专题10 函数综合题-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学二轮专项突破配套课件（河北专用）

数 学 河北 二轮专项突破 1 专题十　函数综合题 (必考) 二、解答题强化 【方法指导】本专题的综合性较强，对数形结合、分类讨论等数学思想方 法要求较高.常见的设问类型及方法： (1)与含参一次函数有关的交点问题，详见课堂精讲册P37； (2)与二次函数有关的最值问题，详见课堂精讲册P49； (3)与二次函数有关的交点、整点、距离问题，详见课堂精讲册P53～P54. 1. 如图，在平面直角坐标系中，有一动点P(－a，a＋3)和两定点 A(－1，－1)，B(1，－3). (1)求直线AB的解析式； 解：直线AB的解析式为y＝－x－2. (2)当a＝－2时，判断点P是否在直线AB上； 解：当a＝－2时，点P的坐标为(2，1). 由(1)知，直线AB的解析式为y＝－x－2， 当x＝2时，y＝－4≠1， ∴当a＝－2时，点P不在直线AB上. (3)嘉嘉说：当a取不同的两个值时，得到两个点P1，P2，则直线P1P2与直 线AB平行.嘉嘉说得对吗？请针对他的说法进行说理； 解：嘉嘉说得对.说理如下： ∵点P的坐标为(－a，a＋3)， ∴点P在直线y＝－x＋3上运动. ∵直线y＝－x＋3与直线y＝－x－2平行， ∴直线P1P2与直线AB平行. (4)直接写出△PAB的面积. 解：△PAB的面积为5. 【解法提示】由(3)知，点P所在直线l的解析式为y＝ －x＋3，与直线AB平行，∴无论a取何值，点P到直 线AB的距离为定值.如解图，过点O作OC⊥直线l于 点C，延长CO交直线AB于点D. 易得点D与点A重合， 直线l和直线AB与x轴所夹锐角均为45°，∴OD＝ ，OC＝ ，∴CD＝OC＋OD＝ .∵A(－1，－1)，B(1，－3)，∴AB＝ ＝2 ，∴S△PAB＝ CD·AB＝5. 2. 水平放置的平台高度为1 dm，平台上的光源A 和竖直放置的不透光屏幕MN都可以左右平移，但光源A的照射角度和方 向不变，MN＝5 dm，平台左端是竖直放置的平面镜PQ(无限大)，没有屏 幕遮挡，从点A发射的光线会照射到平面镜的点B处；若屏幕与平面镜相 距1 dm，则光线照射到屏幕上的点C处，建立如图所示的平面直角坐标 系，单位长度是1 dm，点A，B的坐标分别为(3，1)，(0，3). (1)①在图中补画出x轴和原点O，并求光线AB所在直线的解析式； ②直接写出点C的坐标. 解：如解图，x轴和原点O即为所求. 光线AB所在直线的解析式为y＝－ x＋3. 解：C(1， ). (2)将屏幕向右平移到与平面镜相距6 dm的M'N'处，若使光线经过平面镜反 射后恰好照射到顶端M'，求光源A的平移方向和距离. 解：如解图，连接BM'，M'M，并延长M'M交y轴于点T. 设AQ＝3m dm，则BQ＝2m dm. ∵∠M'BT＝∠ABQ，∠M'TB＝∠AQB＝90°， ∴△M'TB∽△AQB， ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得m＝ ， 经检验，m＝ 是所列分式方程的解， ∴AQ＝ dm， ∴光源A的平移方向为向左，平移距离为3－ ＝ (dm). 3. [三点共线问题](2023河北25题12分)在平面直角坐标系中，设计了点的 两种移动方式：从点(x，y)移动到点(x＋2，y＋1)称为一次甲方式；从点 (x，y)移动到点(x＋1，y＋2)称为一次乙方式. 例　点P从原点O出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点 M(4，2)；若都按乙方式，最终移动到点N(2，4)；若按1次甲方式和1次乙 方式，最终移动到点E(3，3). (1)设直线l1经过上例中的点M，N，求l1的解析式，并直．接．写出将l1向上 平移9个单位长度得到的直线l2的解析式. 