式先化简，再利用三角恒等变换化简得，利用正弦型函数求周期和单调减区间即可求解； （2）先求，再利用余弦定理和基本不等式即可求解. 【规范答题】 （1）由题意有：， 所以， 令，解得， 所以的单调递减区间； （2）由，即， 又，所以， 所以，即， 由余弦定理得：，即， 当且仅当时，等号成立， 所以， 所以的面积的最大值为. 2．（24-25高三上·天津·月考）已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，. (1)求角A； (2)若，求的值； (3)若，求的取值范围. 【思路分析】 （1）利用辅助角公式得到，结合，求出； （2）由余弦定理列出方程，求出，故，求出答案； （3）由正弦定理，表达出，结合，求出的取值范围. 【规范答题】 （1），故， 因为，所以， 故，解得； （2）由余弦定理得， 又，，所以， 故，所以， 故，； （3）由正弦定理得，为外接圆半径， 故， 又，故， 因为，故，故， 又， 则 ， 因为，所以，故， . 研考点·通技法 方法一：余弦定理+基本不等式（优先用）——由（c、C为定值时），变形利用，求的最值；再由，求的范围。 方法二：角化边+三角函数值域——用正弦定理将表示为角的函数（、），结合内角和消去一个角，化简为单一三角函数（如），利用求范围。 注意关键约束：必须满足三角形内角范围、两边之和大于第三边，避免范围扩大。 小技巧：题干若给出“某角为定值、对边为定值”，优先用三角函数值域；若给出边的关系，优先用基本不等式，计算量更小。 破类题·提能力 1．（2025·天津南开·模拟预测）在中，内角对应的边分别是、、，且． (1)若，求的面积； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由正弦定理可得，即， 因为，所以，所以，则， 由余弦定理知，代入数据得，解得， 所以，所以的面积为. （2）， 因为，所以， 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以，所以， 所以的取值范围为. 2．（24-25高三上·广东梅州·期中）已知函数． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)若，且，求的值． (3)在锐角中，角、、分别为、、三边所对的角，若，求周长的取值范围． 【答案】(1),对称中心为；(2)；(3) 【解析】（1）. 令，则，， 函数的对称中心为，. （2）由可知，， 化简得， ，，， . （3）由可得， 即， 又，则，则，所以. 由正弦定理有 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得. 所以，则， 所以，则， 所以的周长的取值范围为. 3．（24-25高三上·天津·期中）已知的内角所对应的边分别为，且． (1)求； (2)若，求的面积． (3)若，的面积为，求的最大值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）， 因此，根据题意，， 由正弦定理可得，即， 在中，， 所以， 即，， ，故. （2）依题意，，，根据余弦定理可得： ， 即，，，解得， 根据三角形面积公式得. （3）依题意，，，根据余弦定理可得： ， 即，， 由基本不等式可知，当且仅当时取等， 即，解得，当且仅当时取等， 综上，， 即当时，取最大值. （建议用时：45分钟） 刷模拟 1．（2025·天津·二模）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，． (1)求的值； (2)若，求c的值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为， 由正弦定理，得， 即． 因为，，所以，． 由，得， 因为，所以． （2）由正弦定理，可得． 又， 由正弦定理，可得． 2．（2025·天津南开·二模）在中，角的对边分别为．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）因为， 由正弦定理可得，整理得， 由余弦定理可得， 又，故． （2）由（1）知，又，得， 由正弦定理可得， 又，解得． （3）因为，所以，故． 所以． 所以． 3．（2026·天津河东·一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，，，. (1)求a，的值： (2)求的值； (3)求的面积. 【答案】(1)，；(2)；(3) 【解析】（1）在△ABC中，由，，可得， 因为，，， 可得， 代入，，可得：， 化简得：， 所以，，即； （2）由（1）可知C为钝角，且， 则，， 所以. （3）. 4．（2026·天津滨海新区·一模）在中，内角所对的边分别为，已知. (1)求； (2)若，的面积为，求： ①边长的值；②的值． 【答案】(1)；(2)①；② 【解析】（1）因为， 由正弦定理，可得， 又因为， 可得， 所以，即 因为，可得，所以，即， 又因为，所以. （2）解：①因为，由正弦定理得， 所以的面积为 又因为的面积为，可得，解得，则， 由余弦定理得，所以； ②由正弦定理，可得， 因为，可得为锐角，所以， 则， ， 又因为， 所以. 5．