专题03 平行四边形的性质与判定、三角形的中位线16种题型（期中复习讲义）八年级数学下学期新教材苏科版

专题03平行四边形的性质与判定@三角形的中位线 （期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 利用平行四边形的性质求线段长 题型02 利用平行四边形的性质求角度 题型03 利用平行四边形的性质求周长 题型04 利用平行四边形的性质求面积 题型05 利用平行四边形的性质证明 题型06 添加条件判定是平行四边形 题型07 平行四边形判定的证明 题型08 平行四边形性质与判定的综合 题型09 平行四边形与平面直角坐标系的综合 题型10 平行四边形中的多结论判断问题 题型11 平行四边形与折叠问题 题型12 平行四边形与动点运动问题 题型13 平行四边形与最值问题 题型14 利用三角形的中位线计算 题型15 三角形中位线的实际应用 题型16 利用三角形中位线证明 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平行四边形的 定义与性质 1.熟记平行四边形的定义；2.掌握边、角、对角线的三条核心性质；3.会用性质求边长、角度、周长、面积；4.理解平行四边形是中心对称图形。 期中必考，选择、填空、解答题均会出现；侧重基础计算，属于送分题。 平行四边形 的判定 1.熟练掌握5种判定方法；2.能根据已知条件快速选择最优判定方法；3.规范书写证明过程，步骤完整、逻辑严谨。 解答题核心考点，常与性质、全等三角形综合考查；是几何证明的基础题型。 平行四边形 的综合应用 1.性质与判定结合推理；2.与坐标系、折叠、动点结合；3.会用方程思想、分类讨论解题。 中档题与压轴题常见；考查数形结合、逻辑推理能力，易丢分。 三角形中位线 的定义与定理 1.区分中位线与中线；2.牢记中位线定理：平行且等于第三边一半；3.会用定理求长度、证平行。 选择、填空必考；简单证明题常考；单独考查难度低。 中位线与四边形综合 1.连接四边形各边中点得平行四边形；2.中位线与平行四边形联合证明；3. 解决实际测量问题。 高频中档题；期中常出现在解答题第1–2问，综合性较强。 知识点01 平行四边形的概念 ◆1、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． ◆2、表示方法：平行四边形用符号“□”表示，平行四边形ABCD记作：“□ABCD”， 读作:“平行四边形ABCD”. 【注意】表示平行四边形时，要按照顺时针或者逆时针方向依次书写各顶点字母，不能打乱顺序． ◆3、几何语言：(双重含义) ∵ AB∥CD，AD∥BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形（判定） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC（性质） 知识点02平行四边形的性质定理 ●●平行四边形的性质： ◆1、边：①平行四边形的对边平行；②平行四边形的对边相等． 几何语言： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， AB = CD，AD = BC， ◆2、角：①平行四边形的对角相等．②平行四边形的对角互补. 几何语言：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠A =∠C，∠B = ∠D ◆3、对角线：平行四边形的对角线互相平分． 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AO=OC，BO=OD ◆4、对称性 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心． 知识点03平行四边形的判定 ★1、平行四边形的判定方法 类别 判定方法 图形 几何语言 边 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. ∴AB∥CD，AD∥BC， ∵四边形 ABCD 是平行四边形. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ∵AB = CD，AD = CB， ∴四边形ABCD 是平行四边形. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ∵ AB∥CD，AB = CD， ∴四边形ABCD 是平行四边形. 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. ∵∠A =∠C，∠B =∠D， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形. ∵AO = CO，DO = BO， ∴四边形ABCD 是平行四边形. ★2、平行四边形有5种判定方法，在判定一个四边形是平行四边形时，应选择哪一种方法需要根据具体情况而定，当几种方法都能判定时，应选择较简单的方法. ★3、平行四边形性质与判定的联系与区别 区别 ：由平行四边形这一条件得到边、角、对角线的关系是性质.由边、角、对角线的关系得到平行四边形是判定. 联系：平行四边形的性质题设和结论正好与判定的题设和结论相反，它们构成互逆的关系. 知识点04 三角形的中位线 ◆1、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 几何语言：在 △ABC中，∵D、E 分别是边 AB、AC 的中点， ∴DE是△ABC的中位线. ◆2、性质定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半. 几何语言：∵ D、E 分别是边 AB、AC 的中点， ∴ DE∥BC，且DE =BC． ◆3、一个三角形有三条中位线，如图DE,DF,EF都是△ABC的中位线，中位线是一条线段. ◆4、三角形的三条中位线把原三角形分成四个全等的小三角形，三个面积相等的平行四边形；四个全等小三角形的周长都是原三角形周长的一半. ◆5、三角形的中线与中位线 相同点：都是与中点有关的线段. 不同点：中位线是连接三角形两边中点的线段.中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段. 题型一 利用平行四边形的性质求线段长 解｜题｜技｜巧 1.优先用对边相等，直接转化已知边长； 2.涉及对角线，用互相平分得、； 3.求取值范围，把线段放入三角形，用三边关系； 4.有比例、和差关系时，设未知数列方程求解。 【典例1】如图，在平行四边形中，平分，交于点平分，交于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【变式1】如图，平行四边形中，的平分线交于，则的长（   ） A．1 B．2 C． D．3 【变式2】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图，在平行四边形中，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点．若平分，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式3】如图，的对角线相交于点．已知的周长比的周长多，则的长为（　　）． A．3 B．5 C．7 D．9 题型二 利用平行四边形的性质求角度 解｜题｜技｜巧 1.由对边平行，得同位角/内错角相等、同旁内角互补； 2.直接用对角相等快速替换； 3.用邻角和为180°列算式； 4.遇角平分线、高线，结合直角三角形互余计算。 【典例1】（24-25八年级下·江苏连云港·期中）如图，平行四边形中，平分，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）平行四边形中，的值可以是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，在平行四边形中，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，将绕顶点B顺时针旋转到，当 首次经过顶点C时，此时旋转角的度数等于，则的度数等于（　　） A． B． C． D． 题型三 利用平行四边形的性质求周长 解｜题｜技｜巧 1.核心公式：周长=2×(邻边之和)； 2.已知周长与边长比，按比例分配求边长； 3.小三角形周长用对角线平分转化线段； 4.对角线长度判断：用三角形三边关系检验。 【典例1】如图，在平行四边形中，，，．的周长是（   ） A．16 B．32 C． D．24 【变式1】如图，在中，，对角线与相交于点．若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，平行四边形的周长为，，相交于点O，交于点E，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图，在平行四边形中，于E，于F，，且，则平行四边形的周长是（　　 ） A．2 B． C．4 D．8 题型四 利用平行四边形的性质求面积 解｜题｜技｜巧 1.公式：面积=底×对应高（底高必须对应）； 2.面积不变，用等积法求不同边上的高； 3.对角线把平行四边形分成四个面积相等的小三角形； 4.同底等高的三角形面积是平行四边形的一半。 【典例1】（2025•大渡口区模拟）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为（　　） A．24 B．36 C．40 D．48 【变式1】如图，在中，对角线、相交于点O，直线经过O点，若，，，则图中阴影部分的面积之和是____ ． 【变式2】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平行四边形中，M是的中点，且，，则平行四边形的面积为（　　） A．32 B．40 C．48 D．60 【变式3】如图，在平行四边形中，，的平分线交于点E，交的延长线于点F，连接． (1)求的度数； (2)若，求平行四边形的面积． 题型五 利用平行四边形的性质证明 解｜题｜技｜巧 1.公式：面积=底×对应高（底高必须对应）； 2.面积不变，用等积法求不同边上的高； 3.对角线把平行四边形分成四个面积相等的小三角形； 4.同底等高的三角形面积是平行四边形的一半。 【典例1】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）在▱中，点，分别在边和上，且．求证：． 【变式1】如图，四边形ABCD是平行四边形，AC＝AD，AE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F．证明AE＝DF． 【变式2】（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，四边形是平行四边形，是对角线上的两点，且 ． 求证： (1)； (2) 【变式3】如图，、是平行四边形的对角线上的两点，，求证：    (1)； (2)． 题型六 添加条件判定是平行四边形 解｜题｜技｜巧 1.先在图上标注边、角、对角线等量关系； 2.优先走一组对边平行且相等，步骤最少； 3.有对角线条件，优先证互相平分； 4.先用全等得边等/角等，再套判定定理； 5.规范书写：证完关系→写“∴四边形…是平行四边形”。 【典例1】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则应增加的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式1】四边形中，，对角线、交于点，增加下列条件不能使四边形为平行四 边形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在四边形中，与相交于点，，添加条件_________，可得四边形为平行四边形（只需添加一个条件）． 【变式3】如图，在中，点，在对角线上，连接，，，，请添加一个条件___________ 使四边形是平行四边形． 题型七 平行四边形判定的证明 解｜题｜技｜巧 1.先由平行四边形性质得边等、角等、对角线平分； 2.再用所得条件证明新四边形是平行四边形； 3.常见模型：对角线取点、中点连线、角平分线构造； 4.固定思路：性质→得条件→判定→新结论。 【典例1】如图，在中，点M，N分别在边上，且，对角线分别交于点E，F．求证． 【变式1】如图，在中，点E、F分别在、上，且，、相交于点O，求证：． 【变式2】已知：如图，在平行四边形中，E、F分别是、的中点，求证： 【变式3】（24-25八年级下·江苏淮安·期中）如图，E，F是平行四边形的对角线上两点，且， 与相交于点O，求证：． 题型八 平行四边形性质与判定的综合 解｜题｜技｜巧 1.先由平行四边形性质得边等、角等、对角线平分； 2.再用所得条件证明新四边形是平行四边形； 3.常见模型：对角线取点、中点连线、角平分线构造； 4.固定思路：性质→得条件→判定→新结论。 