数学二模模拟卷（河北专用）学易金卷：2026年中考第二次模拟考试

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考第二次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．27的立方根是（   ） A．3 B．9 C． D． 2．如图，，于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．下列各式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．由6个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，把小正方体M移到小正方体N的正前方后，三视图发生变化的是（   ） A．只有俯视图 B．只有左视图 C．主视图和俯视图 D．主视图、左视图和俯视图 5．小张同学要从长度分别为，，，的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒形成的三角形的周长为（   ） A．34 B．42 C．51 D．50 6．如表所示的是小颖作业中的一道题目，“”处都是0但发生破损，小颖查阅后发现本题答案为1，则破损处“0”的个数为（   ） 已知：，求的值． A．5 B．4 C．3 D．2 7．随着科技和环保意识的不断提高，电动汽车行业的发展前景越来越好．如图，，分别表示某款燃油汽车和某款电动汽车所需费用y（元）与行驶路程s（千米）的关系．已知燃油汽车每千米所需的费用比电动汽车每千米所需的费用的3倍多0.1元，设电动汽车每千米所需的费用为x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 8．尺规作图：如图（1），在锐角三角形中，，，在边上求作一点P，使．如图（2）是一名同学的五种作法，其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．为助力“校园读书月”活动，某班20名同学积极分享自己的课外读物，他们分享的书籍数量（单位：本）如下表．根据表中的信息，下列结论正确的是（   ） 书籍数量/本 2 3 4 5 6 人数/名 3 4 5 6 2 A．分享的书籍数量的众数是6本 B．分享的书籍数量的平均数是3本 C．分享的书籍数量的中位数是4本 D．分享的书籍数量的方差是2.5 10．如图1，木质镂空花格常见于江南园林的门窗与屏风．图2是其示意图，正八边形的内部包含4个全等的正方形和1个正八边形（阴影部分），则正八边形与阴影部分的面积比是（      ） A． B． C． D． 11．已知实数k，现有甲、乙、丙、丁四人对关于x的方程进行了讨论：甲说：这一定是关于x的一元二次方程；乙说：这有可能是关于x的一元一次方程；丙说：只有当且时，该方程有实数根；丁说：当时，该方程有实数根（   ） A．甲和丙说的对 B．甲和丁说的对 C．乙和丁说的对 D．乙和丙说的对 12．如图，直角坐标系中长方形的四个顶点坐标分别为，，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒个长度单位，同时点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒个长度单位，记，在长方形边上第次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，……，则点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．化简：______． 14．若为正整数，且满足，则___________． 15．如图，的顶点A，B分别在反比例函数和的图象上，C，D在x轴上，若，且，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则m的值等于______． 16．我国古代主流钱币一般采用外圆内方的形式铸造，其中最具代表性的是从秦朝开始流通的方孔圆钱．如图，在方孔圆钱的示意图中，圆心和正方形的中心重合，分别延长，交于点E，F．若的半径为2，正方形的边长为1，则_____ ． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）有个填写数字的游戏：在“”中的每个□内，填入数字（可重复使用），然后计算结果． (1)若三个□内从左到右依次填入9，，5，请你计算结果； (2)若，请推算□内的数字； (3)若的结果是最大的负整数，请推算□内的数字． 18．（8分）一个数学活动小组编了一个创新题目：如图，在三张硬纸板的正面分别写了一个代数式，记为，，，然后在黑板上写了一个等式：（，为常数）． (1)求，的值； (2)当为任意正整数时，的结果都能被这个活动小组的人数整除，求这个活动小组有几个人（活动小组的人数大于1）． 19．（8分）【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间t/min 0 10 20 30 40 水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 任务1  分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量． 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．    任务2  利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 20．（8分）某校七年级准备开展以“火星冲日”为主题的项目化学习．为了了解学生对“火星冲日”天文景象的知晓情况，该校七年级备课组随机对七年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“非常了解”，B表示“比较了解”，C表示“不太了解”，D表示“从未听说过”．