专题7 真实情境下圆的综合探究-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学二轮专项突破配套课件（河北专用）

数 学 河北 二轮专项突破 1 专题七　真实情境下圆的综合探究 (2023.24，2022.24) 二、解答题强化 1. (2023河北24题10分)装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以 AB为直径的半圆O，AB＝50 cm，如图1和图2所示，MN为水面截线， GH为台面截线，MN∥GH. 计算　在图1中，已知MN＝48 cm，作OC⊥MN于点C. (1)求OC的长. 解：连接OM. ∵OC⊥MN，∴MC＝ MN＝24(cm). ∵AB＝50 cm，∴OM＝ AB＝25(cm). 在Rt△OMC中，OC＝ ＝7(cm). 操作　将图1中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当 ∠ANM＝30°时停止滚动，如图2.其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的 切点为E，连接OE交MN于点D. 探究　在图2中. (2)操作后水面高度下降了多少？ 解：∵GH与半圆的切点为E，∴OE⊥GH. ∵MN∥GH，∴OE⊥MN于点D. ∵∠ANM＝30°，ON＝ AB＝25(cm)， ∴OD＝ ON＝ (cm)， ∴操作后水面高度下降了 －7＝ (cm). (3)连接OQ并延长交GH于点F，求线段EF与 的长度，并比较大小. 解：∵OE⊥MN于点D，∠ANM＝30°， ∴∠DOB＝60°. ∵半圆的中点为Q，∴ ＝ ， ∴∠QOB＝90°，∴∠QOE＝30°， ∴EF＝OE·tan∠QOE＝ (cm)， 的长为 ＝ (cm). ∵ － ＝ ＞0， ∴线段EF的长度大于 的长度. 2. (2025邯郸二模)如图1，公园计划将一个矩形门洞修改成为圆弧形门洞，如图2，在矩形ABCD中，宽BC为 m，高AB为 m，点O是AC，BD的交点，以点O为圆心，OA为半径作☉O，地面BC与矩形门洞对角线AC的夹角∠ACB约为52.5°，阴影部分为门洞改造后扩大的部分. (1)求☉O的半径； 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∴AC＝ ＝3(m)， ∴AO＝ AC＝ (m)，∴☉O的半径为 m. (2)求改造后圆弧形门洞的高度(即 的中点到地面的距离)； 解：设 的中点为E，作EF⊥BC于点F， 由对称性可知，EF过圆心O，则EF＝OE＋OF. ∵OF＝ AB＝ (m)，OE＝ m， ∴EF＝2.7 m， ∴改造后圆弧形门洞的高度为2.7 m. (3)直接写出阴影部分的面积.(结果保留π) 解：阴影部分的面积为(π－ )m2. 【解法提示】∵S☉O＝()2π＝ π(m2)，S矩形ABCD＝ × ＝ (m2)，∴S△AOB＋S△AOD＋S△COD＝ S矩形ABCD＝ (m2). ∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠ACB＝52.5°，∴∠BOC＝180°－52.5°×2＝75°，∴S扇形BOC＝ ＝ (m2)，∴S阴影＝S☉O－ S矩形ABCD－S扇形BOC＝(－ )m2. 3. (2025唐山古冶区模拟)如图是放于水平桌面上的带底座的鱼缸，其主体 部分的纵截面是弓形AMB，开口部分AB与桌面平行，将一玻璃棒斜放进 鱼缸(鱼缸内无水)，使玻璃棒底端恰在 的中点M处，发现AM＝AB，将玻璃棒竖立起来(MN⊥AB)时，测得MN＝37.5 cm. (1)求∠BAM的度数，并求AB的长； 解：如解图1，连接BM. ∵M是 的中点，∴ ＝ ，∴AM＝BM. 又∵AM＝AB，∴AM＝BM＝AB， ∴△ABM是等边三角形，∴∠BAM＝∠AMB＝60°， ∵MN⊥AB，∴AM＝ ＝ ＝25 (cm)， ∴AB＝AM＝25 (cm). 解图1 (2)求 的长； 解：如解图1，设圆心为O，连接OA，OB， 则∠AOB＝2∠AMB＝120°， ∴∠AON＝ ∠AOB＝60°. ∵MN⊥AB，∴∠OAN＝90°－∠AON＝30°， ∴ON＝ OA＝ OM. ∵MN＝OM＋ON， ∴OM＋ OM＝37.5 cm，∴OM＝25 cm， ∴ 的长为 ＝ (cm). 解图1 (3) 若向鱼缸内加水，使水面的宽度为48 cm，求鱼缸内水的深度. 解：如解图2和解图3，设水面为DE，交MN于点F， 则MN⊥DE，DF＝EF＝ DE＝24(cm). 连接OD，OD＝OM＝25(cm)， ∴OF＝ ＝ ＝7(cm). 当DE在点O的上方时，如解图2， MF＝OM＋OF＝25＋7＝32(cm)； 当DE在点O的下方时，如解图3， MF＝OM－OF＝25－7＝18(cm). 综上所述，鱼缸内水的深度为32 cm或18 cm. 解图3 解图2 4. 切割锯(如图1)是工人在工作中常用的工具，常用于切割木材、铁制品等，给工作带来了极大的便利，我们根据生活中的切割锯抽象出如图2所示的图形，AB表示面板，☉O表示锯片，线段BD可绕点B带动☉O转动，BC＝(20 －30)cm，当☉O恰好和AB相切，切点为E时，∠B＝60°. (1)求☉O的半径. 解：设☉O的半径为r cm. 当☉O恰好和AB相切时，∠OEB＝90°， ∵∠B＝60°，BC＝(20 －30)cm， ∴ sin B＝ ＝ ＝ ， 解得r＝30， ∴☉O的半径为30 cm. (2)在切割过程中，点D绕点B逆时针旋转，AB和☉O相交，MN表示切割的长度. ①如图3，OF⊥AB于点F，当OF＝24 cm时，求切割的长度MN； 图3 解：连接ON. ∵OF⊥AB，OF＝24 cm，ON＝30 cm， ∴MF＝FN＝ MN，FN＝ ＝18(cm)， ∴MN＝2FN＝36(cm). ②当BD旋转到∠B＝30°时，切割锯能否将宽度为50 cm的木板切断？请 说明理由. 图3 解：不能，理由如下： 当BD旋转到∠B＝30°时， OB＝OC＋BC＝30＋20 －30＝20 (cm). ∵∠B＝30°，OF⊥AB， ∴OF＝ OB＝10 (cm)， 连接ON，在Rt△OFN中，FN＝ ＝10 (cm)， ∴MN＝2FN＝20 (cm). ∵20 ＜50， ∴当BD旋转到∠B＝30°时，切割锯不能将宽度为50 cm的木板切断. 16 $