【典例1】在中，以A为圆心，长为半径画弧交边于点E，再分别以B、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F，连接并延长交于点G，若，，则长为________． 【变式1】如图，C是线段的中点，． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【变式2】如图，在中，点E，F在对角线上，且连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若求的度数． 【变式3】如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 题型九 平行四边形与平面直角坐标系的综合 解｜题｜技｜巧 1.用坐标平移求第四点：对边平行且相等； 2.用中点坐标公式：对角线互相平分； 3.分类讨论：以哪两条线段为对角线，最多3个点； 4.平行→斜率相等；相等→距离相等。 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标依次为，，将线段向右平移12个单位，再向上平移5个单位，得到对应线段，则四边形的周长为（   ） A．34 B．35 C．36 D．37 【变式1】如图，平行四边形的顶点，，的坐标分别为，，，将平行四边形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对角线、交于点O，过点O的直线分别与边交于点E，F，若点E的坐标为，则点F的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，▱AOBC的顶点B在x轴上，OA＝2，∠AOB＝60°，OP平分∠AOB交AC边于点P，则点P的坐标是（　　） A． B． C． D． 题型十 平行四边形中的多结论判断问题 解｜题｜技｜巧 1.逐项核对边、角、对角线、面积、对称性； 2.牢记：平行四边形对角线不一定相等、不一定垂直； 3.对角线分成的三角形一定全等、面积相等； 4.用举反例排除错误结论。 【典例1】两个完全相同的三角板如图所示摆放，已知，，，点F是边中点，则下列结论：①是等边三角形，②，③，④四边形是平行四边形，其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1】如图，在中，，于，于，，相交于，延长交的延长线于点．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式2】如图，在平行四边形中，，点E是的中点，的平分线交于点F，将沿折叠，点D恰好落在上点M处，分别延长，交于点N，下列四个结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【变式3】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，点P是线段上方的一个动点，且，在的上方作正、正和正．给出下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④四边形的面积大于的面积．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 题型十一 平行四边形与折叠问题 解｜题｜技｜巧 1.折叠=全等变换，对应边、对应角相等； 2.标出相等线段与角，设未知数用勾股定理； 3.折叠常出现等腰三角形，用等角对等边； 4.折痕垂直平分对应点连线，可证菱形。 【典例1】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，的周长为16，沿折叠平行四边形，使点C与点A重合，则的周长为（   ） A．8 B．12 C．13 D．16 【变式1】如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上的一个点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝50°，∠DAE＝20°，则∠FED′＝（　　）度． A．40 B．35 C．30 D．50 【变式2】（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，将平行四边形折叠，使顶点恰落在边上的点处，折痕为，那么下列说法不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式3】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，E、F分别是的边、上的点，，，将四边形沿翻折，得到，交于点G，则的高是（   ） A．4 B．4 C．8 D．8 题型十二 平行四边形与动点运动问题 解｜题｜技｜巧 1.设时间为，用速度×时间表示线段长； 2.平行四边形条件：一组对边平行且相等； 3.平行已成立，只需列线段相等方程； 4.检验取值范围，舍去不合理解。 【典例1】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，四边形中，，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，同时动点Q从点D出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点A运动，当动点Q到达点A时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为（   ）    A． B．或 C． D．或 【变式1】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在四边形中，，，，点G是的中点．点M以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动，同时点N以每秒1个单位长度的速度从点G出发，沿向点B运动．当点M停止运动时，点N也随之停止运动．设运动时间为t秒，当四边形是平行四边形时，t的值为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【变式2】如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为秒，开始运动以后，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 【变式3】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在四边形ABCD中，，，， ，．动点M从点B出发沿边以速度向终点C运动；同时动点N从点D出 发，以速度沿射线运动，当点M到达终点时，点N也随之停止运动，设点M运动的时间为． (1)当时，__________； (2)是否存在t的值，使得A，B，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)若动点M关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出t的值． 题型十三 平行四边形与最值问题 解｜题｜技｜巧 1.线段和最小值：对称点+两点之间线段最短； 2.单线段最小值：垂线段最短； 3.中点最值：用三角形中位线定范围； 4.最值点常在中点、垂足、对称点。 【典例1】（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，中，，，为边上的一动点，以，为边作平行四边形，则线段长度的最小值为（   ） A．6 B．8 C． D． 【变式1】如图，平行四边形中，，，，是边上一点，且，是边上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转，得到，连接、，则的最小值是（    ）    A． B． C．14 D． 【变式2】（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，∠AOB＝30°，OB＝4，点P为射线OA上任意一点，连接PB．以PO、PB为邻边作平行四边形POQB，连接PQ，则线段PQ的最小值为 ． 【变式3】（23-24八年级下·江苏·期中）如图，在平行四边形中，，，以为底边向 右作腰长为的等腰，为边上一点，，连接，则的最小值为 ___________． 题型十四 利用三角形的中位线计算 解｜题｜技｜巧 1.见两边中点，直接用：中位线=第三边； 2.已知中位线，反求第三边中位线； 3.中位线三角形周长=原三角形周长； 4.中位线与中线交点互相平分。 【典例1】如图，中，E，F分别是，的中点，点D在上，延长交于N，，，，则（　　） A．2 B． C．1 D． 【变式1】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在四边形中，，E、F、G分别是、、 的中点，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，E、F分别是、的中点，连接．若，，则的长是（   ） A．13 B． C． D． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，M为上一点，且，点P， Q分别为，的中点，连接．若，则四边形的周长为（    ） A．24 B．12 C．17 D．22 题型十五 三角形中位线的实际应用 解｜题｜技｜巧 1.测不可达距离：构造中位线，测中位线反求原长； 2.梯形、梯子问题：用中位线公式求中间段； 3.周长问题：直接用1:2关系快速计算。 【典例1】如图，、两点分别位于一个池塘的两端，李明想用绳子测量、间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达，的点，找到，的中点，并且测出的长为16米，则、间的距离为（   ） A．8米 B．20米 C．25米 D．32米 【变式1】为了倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点O为跷跷板的中点，支柱垂直于地面，垂足为C，．当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（  ） A． B． C． D． 【变式2】如图，两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测间的距离：先在外选一点，然后步测出的中点分别为，并步测出的长约为45米，由此可知间的距离约为（    ） A．22.5米 B．45米 C．85米 D．90米 【变式3】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）某城市规划局计划在一片矩形空地上建造一座纪念广场．为了增强广场的稳定性和美观性，设计师提出在矩形四边中点设置四根立柱，并用钢梁将这些立柱连接成一个四边形框架，工程师通过无人机测绘发现，原始矩形地块的对角线长度为150米．若用铝合金材料制作框架，每米造价为800元，问框架总预算至少需要多少万元（    ） A．24万元 B．30万元 C．48万元 D．60万元 题型十六 利用三角形中位线证明 解｜题｜技｜巧 1.见多个中点，连接中点构造中位线； 2.证平行：用中位线平行于第三边； 3.证倍分/相等：用等于第三边一半； 4.四边形各边中点连线，一定是平行四边形。 【典例1】如图所示，在四边形中，为上一点，都是等边三角形，点分别为的中点，线段与有什么关系？请说明理由． 【变式1】如图，在中，，是边上的中线，是的中点，连结． (1)求证：． (2)若，，求的面积． 【变式2】如图，在四边形中，，、、、分别为、、、的中点，顺次连接、、、． (1)猜想四边形是什么特殊的四边形，并说明理由； (2)当与满足什么关系时，四边形为正方形，并说明理由． 【变式3】如图1，若顺次连接四边形各边中点所得四边形是菱形，则称原四边形为“中母菱形”．定义：若四边形的对角线相等，那么这个四边形是中母菱形． (1)请写一个你学过的特殊四边形中是中母菱形的图形的名称． (2)如图2有等边三角形中，、分别是、的中点，连接，猜想图中哪个四边形是中母菱形，并加以证明． (3)如图3，在等边三角形中，若、不是、的中点，且，探究满足上述条件的图形中是否存在中母菱形，并证明你的结论． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．平行四边形中，对角线，，交点为点O，则边的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2024秋•周村区期末）如图，在平行四边形ABCD中，BD＝CD，AE⊥BD于点E，若∠C＝70°，则∠BAE＝（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 3．