解：l1的解析式为y＝－x＋6， ∴l2的解析式为y＝－x＋15. (2)点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移 动到点Q(x，y).其中，按甲方式移动了m次. ①用含m的式子分别表示x，y； 解：根据题意可知，x＝2m＋(10－m)＝m＋10， y＝m＋2(10－m)＝－m＋20. ②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线 上.设这条直线为l3，在图中直．接．画出l3. 解：∵x＋y＝m＋10－m＋20＝30， ∴无论m怎样变化，点Q都在直线l3：y＝－x＋30上. 画出直线l3如图. (3)在(1)和(2)中的直线l1，l2，l3上分别有一个动点A，B，C，横坐标依 次为a，b，c，若A，B，C三点始终在一条直线上，直．接．写出此时a， b，c之间的关系式. 解：a，b，c之间的关系式为5a＋3c＝8b. 【解法提示】∵点A，B，C的横坐标依次为a，b，c，∴A(a，－a＋6)，B(b，－b＋15)，C(c，－c＋30).当a≠b≠c，－a＋6≠－b＋15≠－c＋30时，设直线AB的解析式为y＝px＋q(p≠0)，由题意可得 解得 ∴直线AB的解析式为y＝(－1＋ )x＋6－ .∵A，B，C三点始终在一条直线上，∴(－1＋ )c＋6－ ＝－c＋30，化简得5a＋3c＝8b；当a＝b＝c或－a＋6＝－b＋15＝－c＋30时，满足5a＋3c＝8b，故a，b，c之间的关系式为5a＋3c＝8b. 4. [整点问题](2022河北25题10分)如图，在平面直角坐标系中，线段AB的 端点为A(－8，19)，B(6，5). (1)求AB所在直线的解析式. 解：AB所在直线的解析式为y＝－x＋11. (2)某同学设计了一个动画：在函数y＝mx＋n(m≠0，y≥0)中，分别输 入m和n的值，便得到射线CD，其中C(c，0).当c＝2时，会从C处弹出 一个光点P，并沿CD飞行；当c≠2时，只发出射线而无光点弹出. ①若有光点P弹出，试推算m，n应满足的数量关系； 解：若有光点P弹出，则c＝2， 此时点C的坐标为(2，0). 把C(2，0)代入y＝mx＋n， 得2m＋n＝0， ∴m，n应满足的数量关系是2m＋n＝0(m≠0). ②当有光点P弹出，并击中线段AB上的整点(横、纵坐标都是整数)时，线 段AB就会发光，求此时整．数．m的个数. 解：∵2m＋n＝0，∴n＝－2m，∴y＝mx＋n＝mx－2m. 联立 解得m＝ ＝－1＋ . ∵－8≤x≤6，m为整数， ∴当x＝－7时，m＝－2，击中AB上的整点(－7，18)； 当x＝－1时，m＝－4，击中AB上的整点(－1，12)； 当x＝1时，m＝－10，击中AB上的整点(1，10)； 当x＝3时，m＝8，击中AB上的整点(3，8)； 当x＝5时，m＝2，击中AB上的整点(5，6). 综上所述，整数m的个数为5. 5. (2025邯郸育华中学二模)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋4分 别交x轴、y轴于点A、B，直线y＝kx＋b(k≠0)交直线y＝x＋4于点C，交x轴于点D(1，0). (1)求点A的坐标. 解：令y＝x＋4＝0，得x＝－4， ∴A(－4，0). (2)若点C在第二象限，△ACD的面积是5. ①求点C的坐标； 解：∵D(1，0)，A(－4，0)， ∴AD＝5. ∵S△ACD＝5，点C在第二象限， ∴ AD·yC＝5，∴yC＝2， 对于y＝x＋4， 当y＝2时，2＝x＋4，解得x＝－2， ∴C(－2，2). ②直接写出不等式组x＋4＞kx＋b＞0的解集； 解：不等式组x＋4＞kx＋b＞0的解集为－2＜x＜1. ③连接BD，将△CAD沿x轴平移，点C，A，D的对应点分别为C1，A1，D1，设点D1的横坐标为m，直接写出平移过程中△C1A1D1只有两个顶点在△BAD外部时，m的取值范围. 解：m的取值范围为 ＜m≤6或－4≤m＜1. 【解法提示】如解图.对于y＝x＋4，当x＝0时，y＝4， ∴B(0，4).