根据调查统计结果，绘制成两幅不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．    (1)在此次调查中一共抽取了多少名学生？并将条形统计图补充完整． (2)扇形统计图中B部分的圆心角是多少度？ (3)在A类学生中，有2名男生和2名女生，现需要从这4名学生中随机抽取2名，在课前进行“火星冲日”天文景象的介绍，请利用画树状图或列表的方式，求所抽取的2名学生中恰好是1名男生和1名女生的概率． 21．（9分）如图，为的切线，为切点，是上一点，过点作，垂足为，交于点．    (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，连接并延长交于点，连接，，若，的半径为，求的长． 22．（9分）完成项目任务主题：设计遮阳篷素材1：北半球在一年中，冬至这一天的正午时刻，太阳光线与地平面的夹角最小；夏至这一天的正午时刻，太阳光线与地平面的夹角最大． 素材2：图1是北半球某市一家商店，大门朝南，设计了遮阳篷．图2是其示意图，设计了垂直于墙面AC的遮阳篷（横截面为直角 ）．表示大门高度． 若让遮阳篷满足在冬至正午刚好不遮住应该射进室内的阳光，此时太阳光与BD平行，太阳光与地面夹角最小为；若让遮阳篷在夏天满足阳光刚好不射入室内，此时太阳光与平行，太阳光与地面夹角最大为． (1)任务1：该市冬至日正午太阳光与地平面的夹角是 ，夏至日正午太阳光与地平面的夹角是．素材2中的商店门高为3米，若要不遮住冬天温暖的阳光，还要夏天正午时刻，门前设计能有1米宽的阴影．图3是其示意图，求遮阳篷的长．（精确到米）参考数据：，，，，，． (2)任务2：在任务1的基础上，考虑遮阳篷兼带遮雨功能，所以考虑遮阳篷往下倾斜 ，如图4，即把遮阳篷改造为横截面如 的样子，与水平面夹角为 那么遮阳篷的最小宽度约是 米（精确到米）参考数据：，，． 23．（11分）已知，如图，矩形中，，菱形的三个顶点E，G，H分别在矩形的边，，上，，连接． (1)若，求证：四边形为正方形； (2)当点G在边上运动时，点F到边的距离是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)试说明当点G运动到何处时，的面积最小，并求出这个最小值． 24．（12分）如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线经过点，交轴于另一点，点为线段上一动点，直线交抛物线于点． (1)填空：______，_____； (2)若，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，抛物线上有一动点，过点作轴的垂线分别交直线和直线于点，设，点的横坐标为 ①求关于的函数关系式； ②求满足为整数的点的个数． 试题 第7页（共10页） 试题 第8页（共10页） 试题 第1页（共10页） 试题 第2页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考第二次模拟考试 数学·参考答案 第I卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A A C D A C B C A 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13.m+n14.515.-816.22. 三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(7分) 【详解】1解：把三个加内从左到右依次填入9，字5， 那么9×写5=3-5=-2，(2分) (2)解：因为√3×√12-口=1 所以√36-口=1，即6-口=1，则口=5；(4分) (3)解：设y=-2×如-7，由题意可得y=-1, 把y=-1代入y=-2×如-7，则-1=-2x如-7， 那么6=-2×0， 所以=-3.(7分) 18.(8分) 【详解】(1)解：由题意得：AB=x-1(2x+m)=2x2+(m-2)x-m :A·B=C :2x2+m-2)x-m=2x2+x+n 1/10 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 「m-2=1 . -m=n，解得： m=3 (4分) n=-3 m=3 (2)解：由(1)得： n=-3 ·B=2x+3,C=2x2+x-3 B2-2C=(2x+3)2-22x2+x-3=10x+15=5(2x+3) :B2-2C的结果都能被这个活动小组的人数整除， :.这个活动小组有5个人(8分) 19.(8分) 【详解】解：任务1：变化量分别为，29-30=-1(cm；28.1-29=-0.9(cm); 27-28.1=-1.1cm);25.8-27=-1.2(cm: 任务2：设h=kt+b, :t=0时，h=30,t=10时，h=29; 「b=30, 10k+b=29. :.水面高度h与流水时间t的函数解析式为h=-0.1t+30.(3分) 任务3：(1)当t=0时，h=-0.1t+30=30, 当t=10时，h=-0.1t+30=29, 当t=20时，h=-0.1t+30=28, 当t=30时，h=-0.1t+30=27, 当t=40时，h=-0.1t+30=26,(6分) .w=(30-30)2+(29-29)2+(28-28.12+(27-272+(26-25.82 =0.05.(8分) 20.(8分) 【详解】(1)解：8÷16%=50（名） 答：此次调查一共抽取了50名学生. 50-4-18-8=20(名) 补充条形统计图如图所示. 2/10 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 “火星冲日”天文景象知晓情況况 条形统计图 人数 20 20 18 18 16 (3分) 12 1 8 6 4 42 0 A B C D 类别 20 (2)解： ×360°=144 50 答：扇形统计图中B部分的圆心角是144°，(4分) (3)解：画树状图如下： 开始 女2 男2女1女2男1女1女2男1男2女2男1男2女 共有12种等可能的结果，其中恰好是一名男生和一名女生的结果有8种， 所抽取的2名学生中恰好是一名男生和一名女生的展幸是8子(8分) 21.