如图，在四边形中，，则添加下列条件，可使四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A，B，D的坐标分别是，，则顶点C的坐标是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在△ABC中，AB＝BC＝14，BD是AC边上的高，垂足为D，点F在边BC上，连接AF，E为AF的中点，连接DE，若DE＝5，则BF的长为（　　） A．3 B．6 C．5 D．4 5．如图，在四边形中，E，F，G，H分别是边，，，的中点，对角线，，则四边形的周长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．如图，在周长为9的等边三角形的内部有一点P，过点P作，，分别交三边于点D，E，F，则等于（    ） A．9 B．8 C．4 D．3 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 7．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，BC＝BD，E是CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，则下列结论：①BC∥AF； ②四边形BDFC是平行四边形；③BD＝DF；④BE＝BD．其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，在中，分别是边上的点，且,连接．分别取的中点，连接，则的长为(  ·) A． B． C． D．3 9．如图，在中，分别是边的中点，是对角线上的两点，且，连接．则以下结论错误的是(    ) A． B． C．四边形是平行四边形 D． 10．如图，在平行四边形ABCD中，，，E是AB的中点，P是边AD上的一动点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 11．如图，点A，F，C，D在一条直线上，且，． 求证：四边形是平行四边形． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 12．如图，在中，点、分别在边和上，且． (1)求证：． (2)求证：四边形是平行四边形． 13．已知：在中，，，，点D，E分别是，的中点，，交的延长线于． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求四边形的周长和面积． 14．如图，在中，E为的中点，延长交的延长线于点F，连接、． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 15．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，是的平分线，点从点出发，沿方向以的速度向点运动，点从点出发，沿射线方向以的速度运动．当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为． (1)求的长． (2)是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 16．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度运动．以，为邻边构造平行四边形．在线段延长线上有一动点E，且满足，设点P运动时间为t秒． (1)当点C运动到线段中点时， ，点E的坐标为 ； (2)当点C在线段上运动时，求证：四边形为平行四边形； (3)当时，求四边形的周长． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03平行四边形的性质与判定@三角形的中位线 （期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 利用平行四边形的性质求线段长 题型02 利用平行四边形的性质求角度 题型03 利用平行四边形的性质求周长 题型04 利用平行四边形的性质求面积 题型05 利用平行四边形的性质证明 题型06 添加条件判定是平行四边形 题型07 平行四边形判定的证明 题型08 平行四边形性质与判定的综合 题型09 平行四边形与平面直角坐标系的综合 题型10 平行四边形中的多结论判断问题 题型11 平行四边形与折叠问题 题型12 平行四边形与动点运动问题 题型13 平行四边形与最值问题 题型14 利用三角形的中位线计算 题型15 三角形中位线的实际应用 题型16 利用三角形中位线证明 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平行四边形的 定义与性质 1.熟记平行四边形的定义；2.掌握边、角、对角线的三条核心性质；3.会用性质求边长、角度、周长、面积；4.理解平行四边形是中心对称图形。 期中必考，选择、填空、解答题均会出现；侧重基础计算，属于送分题。 平行四边形 的判定 1.熟练掌握5种判定方法；2.能根据已知条件快速选择最优判定方法；3.规范书写证明过程，步骤完整、逻辑严谨。 解答题核心考点，常与性质、全等三角形综合考查；是几何证明的基础题型。 平行四边形 的综合应用 1.性质与判定结合推理；2.与坐标系、折叠、动点结合；3.会用方程思想、分类讨论解题。 中档题与压轴题常见；考查数形结合、逻辑推理能力，易丢分。 三角形中位线 的定义与定理 1.区分中位线与中线；2.牢记中位线定理：平行且等于第三边一半；3.会用定理求长度、证平行。 选择、填空必考；简单证明题常考；单独考查难度低。 中位线与四边形综合 1.连接四边形各边中点得平行四边形；2.中位线与平行四边形联合证明；3. 解决实际测量问题。 高频中档题；期中常出现在解答题第1–2问，综合性较强。 知识点01 平行四边形的概念 ◆1、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． ◆2、表示方法：平行四边形用符号“□”表示，平行四边形ABCD记作：“□ABCD”， 读作:“平行四边形ABCD”. 【注意】表示平行四边形时，要按照顺时针或者逆时针方向依次书写各顶点字母，不能打乱顺序． ◆3、几何语言：(双重含义) ∵ AB∥CD，AD∥BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形（判定） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC（性质） 知识点02平行四边形的性质定理 ●●平行四边形的性质： ◆1、边：①平行四边形的对边平行；②平行四边形的对边相等． 几何语言： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， AB = CD，AD = BC， ◆2、角：①平行四边形的对角相等．②平行四边形的对角互补. 几何语言：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠A =∠C，∠B = ∠D ◆3、对角线：平行四边形的对角线互相平分． 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AO=OC，BO=OD ◆4、对称性 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心． 知识点03平行四边形的判定 ★1、平行四边形的判定方法 类别 判定方法 图形 几何语言 边 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. ∴AB∥CD，AD∥BC， ∵四边形 ABCD 是平行四边形. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ∵AB = CD，AD = CB， ∴四边形ABCD 是平行四边形. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ∵ AB∥CD，AB = CD， ∴四边形ABCD 是平行四边形. 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. ∵∠A =∠C，∠B =∠D， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形. ∵AO = CO，DO = BO， ∴四边形ABCD 是平行四边形. ★2、平行四边形有5种判定方法，在判定一个四边形是平行四边形时，应选择哪一种方法需要根据具体情况而定，当几种方法都能判定时，应选择较简单的方法. ★3、平行四边形性质与判定的联系与区别 区别 ：由平行四边形这一条件得到边、角、对角线的关系是性质.由边、角、对角线的关系得到平行四边形是判定. 联系：平行四边形的性质题设和结论正好与判定的题设和结论相反，它们构成互逆的关系. 知识点04 三角形的中位线 ◆1、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 几何语言：在 △ABC中，∵D、E 分别是边 AB、AC 的中点， ∴DE是△ABC的中位线. ◆2、性质定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半. 几何语言：∵ D、E 分别是边 AB、AC 的中点， ∴ DE∥BC，且DE =BC． ◆3、一个三角形有三条中位线，如图DE,DF,EF都是△ABC的中位线，中位线是一条线段. ◆4、三角形的三条中位线把原三角形分成四个全等的小三角形，三个面积相等的平行四边形；四个全等小三角形的周长都是原三角形周长的一半. ◆5、三角形的中线与中位线 相同点：都是与中点有关的线段. 不同点：中位线是连接三角形两边中点的线段.中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段. 题型一 利用平行四边形的性质求线段长 解｜题｜技｜巧 1.优先用对边相等，直接转化已知边长； 2.涉及对角线，用互相平分得、； 3.求取值范围，把线段放入三角形，用三边关系； 4.有比例、和差关系时，设未知数列方程求解。 【典例1】如图，在平行四边形中，平分，交于点平分，交于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】分别可证、为等腰三角形，得到、的长，进而得到，再根据计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴且， 又、分别是和的角平分线， ∴，． 又， ∴， 是等腰三角形，即． 同理可证是等腰三角形． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． 【变式1】如图，平行四边形中，的平分线交于，则的长（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．根据平行四边形的性质得，，，则，结合为角平分线可知，则，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图，在平行四边形中，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点．若平分，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，平行线的性质及等角对等边，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出， ，确定，，再由角平分线及各角之间的关系得出，利用等角对等边即可求解． 【详解】解：∵点是的中点，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式3】如图，的对角线相交于点．已知的周长比的周长多，则的长为（　　）． A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是牢记平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分． 根据平行四边形对角线互相平分可得，再由的周长比的周长多，可以求出，根据即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，． ∵的周长比的周长多， ∴ ， ， ， ． 故选：C 题型二 利用平行四边形的性质求角度 解｜题｜技｜巧 1.由对边平行，得同位角/内错角相等、同旁内角互补； 2.直接用对角相等快速替换； 3.用邻角和为180°列算式； 4.遇角平分线、高线，结合直角三角形互余计算。 【典例1】（24-25八年级下·江苏连云港·期中）如图，平行四边形中，平分，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，先根据平行四边形的性质得，，，因为平分，则，再结合两直线平行，同旁内角互补进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 则， ∵平分， ∴， ∵， 则， 故选：A 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）平行四边形中，的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，牢记“平行四边形的对角相等”是解题的关键，根据该性质得到，，进而判断出角度比值的特征． 