设直线BD的解析式为y＝k'x＋b'(k'≠0).把B(0，4)， D(1，0)分别代入，得 解得 ∴直线BD的解析式为y＝－4x＋4.把y＝2代入y＝－4x＋4， 得2＝－4x＋4，解得x＝ ，此时平移距离为 －(－2)＝ ，∴当点C1在直线BD上时，点D1的横坐标为1＋ ＝ .∵当点A1在点D处时，点D1的横坐标为1＋5＝6，∴当△CAD沿x轴向右平移，且△C1A1D1只有两个顶点在△BAD外部时， ＜m≤6；当△CAD沿x轴向左平移，且△C1A1D1只有两个顶点在△BAD外部时，－4≤m＜1.综上所述，平移过程中△C1A1D1只有两个顶点在△BAD外部时，m的取值范围为 ＜m≤6或－4≤m＜1. 6. [台阶问题](2021河北25题10分)如图是某同学正在设计的一动画示意 图，x轴上依次有A，O，N三个点，且AO＝2，在ON上方有五个台阶 T1～T5(各拐角均为90°)，每个台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶T1到x 轴的距离OK＝10.从点A处向右上方沿抛物线L：y＝－x2＋4x＋12发出 一个带光的点P. (1)求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并直．接．指出点P会落在哪个台 阶上； 解：令y＝－x2＋4x＋12＝0， 解得x1＝－2，x2＝6. ∵点A是抛物线L与x轴的左侧交点， ∴点A的横坐标为－2. 补画y轴如图，点P会落在台阶T4上. (2)当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物 线C，且最大高度为11，求C的解析式，并说明其对称轴是否与台阶T5 有交点；[注：(2)中不必写x的取值范围] 解：对于y＝－x2＋4x＋12， 令y＝7，得x＝5或x＝－1， ∴抛物线L与台阶T4的交点坐标为(5，7). 设抛物线C的解析式为y＝－(x－k)2＋11(其中k＞5)， 将(5，7)代入，得k＝7， ∴抛物线C的解析式为y＝－(x－7)2＋11，其对 称轴为直线x＝7. ∵台阶T5两端的坐标分别为(6，6)与(7.5，6)， ∴抛物线C的对称轴与台阶T5有交点. (3)在x轴上从左到右有两点D，E，DE＝1，从点E向上作EB⊥x轴，且 BE＝2.在△BDE沿x轴左右平移时，必须保证(2)中沿抛物线C下落的点P 能落在边BD(包括端点)上，则点B横坐标的最大值比最小值大多少？ 解：∵抛物线C固定，要使点P落在边BD上，点B、点D的纵坐标分别为2，0，点B、点D的横坐标都大于7， ∴当－(x－7)2＋11＝2时，解得x＝4(舍去)或x＝10， 点B横坐标的最小值为10； 当－(x－7)2＋11＝0时，解得x＝7－ (舍去)或x＝7＋ ，点B横坐标的最大值为7＋ ＋1＝8＋ . ∵8＋ －10＝ －2， ∴点B横坐标的最大值比最小值大 －2. 7. (2025石家庄外国语学校模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ x2＋bx＋c与x轴分别交于点A(－3，0)与点B(1，0).已知P是该抛物线上 的一个动点(不与点B重合). (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； 解：由题意可得，抛物线的解析式为y＝(x＋3)(x－1)＝x2＋2x－3. ∵y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4， ∴顶点坐标为(－1，－4). (2)将抛物线上P，B两点之间的部分(包括端点)记作图象W，当图象W上 最高点与最低点的纵坐标的差是5时，求点P的坐标； 解：设P(m，m2＋2m－3)， 当m＜1时，m2＋2m－3－(－4)＝5， 解得m1＝－1－ ，m2＝－1＋ (舍去)， ∴P(－1－ ，1)； 当m＞1时，m2＋2m－3＝5， 解得m1＝2，m2＝－4(舍去)， ∴P(2，5). 