（2025·天津·三模）在中，角的对边分别为，已知． (1)若，求的外接圆的周长； (2)若为锐角三角形，且， ①求角的取值范围； ②求面积的取值范围． 【答案】(1)；(2)①；②． 【解析】（1）在中，由及正弦定理，得， 而，则，，又， 于是，，因此，设的外接圆半径为， 由正弦定理得， 所以的外接圆的周长为. （2）①由为锐角三角形，得，又， 则，解得，所以角的取值范围是； ②的面积， 由正弦定理得． 由，得，则，因此， 所以面积的取值范围是. 刷真题 1．（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）已知， 由正弦定理，得， 显然，得， 由，故； （2）由（1）知，且，， 由余弦定理， 则，解得（舍去）， 故； （3）由正弦定理，且， 得，且，则为锐角， 故，故， 且； 故. 2．（2024·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）设，，则根据余弦定理得， 即，解得（负舍）； 则. （2）法一：因为为三角形内角，所以， 再根据正弦定理得，即，解得， 法二：由余弦定理得， 因为，则 （3）法一：因为，且，所以， 由（2）法一知， 因为，则，所以， 则， . 法二：， 则， 因为为三角形内角，所以， 所以 3．（2023·天津·高考真题）在中，角所对的边分别是．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）由正弦定理可得，，即，解得：； （2）由余弦定理可得，，即， 解得：或（舍去）． （3）由正弦定理可得，，即，解得：，而， 所以都为锐角，因此，， ． 4．（2022·天津·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）因为，即， 而，代入得，解得：． （2）由（1）可求出，而，所以， 又，所以． （3）因为，所以，故， 又， 所以， ， 而，所以， 故． 5．（2021·天津·高考真题）在，角所对的边分别为，已知，． （I）求a的值； （II）求的值； （III）求的值． 【答案】（I）；（II）；（III） 【解析】（I）因为，由正弦定理可得， ，； （II）由余弦定理可得； （III），， ，， 所以. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项01 解三角形 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 根据近五年天津卷考情，解三角形为解答题必考主干，分值14分。 命题趋势： 稳定出现在第16题，以正余弦定理、面积公式为核心，考查边角互化、求值与范围综合问题，难度基础。 2026年预测：仍为第16题常规基础题，题型稳定无大变化。 备考核心：熟练边角互化，牢记公式与常见模型。 题型01 解三角形与三角恒等变换 析典例·建模型 1．（25-26高三上·天津滨海新·月考）在中，角所对的边分别为.已知. (1)求边的大小； (2)求的值. 2．（25-26高三上·天津·月考）在中，角A、B、C所对的边分别为.已知，，，且. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 研考点·通技法 第一步：边角互化，统一形式——优先用正弦定理（、、），将混合等式转化为只含角的式子（齐次式必用此方法）；若等式含平方项，可结合余弦定理转化为边的关系；已知三边、两角一边等基本量，直接确定用正弦或余弦定理。 第二步：三角恒等变换化简——利用和差公式、二倍角公式、诱导公式，化简角的等式或已知条件，得到、、特殊角三角函数值，或直接化简出边、角的明确关系。 第三步：求解与验证——结合三角形内角范围（），排除增解；已知基本量的，直接用定理求边、求角，优先求小角或最大角，简化计算；最后验证大边对大角、内角和为π，确保无错解。 破类题·提能力 1．（25-26高三上·天津·月考）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，． (1)求的值； (2)求值； 2．（25-26高三上·天津滨海新·月考）在中，角所对的边分别是．已知 (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 3．（25-26高三上·天津滨海新·月考）已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，，求，； (3)若，求. 题型02 三角形面积与周长问题 析典例·建模型 1．（25-26高三上·天津·月考）在中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若的面积为，求的周长. 研考点·通技法 解决三角形面积与周长问题的解题步骤 第一步：核心用面积公式——优先用，建立边与角的等式。 第二步：结合周长条件（=定值），转化为边的和或积关系；若无周长，直接联立正弦定理、余弦定理，将面积条件转化为边的关系，解出未知量。 