(9分) 【详解】(1)解：连接0C,(1分) B 图① :AB与⊙O相切于点C, :OC⊥AB, :DF⊥AB, :OC∥DF,(2分) ”∠D=34°， 3/10 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :∠E0C=2∠D=68°， :∠DE0=∠D0C=68°；(3分) (2)解：连接0C,CE,(4分) G 09 A F B 图② CE=CE, :∠C0E=2LCGE, :∠D0E=2∠CGE, ·LCOE=LDOE, :AB为⊙O的切线，C为切点， :OC⊥AB, .∠0CB=90°， :DF⊥AB, .∠DFB=90°， ·L0CG=∠DFB=90°，(5分) :OC∥DF, :LCOE=∠OED, :LD0E=∠0ED,(6分) :OD DE, :0D=0E, :△ODE是等边三角形，(7分) :∠D0E=60°， .∠CGE=30°， :⊙0半径为5， :EG=10,(8分) 4/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :EG是⊙O的直径， :∠GCE=90°， ·CE=5, ·GC=VGE2-CE2=53.(9分) 22.(9分) 【详解】(1)解：由图2可知，CD∥AH,∠CDB=36°， 在R1aCDA中，an∠CDB=an36°=BC-0.73,1分) CD 设CD=x,则BC=0.73x.(2分) 如下图，过点F作FM⊥CD于点M,(3分) D uw 在RtAFDM中，MF=MD tan81°=6.31CD-1)=6.31x-6.31,(4分) ·AC=MF=6.31x-6.31, :.AB+BC=AC, 得：3+0.73x=6.31x-6.31 解得：x≈1.7(5分) :遮阳篷CD的长为1.7米.(6分) (2)过点D作DC⊥AG于点C,(7分) G C B A F7nnnnnnnnm 则：∠GDC=10°. 在RIACDG中， 5/10 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 GD=CD 1.7 ≈1.73， cos10°0.98 故答案为：1.73.(9分) 23.(11分) 【详解】(1)：矩形ABCD,菱形EFGH, ∠D=∠A=90°，HG=HE, 又AH=DG=2, 「HE=HG AH=DG .Rt AHES≌RtADGH, .∠AHE=LDGH. .∠DHG+∠DGH=90°， .∠DHG+∠AHE=90. .∠EHG=90° :四边形EFGH为正方形.(3分) (2)距离是定值2.理由如下：(4分) 过F作FM⊥DC,交DC延长线于M,连接GE,(5分) :矩形ABCD,菱形EFGH, D M .AB∥CD,HE∥GF, .LAEG=∠MGE. .ZHEG ZFGE .∠AEH=∠MGF. 在△AHE和△MFG中， [∠AEH=∠MGF :{∠A=∠M HE=FG 6/10 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .Rt△AHE≌RtAMFG. .FM=AH=2, 即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2.(8分) 解法2距离是定值2.理由如下： 过F作FM⊥DC,交DC延长线于M,过F作FN⊥BC于点N. :矩形ABCD,菱形EFGH, G E .AB GM FN,HE /GF HE =GF, ∴.∠GFN=∠MGF,∠NFE=∠BEF,∠GFE+LHEF=180°， LAEH+∠FEB+∠HEF=I8O°. .LAEH+LFEB=LGFE=∠GFN+∠NFE. .∠AEH=∠GFN.∴.∠AEH=∠MGF. 在△AHE和△MFG中， 「∠AEH=∠MGF :∠A=∠M HE=FG ∴.Rt△AHE≌Rt△MFG.FM=AH=2, 即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2. (3)设DG=x, :FM=2, 1 .S.rco-FM-7-x. 在△AHE中，AE≤AB=7, .HE2=AH+AE2≤4+49=53，(9分) 在△DGH中， x2+16=HG2=HE2≤53. x≤37.(10分) 7/10 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :Sc的最小值为7-√37，此时DG=V37. :当DG=√37时，△FCG的面积最小为(7-V37.(11分) 24.(12分) 【详解】(1)解：根据直线：y=x+4可得： A0,4,B-40,将两点坐标代入C:y=-)x+br+c可得 2 c=4,b=-1, 故答案为：b=-1,c=4.(2分) (2) D 解： E B 0 由(1)得y=-x2-x+4, 2 0时，)-x+4=0,解得x4或正 :点C(2,0),0C=2, 过点D作D0⊥y轴于Q,则∠DQE=∠COE=90°，DQ∥OC, :D0∥0C, CO CE 2 DO DE 3' :DO=>c0=3 ·点D的横坐标为-3，把x=-3代入y=方-+4得y 2 点D-3引6分y （3)解：@股直线CD的解折式为y=红+a,并把点C20,点o(-3引代入行 2k+a=0 1 k=- -3+=5解得 2 2 a=1 8/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 M NE C 0 ·直线CD的解析式为y=- x+1, 2 当-3≤m≤0时， d-PM+PN-- -a4@利[-a4(月 即d=-m-2m+3, 当0<m≤2时，d=n+4利-(m+m+3, D C B :d关于m的函数关系式为 m2、5 m+3-3≤m≤0 d= 2 ,（10分) 3 m+30<m≤2) 2 ②(i)当-3≤m≤0时， d=-m2_5m 。