综上所述，点P的坐标为(－1－ ，1)或(2，5). (3)若动点P的横坐标是n，另有坐标系中一动点Q，其坐标是(－3n，n).如图2，在坐标系中构造一个各边均与坐标轴垂直的矩形，使PQ为矩形的对角线.当抛物线在矩形内部的部分对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出n的取值范围. 解：n的取值范围为－ ＜n＜0或n＞ . 【解法提示】∵y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，∴抛物线的对称轴为直线x＝－1.当n＞0时，－3n＜0，点Q(－3n，n)在第二象限，P(n，n2＋2n－3)，如解图1.∵抛物线在矩形内部的部分对应的函数值y随x的增大而增大，∴n2＋2n－3＞n，∴n＜－ 或n＞ .∵n＞0，∴n＞ ； 解图1 当n＜0时，－3n＞0，点Q(－3n，n)在第四象限，如解图2.∵抛物线在矩形内部的部分对应的函数值y随x的增大而增大，∴n2＋2n－3＜n，∴－ ＜n＜ .∵n＜0，∴－ ＜n＜0. 综上所述，n的取值范围为－ ＜n＜0或n＞ . 解图2 8. 如图，抛物线L1：y1＝mx2＋2mx＋m＋2与y轴交于点C，抛物线L2：y2＝－x2＋nx－5与y轴交于点D. 已知两条抛物线交于点M(t，－2)，过点M作y轴的垂线，分别交两条抛物线于点A和点B. (1)直接写出点D的坐标. 解：点D的坐标为(0，－5). (2)甲同学说：抛物线L1必经过一个定点. 乙同学说：无论x为何值，抛物线L2与x轴都没有交点. 请选择其中一人的说法，判断是否正确，并说明理由. 解：(答案不唯一，选择其中一个进行说明即可) 甲同学的说法正确.理由如下： ∵y1＝mx2＋2mx＋m＋2=m(x2+2x+1)+2=m(x+1)2+2， ∴抛物线L1必经过定点(－1，2)， ∴甲同学的说法正确. 乙同学的说法错误.理由如下： 令y2＝0，得－x2＋nx－5＝0，即x2－nx＋5＝0， 该一元二次方程的根的判别式为Δ＝n2－20. ∵n值的大小无法确定，∴Δ的正负无法确定， ∴抛物线L2与x轴的交点个数无法确定， ∴乙同学的说法错误. (3)当以A，B，C，D为顶点的四边形是正方形时， ①求t的值； 解：如解图1，记AB与CD的交点为N. 设点A的坐标为(a，m(a＋1)2＋2)(a＜0). ∵AB⊥y轴，∴AB∥x轴，AN＝－a， ∴yN＝yA＝yM＝－2， ∴m(a＋1)2＋2＝－2①，DN＝(－2)－(－5)＝3. 易得点C的坐标为(0，m＋2)， ∴CN＝m＋2－(－2)＝m＋4. ∵四边形ADBC是正方形，∴CN＝DN， ∴m＋4＝3，∴m＝－1. 将m＝－1代入①，得a＝－3或a＝1(舍去)， ∴抛物线L1的解析式为y＝－x2－2x＋1. 将M(t，－2)代入，得－2＝－t2－2t＋1， 解得t＝1或t＝－3(舍去)， ∴t的值为1. ②直接写出在该四边形内部(不包括边界)的所有整点(横、纵坐标都是整 数)的坐标. 解：由①可知，A(－3，－2)，B(3，－2)，C(0，1)，D(0，－5)， ∴在该正方形内部(不包括边界)的所有整点的坐标为(0，－4)，(－1，－ 3)，(0，－3)，(1，－3)，(－2，－2)，(－1，－2)，(0，－2)，(1，－2)， (2，－2)，(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(0，0). (4)若AM与MB的长相等，均为d(d≠0)，直接用含d的式子分别表示m 和n. 解： m＝－ ，n＝2d－2. 【解法提示】如解图2，当AM＝MB＝d时，∵抛物线L1：y1＝m(x＋1)2＋2的对称轴为直线x＝－1，∴点A的坐标为(－1－ ，－2)，点M的坐标为(－1＋ ，－2).∵点A在抛物线L1上，∴－2＝m(－1－ ＋1)2＋2，整理，得m＝－ .∵点M在抛物线L2上，∴抛物线L2的对称轴为直线x＝－1＋ ＋ ＝－1＋d＝ ，整理，得n＝2d－2. 