【详解】解：四边形是平行四边形， 平行四边形对角相等，即， 中，比值的第一项与第三项相等，第二项与第四项相等， 观察选项，只有选项满足，，符合平行四边形的性质， 故选：． 【变式2】（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，在平行四边形中，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：平行四边形， ，， ， ，即， ， ． 故选：D． 【变式3】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，将绕顶点B顺时针旋转到，当 首次经过顶点C时，此时旋转角的度数等于，则的度数等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质．由旋转的性质得出，由等腰三角形的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵将绕顶点B顺时针旋转到， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 题型三 利用平行四边形的性质求周长 解｜题｜技｜巧 1.核心公式：周长=2×(邻边之和)； 2.已知周长与边长比，按比例分配求边长； 3.小三角形周长用对角线平分转化线段； 4.对角线长度判断：用三角形三边关系检验。 【典例1】如图，在平行四边形中，，，．的周长是（   ） A．16 B．32 C． D．24 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质：对边相等，对角线互相平分，分别求出 、、 的长，即可求出 的周长． 【详解】解：∵ 四边形 是平行四边形， ∴，，． ∵，， ∴，． ∴的周长． 【变式1】如图，在中，，对角线与相交于点．若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， 的周长． 【变式2】如图，平行四边形的周长为，，相交于点O，交于点E，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】主要考查了平行四边形的性质、中垂线的判定及性质等，考查面积较广，有一定的综合性．根据线段垂直平分线的性质可知，再结合平行四边形的性质即可计算的周长． 【详解】解：根据平行四边形的性质得：， ∵， ∴为的垂直平分线， 根据线段的垂直平分线上的点到两个端点的距离相等得：， ∴的周长． 故选：D． 【变式3】如图，在平行四边形中，于E，于F，，且，则平行四边形的周长是（　　 ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】D 【分析】先证明、是等腰直角三角形，再利用勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴、是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ， ∴平行四边形的周长． 题型四 利用平行四边形的性质求面积 解｜题｜技｜巧 1.公式：面积=底×对应高（底高必须对应）； 2.面积不变，用等积法求不同边上的高； 3.对角线把平行四边形分成四个面积相等的小三角形； 4.同底等高的三角形面积是平行四边形的一半。 【典例1】（2025•大渡口区模拟）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为（　　） A．24 B．36 C．40 D．48 【答案】D． 【分析】设BC＝x，由平行四边形的周长表示出CD，再根据平行四边形的面积列式求出x，然后根据平行四边形的面积公式列式进而求出x＝12，即可得出结论． 【详解】解：设BC＝x， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∵▱ABCD的周长为40， ∴BC+CD＝20， ∴CD＝20﹣x， ∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， ∵▱ABCD的面积＝BC•AE＝CD•AF， ∴4x＝6（20﹣x）， 解得：x＝12， ∴▱ABCD的面积＝BC•AE＝12×4＝48． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形面积公式，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【变式1】如图，在中，对角线、相交于点O，直线经过O点，若，，，则图中阴影部分的面积之和是____ ． 【答案】3 【分析】作于点E，则，先求出，得出，根据勾股定理得出，求出，证明，得出，即可解答． 【详解】解：作于点E，则， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，对角线、相交于点O， ∴，，，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平行四边形中，M是的中点，且，，则平行四边形的面积为（　　） A．32 B．40 C．48 D．60 【答案】A 【分析】过点M作于点N，作交延长线于点E，可得四边形是平行四边形， ， ，，得是直角三角形，，由，得，即得． 【详解】解：过点M作于点N，作交延长线于点E， ∵在平行四边形中，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∵， ∴， ∴． 【变式3】如图，在平行四边形中，，的平分线交于点E，交的延长线于点F，连接． (1)求的度数； (2)若，求平行四边形的面积． 【答案】(1) (2)32 【分析】（1）对顶角相等得到，证明，再根据三角形的内角和定理进行求解即可； （2）在中，勾股定理求出的长，再根据平行四边形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵平行四边形， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形的面积． 题型五 利用平行四边形的性质证明 解｜题｜技｜巧 1.公式：面积=底×对应高（底高必须对应）； 2.面积不变，用等积法求不同边上的高； 3.对角线把平行四边形分成四个面积相等的小三角形； 4.同底等高的三角形面积是平行四边形的一半。 【典例1】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）在▱中，点，分别在边和上，且．求证：． 【答案】见解析． 【分析】根据平行四边形的性质得到相关边和角的关系，再通过证明三角形全等，进而得出对应边相等，从而证明．本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．熟练掌握平行四边形的对边平行且相等这一性质，以及全等三角形“边角边”（）的判定定理是解题的关键．通过平行四边形的性质得到全等三角形所需的边和角的条件，进而证明线段相等． 【详解】解： ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴． ∴． 【变式1】如图，四边形ABCD是平行四边形，AC＝AD，AE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F．证明AE＝DF． 【答案】见解析． 【分析】根据平行四边形的性质得出AD∥BC，进而利用AAS证明△ADF与△ACE全等，利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAF＝∠ACE， ∵AE⊥BC，DF⊥AC， ∴∠AEC＝∠AFD＝90°， 在△ADF与△ACE中， ， ∴△ADF≌△ACE（AAS）， ∴AE＝DF． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对边平行解答． 【变式2】（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，四边形是平行四边形，是对角线上的两点，且 ． 求证： (1)； (2) 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了平四边形的判定以及性质，相似三角形的判定以及性质． （1）由平行四边形的性质可出，，然后利用即可证明． （2）由可得出，，再利用等角的补角相等得出，可得出，即可证四边形是平行四边形，即可得出． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ （2）由（1）知，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【变式3】如图，、是平行四边形的对角线上的两点，，求证：    (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形三角形的判定与性质，平行四边形的性质，平行线的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由平行四边形性质可得，，则，然后通过判定方法即可求证； （）由，则，从而有，再通过平行线的判定方法即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 题型六 添加条件判定是平行四边形 解｜题｜技｜巧 1.先在图上标注边、角、对角线等量关系； 2.优先走一组对边平行且相等，步骤最少； 3.有对角线条件，优先证互相平分； 4.先用全等得边等/角等，再套判定定理； 5.规范书写：证完关系→写“∴四边形…是平行四边形”。 【典例1】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则应增加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故A符合题意； B、现有条件无法判断四边形是平行四边形，故不符合题意； C、当时，，与已知条件重复，不能判定平行四边形，故不符合题意； D、当，时，四边形为平行四边形或等腰梯形，故不符合题意； 故选：A． 【变式1】四边形中，，对角线、交于点，增加下列条件不能使四边形为平行四 边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形全等的判定与性质．根据平行四边的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、由，，能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、由，可知，四边形的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形，故本选项符合题意； C、由，，能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； D、∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在四边形中，与相交于点，，添加条件_________，可得四边形为平行四边形（只需添加一个条件）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法即可得出结论． 【详解】解：添加条件，可得四边形为平行四边形， 理由如下： ∵，， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】如图，在中，点，在对角线上，连接，，，，请添加一个条件___________ 使四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质．添加，根据平行四边形的性质可得，，进而得，再根据平行四边形的判定即可得证． 【详解】解：添加，可以使四边形是平行四边形，理由如下： 连接，与相交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：． 题型七 平行四边形判定的证明 解｜题｜技｜巧 1.先由平行四边形性质得边等、角等、对角线平分； 2.再用所得条件证明新四边形是平行四边形； 3.常见模型：对角线取点、中点连线、角平分线构造； 4.固定思路：性质→得条件→判定→新结论。 【典例1】如图，在中，点M，N分别在边上，且，对角线分别交于点E，F．求证． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，平行线的性质，由平行四边形的性质得到，由平行线的性质和对顶角相等推出，，据此证明，则可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】如图，在中，点E、F分别在、上，且，、相交于点O，求证：． 