m+3=-m+ 2 气m+4+161 :当m=三时，d取最大值为3=49 4 1616 当m=-3时，d= 2当m=0时，d=3. 3 ds4 3 2 416,其中d的整数值有2,3,4三个， 对应的点P有5个， 3 (i)当0<m≤2时，d=。m+3, 2 9/10 窗学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :>0,此时d随m增大而增大， 当m=0时，d=3,当m=2时，d=6, .3<d≤6，其中d的整数值有4,5,6三个，对应的点P有3个， 因此，满足d为整数的点P的个数为8个.(12分) 10/10 11 2026年中考第二次模拟考试 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共36分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共12分） 13．_________________ 14．___________________ 15．__________________ 16．__________________ 三、（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8分） 19. （8分） 20. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21. （9分） 22.（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（11分） 24.（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第二次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．27的立方根是（   ） A．3 B．9 C． D． 2．如图，，于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．下列各式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．由6个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，把小正方体M移到小正方体N的正前方后，三视图发生变化的是（   ） A．只有俯视图 B．只有左视图 C．主视图和俯视图 D．主视图、左视图和俯视图 5．小张同学要从长度分别为，，，的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒形成的三角形的周长为（   ） A．34 B．42 C．51 D．50 6．如表所示的是小颖作业中的一道题目，“”处都是0但发生破损，小颖查阅后发现本题答案为1，则破损处“0”的个数为（   ） 已知：，求的值． A．5 B．4 C．3 D．2 7．随着科技和环保意识的不断提高，电动汽车行业的发展前景越来越好．如图，，分别表示某款燃油汽车和某款电动汽车所需费用y（元）与行驶路程s（千米）的关系．已知燃油汽车每千米所需的费用比电动汽车每千米所需的费用的3倍多0.1元，设电动汽车每千米所需的费用为x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 8．尺规作图：如图（1），在锐角三角形中，，，在边上求作一点P，使．如图（2）是一名同学的五种作法，其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．为助力“校园读书月”活动，某班20名同学积极分享自己的课外读物，他们分享的书籍数量（单位：本）如下表．根据表中的信息，下列结论正确的是（   ） 书籍数量/本 2 3 4 5 6 人数/名 3 4 5 6 2 A．分享的书籍数量的众数是6本 B．分享的书籍数量的平均数是3本 C．分享的书籍数量的中位数是4本 D．分享的书籍数量的方差是2.5 10．如图1，木质镂空花格常见于江南园林的门窗与屏风．图2是其示意图，正八边形的内部包含4个全等的正方形和1个正八边形（阴影部分），则正八边形与阴影部分的面积比是（      ） A． B． C． D． 11．已知实数k，现有甲、乙、丙、丁四人对关于x的方程进行了讨论：甲说：这一定是关于x的一元二次方程；乙说：这有可能是关于x的一元一次方程；丙说：只有当且时，该方程有实数根；丁说：当时，该方程有实数根（   ） A．甲和丙说的对 B．甲和丁说的对 C．乙和丁说的对 D．乙和丙说的对 12．如图，直角坐标系中长方形的四个顶点坐标分别为，，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒个长度单位，同时点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒个长度单位，记，在长方形边上第次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，……，则点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．化简：______． 14．若为正整数，且满足，则___________． 15．如图，的顶点A，B分别在反比例函数和的图象上，C，D在x轴上，若，且，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则m的值等于______． 16．我国古代主流钱币一般采用外圆内方的形式铸造，其中最具代表性的是从秦朝开始流通的方孔圆钱．如图，在方孔圆钱的示意图中，圆心和正方形的中心重合，分别延长，交于点E，F．若的半径为2，正方形的边长为1，则_____ ． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）有个填写数字的游戏：在“”中的每个□内，填入数字（可重复使用），然后计算结果． (1)若三个□内从左到右依次填入9，，5，请你计算结果； (2)若，请推算□内的数字； (3)若的结果是最大的负整数，请推算□内的数字． 18．（8分）一个数学活动小组编了一个创新题目：如图，在三张硬纸板的正面分别写了一个代数式，记为，，，然后在黑板上写了一个等式：（，为常数）． (1)求，的值； (2)当为任意正整数时，的结果都能被这个活动小组的人数整除，求这个活动小组有几个人（活动小组的人数大于1）． 19．（8分）【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间t/min 0 10 20 30 40 水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 任务1  分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量． 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．    任务2  利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 20．（8分）某校七年级准备开展以“火星冲日”为主题的项目化学习．为了了解学生对“火星冲日”天文景象的知晓情况，该校七年级备课组随机对七年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“非常了解”，B表示“比较了解”，C表示“不太了解”，D表示“从未听说过”．根据调查统计结果，绘制成两幅不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．    (1)在此次调查中一共抽取了多少名学生？并将条形统计图补充完整． (2)扇形统计图中B部分的圆心角是多少度？ (3)在A类学生中，有2名男生和2名女生，现需要从这4名学生中随机抽取2名，在课前进行“火星冲日”天文景象的介绍，请利用画树状图或列表的方式，求所抽取的2名学生中恰好是1名男生和1名女生的概率． 21．（9分）如图，为的切线，为切点，是上一点，过点作，垂足为，交于点．    (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，连接并延长交于点，连接，，若，的半径为，求的长． 22．（9分）完成项目任务主题：设计遮阳篷素材1：北半球在一年中，冬至这一天的正午时刻，太阳光线与地平面的夹角最小；夏至这一天的正午时刻，太阳光线与地平面的夹角最大． 素材2：图1是北半球某市一家商店，大门朝南，设计了遮阳篷．图2是其示意图，设计了垂直于墙面AC的遮阳篷（横截面为直角 ）．表示大门高度． 若让遮阳篷满足在冬至正午刚好不遮住应该射进室内的阳光，此时太阳光与BD平行，太阳光与地面夹角最小为；若让遮阳篷在夏天满足阳光刚好不射入室内，此时太阳光与平行，太阳光与地面夹角最大为． (1)任务1：该市冬至日正午太阳光与地平面的夹角是 ，夏至日正午太阳光与地平面的夹角是．素材2中的商店门高为3米，若要不遮住冬天温暖的阳光，还要夏天正午时刻，门前设计能有1米宽的阴影．图3是其示意图，求遮阳篷的长．（精确到米）参考数据：，，，，，． (2)任务2：在任务1的基础上，考虑遮阳篷兼带遮雨功能，所以考虑遮阳篷往下倾斜 ，如图4，即把遮阳篷改造为横截面如 的样子，与水平面夹角为 那么遮阳篷的最小宽度约是 米（精确到米）参考数据：，，． 23．（11分）已知，如图，矩形中，，菱形的三个顶点E，G，H分别在矩形的边，，上，，连接． (1)若，求证：四边形为正方形； (2)当点G在边上运动时，点F到边的距离是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)试说明当点G运动到何处时，的面积最小，并求出这个最小值． 24．（12分）如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线经过点，交轴于另一点，点为线段上一动点，直线交抛物线于点． (1)填空：______，_____； (2)若，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，抛物线上有一动点，过点作轴的垂线分别交直线和直线于点，设，点的横坐标为 ①求关于的函数关系式； ②求满足为整数的点的个数． 试卷第26页，共27页 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第二次模拟考试 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．27的立方根是（   ） A．3 B．9 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 若一个数的立方等于，即，则是的立方根，，且正数的立方根是正数， ∴ 的立方根是． 2．如图，，于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】于点， ． 在中，， ． ， ． ． 3．下列各式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵幂的乘方法则为底数不变，指数相乘， ∴，A运算正确； ∵合并同类项时，字母和指数不变，系数相加， ∴，B运算错误； ∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，C运算错误； ∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴，D运算错误． 4．