解图2 9. (2025石家庄校级一模)如图，抛物线l1：y＝ax2－2ax－3a(a≠0)与x轴 交于A，B两点(点A位于点B左侧)，与y轴交于点C(0，3).抛物线l2由抛 物线l1先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到，顶点为D. (1)求a的值及点B的坐标； 解：a＝－1，B(3，0). (2)请说明：无论x为何值，抛物线l2对应的函数值都小于0； 证明：∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴抛物线l2的解析式为y＝－(x＋1)2－1. ∵－1＜0， ∴当x＝－1时，y＝－(x＋1)2－1有最大值－1＜0， ∴无论x为何值，抛物线l2对应的函数值都小于0. (3)连接BC，CD，BD，请判定△BCD的形状，并说明理由； 解：△BCD是等腰三角形.理由如下： 由(2)知，D(－1，－1). ∵C(0，3)，B(3，0)， ∴BD＝ ，CD＝ ，BC＝3 ， ∴BD＝CD， ∴△BCD是等腰三角形. (4)将抛物线l1，l2位于x≤0的部分组合成新图象，记作G. 当直线y＝k(x ＋1)－1与图象G有3个交点时，请直接写出k的取值范围. 解：－1≤k＜4且k≠0，k≠ . 【解法提示】如解图，设l2与y轴交于点F，l1，l2交于点H. 由(2)知，抛物线l2的解析式为y＝－(x＋1)2－1＝－x2－2x－2，当x＝0时，y＝－2，∴F(0，－2).联立 解得 ∴H(－ ，－ ).∵y＝k(x＋1)－1，当x＝－1时，y＝－1，∴直线y＝k(x＋1)－1恒过点D(－1，－1). 当k＝0时，直线为y＝－1，此时直线与图象G有2个交点；当直线过点H(－ ，－ )时，－ ＝k(－ ＋1)－1，解得k＝ ，此时直线与图象G有2个交点；当直线过点C(0，3)时，k＝4，此时直线与图象G有4个交点；当直线过点F(0，－2)时，k＝－1，此时直线与图象G有3个交点.综上所述，当－1≤k＜4且k≠0，k≠ 时，直线y＝k(x＋1)－1与图象G有3个交点. 10. [整点问题]如图，抛物线L1：y＝－ x(x＋t)(常数t＞0)与x轴的负半 轴交于点G，其顶点为Q. 过点Q作QM⊥x轴于点M，交双曲线L2：y＝ (x＜0)于点P，且OG·MP＝4. (1)求k的值； 解：k＝－2. (2)当t＝2时，求PQ的长； 解：当t＝2时， 抛物线L1：y＝－ x(x＋2)＝－ (x＋1)2＋ ， ∴Q(－1， )，P的横坐标为－1， 由(1)得，双曲线L2：y＝－ ， 当x＝－1时，y＝－ ＝2， ∴P(－1，2)， ∴PQ＝2－ ＝ . (3)当P是QM的中点时，求t的值； 解：抛物线L1：y＝－ x(x＋t)＝－ (x＋ t)2＋ t2， ∴Q(－ t， t2). ∵P是QM的中点，QM⊥x轴， ∴P(－ t， t2). 把P(－ t， t2)代入y＝－ ，得 t2＝－ ， 解得t＝4. (4)若抛物线L1与双曲线L2所围成的区域(不含边界)内的整点(点的横坐标与 纵坐标均为整数)只有1个，直接写出t的取值范围. 解：t的取值范围是 ＜t≤4. 【解法提示】①如解图1，L1具有对称性，∴当x＝－2时，y＝－ × (－2)×(t－2)满足1＜y≤2，∴1＜t－2≤2，解得3＜t≤4.当x＝－3时， y＝－ ×(－3)×(t－3)满足1＜y≤2，∴1＜ (t－3)≤2，解得 ＜t≤ ，∴t的取值范围是 ＜t≤4；②如解图2，当x＝－2时，y＝t－2满足2＜y≤3，∴2＜t－2≤3，解得4＜t≤5.当x＝－3时，y＝ (t－3)满足0≤y≤1，∴0≤ (t－3)≤1，解得3≤t≤ ，此时无解.综上所述，t的取值范围是 ＜t≤4. 解图1 解图2 11. 如图，直线y＝－ x＋b与x轴、y轴分别交于A，B两点，点A的坐 标为(6，0).在x轴的负半轴上有一点C(－4，0)，直线AB上有一点D，且 CD＝OD. (1)求b的值. 