第三步：简化运算——涉及多个未知量时，用整体代换（如设），避免单独求解，提升效率。 破类题·提能力 1．（25-26高三上·天津红桥·开学考试）在中， 内角，，所对的边分别是，，， 已知. (1)求的值； (2)求； (3)若，的周长为， 求的面积． 2．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）在中，． (1)求； (2)若，的面积为，求的周长． 3．（24-25高三下·天津·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求； (2)为边上一点，若，且，求的面积. 题型03 三角形的中线、角平分线与高线 析典例·建模型 1．（25-26高三下·天津·统练）已知的内角的对边分别为的面积为． (1)求； (2)若，且的周长为5，设为边BC中点，求AD. 2．（25-26高三上·河南·月考）在中，角的对边分别为，且，． (1)求； (2)若边上的高为，求的周长． 研考点·通技法 1、角平分线问题：利用角平分线定义（平分内角），结合正弦定理，在两个小三角形中列等式，得到边的比例关系；或用角平分线定理（AB/AC=BD/DC），直接转化边的关系，再联立正、余弦定理求解。 2、中线问题：将中线延长一倍，构造平行四边形，利用平行四边形性质转化边、角关系；或直接用余弦定理，分别在中线两侧的三角形中表示同一角（或互补角），利用互补角余弦值互为相反数联立方程。 3、高线问题：利用高线的垂直关系（夹角为90°），在两个直角三角形中，结合正弦、余弦定理，用公共高建立边与角的联系，联立求解；也可结合面积公式（S=1/2·底·高），快速转化未知量。 破类题·提能力 1．（25-26高三上·河北保定·月考）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)记的中点为，若，且，求的周长． 2．（25-26高三上·河北唐山·期中）在中，内角所对的边分别为，已知向量，满足，且． (1)求的值； (2)若，的面积是，的角平分线交于点． ①求； ②求的值． 3．（25-26高三上·天津武清·月考）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小： (2)若，，，求的值； (3)设是边上一点，为角平分线且，求的值. 题型04 三角形中的最值与范围问题 析典例·建模型 1．（25-26高三上·天津·月考）已知． (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)已知锐角的内角的对边分别为，且，求面积的最大值． 2．（24-25高三上·天津·月考）已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，. (1)求角A； (2)若，求的值； (3)若，求的取值范围. 研考点·通技法 方法一：余弦定理+基本不等式（优先用）——由（c、C为定值时），变形利用，求的最值；再由，求的范围。 方法二：角化边+三角函数值域——用正弦定理将表示为角的函数（、），结合内角和消去一个角，化简为单一三角函数（如），利用求范围。 注意关键约束：必须满足三角形内角范围、两边之和大于第三边，避免范围扩大。 小技巧：题干若给出“某角为定值、对边为定值”，优先用三角函数值域；若给出边的关系，优先用基本不等式，计算量更小。 破类题·提能力 1．（2025·天津南开·模拟预测）在中，内角对应的边分别是、、，且． (1)若，求的面积； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 2．（24-25高三上·广东梅州·期中）已知函数． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)若，且，求的值． (3)在锐角中，角、、分别为、、三边所对的角，若，求周长的取值范围． 3．（24-25高三上·天津·期中）已知的内角所对应的边分别为，且． (1)求； (2)若，求的面积． (3)若，的面积为，求的最大值． （建议用时：45分钟） 刷模拟 1．（2025·天津·二模）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，． (1)求的值； (2)若，求c的值． 2．（2025·天津南开·二模）在中，角的对边分别为．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 3．（2026·天津河东·一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，，，. (1)求a，的值： (2)求的值； (3)求的面积. 4．（2026·天津滨海新区·一模）在中，内角所对的边分别为，已知. (1)求； (2)若，的面积为，求： ①边长的值；②的值． 5．（2025·天津·三模）在中，角的对边分别为，已知． (1)若，求的外接圆的周长； (2)若为锐角三角形，且， ①求角的取值范围； ②求面积的取值范围． 刷真题 1．（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 2．