由6个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，把小正方体M移到小正方体N的正前方后，三视图发生变化的是（   ） A．只有俯视图 B．只有左视图 C．主视图和俯视图 D．主视图、左视图和俯视图 【答案】A 【详解】解：把小正方体移到小正方体的正前方后， 原主视图：，现主视图：，没有变化； 原左视图：，现左视图：，没有变化； 原俯视图：，现俯视图：，发生变化； 故三视图发生变化的是只有俯视图，主视图和左视图不变， 故选：A． 5．小张同学要从长度分别为，，，的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒形成的三角形的周长为（   ） A．34 B．42 C．51 D．50 【答案】C 【详解】解：从四根木棒中选三根，共有4种不同组合： ① 组合为，，， ∵，不满足三角形任意两边之和大于第三边， ∴ 该组合不能构成三角形. ② 组合为，， ∵，不满足三角形三边关系， ∴ 该组合不能构成三角形. ③ 组合为，， ∵，满足三角形任意两边之和大于第三边， ∴ 该组合可以构成三角形，周长为. ④ 组合为，， ∵，不满足三角形三边关系， ∴ 该组合不能构成三角形. 综上，只有组合③符合要求，故答案选C. 6．如表所示的是小颖作业中的一道题目，“”处都是0但发生破损，小颖查阅后发现本题答案为1，则破损处“0”的个数为（   ） 已知：，求的值． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【详解】解：∵本题答案为1， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴破损处“0”的个数为． 7．随着科技和环保意识的不断提高，电动汽车行业的发展前景越来越好．如图，，分别表示某款燃油汽车和某款电动汽车所需费用y（元）与行驶路程s（千米）的关系．已知燃油汽车每千米所需的费用比电动汽车每千米所需的费用的3倍多0.1元，设电动汽车每千米所需的费用为x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵电动汽车每千米所需的费用为元 ∴燃油汽车每千米所需的费用为元 ∵从图像中可以看出，当燃油汽车的费用为35元时，行驶的路程为；当电动汽车的费用为10元时，行驶的路程也为， ∴燃油汽车行驶的路程=电动汽车行驶的路程 ∵路程=总费用÷每千米费用 ∴ 燃油汽车行驶的路程为，电动汽车行驶的路程为 ∴ 根据路程相等，可列出方程： 故选：D． 8．尺规作图：如图（1），在锐角三角形中，，，在边上求作一点P，使．如图（2）是一名同学的五种作法，其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【详解】解：①由作图可知，则，故①作法正确，符合题意； ②由作图得：，故②作法正确，符合题意； ③由作图知点在的垂直平分线上， ∴， ∴，故③作法正确，符合题意； ④由作图得：点在以为直径的圆上， ∴， ∴，故④作法正确，符合题意； ∴①②③④作法都正确，有个， 故选：A． 9．为助力“校园读书月”活动，某班20名同学积极分享自己的课外读物，他们分享的书籍数量（单位：本）如下表．根据表中的信息，下列结论正确的是（   ） 书籍数量/本 2 3 4 5 6 人数/名 3 4 5 6 2 A．分享的书籍数量的众数是6本 B．分享的书籍数量的平均数是3本 C．分享的书籍数量的中位数是4本 D．分享的书籍数量的方差是2.5 【答案】C 【详解】解：总人数为，总书籍数量为：， 众数：书籍数量为5本的人数最多，为6人，∴众数为5本，A错误； 平均数：本，∴平均数为4本，B错误； 中位数：20个数据从小到大排列，中位数为第10、第11个数据的平均数，前个数据不超过3本，接下来5个数据为4本，即第8~12个数据均为4本，∴第10、11个数据都是4，中位数为本，C正确； 方差： ， ∴方差为，D错误． 10．如图1，木质镂空花格常见于江南园林的门窗与屏风．图2是其示意图，正八边形的内部包含4个全等的正方形和1个正八边形（阴影部分），则正八边形与阴影部分的面积比是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图2， ∵正八边形， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵内部阴影是正八边形， ∴， 由4个全等的正方形可知：是等腰直角三角形，， 设，则， ∴， ∵阴影部分为正八边形，正八边形都相似， 所以正八边形与阴影部分的面积比为 ， 故选：B. 11．已知实数k，现有甲、乙、丙、丁四人对关于x的方程进行了讨论：甲说：这一定是关于x的一元二次方程；乙说：这有可能是关于x的一元一次方程；丙说：只有当且时，该方程有实数根；丁说：当时，该方程有实数根（   ） A．甲和丙说的对 B．甲和丁说的对 C．乙和丁说的对 D．乙和丙说的对 【答案】C 【详解】解：当时，为一元一次方程，故甲的说法错误，乙的说法正确； ①当时，方程为，此时方程的根为，即k可以取0； ②当时，方程为一元二次方程，当时，方程有实数根，即， 解得， 且， 综上所述：当时，方程有实数根，故丁的说法正确，丙的说法错误， 综上，乙和丁说的对． 12．如图，直角坐标系中长方形的四个顶点坐标分别为，，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒个长度单位，同时点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒个长度单位，记，在长方形边上第次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，……，则点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图可知， ∴长方形的周长为， ∴每一次相遇后，出发到再相遇，点和点所运动的路程和均为， 设点与点每次相遇所需时间为秒，则，解得， 即每秒相遇一次，则根据运动方式可求出，可以发现相遇点的坐标每次完成一循环， 又∵， ∴点的坐标与点的坐标相同，即点的坐标为． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．化简：______． 【答案】 【详解】解： ． 14．若为正整数，且满足，则___________． 【答案】5 【详解】解：，， ， 根据不等式的性质，不等式两边同乘，得， 不等式两边同时加，得， ，且为正整数， ． 15．如图，的顶点A，B分别在反比例函数和的图象上，C，D在x轴上，若，且，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则m的值等于______． 【答案】 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， 解得， 经检验，符合题意， ∴， 故答案为：． 16．我国古代主流钱币一般采用外圆内方的形式铸造，其中最具代表性的是从秦朝开始流通的方孔圆钱．如图，在方孔圆钱的示意图中，圆心和正方形的中心重合，分别延长，交于点E，F．若的半径为2，正方形的边长为1，则_____ ． 【详解】解：作于点Q，于点P，连接、，则，， ∵四边形是正方形，且圆心O和正方形的中心重合， ∴和是正方形的边心距， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的半径为2， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）有个填写数字的游戏：在“”中的每个□内，填入数字（可重复使用），然后计算结果． (1)若三个□内从左到右依次填入9，，5，请你计算结果； (2)若，请推算□内的数字； (3)若的结果是最大的负整数，请推算□内的数字． 【详解】（1）解：把三个□内从左到右依次填入9，，5， 那么；（2分） （2）解：因为 所以，即，则；（4分） （3）解：设，由题意可得， 把代入，则， 那么， 所以．（7分） 18．（8分）一个数学活动小组编了一个创新题目：如图，在三张硬纸板的正面分别写了一个代数式，记为，，，然后在黑板上写了一个等式：（，为常数）． (1)求，的值； (2)当为任意正整数时，的结果都能被这个活动小组的人数整除，求这个活动小组有几个人（活动小组的人数大于1）． 【详解】（1）解：由题意得： ∵ ∴ ∴，解得：（4分） （2）解：由（1）得： ∴， ∴ ∵的结果都能被这个活动小组的人数整除， ∴这个活动小组有5个人（8分） 19．（8分）【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间t/min 0 10 20 30 40 水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 任务1  分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量． 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．    任务2  利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 【详解】解：任务1：变化量分别为，；； ；； 任务2：设， ∵时，，时，； ∴ ∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为．（3分） 任务3：（1）当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，，（6分） ∴ ．（8分） 20．（8分）某校七年级准备开展以“火星冲日”为主题的项目化学习．为了了解学生对“火星冲日”天文景象的知晓情况，该校七年级备课组随机对七年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“非常了解”，B表示“比较了解”，C表示“不太了解”，D表示“从未听说过”．根据调查统计结果，绘制成两幅不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．    (1)在此次调查中一共抽取了多少名学生？并将条形统计图补充完整． (2)扇形统计图中B部分的圆心角是多少度？ (3)在A类学生中，有2名男生和2名女生，现需要从这4名学生中随机抽取2名，在课前进行“火星冲日”天文景象的介绍，请利用画树状图或列表的方式，求所抽取的2名学生中恰好是1名男生和1名女生的概率． 【详解】（1）解：（名） 答：此次调查一共抽取了50名学生． （名） 补充条形统计图如图所示． （3分） （2）解： 答：扇形统计图中部分的圆心角是．（4分） （3）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好是一名男生和一名女生的结果有8种， 所抽取的2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率是．（8分） 21．（9分）如图，为的切线，为切点，是上一点，过点作，垂足为，交于点．    (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，连接并延长交于点，连接，，若，的半径为，求的长． 【详解】（1）解：连接，（1分）    与相切于点， ， ， ，（2分） ， ， ；（3分） （2）解：连接，，（4分）    ， ， ， ， 为的切线，为切点， ， ， ， ， ，（5分） ， ， ，（6分） ， ， 是等边三角形， （7分） ， ， 半径为5， ，（8分） 是的直径， ， ， ．（9分） 22．（9分）完成项目任务主题：设计遮阳篷素材1：北半球在一年中，冬至这一天的正午时刻，太阳光线与地平面的夹角最小；夏至这一天的正午时刻，太阳光线与地平面的夹角最大． 素材2：图1是北半球某市一家商店，大门朝南，设计了遮阳篷．