【答案】见解析 【分析】利用平行四边形的性质得到边平行且相等的关系，进而推出三角形全等，从而证明线段相等．本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形对边平行以及全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形 ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ 【变式2】已知：如图，在平行四边形中，E、F分别是、的中点，求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，通过此题可以发现：证明两条线段相等，除了通过证明全等三角形的方法，也可通过特殊四边形的性质进行证明． 要证明，可以证明它们所在的两个三角形全等，也可以通过证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等进行证明． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， 、F分别是、的中点， ，， ，， 四边形是平行四边形， 【变式3】（24-25八年级下·江苏淮安·期中）如图，E，F是平行四边形的对角线上两点，且， 与相交于点O，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，由平行四边形的性质推出， ，得到，判定，推出，关键是由平行四边形的性质推出． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ． 题型八 平行四边形性质与判定的综合 解｜题｜技｜巧 1.先由平行四边形性质得边等、角等、对角线平分； 2.再用所得条件证明新四边形是平行四边形； 3.常见模型：对角线取点、中点连线、角平分线构造； 4.固定思路：性质→得条件→判定→新结论。 【典例1】在中，以A为圆心，长为半径画弧交边于点E，再分别以B、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F，连接并延长交于点G，若，，则长为________． 【答案】10 【分析】连接，设交于点O，由作图过程可知，，，可得，再证明，可得，进而可得四边形为菱形，则，可得． 【详解】解：连接，设交于点O， 由作图过程可知，，， ， 四边形为平行四边形， ∴， ，， ， ， 四边形为平行四边形． ， 四边形为菱形， ， ． 【变式1】如图，C是线段的中点，． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)8 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质，是解题的关键： （1）中点得到，平行线的性质，得到，利用证明即可； （2）根据，得到，进而得到四边形为平行四边形，进而得到，即可得出结果． 【详解】（1）证明：是线段的中点， ． ， ． 在和中， ． （2），是线段的中点， ． ， ． 又， ∴四边形是平行四边形， ． 【变式2】如图，在中，点E，F在对角线上，且连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的对边相等可得，对边平行可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用“边角边”证明，故可得出结论； （2）根据平行四边形的性质得，然后根据等腰三角形的性质即可解决问题． 此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是得出，再由全等三角形的性质得出结论． 【详解】（1）证明：在中， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴． 【变式3】如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明 ，得，根据一边平行且相等的四边形为平行四边形得出结论； （2）由平行四边形的性质得，，再由勾股定理求出，然后由三角形面积求出的长即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形； （2）由（1）可知，四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 的长为． 题型九 平行四边形与平面直角坐标系的综合 解｜题｜技｜巧 1.用坐标平移求第四点：对边平行且相等； 2.用中点坐标公式：对角线互相平分； 3.分类讨论：以哪两条线段为对角线，最多3个点； 4.平行→斜率相等；相等→距离相等。 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标依次为，，将线段向右平移12个单位，再向上平移5个单位，得到对应线段，则四边形的周长为（   ） A．34 B．35 C．36 D．37 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，坐标平移，平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理．根据，，求出，过点D作轴于点E，根据勾股定理求出，证明四边形是平行四边形，得出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 过点D作轴于点E， ∵将线段向右平移12个单位，再向上平移5个单位，得到对应线段， ∴，， ∴， ∵线段平移后得到线段， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的周长． 故选：C． 【变式1】如图，平行四边形的顶点，，的坐标分别为，，，将平行四边形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质得出点的坐标，进而利用旋转的性质得出规律解答即可．本题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：平行四边形的顶点，，的坐标分别是，，， ， 当旋转时，第一次时，； 第二次时，； 第三次时，； 第四次时，； ， 第2025次旋转结束时，点的坐标为， 故选：B． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对角线、交于点O，过点O的直线分别与边交于点E，F，若点E的坐标为，则点F的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质．连接，证明，推导出，得到点和点关于点成中心对称，根据坐标特征即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵平行四边形的对角线、交于点O， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点和点关于点成中心对称， ∵点E的坐标为， ∴点F的坐标为， 故选：D． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，▱AOBC的顶点B在x轴上，OA＝2，∠AOB＝60°，OP平分∠AOB交AC边于点P，则点P的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【分析】 延长CA交y轴于Q，由含30°角的直角三角形的性质得AQOA＝1，再由勾股定理得OQ，然后证∠AOP＝∠APO，则AP＝OA＝2，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长CA交y轴于Q， 则AQ⊥y轴， ∴∠AQO＝90°， ∵∠AOB＝60°， ∴∠AOQ＝90°﹣∠AOB＝30°， ∴AQOA＝1， ∴OQ， ∵OP平分∠AOB， ∴∠AOP＝∠BOP， ∵四边形AOBC是平行四边形， ∴AC∥OB， ∴∠APO＝∠POB， ∴∠AOP＝∠APO， ∴AP＝OA＝2， ∴PQ＝AQ+AP＝1+2＝3， ∴P（3，）， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 题型十 平行四边形中的多结论判断问题 解｜题｜技｜巧 1.逐项核对边、角、对角线、面积、对称性； 2.牢记：平行四边形对角线不一定相等、不一定垂直； 3.对角线分成的三角形一定全等、面积相等； 4.用举反例排除错误结论。 【典例1】两个完全相同的三角板如图所示摆放，已知，，，点F是边中点，则下列结论：①是等边三角形，②，③，④四边形是平行四边形，其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】①根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可判定； ②利用“直角三角形中所对的直角边是斜边的一半”和中点的定义，即可判断； ③利用勾股定理，可得，再根据线段之间的关系，代换即可； ④利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，即可判定． 【详解】解：由题可知，，则， ， 是等边三角形，故①正确； ，， ， 点F是边中点， ， ，故②正确； 在中，， 则，即， 是等边三角形，点F是边中点，， ，， ，故③正确； ，， ，即， ，， ，则， ， ， ， ， 在中，点F是边中点， ， ， ，则， 又， 四边形是平行四边形，故④正确； 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质和判定，含的特殊直角三角形等知识，正确掌握相关知识是解题的关键． 【变式1】如图，在中，，于，于，，相交于，延长交的延长线于点．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】先证明是等腰直角三角形，即可判断①，利用平行四边形对角相等、直角三角形两个锐角互余以及同角或等角的余角相等即可判断②，证明，即可判断④和③，利用平行四边形对边相等进一步可以判断⑤． 【详解】解：∵中，，于， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴，故①正确； ∵于，于， ∴， ∴， ∵在中， ∴，故②正确； ∵，，， ∴，故④错误； ∴， ∵在中，， ∴，故③正确； ∵，故⑤正确； 故选：B ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是发现全等三角形． 【变式2】如图，在平行四边形中，，点E是的中点，的平分线交于点F，将沿折叠，点D恰好落在上点M处，分别延长，交于点N，下列四个结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查折叠的性质，矩形的判定与性质，角平分线的性质以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握这些性质定理是解题的关键．根据题意得到四边形是矩形，由折叠的性质得到：，由角平分线的性质得到，即可证明①正确；证明，，根据，求出，即可得到②正确；假设是等边三角形，则，则，而明显，故③错误；，得到，得到④正确． 【详解】解：平行四边形中，， 四边形是矩形， ， 由折叠的性质得到：， 即， 平分， ， ，故①正确； ， ， ， ， ， ， 即，故②正确； 在和中， ， ， ， ， 假设是等边三角形，则， 则， ，则， 而明显， 不是等边三角形，故③错误； ， ， ， ，故④正确； 故选B． 【变式3】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，点P是线段上方的一个动点，且，在的上方作正、正和正．给出下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④四边形的面积大于的面积．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点， 根据都是等边三角形，可知，可证，可知，进而可证结论①；由①知，由知，可证结论②；根据可证结论③；如图所示，延长交于F，根据等边三角形的性质和面积公式可证结论④，熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解决此题的关键． 【详解】∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴故结论①正确； 由①知：， ∴， ∵都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故结论②正确； ∵， ∴，故结论③正确； 如图所示，延长交于F， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，故结论④错误； 故选：A． 