（2024·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 3．（2023·天津·高考真题）在中，角所对的边分别是．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 4．（2022·天津·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 5．（2021·天津·高考真题）在，角所对的边分别为，已知，． （I）求a的值； （II）求的值； （III）求的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www .zxxk.com 专项01解三角形 参考答案 ☑PART 02 解题建模•通技法 >题型01解三角形与三角恒等变换< 析典侧.建模理 1.【思路分析】 (1)利用正弦定理，将角的正弦关系转化为边的关系，逐步推导边C的大小 (2)先由cosB求出sinB,再利用二倍角公式求cos2B和sin2B,最后利用两角 C0s2B-π 6 【规范答题】 a b (1)由已知bsin A=2sinB及 sinsinasin B=bsinA, 所以ab=2b,则a=2, 又a sin A-sinC,sin 4=2sinC, 所以c=asinC-asinC_2 sin A 2sinC 2 =1,故c的大小为1 2在ABC中，sinB=-cos2B=-6= sin2B-2sin BcosB-2x 448 cos2B=cos2B-sin2B=971 16168' cos28-cos2Bcos+sin2sinx1 6 6 6828216 故eo28-君的值为5+3 16 2.【思路分析】 (1)由余弦定理可得； 1/22 上好每一堂课 差的余弦公式计算 品学科网·上好课 www .zxxk.com (2)由正弦定理及平方关系可得； (3)由二倍角公式及两角和与差的公式可得， 【规范答题】 (1)因为c2=a2+b2-2 abcosC,即c2=18+3c2-8V5c, 解得c=√5或c=3V5,因为c<a,所以c=√5 (2)因为b=√5c,由(1)得b=3,且b<a, 因为0<C<,所以snC=看-easC-号 由正弦定理b三c sin BsinC'所以sinB=bsinC-V5 3 因为b<a,所以B<A,0<B<元， 2’cosB=V-sin2B=V6 (3)由(2)得sim2C=2 2sinCcosC=4W2 cos 2C=2 cos2 C 9 sin(2C-B)=sin2Ccos B-cos2Csin B 9393 破送题提能力 1. 【答案】)4：2)-35+7 16 【解析】(1)因为3 c sin B=4 a sin C, 由正弦定理可得3cb=4ac→3b=4a, 4a b= 3 又因为b+c=2a,所以 2a C= 3 所以cosB=a2+c2-b2a2+4a2_16n 2 +ga-9 2ac 2 4 2×ax二a 3 (2)因为cosB=- 4<0,所以8e sin B=1-cos2 B=15 4 所以sin2B=2 sin Bcos=-5 cos2B =2 cos2 B- 8 2/22 16 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 所以sin2B+T） -sin2Bcos+cos2Bsin5x135+7 6 96 6828216 2. 13:③)75 【答案】0@酒， 26 【解析】(1)由已知，由余弦定理可得，a2=b2+c2-2 bccos A,得cosA=- 2 又A∈(0，x,A=2红 3 (2)由(1)及a=6 sin A sin B' 可得39 2 sinl20°sinB 解得：sinB=3 13 (3)由正弦定理可得， a C sin A sinC 即v9=5解得：sinC=55 sinl20°sinC 26 而A=120,所以B,C都为锐角， 因此cosC=1 25_3V39 5226 由(2)知sinB=3, 13 则cosB= 1 2V39 1-13=13 sin(C-B)=cos Bsin C-sin BcosC23951313397 1326 132626 3.【答案】08=：②a=1,b=1;8+3 8 【解析】(1)由(2a-V3c)cosB=V3 bcosC, 根据正弦定理，得2sinA-V3sinC)cosB=V3 sinBcosC, 2sinAcosB=3sinCcosB+3sinBcosC=3sin(B+C)=3sinA, 在48C中，sinA±0，则cosB=5, 2 又B∈(0，，故B= 6 3/22 可学科网·上好课 上好每一堂课 6cs3, (2)由B=T,。 根据余弦定理可得cosB=a+3-b=V 2×a×V32 ,整理可得a2-b2+3=3a, 又2a+b=3,解得a=1,b=1或a=2,b=-1(舍去). (3)由b=√2a,根据正弦定理，得sinB=√2sinA, 则sin4=sinB-2-V2 2 24 又b=√2a>a,则B>A,故A为锐角， 所以cosA=V1-sin2A= 2-14 4 4 则sin2A=2sin4cos4=2xV2xVi4V万 4 4 4 cos2A=2cos24-1= 14)1 4 所以sin(2A+B)=sin2Acos +c0s24sin12+3 6 64242 8 >题型02三角形面积与周长问题<〈 析典例，建摸理 1. 