图2是其示意图，设计了垂直于墙面AC的遮阳篷（横截面为直角 ）．表示大门高度． 若让遮阳篷满足在冬至正午刚好不遮住应该射进室内的阳光，此时太阳光与BD平行，太阳光与地面夹角最小为；若让遮阳篷在夏天满足阳光刚好不射入室内，此时太阳光与平行，太阳光与地面夹角最大为． (1)任务1：该市冬至日正午太阳光与地平面的夹角是 ，夏至日正午太阳光与地平面的夹角是．素材2中的商店门高为3米，若要不遮住冬天温暖的阳光，还要夏天正午时刻，门前设计能有1米宽的阴影．图3是其示意图，求遮阳篷的长．（精确到米）参考数据：，，，，，． (2)任务2：在任务1的基础上，考虑遮阳篷兼带遮雨功能，所以考虑遮阳篷往下倾斜 ，如图4，即把遮阳篷改造为横截面如 的样子，与水平面夹角为 那么遮阳篷的最小宽度约是 米（精确到米）参考数据：，，． 【详解】（1）解：由图2可知，，, 在中，,（1分） 设，则．（2分） 如下图，过点作于点，（3分） 在中,，（4分） ， , 得： 解得：（5分） 遮阳篷的长为米．（6分） （2）过点作于点，（7分） 则：． 在中， ， 故答案为：．（9分） 23．（11分）已知，如图，矩形中，，菱形的三个顶点E，G，H分别在矩形的边，，上，，连接． (1)若，求证：四边形为正方形； (2)当点G在边上运动时，点F到边的距离是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)试说明当点G运动到何处时，的面积最小，并求出这个最小值． 【详解】（1）∵矩形，菱形， ∴， 又， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴四边形为正方形．（3分） （2）距离是定值2．理由如下：（4分） 过F作，交延长线于M，连接．（5分） ∵矩形，菱形， ∴，， ∴． ∴． ∴． 在和中， ∵， ∴． ∴， 即无论菱形如何变化，点F到直线的距离始终为定值2．（8分） 解法2距离是定值2．理由如下： 过F作，交延长线于M，过F作于点N． ∵矩形，菱形， ∴，，， ∴，，， ． ∴． ∴．∴． 在和中， ∵， ∴．∴， 即无论菱形如何变化，点F到直线的距离始终为定值2． （3）设， ∵， ∴． 在中，， ∴．（9分） 在中， ∴． ∴．（10分） ∴的最小值为，此时． ∴当时，的面积最小为．（11分） 24．（12分）如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线经过点，交轴于另一点，点为线段上一动点，直线交抛物线于点． (1)填空：______，_____； (2)若，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，抛物线上有一动点，过点作轴的垂线分别交直线和直线于点，设，点的横坐标为 ①求关于的函数关系式； ②求满足为整数的点的个数． 【详解】（1）解：根据直线可得： ，，将两点坐标代入可得 ，， 故答案为：，．（2分） （2） 解： 由（1）得， 当时，，解得或， 点， 过点作轴于，则， ， ， ， 点的横坐标为，把代入得， 点．（6分） （3）解：①设直线的解析式为，并把点，点代入得 ， 直线的解析式为， 当时， ， 即， 当时，， 关于的函数关系式为 ，（10分） ②（i）当时， ， 当时，取最大值为， 当时，，当时，， ，其中的整数值有2，3，4三个， 对应的点有5个， （ii）当时，， ，此时随增大而增大， 当时，，当时，， ，其中的整数值有4，5，6三个，对应的点有3个， 因此，满足为整数的点的个数为8个．（12分） 试卷第26页，共27页 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考第二次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ========一=-===-=-======一===一=======-== 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条 考生禁填：缺考标记 ▣ 形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无 选择题填涂样例： 效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【]【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共36分） 1[A][B][C][D] 5.[AJ[B][C1[D] 9.[A1[B][C1[D] 2[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 12.A1[B1[C][D1 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共12分） 13 14. 16. 三、（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(7分) DT 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 19.(8分) 20. (8分) “火星冲日”天文景象知晓情况 “火星冲日”天文景象知晓情况 条形统计图 扇形统计图 人数 18 B 12 08642 8 C 4 16% 0 A B C D类别 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(9分) G D 0 E A B A F B 图① 图② 22.(9分) C D G A 图3 图4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(11分) G E 24.(12分) y A D E C B 0 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！