解：b＝3. ①求反比例函数y＝ 的解析式； 解：反比例函数的解析式为y＝－ . (2)若反比例函数y＝ 的图象过点D. ②若直线y＝a与反比例函数y＝ (x＜0)的图象交于点M，与直线y＝ － x＋b交于点N，且MN＝6，求a的值. 解：由题意，得a＞0，M(－ ，a)，N(6－2a，a). ∵MN＝6， ∴｜－ －6＋2a｜＝6， ∴a＝2或a＝3＋ (负值已舍去). (3)在线段AB上有一个动点P，点P的横坐标为p，作点P关于y轴的对称 点Q. 当点Q落在△CDO的内部(不包括边界)时，直接写出p的取值范围. 解： ＜p＜ . 【解法提示】∵点P所在直线的解析式为y＝－ x＋3(0≤x≤6)，点P关于y轴的对称点为Q，∴点Q所在直线的解析式为y＝ x＋3(－6＜x＜0).设CD所在直线的解析式为y＝k'x＋b'，将C(－4，0)，D(－2，4)分别代入解析式，得k'＝2，b'＝8，即y＝2x＋8.设OD所在直线的解析式为y＝mx，将D(－2，4)代入解析式，得m＝－2，即y＝－2x.联立 解得 联立 解得 ∵点Q的横坐标为－p，点Q落在△CDO的内部(不包括边界)，∴－ ＜－p＜－ ，解得 ＜p＜ . 12. [整点问题]如图，若b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A，直线 a：y＝x－b与y轴交于点B，抛物线L：y＝－x2＋bx的顶点为C，且L 与x轴的右交点为D. (1)若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标； 解：∵直线l：y＝b与y轴交于点A， ∴A(0，b). ∵直线a：y＝x－b与y轴交于点B，∴B(0，－b). 又∵AB＝8，∴OA＝OB＝4， ∴b＝4，∴抛物线L的解析式为y＝－x2＋4x， ∴抛物线L的对称轴为直线x＝－ ＝2， 对于y＝x－4，当x＝2时，y＝－2， ∴抛物线L的对称轴与直线 a的交点坐标为(2，－2). (2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值； 解：∵抛物线L的解析式为y＝－x2＋bx， ∴C(， ). ∵点C在l下方， ∴点C与l的距离为b－ ＝－ (b－2)2＋1≤1， ∴点C与l距离的最大值为1. (3)设x0≠0，点(x0，y1)，(x0，y2)，(x0，y3)分别在l，a和L上，且y3是 y1，y2的平均数，求点(x0，0)与点D之间的距离； 解：由题意可得，y1＝b，y2＝x0－b，y3＝－ ＋bx0. ∵y3是y1，y2的平均数，∴y3＝ ， 即－ ＋bx0＝ ，解得x0＝0或x0＝b－ . ∵x0≠0，∴x0＝b－ . 对于抛物线L，当y＝0时，0＝－x2＋bx，解得x1＝0，x2＝b. ∵b＞0，∴点D的坐标为(b，0)， ∴点(x0，0)与点D之间的距离为b－(b－ )＝ . (4)在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为 “美点”，分别直．接．写出b＝2025和b＝2025.5时“美点”的个数. 解：4052；1013. 【解法提示】当b＝2025时，直线a的解析式为y＝x－2025，抛物线L的 解析式为y＝－x2＋2025x.联立 解得 或 ∴抛物线L和直线a的交点坐标为(－1，－2026)， (2025，0)，∴美点的个数为2027＋2025＝4052；当b＝2025.5时，直线a 的解析式为y＝x－2025.5，抛物线L的解析式为y＝－x2＋2025.5x.联立 解得 或 ∴抛物 线L和直线a的交点坐标为(－1，－2026.5)，(2025.5，0)，∴美点的个数 为0＋1013＝1013. 13. [交点问题](2025河北24题12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(0，3)，B(6，3)，顶点为P. 抛物线y＝a(x－3)2＋d(a＜0)经过点C(，2).