【思路分析】 (1)由正弦定理的边角互化并化简得tanA=√3，结合角的范围即可求解； (2)由三角形的面积公式可得bc的值，再由余弦定理可得b2+c2的值，从而可得b+c,即可得到结果. 【规范答题】 (1)asinB-√3 bcos4=0,由正弦定理可得sin Asin B-√3 sin Bcos A=0, 因为0<B<π，所以sinB≠0，则sinA-V3cosA=0,即tanA=V3, 因为0<A<x,所以A=胃 (2)因为A=骨，所以58c=csin4=56c=25,所以6c=8 4 由余弦定理可得a2=b2+c2-2 bccos A, 4/22 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 即16=6+c2-2x8x,所以公+c2=24 所以(b+c)2=b2+c2+2bc=24+16=40→b+c=2√10 则ABC的周长为a+b+c=4+2V10 考点通技法 解决三角形面积与周长问题的解题步骤 i第一步：核心用面积公式一优先用S=。absin C,建立边与角的等式。 2 引第二步：结合周长条件(a+b+c=定值)，转化为边的和或积关系；者无月长，直接联立正弦定理、余弦 ·定理，将面积条件转化为边的关系，解出未知量。 !第三步：简化运算一涉及多个未知量时，用整体代换（如设α+b=t)，避免单独求解，提升效率。 一-一-一一-一-一-一一-一一一一一一一一一一一一 破类题提能力 1. 【答案】号：2405，③95 18 20 【解析】(1)3a-c2=3a2+3c2-6ac=3b2-2ac, 4 则c=a2+c2-b,故cosB=。2+c- ac 2； 3 -3 2ac 2ac 3 sin2B+π)=V2 42 simn2B+cos2B)= 2 (2sin Bcos B+2cos2 B-1) 52x5x+2x×- 4V10-V2 2 33 33 18 (3)由余弦定理b2=a2+c2-2 accos B可得16=a2+c2-4。 3ac, c=25-10 又a+c=9-4=5,则16=(a+c2-2ac-4c c, 3 3 Mac≤2，则8e,acsm85x2”x595 1 =2*10×3=20 5/22 西学科网·上好课 上好每一堂课 【答案】)4=于：（②2+V0 【解析】(1)由anA-tanB=sinC-sinB, cos dcosin A-sina sinc-sin b cos A cosB cos Acos B 整理得sin Acos B-cos Asin B=sinC-sinB, sin A cos B-cos A sin B sin (A+B)-sin B, Esin A cos B-cos Asin B sin A cos B+cos Asin B-sin B, 所以sinB=2 cosAsinB.由sinB≠0，故cosA=, 又A∈(0，，所以A=石. 3 (2)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 由(1)知4-子，则48C的面积S=bcsn4=5c= ,得到bc=2, 4 2 因为BC=a=2,由余弦定理a2=b2+c2-2 bccos A, 得b2+c2-bc=(b+c2-3bc=4,得到(b+c=10,所以b+c=V10, 所以ABC的周长为a+b+c=2+V10. 3. 答案】)A120:②4V3 【解析】(1)方法一：因为acosC-ccosA=c+b, 所以由正弦定理可得，sinAcosC-sinCcosA=sinC+sinB, 又因为sinB=sinA+C)=sinAcosC+cosAsinC, 所以2 sinCcosA+sinC=0, 由于0°<C<180°，所以sinC>0, 所以cos1=-2,因为0<A<180,所以A=120: 方法二：因为acosC-cc0sA=c+b, 所以由余弦定理可得+b-c_+c-a=c+b, 2b 2b 整理可得b2+c2-a2=-bc, 所以cos4=2+c2-a2bc。1 2bc2bc 2' 因为0°<A<180°，所以A=120; (2)方法一：由(1)及题设知，∠BAD=90°，∠CAD=30°，a=5. 6/22 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B C 在△ABD中，由正弦定理得， BD sin∠BAD sin∠ADB CD b 在△ACD中，由正弦定理得， sin∠CAD sin∠ADC 两式相除可得S=4sin∠ADB b2sin∠ADC =2,即c=2b, 在ABC中，由余弦定理可得25=b2+c2+bc,即25=7b2 所以4Bc的面积s=cn4-9-各5： 2 方法二：如图所示，过C作CE L AB,垂足为E 在Ri△1CE中，∠CAE=180-∠BAC=60,所以4E-为 由于∠BAD=∠BEC=90°，所以△BAD∽△BEC, 所以配0手即E-产-4+征6 b 4 2 得c=2b,后同方法一； 