题型十一 平行四边形与折叠问题 解｜题｜技｜巧 1.折叠=全等变换，对应边、对应角相等； 2.标出相等线段与角，设未知数用勾股定理； 3.折叠常出现等腰三角形，用等角对等边； 4.折痕垂直平分对应点连线，可证菱形。 【典例1】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，的周长为16，沿折叠平行四边形，使点C与点A重合，则的周长为（   ） A．8 B．12 C．13 D．16 【答案】A 【分析】根据折叠的性质可得，依此可得的周长，再根据平行四边形纸片的周长即可求解． 此题主要考查了翻折变换，折叠问题，以及周长的定义，解题的关键是得到的周长等于平行四边形纸片周长的一半． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ∴的周长， ∵平行四边形纸片的周长为16， ∴的周长为． 故选：A． 【变式1】如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上的一个点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝50°，∠DAE＝20°，则∠FED′＝（　　）度． A．40 B．35 C．30 D．50 【答案】A 【分析】由平行四边形的性质得∠B＝∠D＝50°，再由三角形的外角性质得∠AEC＝∠D+∠DAE＝70°，则∠AED＝110°，然后由折叠的性质得∠AED＝∠AED′＝110°，即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D＝50°， ∵∠DAE＝20°， ∴∠AEC＝∠D+∠DAE＝50°+20°＝70°， ∴∠AED＝180°﹣70°＝110°， ∵将△ADE沿AE折叠至△AD′E处， ∴∠AED＝∠AED′＝110°， ∴∠FED′＝∠AED′﹣∠AEC＝110°﹣70°＝40°， 故选：A． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握翻折变换得性质和平行四边形的性质，求出∠AEC的度数是解题的关键． 【变式2】（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，将平行四边形折叠，使顶点恰落在边上的点处，折痕为，那么下列说法不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据平行四边形的性质以及折叠的性质，即可得出正确的结论，进而得到说法不正确的选项． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 由折叠可得， ， ，故A选项正确，不合题意； ， ， 由折叠可得， ， ，故B选项正确，不合题意； 与不一定相等， 不一定成立，故C选项错误，符合题意； ，， 四边形是平行四边形， ，故D选项正确，不合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 【变式3】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，E、F分别是的边、上的点，，，将四边形沿翻折，得到，交于点G，则的高是（   ） A．4 B．4 C．8 D．8 【答案】B 【分析】根据折叠的性质得，再利用平行四边形的性质得到，则可判断为等边三角形，作于，利用含度的直角三角形的性质可得，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：四边形沿翻折，得到， ， 四边形为平行四边形， ， ， 为等边三角形， 如图，作于， 在中，， ， ， 即的高是． 故选：B． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． 题型十二 平行四边形与动点运动问题 解｜题｜技｜巧 1.设时间为，用速度×时间表示线段长； 2.平行四边形条件：一组对边平行且相等； 3.平行已成立，只需列线段相等方程； 4.检验取值范围，舍去不合理解。 【典例1】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，四边形中，，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，同时动点Q从点D出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点A运动，当动点Q到达点A时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为（   ）    A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角梯形的性质，平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 由题意已知，，要使P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形，则只需要让即可，列出等式可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， 当P从B运动到C时，且P在上， ，， ， 解得， ∴当秒时，四边形是平行四边形； 当点P在延长线上时， 如图：   ， 解得， 秒或秒时，P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形． 故选：B． 【变式1】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在四边形中，，，，点G是的中点．点M以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动，同时点N以每秒1个单位长度的速度从点G出发，沿向点B运动．当点M停止运动时，点N也随之停止运动．设运动时间为t秒，当四边形是平行四边形时，t的值为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】B 【分析】此题考查动点及平行四边形的性质，解题关键是由已知明确两条线段之间的数量关系． 由已知表示出,,根据平行四边形的判定，由，所以当时为平行四边形．根据此列出关于t的方程求解． 【详解】解：在四边形中，， , ,， 时，四边形是平行四边形， ， ； 故答案为：B． 【变式2】如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为秒，开始运动以后，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，注意掌握分类讨论思想的应用．设经过秒，根据平行四边形的判定可得当时，以点，，，为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵平行四边形是平行四边形， ∴，， ∵要使以点，，，为顶点组成平行四边形， ∴只需， ∵点从点到点需要，点从到需要， 分为以下情况： 当时，即点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：，此时不符合题意； ②当时，点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：； ③当时，点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：，此时不符合题意； 综上所述，当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【变式3】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在四边形ABCD中，，，， ，．动点M从点B出发沿边以速度向终点C运动；同时动点N从点D出 发，以速度沿射线运动，当点M到达终点时，点N也随之停止运动，设点M运动的时间为． (1)当时，__________； (2)是否存在t的值，使得A，B，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)若动点M关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，轴对称的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质是解决问题的关键． （1）当时，，可知为等边三角形，即可求得； （2）由题意可知，，，分两种情况：当时，点在点右侧，当时，点在点左侧，建立等式即可求解； （3）分两种情况：当对称点落在线段上时，当对称点落在线段的延长线上时，建立等式即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 又∵，， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， 过点作， ∵，，则，， ∴，四边形是矩形， ∴，则， ∴，则， 由题意可知，，， 当时，点在点右侧，则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即：，解得：； 当时，点与点重合，符不符合题意； 当时，点在点左侧，则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即：，解得：； 综上，当或时，使得A，B，M，N为顶点的四边形为平行四边形； （3）如图，当对称点落在线段上时，根据题意，得平分， 此时，由（2）可知， ∵，，平分， ∴， ∴，即：， 解得：； 如图，当对称点落在线段的延长线上时，根据题意，得的反向延长线平分，此时，由（2）可知， ∵，，平分， ∴，则， ∴， ∴为等边三角形， ∴，即：， 解得：， 综上，动点M关于直线对称的点恰好落在直线上时，或． 题型十三 平行四边形与最值问题 解｜题｜技｜巧 1.线段和最小值：对称点+两点之间线段最短； 2.单线段最小值：垂线段最短； 3.中点最值：用三角形中位线定范围； 4.最值点常在中点、垂足、对称点。 【典例1】（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，中，，，为边上的一动点，以，为边作平行四边形，则线段长度的最小值为（   ） A．6 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质可知，当时，最小，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ∵为边上的一动点， ∴时有最小值，即有最小值， 此时在中，，， ， 即最小值为． 【变式1】如图，平行四边形中，，，，是边上一点，且，是边上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转，得到，连接、，则的最小值是（    ）    A． B． C．14 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系，勾股定理等，先取的中点G，连接，，由，，得是等边三角形，，再根据得出≌，可得，进而得出，然后根据证明≌，可知，要求最小，就是求最小，即，再作，根据勾股定理求出答案． 【详解】取的中点G，连接，． 由已知得，， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴≌， ∴， ∴． ∵，，， ∴≌， ∴． 要求最小，就是求最小， 即． 作，交延长线于点H， ∵， ∴． 在中，，， ∴，， ∴． 在中，． 所以的最小值是． 故选：D．    【点睛】本题涉及了旋转的性质、全等三角形的判断和性质、、等边三角形的判断和性质、菱形的性质、线段和的最值等知识点，构造全等三角形转化线段关系，构造“将军饮马”模型是解题的关键． 【变式2】（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，∠AOB＝30°，OB＝4，点P为射线OA上任意一点，连接PB．以PO、PB为邻边作平行四边形POQB，连接PQ，则线段PQ的最小值为 ． 【答案】2 【分析】当PQ⊥OA时，PQ最短，利用平行四边形的性质和菱形的判定和性质解答即可． 【详解】解：∵四边形PBQO是平行四边形， ∴PH=HQ，OH=HB， 当PQ⊥OA时，PQ最短， ∵∠AOB=30°，OB=4， ∴OH=2， ∴PH=1, ∴PQ=2PH=2， 故答案为：2． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，关键是利用平行四边形的性质和菱形的判定和性质解答． 【变式3】（23-24八年级下·江苏·期中）如图，在平行四边形中，，，以为底边向 右作腰长为的等腰，为边上一点，，连接，则的最小值为 ___________． 