两条抛物线在第一象限内的部分分别记为L1，L2. (1)求b，c的值及点P的坐标. 解：∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(0，3)，B(6，3)， ∴ 解得 ∴y＝－x2＋6x＋3＝－(x－3)2＋12， ∴P(3，12). (2)点D在L1上，到x轴的距离为 .判断L2能否经过点D，若能，求a的 值；若不能，请说明理由. 解：L2不能经过点D. 理由如下： ∵点D在L1(第一象限)上，到x轴的距离为 ，∴yD＝ . 令y＝－x2＋6x＋3＝ ，解得x＝ 或x＝ ， ∴D(， )或(， ). ∵抛物线y＝a(x－3)2＋d(a＜0)经过点C(，2)， ∴抛物线L2的对称轴为直线x＝3，∴L2经过点C(，2)和点(，2)， ∴L2不能经过点D. (3)直线AE：y＝kx＋n(k＞0)交L1于点E，点M在线段AE上，且点M的 横坐标是点E横坐标的一半. ①若点E与点P重合，点M恰好落在L2上，求a的值； 解：∵P(3，12)， ∴当点E与点P重合时，E(3，12). ∵A(0，3)，且易知M是AE的中点， ∴M(， ). ∵点M恰好落在L2上，L2经过点C(，2)， ∴ 解得a＝－ . ②若点M为直线AE与L2的唯一公共点，请直接写出k的值. 解：k的值为6－ . 【解法提示】直线AE：y＝kx＋n(k＞0)交L1于点E，A(0， 3)，∴n＝3，∴直线AE的解析式为y＝kx＋3.∵y＝a(x－3)2 ＋d(a＜0)经过点C(，2)，∴2＝ a＋d，∴d＝2－ a， ∴y＝a(x－3)2＋2－ a＝ax2－6ax＋ a＋2.联立 消去y，得ax2－kx－6ax＋ a－1＝0，∴x1＋x2＝ ，则E(， ＋3).∵点M的横坐标是点E横坐标的一半，∴M(， ＋3).将点E的坐标代入y＝－x2＋6x＋3，得 ＋3＝－ ＋6× ＋3①. ∵点M为直线AE与L2的唯一公共点，∴Δ＝(k＋6a)2－4×a×( a－1) ＝0②.联立①②，得 或 当k＝6＋ 时， 唯一公共点不在第一象限，不符合题意，∴k＝6－ . 14. 如图，抛物线C：y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)和点 B(5，0)，与y轴交于点M. 过点M的直线l：y＝kx－5与抛物线C的另一 交点为N. (1)求抛物线C的解析式. 解：∵点M在y轴上，且在直线l：y＝kx－5上， ∴M(0，－5). ∵抛物线C：y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)和点B(5，0)， ∴抛物线C的解析式可表示为y＝a(x－1)(x－5). 将M(0，－5)代入，得a＝－1， ∴抛物线C的解析式为y＝－(x－1)(x－5)＝－x2＋6x－5. 解： ∵A(1，0)，B(5，0)，M(0，－5)， ∴AB＝5－1＝4，OM＝5， ∴S四边形AMBN＝S△AMB＋S△NAB＝ AB·OM＋ AB·yN＝ ×4×5＋ ×4yN＝10＋2yN， ∴当yN最大时，四边形AMBN的面积最大. ∵点N在抛物线C上，且在x轴的上方， ∴当点N为抛物线C的顶点时，yN最大. ∵y＝－x2＋6x－5＝－(x－3)2＋4，∴抛物线C的顶点坐标为(3，4)， ∴yN最大为4，此时 ＝10＋2yN＝18， ∴四边形AMBN的最大面积为18. (2)若点N在x轴的上方， ①求四边形AMBN的最大面积； 解：当∠NAB＋∠NBA＝90°时，∠ANB＝90°. 如解图，过点N作NH⊥x轴于点H， 则∠AHN＝∠NHB＝90°， ∴∠NAH＋∠ANH＝90°. ∵∠ANH＋∠BNH＝90°， ∴∠NAH＝∠BNH， ∴△ANH∽△NBH， ∴ ＝ ， ∴NH2＝AH·BH. ②当∠NAB＋∠NBA＝90°时，求点N的坐标. 