方法三：由(1)及题设知，∠BAD=90°，∠CAD=30 因为两个三角形的高相同，所以△ABD与64CD的面积之比等于BD =4, CD c·AD.sin∠BAD 2c 又因为△ABD与AACD的面积之比还等于 2b:AD-sin∠CAD 所以29=4，c=2b,后同方法一 >题型03三角形的中线、角平分线与高线<《 折典例：建模理 7/22 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【思路分析】 (1)根据三角形的面积公式结合正弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解； (2)根据三角形的周长，结合余弦定理求出bc,再向量化即可得解， 【规范答题】 (1)依题意， a(csin C+bsin B-asin A)=absin C, 所以csin C+bsin B-asin A=bsin C, 由正弦定理可得，c2+b2-a2=bc, 由余弦定理，c2+b2-a2=2 bccosA,解得cosA=号 因为4e@动，所以4=骨： (2)依题意，b+c=5-a=3, 因为c2+b-bc=(b+c2-3bc=a2,解得bc= 3 因为D-B+. 所以历=孤+06+c+e6+6-c3驴- 3-11, 4 4 46 所以AD=V6 6 2. 【思路分析】 (1)利用正弦定理及两角和的余弦公式可得出sinA=-2√2cosA,进而求出sinA= 2V2 ,再利用正弦定理即 3 可求出b; (2)根据三角形面积公式求出5a=9c,再利用余弦定理即可求出答案 【规范答题】 (1)因为asinC=2W2 ccosBcosC-2W2bsin2C, 由正弦定理得：sinAsinC=2√2 sinCcosBcosC-2W2 sinBsin2C, 因为sinC>0, 所以sinA=2V2 cosBcosC-2√2 sinBsinC=2V2cosB+C)=-2V√2cosA, 即sinA=-2√2cosA, 又因为sin2A+cos2A=1,所以(-2V2c0s42+cos2A=1,即cos2A= 91 8/22 可学科网·上好课 www.zxx k.co m 1 因为sinA>0,所以-2√2cosA>0,即cosA<0,所以cosA=- 由正弦定理得：asinB=bsinA, 又因为asinB=4W5,所以bsin4=4W2,即2y2b=4N2, 3 所以b=6 (2)因为BC边上的高为205，所以有a.205=。 =-bcsinA, 9 9-2 所以20V2 2W2 9 a=6× c,即5a=9c, 3 再由余弦定理得：a2=b2+c2-2 bccosA, 1 所以81c2=36+02-2×6 3c,化简得：14c2-25c-225=0, 又因为c>0,解得c=5,所以a=9, 则ABC的周长为：a+b+c=9+6+5=20. 破送题提能力 1. 【答案】(1)证明见解析；(2)16. 【解析】(1)由正弦定理，得a=b sinA sinB sinc' .sinC-sinB sinAcosC cosAsinC, .sinC sinB sin(A+C), A+B+C=, .sinB sin(A+C),sinC-sinB sinB, sinC=2sinB,即c=2b; (2)由(1)及题设有BD=AD=AC=b,又CD=3, 在&ACD中，由余弦定理得cOs∠ADC=b+9-b=3 6b 2b 在△BCD中，由余弦定理得cos∠BDC=b+9-Q2 66 9/22 上好每一堂课 2V2 3 品学科网·上好课 www.zxx k.co m 显然有cos∠ADC+cos∠BDC=0,则3+分+9-a=0, '2b6b 整理得a2-b2=18,即(a-b)a+b)=18,又a=b+2→a-b=2, 26 所以a+b=9,从而a=1,2 2c=2b=7, △ABC的周长为a+b+c=16 2. 【答案】08-号：@0a+c=7:②5D=105 7 b C 【解析】(1）m:i=2cosC+cosB=cosB, 由正弦定理得sin B cosC+sin C cos B=2 sin A cos B, sin BcosC+sin Ccos B=sin(B+C)=sin A,sin A 2 sin A cos B, 因为snA+0,所以cosB=之又ie0,所以B-于 (2)①油；acsinB=5V5得ac=10, 2 由余弦定理b2=a2+c2-2 ac cos B得19=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac 所以a+c=7. ②由SHBC=SABD+S.CaD得 5W51 =x BDxcxsinxBDxaxsin=xBDx(a+c)=7BD. 22 62 64 4 所以BD=10V3 7 3. 7:625 【答案】)8=号；(245， 7 【解析】(1)由题意及正弦定理可得：cosB((sin CcosB+sin BcosC)+2sin 可得cos Bsin(B+C)+sinA=0,即cos BsinA+sinA=0, 1 在ABC中，sinA>0,所以cosB=- 因为B∈(0，π，所以B=。π； 3 10/22 上好每一堂课 (a+c)2-30, A=0,