【答案】/ 【分析】过点作交于点，在上取一点，使得，连接，．求出，．可得结论． 【详解】解：过点作交于点，在上取一点，使得，连接，． 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， 8， ﹣， ∴， ﹣ ， 的最小值为 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 题型十四 利用三角形的中位线计算 解｜题｜技｜巧 1.见两边中点，直接用：中位线=第三边； 2.已知中位线，反求第三边中位线； 3.中位线三角形周长=原三角形周长； 4.中位线与中线交点互相平分。 【典例1】如图，中，E，F分别是，的中点，点D在上，延长交于N，，，，则（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据三角形中位线的性质得到，然后根据直角三角形的性质得到，进而根据求解即可． 【详解】解： E，F分别是，的中点，， ， ，， ， ． 【变式1】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在四边形中，，E、F、G分别是、、 的中点，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得是的中位线，是的中位线，继而求出，由得，即可解答． 【详解】解：∵E、F、G分别是、、的中点，， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，E、F分别是、的中点，连接．若，，则的长是（   ） A．13 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的性质，三角形中位线定理，根据勾股定理求得对角线的长，根据矩形的性质求得的长，根据三角形中位线定理即可求得的长． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，，， ， ， ， 点，分别是，的中点， ∴是三角形的中位线， ． 故选D． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，M为上一点，且，点P， Q分别为，的中点，连接．若，则四边形的周长为（    ） A．24 B．12 C．17 D．22 【答案】D 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵点P，Q分别为，的中点， ∴，， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴四边形的周长为． 题型十五 三角形中位线的实际应用 解｜题｜技｜巧 1.测不可达距离：构造中位线，测中位线反求原长； 2.梯形、梯子问题：用中位线公式求中间段； 3.周长问题：直接用1:2关系快速计算。 【典例1】如图，、两点分别位于一个池塘的两端，李明想用绳子测量、间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达，的点，找到，的中点，并且测出的长为16米，则、间的距离为（   ） A．8米 B．20米 C．25米 D．32米 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用． 根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：D，E是，的中点， ， A，B间的距离为． 故选：D． 【变式1】为了倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点O为跷跷板的中点，支柱垂直于地面，垂足为C，．当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键．过点B作垂直底面于点D，判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得． 【详解】解：如图，过点B作垂直底面于点D， ， ， 点O为跷跷板的中点， 是的中位线， ， ， 故选：B． 【变式2】如图，两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测间的距离：先在外选一点，然后步测出的中点分别为，并步测出的长约为45米，由此可知间的距离约为（    ） A．22.5米 B．45米 C．85米 D．90米 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握和运用三角形中位线定理是解决本题的关键． 利用三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴(米) ． 故选：D． 【变式3】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）某城市规划局计划在一片矩形空地上建造一座纪念广场．为了增强广场的稳定性和美观性，设计师提出在矩形四边中点设置四根立柱，并用钢梁将这些立柱连接成一个四边形框架，工程师通过无人机测绘发现，原始矩形地块的对角线长度为150米．若用铝合金材料制作框架，每米造价为800元，问框架总预算至少需要多少万元（    ） A．24万元 B．30万元 C．48万元 D．60万元 【答案】A 【分析】本题考查的是中点四边形，连接矩形四边中点形成的四边形是一个菱形，根据三角形中位线分别求出框架的各边长，进而求出框架的周长，计算即可． 【详解】解：如图， ∵E、F、G、H分别为、、、的中点， ∴、、、分别为、、、的中位线， ∴，，，， ∵四边形是矩形， ∴米， ∴（米）， ∴框架的周长为米， ∵铝合金框架总长度为300米，每米造价800元， ∴总费用为元，即24万元， 因此，框架总预算至少需要24万元， 故选：A． 题型十六 利用三角形中位线证明 解｜题｜技｜巧 1.见多个中点，连接中点构造中位线； 2.证平行：用中位线平行于第三边； 3.证倍分/相等：用等于第三边一半； 4.四边形各边中点连线，一定是平行四边形。 【典例1】如图所示，在四边形中，为上一点，都是等边三角形，点分别为的中点，线段与有什么关系？请说明理由． 【答案】互相垂直平分，理由见解析 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． 分别连接，，根据等边三角形的性质证明，得出相等的边，根据中点得出三角形的中位线，根据中位线的性质得出平行且相等的边，证明平行四边形是菱形，即可得出结论． 【详解】解：线段与互相垂直平分， 理由：如图所示，分别连接，． 都是等边三角形， ，， ， 即． 在和中， ， ， 分别是的中点， ，且． 同理： ， ∴四边形是平行四边形． ， ∴平行四边形是菱形． ∴线段与互相垂直平分． 【变式1】如图，在中，，是边上的中线，是的中点，连结． (1)求证：． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明过程见解答； (2)12 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质，直角三角形的性质等； （1）根据等腰三角形的“三线合一”可知，结合已知可推出为的中位线，根据三角形中位线的性质即可证得结论； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而勾股定理求得，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，是边上的中线， ， 是的中点， 为的中位线， ∴； （2）解：∵，是边上的中线， ∴，即， ∵在中，， ∴， 又， ∴， ∴ ∴． 【变式2】如图，在四边形中，，、、、分别为、、、的中点，顺次连接、、、． (1)猜想四边形是什么特殊的四边形，并说明理由； (2)当与满足什么关系时，四边形为正方形，并说明理由． 【答案】(1)菱形，理由见解析 (2)当时，四边形为正方形，理由见解析 【分析】（）根据三角形中位线的性质得到，，，，，进而得到，，即可得四边形是平行四边形，又由得，即可得到四边形是菱形； （）根据平行线的性质得到，，根据平角的定义，得到，根据正方形的判定即可得到结论． 【详解】（1）解：四边形是菱形 理由：∵分别为的中点， ∴分别为的中位线， ∴，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：当时，四边形为正方形． 理由：由（1）同理可证， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形是正方形． 【变式3】如图1，若顺次连接四边形各边中点所得四边形是菱形，则称原四边形为“中母菱形”．定义：若四边形的对角线相等，那么这个四边形是中母菱形． (1)请写一个你学过的特殊四边形中是中母菱形的图形的名称． (2)如图2有等边三角形中，、分别是、的中点，连接，猜想图中哪个四边形是中母菱形，并加以证明． (3)如图3，在等边三角形中，若、不是、的中点，且，探究满足上述条件的图形中是否存在中母菱形，并证明你的结论． 【答案】(1)矩形 (2)四边形是中母菱形，见解析 (3)四边形是中母菱形，见解析 【分析】（1）从学过的特殊图形中，寻找对角线相等的图形(正方形，矩形，等腰梯形等)； （2）欲证明四边形是中母菱形，只需证明该四边形的对角线即可； （3）通过全等三角形的判定定理证得，然后根据全等三角形的对应边相等的性质推知四边形的对角线，所以四边形是中母菱形. 【详解】（1）解：∵矩形、正方形的对角线相等， 故答案为：矩形； （2）四边形是中母菱形， 证明：连接， ∵ ， 分别是 ，的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是中母菱形； （3）四边形是中母菱形， 证明：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴  四边形是中母菱形. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．平行四边形中，对角线，，交点为点O，则边的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形对角线互相平分的性质，得到的两条边长，再结合三角形三边关系即可求出的取值范围． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形，对角线，，交点为， ∴，， ∵， ∴，即． 2．（2024秋•周村区期末）如图，在平行四边形ABCD中，BD＝CD，AE⊥BD于点E，若∠C＝70°，则∠BAE＝（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【分析】由等腰三角形的性质得∠DBC＝∠C＝70°，则∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝40°，再由平行四边形的性质得AB∥CD，则∠ABE＝∠BDC＝40°，然后由直角三角形的性质即可得出结论． 【解答】解：∵BD＝CD，∠C＝70°， ∴∠DBC＝∠C＝70°， ∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝180°﹣70°﹣70°＝40°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABE＝∠BDC＝40°， ∵AE⊥BD， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝90°﹣∠ABE＝90°﹣40°＝50°， 故选：A． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 3．如图，在四边形中，，则添加下列条件，可使四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定与性质．由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、由，，不能判定四边形为平行四边形，还有可能是等腰梯形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴， 不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； C、由，，不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； D、∵ ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故本选项符合题意； 故选：D． 4．在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A，B，D的坐标分别是，，则顶点C的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行四边形性质及坐标与图形，根据平行四边形的性质得出，，再根据点的坐标求出点C的坐标即可． 