设点N的坐标为(n，－n2＋6n－5)(1＜n＜5)， 则NH2＝(－n2＋6n－5)2＝(n－1)2(n－5)2，AH＝n－1，BH＝5－n，∴(n－1)2(n－5)2＝(n－1)(5－n)， 化简整理，得n2－6n＋6＝0， 解得n1＝3－ ，n2＝3＋ ， ∴点N的坐标为(3－ ，1)或(3＋ ，1). (3)如图2，将抛物线C在x轴上方的部分沿x轴翻折，得到的曲线与抛物线 C在x轴下方的部分合起来记为C'. ①当－1≤x≤4时，曲线C'上点的纵坐标y的最大值与最小值分别为多 少？ 解： 观察图象C'可知，在x＝－1时，y取得最小值，最小值为－1－6－5＝－12， 在x＝1时，y取得最大值，最大值为0. 解：k的取值为1或2 －6. ②当直线l与曲线C'有三个交点时，直接写出所有符合题意的k的取值. 15. [距离问题](2024河北26题13分)如图，抛物线C1：y＝ax2－2x过点 (4，0)，顶点为Q. 抛物线C2：y＝－ (x－t)2＋ t2－2(其中t为常数，且t ＞2)，顶点为P. (1)直接写出a的值和点Q的坐标. 解：a＝ ，Q(2，－2). (2)嘉嘉说：无论t为何值，将C1的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落 在C2上. 淇淇说：无论t为何值，C2总经过一个定点. 请选择其中一人的说法进行说理. 解：(任选其中一个进行说明即可) 选择嘉嘉的说法：Q(2，－2)向左平移2个单位长度后为(0，－2)， 当x＝0时，C2：y＝－ (0－t)2＋ t2－2＝－2， ∴无论t为何值，Q(2，－2)向左平移2个单位长度后一定落在C2上. 选择淇淇的说法：C2：y＝－ (x－t)2＋ t2－2＝－ x2＋tx－2. 当x＝0时，y＝－2，∴C2一定过点(0，－2)， ∴无论t为何值，C2总经过一个定点. (3)当t＝4时， ①求直线PQ的解析式； 解：当t＝4时，C2的解析式为y＝－ (x－4)2＋6， ∴顶点P的坐标为(4，6). 设直线PQ的解析式为y＝ex＋f， 将P(4，6)，Q(2，－2)分别代入， 得 解得 ∴直线PQ的解析式为y＝4x－10. 解：当l与C2的交点到x轴的距离为6时， 交点的纵坐标y＝6或y＝－6. 对于C2：y＝－ (x－4)2＋6， 当y＝6时，x＝4， 到x轴的距离为6的点即为点P， 不合题意，舍去. 当y＝－6时，－6＝－ (x－4)2＋6， 解得x1＝4－2 ，x2＝4＋2 . ∵直线l∥PQ， ∴设直线l的解析式为y＝4x＋b. ②作直线l∥PQ，当l与C2的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点 的横坐标. 将x1＝4－2 ，y＝－6代入， 得4(4－2 )＋b＝－6， 解得b＝8 －22， ∴直线l的解析式为y＝4x＋8 －22. 当y＝0时，x＝ ， ∴l与x轴交点的横坐标为 . 同理，当x2＝4＋2 时，l与x轴交点的横坐标为 . 综上所述，l与x轴交点的横坐标为 或 . (4)设C1与C2的交点A，B的横坐标分别为xA，xB，且xA＜xB. 点M在C1 上，横坐标为m(2≤m≤xB).点N在C2上，横坐标为n(xA≤n≤t).若点M 是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好 也为d，直接用含t和m的式子表示n. 解：n＝t－m＋2. 【解法提示】∵C1：y＝ (x－2)2－2，C2：y＝－ (x－t)2＋ t2－2，∴C2是由C1通过旋转180°，再平移得到的，两个抛物线的形状相同，如解图，连接AB交PQ于点L，连接AQ，BQ，AP，BP，易知四边形APBQ是平行四边形.∵点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，∴M与B重合，N与A重合.∵Q(2，－2)，P(t， t2－2)，∴点L的横坐标为 .∵点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，∴点L的横坐标为 ，∴ ＝ ，∴n＝t－m＋2. 71 $