【详解】解：∵平行四边形的顶点A、B、D的坐标分别是，， ∴， ∴点C的横坐标，纵坐标点D的纵坐标， 即点C的坐标是， 故选：C． 7．如图，在△ABC中，AB＝BC＝14，BD是AC边上的高，垂足为D，点F在边BC上，连接AF，E为AF的中点，连接DE，若DE＝5，则BF的长为（　　） A．3 B．6 C．5 D．4 【答案】D． 【分析】根据等腰三角形的“三线合一”得到AD＝DC，根据三角形中位线定理计算得到答案． 【详解】解：∵BC＝14， ∴FC＝BC﹣BF＝14﹣BF． ∵AB＝BC，BD⊥AC， ∴AD＝DC， ∵AE＝EF， ∴DE是△AFC的中位线， ∴DEFC＝5． ∴FC＝10． ∴14﹣BF＝10． ∴BF＝4． 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 5．如图，在四边形中，E，F，G，H分别是边，，，的中点，对角线，，则四边形的周长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理分别求出、、、的长，根据四边形的周长公式计算即可． 【详解】、、、分别是、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，， 四边形的周长； 6．如图，在周长为9的等边三角形的内部有一点P，过点P作，，分别交三边于点D，E，F，则等于（    ） A．9 B．8 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，延长交于点，延长交于点，证明四边形、四边形均为平行四边形，得到，再证明和是等边三角形，得到，进而推出，则． 【详解】解：延长交于点，延长交于点，   ∵，，， 四边形、四边形均为平行四边形， ∴． 为等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 同理可得是等边三角形， ∴， ∴， ∵的周长为9， ∴ ， 故选D． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 7．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，BC＝BD，E是CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，则下列结论：①BC∥AF； ②四边形BDFC是平行四边形；③BD＝DF；④BE＝BD．其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C． 【分析】根据∠A＝∠ABC＝90°，可得BC∥AF，得出内错角相等，证明△BCE≌△FDE，可判断BC∥DF且BC＝DF，从而得出四边形BDFC为平行四边形；进而证得四边形BDFC是菱形，得到BD＝DF，BF⊥CD，根据直角三角形的斜边大于直角边得到BD＞BE． 【详解】解：∵∠A＝∠ABC＝90°， ∴∠A+∠ABC＝180°， ∴BC∥AF，故①正确； ∵AF∥BC， ∴∠DCB＝∠CDF，∠FBC＝∠BFD， 又DE＝EC， ∴△BCE≌△FDE（AAS）， ∴DF＝BC， 又∵DF∥BC， ∴四边形BDFC为平行四边形，故②正确； ∵四边形BDFC为平行四边形，BC＝BD， ∴四边形BDFC是菱形， ∴BD＝DF，故③正确； ∵四边形BDFC是菱形， ∴BF⊥CD， ∴∠BED＝90°， ∴BD＞BE，故④错误． ∴正确的结论为①②③， 故选：C． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键． 8．如图，在中，分别是边上的点，且,连接．分别取的中点，连接，则的长为(  ·) A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，中位线的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．延长并延长，使,连接，证明，得出，证明为等边三角形，得出，根据中位线的性质得出． 【详解】解：延长并延长，使，连接，如图所示： ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴为等边三角形， ， ， 故答案为：． 9．如图，在中，分别是边的中点，是对角线上的两点，且，连接．则以下结论错误的是(    ) A． B． C．四边形是平行四边形 D． 【答案】A 【分析】由是的中点，是上的动点，可知与不一定垂直，可判断A错误；由平行四边形的性质及，分别是，的中点，推导出，，而，即可根据“”证明，得，可判断B正确；由等角的补角相等推导出，则，因为，所以四边形是平行四边形，可判断C正确，证明四边形是平行四边形得出，根据即可判断D正确． 【详解】解：是的中点，是上的动点， 与不一定垂直，故A错误； 四边形是平行四边形，，分别是，的中点， ，，且，， ，， 在和中， ， ， ，故B正确； ， ， ， ， 四边形是平行四边形，故C正确； ∵ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形 ∴ 又∵ ∴，故D正确． 10．如图，在平行四边形ABCD中，，，E是AB的中点，P是边AD上的一动点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得∠ADB＝90°，由勾股定理求出BD＝2，得到∠BAD＝∠ABD＝45°，延长BD至点，使得 D＝BD＝2，连接E，则点P在E与AD的交点时，PE＋PB的值最小，给出证明，再过点E作EF⊥B于点F，由勾股定理求出EF的长，再求得F＝BD＋D－BE＝3，最后利用勾股定理得出答案． 【详解】解：∵ ∴∠ADB＝90° ∵， ∴AB＝2 由勾股定理得 BD＝ ∴AD＝BD＝2 ∴∠BAD＝∠ABD＝45° ∵E是AB的中点， ∴BE＝AE＝AB＝ 延长BD至点，使得 D＝BD＝2，连接E， 则点P在E与AD的交点时，PE＋PB的值最小，如下图， 理由如下： ∵ ’ ，D＝BD＝2， ∴ AD垂直平分B ∴AD上任意一点P,总有PB＝P， 由“两点之间，线段最短”可知，点P在E与AD的交点处时， PE＋PB的值最小，最小值为E的长，此时过点E作EF⊥B于点F，如上图， 则∠EFB＝∠EF＝90°， ∵∠ABD＝45° ∴EF＝BF ∴EF2＋BF2＝BE2＝2EF2 ∴EF＝BF＝＝1 ∴F＝BD＋D－BE＝3 在Rt△EF中，由勾股定理得 E＝＝＝ 即的最小值为 故选：C 【点睛】本题考查了最短路径问题、勾股定理、等腰直角三角形等知识点，掌握最短路径的确定方法、灵活应用勾股定理是解题的关键． 11．如图，点A，F，C，D在一条直线上，且，． 求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定； 根据平行线的性质可得，证明，可得，，则，然后推出即可证得结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 12．如图，在中，点、分别在边和上，且． (1)求证：． (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定等知识点，能根据性质证出是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得出，，根据证出； （2）首先根据平行四边形的性质得出，，然后结合得到，即可证明出四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， 在和中， ， ∴. （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ， 又∵， 四边形是平行四边形． 13．已知：在中，，，，点D，E分别是，的中点，，交的延长线于． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求四边形的周长和面积． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的周长和面积分别为20和 【分析】由于，从而易证，所以，从而可证四边形是平行四边形； 由平行四边形的性质得，，四边形的周长，又因为，所以，所以，再根据勾股定理及直角三角形的性质求出平行四边形的周长． 本题考查平行四边形的性质与判定，涉及全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，综合程度较高． 【详解】（1）证明：， ， 点E是的中点， ， 在与中， ， 故 ， 点D是的中点， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形， ，四边形的周长， 又， ， ， ，，， ，， ， ，点D是的中点， ， 四边形的周长 14．如图，在中，E为的中点，延长交的延长线于点F，连接、． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握平行四边形的判定和性质是关键． （1）根据中点得到，根据平行四边形的性质得到，则，运用角边角即可求证； （2）根据三线合一得到，由勾股定理得到，再证明四边形为平行四边形，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵为的中点， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，四边形为平行四边形，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵且， ∴四边形为平行四边形， ∴． 15．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，是的平分线，点从点出发，沿方向以的速度向点运动，点从点出发，沿射线方向以的速度运动．当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为． (1)求的长． (2)是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当的值为或2时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出，再利用角平分线的定义得出，即可得出结论； （2）利用平行四边形的性质即可得出，再分两种情况讨论计算即可得出结论． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， ． 是的平分线， ， ， ． ， ． （2）解：存在．由（1）可知，，． 由题意可知，，（）． ，要使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，只要满足即可． 分以下两种情况讨论： ①当点在边上时，， ，解得； ②当点在边的延长线上时，， ，解得． 综上，当的值为或2时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题是平行四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，角平分线的定义，熟练掌握是关键． 16．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度运动．以，为邻边构造平行四边形．在线段延长线上有一动点E，且满足，设点P运动时间为t秒． (1)当点C运动到线段中点时， ，点E的坐标为 ； (2)当点C在线段上运动时，求证：四边形为平行四边形； (3)当时，求四边形的周长． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)或 【分析】（1）当运动到的中点时，根据时间等于路程除以时间即可求得，进而求得的坐标； （2）证明，则，，则和平行且相等，则四边形为平行四边形； （3）分两种情况，即点在线段上或点在线段延长线上，再利用勾股定理分别求得平行四边形的两边即可． 【详解】（1）解：点，的坐标分别是，， ，， 点运动到线段的中点， ， 则， ， ， ， 则的坐标是， 故答案为：；； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （3）解：当点在线段上时， 当时，， ， ， ，， ， ，， ， 平行四边形的周长为； 如图，当点在线段的延长线上时， 同（2）中原理可得， ，， ， 四边形是平行四边形， 当时，， ， ， ，， ， ，， ， 平行四边形的周长为； 综上，四边形的周长为或． 【点睛】注意第三小问，需要考虑点在线段上或点在线段延长线上，两种情况，再结合第二小问，考虑到用勾股定理求出平行四边形的两边长即可． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $